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2025年高考数学高频易错考前冲刺：圆锥曲线综合
一．选择题（共8小题）
1．（2024 北京）若点P到直线x＝﹣1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P的轨迹为（　　）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
2．（2024 焦作一模）已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线（m＞0，n＞0）有相同的焦点（﹣c，0）和（c，0），若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024 南城县校级期末）与曲线1共焦点，而与曲线1共渐近线的双曲线方程为（　　）
A．1 B．1
C．1 D．1
4．（2024 都匀市校级期末）与椭圆1有公共焦点，且离心率e的双曲线的方程为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024 全国卷Ⅰ）抛物线y＝﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8＝0距离的最小值是（　　）
A． B． C． D．3
6．（2024 上海）点P（4，﹣2）与圆x2+y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是（　　）
A．（x﹣2）2+（y+1）2＝1 B．（x﹣2）2+（y+1）2＝4
C．（x+4）2+（y﹣2）2＝1 D．（x+2）2+（y﹣1）2＝1
7．（2024 徐汇区校级三模）抛物线y2＝4x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，又点A（﹣1，0），则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024 福建）设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝4：3：2，则曲线r的离心率等于（　　）
A． B．或2 C．2 D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 济宁模拟）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则（　　）
A．|BF|＝3
B．△ABF是等边三角形
C．点F到准线的距离为3
D．抛物线C的方程为y2＝6x
（多选）10．（2024 沧州模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与圆E：x2+y2﹣2x＝0的圆心重合，直线l与C交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，且满足（其中O为坐标原点且A，B均不与O重合），则（　　）
A．x1x2＝16，y1y2＝﹣16
B．直线l恒过定点（4，0）
C．A，B中点轨迹方程：y2＝2x﹣4
D．△AOB面积的最小值为16
（多选）11．（2024 常熟市校级月考）如图，已知椭圆C1：y2＝1，过抛物线C2：x2＝4y焦点F的直线交抛物线于M，N两点，连接NO，MO并延长分别交C1于A，B两点，连接AB，△OMN与△OAB的面积分别记为S△OMN，S△OAB．则在下列命题中，正确的是（　　）
A．若记直线NO，MO的斜率分别为k1，k2，则k1k2的大小是定值为
B．△OAB的面积S△OAB是定值1
C．线段OA，OB长度的平方和|OA|2+|OB|2是定值5
D．设λ，则λ≥2
（多选）12．（2022秋 沈阳期末）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为P，且△PF1F2的面积为b2.双曲线C2和椭圆C1焦点相同，且双曲线C2的离心率为e2，M是椭圆C1与双曲线C2的一个公共点，若，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C．2 D．
三．填空题（共4小题）
13．（2023 天津一模）已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2＝2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝　 　．
14．（2024 辽宁）已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标为4，﹣2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为　 　．
15．（2024 四川）已知⊙O的方程是x2+y2﹣2＝0，⊙O'的方程是x2+y2﹣8x+10＝0，由动点P向⊙O和⊙O'所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是　 　．
16．（2024 陕西）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 陕西）已知椭圆E：1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．
（Ⅰ）求椭圆E的离心率；
（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．
18．（2024 江西）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e，直线l的方程为x＝4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．
19．（2024 江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程．
