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10.1.3 古典概型

第十章 概率
1.理解古典概型概念及其概率计算公式.
2.会用列举法、树状图法和表格法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.
试验1 投掷一枚质地均匀硬币，观察落地时朝上的情况。
2种
正面朝上
反面朝上
6种
1点
2点
3点
4点
5点
6点
试验2 抛掷一枚枚质地均匀的骰子，观察它落地时朝上面的点数.
问题：找出下列试验样本点及样本空间的共性.
特点：①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等；
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
概率的定义：对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率．事件A的概率用P(A)表示．
问题1“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是样本点吗？
问题2 若一次试验的结果所包含的样本点的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？
问题3 掷一枚不均匀的骰子，求出现点数为偶数点的概率，这个概率模型还是古典概型吗？
思考与讨论
题型一：古典概型的判断
例1.袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其它球的编号，从中摸出一个球.
(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作是一个样本点概率模型，该模型是不是古典概型？
(2)若按球的颜色为样本点，有多少个样本点？以这些样本点建立概率模型，该模型是不是古典概型？
解：(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号.故共有11种不