20．（2024 新课标Ⅱ）已知A是椭圆E：1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
（Ⅰ）当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积．
（Ⅱ）当2|AM|＝|AN|时，证明：k＜2．
2025年高考数学高频易错考前冲刺：圆锥曲线综合
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024 北京）若点P到直线x＝﹣1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P的轨迹为（　　）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【考点】轨迹方程．
【答案】D
【分析】把直线x＝﹣1向左平移一个单位变为x＝﹣2，此时点P到直线x＝﹣2的距离等于它到点（2，0）的距离，这就是抛物线的定义．
【解答】解：因为点P到直线x＝﹣1的距离比它到点（2，0）的距离小1，
所以点P到直线x＝﹣2的距离等于它到点（2，0）的距离，
因此点P的轨迹为抛物线．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的定义．
2．（2024 焦作一模）已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线（m＞0，n＞0）有相同的焦点（﹣c，0）和（c，0），若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】圆锥曲线的综合．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】D
【分析】根据是a、m的等比中项可得c2＝am，根据椭圆与双曲线有相同的焦点可得a2﹣b2＝m2+n2＝c2，根据n2是2m2与c2的等差中项可得2n2＝2m2+c2，联立方程即可求得a和c的关系，进而求得离心率e．
【解答】解：由题意：
∴，
∴，∴a2＝4c2，
∴．
故选：D．
【点评】本题主要考查了椭圆的性质，属基础题．
3．（2024 南城县校级期末）与曲线1共焦点，而与曲线1共渐近线的双曲线方程为（　　）
A．1 B．1
C．1 D．1
【考点】圆锥曲线的综合．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】A
【分析】根据椭圆方程先求出焦点坐标，再由渐近线相同设出双曲线方程为，根据c值列出方程求出λ的值即可．
【解答】解：由题意得，曲线1是焦点在y轴上的椭圆，且c5，
所以双曲线焦点的坐标是（0、5）、（0，﹣5），
因为双曲线与曲线1共渐近线，所以设双曲线方程为，
即，则﹣64λ﹣36λ＝25，解得λ，
所以双曲线方程为，
故选：A．
【点评】本题考查渐近线相同的双曲线方程设法，以及椭圆、双曲线的基本量的关系，属于中档题．
4．（2024 都匀市校级期末）与椭圆1有公共焦点，且离心率e的双曲线的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】圆锥曲线的综合．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学建模；运算求解．
【答案】B
【分析】先求出椭圆的焦点为（±5，0），由此得到与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程中，c＝5，a＝4，从而能求出双曲线方程．
【解答】解：∵椭圆的焦点为（±5，0），
∴与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程中，
c＝5，a＝4，b2＝25﹣16＝9，
∴所求的双曲线方程为：．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线方程的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意椭圆的简单性质的应用．
5．（2024 全国卷Ⅰ）抛物线y＝﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8＝0距离的最小值是（　　）
A． B． C． D．3
【考点】直线与圆锥曲线的综合；抛物线的焦点与准线．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】B
【分析】设抛物线y＝﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8＝0的距离为，由此能够得到所求距离的最小值．
【解答】解：设抛物线y＝﹣x2上一点为（m，﹣m2），
该点到直线4x+3y﹣8＝0的距离为：
∴当m时，取得最小值为，
故选：B．
【点评】本题考查直线的抛物线的位置关系，解题时要注意公式的灵活运用．
6．（2024 上海）点P（4，﹣2）与圆x2+y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是（　　）
A．（x﹣2）2+（y+1）2＝1 B．（x﹣2）2+（y+1）2＝4
C．（x+4）2+（y﹣2）2＝1 D．（x+2）2+（y﹣1）2＝1
【考点】轨迹方程．
【专题】直线与圆．
【答案】A
【分析】设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．
【解答】解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），
则
代入x2+y2＝4得（2x﹣4）2+（2y+2）2＝4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2＝1．
故选：A．
【点评】本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．
7．（2024 徐汇区校级三模）抛物线y2＝4x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，又点A（﹣1，0），则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】直线与圆锥曲线的综合；抛物线的焦点与准线．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】B
【分析】通过抛物线的定义，转化PF＝PN，要使有最小值，只需∠APN最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值．
【解答】解：由题意可知，抛物线的准线方程为x＝﹣1，A（﹣1，0），
过P作PN垂直直线x＝﹣1于N，
由抛物线的定义可知PF＝PN，连结PA，当PA是抛物线的切线时，有最小值，则∠APN最大，即∠PAF最大，就是直线PA的斜率最大，
设直线PA的方程为：y＝k（x+1），所以，
解得：k2x2+（2k2﹣4）x+k2＝0，
所以Δ＝（2k2﹣4）2﹣4k4＝0，解得k＝±1，
所以∠NPA＝45°，
cos∠NPA．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，转化思想的应用，题目新颖．
8．（2024 福建）设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝4：3：2，则曲线r的离心率等于（　　）
A． B．或2 C．2 D．
【考点】圆锥曲线的共同特征．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】A
【分析】根据题意可设出|PF1|，|F1F2|和|PF2|，然后分曲线为椭圆和双曲线两种情况，分别利用定义表示出a和c，则离心率可得．
【解答】解：依题意设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，
若曲线为椭圆则2a＝|PF1|+|PF2|＝6t，ct
则e，
若曲线为双曲线则，2a＝4t﹣2t＝2t，a＝t，ct
∴e
故选：A．
【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．关键是利用圆锥曲线的定义来解决．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 济宁模拟）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则（　　）
A．|BF|＝3
B．△ABF是等边三角形
C．点F到准线的距离为3
D．抛物线C的方程为y2＝6x
【考点】圆与圆锥曲线的综合．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】BCD
【分析】由题意可得AB垂直于准线，可得AF＝BF，又有圆可得BF＝AF＝AB，可得三角形ABF为等边三角形，又有面积可得p的值，进而可得命题的真假．
【解答】解：因为|FA|为半径的圆交l于B，D两点，所以FA＝FB，若∠ABD＝90°，即AB⊥BD，⊥可得FA＝AB，所以可得△ABF为等边三角形，所以B正确；
过F作FC⊥AB交于C，则C为AB的中点，C的横坐标为，B的横坐标为，所以A的横坐标为：，代入抛物线可得y2＝3p2，|yA|，
△ABF的面积为9，即（xA﹣xB）|yA| （）9，解得：p＝3，
所以抛物线的方程为：y2＝6x，所以D正确
焦点坐标为：（，0），所以焦点到准线的距离为：2＝3，所以C正确；
此时点A的横坐标：，所以BF＝AF＝AB6，所以A不正确，
故选：BCD．
【点评】考查抛物线的性质及圆的性质，属于中档题．
（多选）10．（2024 沧州模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与圆E：x2+y2﹣2x＝0的圆心重合，直线l与C交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，且满足（其中O为坐标原点且A，B均不与O重合），则（　　）
A．x1x2＝16，y1y2＝﹣16
B．直线l恒过定点（4，0）
C．A，B中点轨迹方程：y2＝2x﹣4
D．△AOB面积的最小值为16
【考点】圆与圆锥曲线的综合．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑思维；运算求解．
【答案】ABD
【分析】求出圆心坐标得出抛物线焦点坐标，从而得出抛物线方程，直线AB的斜率不为0，设方程为x＝ty+n，代入抛物线方程，应用韦达定理得出y1+y2，y1y2，由求得n，然后可得x1x2，并能得出直线l所过定点坐标，设AB中点为M（x，y），结合韦达定理的结论可求得中点轨迹方程，由两点间距离公式求得|AB|，再求得原点到直线l的距离d可得三角形面积，进而可求出其最小值．
【解答】解：圆E：x2+y2﹣2x＝0可化为（x﹣1）2+y2＝1，
所以E（1，0），半径r＝1．
所以抛物线C的焦点为E（1，0），
所以p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x．
由题意可知直线l的方程为x＝ty+n，
联立直线l与抛物线C的方程可得：
y2﹣4ty﹣4n＝0，
所以Δ＝16t2+16n＞0，即t2+n＞0，
所以y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4n，
所以x1x2+y1y2y1y2＝n2﹣4n＝0，
解得n＝4或n＝0（舍，否则直线l过原点），
所以y1y2＝﹣16，x1x216，故A正确；
直线l的方程为x＝ty+4，恒过定点（4，0），故B正确；
设AB的中点为M（x，y），
则y2t，x＝ty+4＝2t2+4，
消去参数t得：y2＝2x﹣8，故C错误；
因为|AB||y1﹣y2|4，
原点O到直线AB的距离为d，
所以S△OAB|AB|×d＝8，
所以当t＝0时，S△OAB＝16为最小值，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
（多选）11．（2024 常熟市校级月考）如图，已知椭圆C1：y2＝1，过抛物线C2：x2＝4y焦点F的直线交抛物线于M，N两点，连接NO，MO并延长分别交C1于A，B两点，连接AB，△OMN与△OAB的面积分别记为S△OMN，S△OAB．则在下列命题中，正确的是（　　）
A．若记直线NO，MO的斜率分别为k1，k2，则k1k2的大小是定值为
B．△OAB的面积S△OAB是定值1
C．线段OA，OB长度的平方和|OA|2+|OB|2是定值5
D．设λ，则λ≥2
【考点】直线与圆锥曲线的综合．
【专题】方程思想；设而不求法；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．
【答案】ABCD
【分析】设直线MN斜率为k，联立方程组，利用根与系数的关系和斜率公式判断A；设直线OA方程为y＝mx，联立方程组，求出A，B坐标，计算A到OB的距离，代入面积公式化简判断B；根据A，B的坐标和距离公式判断C；联立方程组，求出M，N的坐标，用m表示出三角形OMN的面积，借助基本不等式即可判断D．
【解答】解：F（0，1），设直线MN的方程为y＝kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2）．
联立方程组，消元得：x2﹣4kx﹣4＝0，∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，
∴y1y2＝（kx1+1）（kx2+1）＝k2x1x2+k（x1+x2）+1＝1，
∴k1k2，故A正确；
设直线OA的方程为y＝mx（m＞0），则直线OB的方程为yx，
联立方程组，解得x2，不妨设A在第三象限，则A（，），
用替换m可得B（，），
∴A到OB的距离d，
又|OB|，
∴S△OAB 1，故B正确；
又|OA|2，|OB|2，
∴|OA|2+|OB|25，故C正确；
联立方程组，可得x（x﹣4m）＝0，故N（4m，4m2），∴|ON|＝4m，
替换m可得M（，），
∴M到直线OA的距离h，
∴SOMN |ON| h＝2m（1）＝2m2，当且仅当2m即m时取等号．
∴λSOMN≥2，故D正确．
故选：ABCD．
【点评】本题考查了直线与抛物线、直线与椭圆的位置关系，考查距离公式的应用，考查设而不求法的解题思路，属于中档题．
（多选）12．（2022秋 沈阳期末）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为P，且△PF1F2的面积为b2.双曲线C2和椭圆C1焦点相同，且双曲线C2的离心率为e2，M是椭圆C1与双曲线C2的一个公共点，若，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C．2 D．
【考点】圆锥曲线的综合；椭圆的几何特征．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】AC
【分析】由三角形的面积公式可得b＝c，由椭圆的离心率公式可得e1，设双曲线的方程为1（m＞0，n＞0），M在第一象限，且|MF1|＝s，|MF2|＝t，运用椭圆和双曲线的定义，可得s，t，（用a，m表示），再在△MF1F2中，运用余弦定理，求得4，进而得到e2，检验即可得到结论．
【解答】解：由题意可得△PF1F2的面积为 b 2c＝b2，
即有b＝c，则e1，
设双曲线的方程为1（m＞0，n＞0），M在第一象限，且|MF1|＝s，|MF2|＝t，
由椭圆的定义可得s+t＝2a，由双曲线的定义可得s﹣t＝2m，
解得s＝a+m，t＝a﹣m，
在△MF1F2中，cos∠F1MF2，
则s2+t2﹣st＝4c2，可得（a+m）2+（a﹣m）2﹣（a+m）（a﹣m）＝a2+3m2＝4c2，
则4，即有4，
由e1，可得e2，
则e1e2，，2，1，
所以选项AC正确；BD错误．
故选：AC．
【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2023 天津一模）已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2＝2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝　2　．
【考点】圆锥曲线的综合．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程与抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，列出方程，由此方程求出p的值．
【解答】解：∵双曲线（a＞0，b＞0），
∴双曲线的渐近线方程是y＝±x
又抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程是x，
故A，B两点的纵坐标分别是y＝±，
又由双曲线的离心率为2，所以，则，
A，B两点的纵坐标分别是y＝±±，
又△AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线
∴，得p＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错．
14．（2024 辽宁）已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标为4，﹣2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为　﹣4　．
【考点】直线与圆锥曲线的综合．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】通过P，Q的横坐标求出纵坐标，通过二次函数的导数，推出切线方程，求出交点的坐标，即可得到点A的纵坐标．
【解答】解：因为点P，Q的横坐标分别为4，﹣2，
代入抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8，2．
由x2＝2y，则y，所以y′＝x，
过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，﹣2，
所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为y＝4x﹣8，y＝﹣2x﹣2
联立方程组解得x＝1，y＝﹣4
故点A的纵坐标为﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题．
15．（2024 四川）已知⊙O的方程是x2+y2﹣2＝0，⊙O'的方程是x2+y2﹣8x+10＝0，由动点P向⊙O和⊙O'所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是　x　．
【考点】轨迹方程．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先由圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0表示出圆心（，），半径；
再由勾股定理分别表示出切线长|PA|、|PB|，然后建立方程，整理即可．
【解答】解：⊙O：圆心O（0，0），半径r；⊙O'：圆心O'（4，0），半径r'．
设P（x，y），由切线长相等得x2+y2﹣2＝x2+y2﹣8x+10，即．
所以动点P的轨迹方程是．
【点评】本题考查圆一般方程的圆心、半径的表示及勾股定理，同时考查方程的思想．
16．（2024 陕西）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为　1.2　．
【考点】直线与圆锥曲线的综合．
【专题】创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】建立直角坐标系，求出抛物线方程，然后利用定积分求出泥沙沉积的横截面面积，求出梯形面积，即可推出结果．
【解答】解：如图：建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：y＝ax2，因为抛物线经过（5，2），可得a，
所以抛物线方程：y，
横截面为等腰梯形的水渠，泥沙沉积的横截面的面积为：
22（），
等腰梯形的面积为：16，当前最大流量的横截面的面积16，
原始的最大流量与当前最大流量的比值为：1.2．
故答案为：1.2．
【点评】本题考查抛物线的求法，定积分的应用，考查分析问题解决问题的能力，合理建系是解题的关键．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 陕西）已知椭圆E：1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．
（Ⅰ）求椭圆E的离心率；
（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．
【考点】直线与圆锥曲线的综合；曲线与方程．
【专题】创新题型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）求出经过点（0，b）和（c，0）的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2＝4b2，①设出直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b2＝3，即可得到椭圆方程．
【解答】解：（Ⅰ）经过点（0，b）和（c，0）的直线方程为bx+cy﹣bc＝0，
则原点到直线的距离为dc，即为a＝2b，
e；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2＝4b2，①
由题意可得圆心M（﹣2，1）是线段AB的中点，则|AB|，
易知AB与x轴不垂直，记其方程为y＝k（x+2）+1，代入①可得
（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）2﹣4b2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2．x1x2，
由M为AB的中点，可得x1+x2＝﹣4，得4，解得k，
从而x1x2＝8﹣2b2，于是|AB| |x1﹣x2|
，解得b2＝3，
则有椭圆E的方程为1．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查直线和圆的位置关系，以及中点坐标公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题．
18．（2024 江西）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e，直线l的方程为x＝4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．
【专题】压轴题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由题意将点P （1，）代入椭圆的方程，得到，再由离心率为e，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准方程；
（2）方法一：可先设出直线AB的方程为y＝k（x﹣1），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系求得x1+x2，，再求点M的坐标，分别表示出k1，k2，k3．比较k1+k2＝λk3即可求得参数的值；
方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），以之表示出直线FB的方程为，由此方程求得M的坐标，再与椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k1，k2，k3．比较k1+k2＝λk3即可求得参数的值
【解答】解：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得 ①
由离心率e得，即a＝2c，则b2＝3c2②，代入①解得c＝1，a＝2，b
故椭圆的方程为
（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k（x﹣1）③
代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0
设A（x1，y1），B（x2，y2），
x1+x2， ④
在方程③中，令x＝4得，M的坐标为（4，3k），
从而，，k
注意到A，F，B共线，则有k＝kAF＝kBF，即有k
所以k1+k2（）
＝2k ⑤
④代入⑤得k1+k2＝2k2k﹣1
又k3＝k，所以k1+k2＝2k3
故存在常数λ＝2符合题意
方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为
令x＝4，求得M（4，）
从而直线PM的斜率为k3，
联立，得A（，），
则直线PA的斜率k1，直线PB的斜率为k2
所以k1+k222k3，
故存在常数λ＝2符合题意
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了分析转化的能力与探究的能力，考查了方程的思想，数形结合的思想，本题综合性较强，运算量大，极易出错，解答时要严谨运算，严密推理，方能碸解答出．
19．（2024 江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程．
【考点】直线与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．
【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；
（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．
【解答】解：（1）由题意可得，e，
且c3，解得c＝1，a，
则b＝1，即有椭圆方程为y2＝1；
（2）当AB⊥x轴，AB，CP＝3，PC≠2AB，不合题意；
当AB与x轴不垂直，设直线AB：y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），
将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）＝0，由直线恒过点F，可得Δ＞0，
则x1+x2，x1x2，y1+y2＝k（x1+x2﹣2）＝k（2），
则C（，），且|AB|
|x1﹣x2|
，
若k＝0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意；
则k≠0，故PC：y（x），P（﹣2，），
从而|PC|，
由|PC|＝2|AB|，可得，解得k＝±1，
此时AB的方程为y＝x﹣1或y＝﹣x+1．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．
20．（2024 新课标Ⅱ）已知A是椭圆E：1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
（Ⅰ）当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积．
（Ⅱ）当2|AM|＝|AN|时，证明：k＜2．
【考点】直线与圆锥曲线的综合．
【专题】函数思想；综合法；构造法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】（I）依题意知椭圆E的左顶点A（﹣2，0），由|AM|＝|AN|，且MA⊥NA，可知△AMN为等腰直角三角形，设M（a﹣2，a），利用点M在E上，可得3（a﹣2）2+4a2＝12，解得：a，从而可求△AMN的面积；
（II）设直线lAM的方程为：y＝k（x+2），直线lAN的方程为：y（x+2），联立消去y，得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12＝0，利用韦达定理及弦长公式可分别求得|AM||xM﹣（﹣2）|，|AN|，
结合2|AM|＝|AN|，可得，整理后，构造函数f（k）＝4k3﹣6k2+3k﹣8，利用导数法可判断其单调性，再结合零点存在定理即可证得结论成立．
【解答】解：（I）由椭圆E的方程：1知，其左顶点A（﹣2，0），
∵|AM|＝|AN|，且MA⊥NA，∴△AMN为等腰直角三角形，
∴MN⊥x轴，设M的纵坐标为a，则M（a﹣2，a），
∵点M在E上，∴3（a﹣2）2+4a2＝12，整理得：7a2﹣12a＝0，∴a或a＝0（舍），
∴S△AMNa×2a＝a2；
（II）设直线lAM的方程为：y＝k（x+2），直线lAN的方程为：y（x+2），由消去y得：（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12＝0，∴xM﹣2，∴xM＝2，
∴|AM||xM﹣（﹣2）|
∵k＞0，
∴|AN|，
又∵2|AM|＝|AN|，∴，
整理得：4k3﹣6k2+3k﹣8＝0，
设f（k）＝4k3﹣6k2+3k﹣8，
则f′（k）＝12k2﹣12k+3＝3（2k﹣1）2≥0，
∴f（k）＝4k3﹣6k2+3k﹣8为（0，+∞）的增函数，
又f（）＝4×36×3+38＝15260，f（2）＝4×8﹣6×4+3×2﹣8＝6＞0，
∴k＜2．
（II）法二：即m（m＞0），则直线AM的方程为x＝my﹣2，
与椭圆E的方程联立，可得（）y ﹣my＝0，
从而点M的纵坐标为，因此点N的纵坐标为，
因此由2|AM|＝|AN|可得2 ，
整理得8m3﹣3m +6m﹣4＝0，
设函数f（x）＝8x3﹣3x +6x﹣4（x＞0），
则其导函数f′（x）＝24x ﹣6x+6＞0，
因此函数f（x）单调递增，考虑到f（）0，
而f（）0，
因此函数f（x）有唯一零点且该零点在区间（，）上，进而可得m，
也即k＜2．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解，考查构造函数思想与导数法判断函数单调性，再结合零点存在定理确定参数范围，是难题．
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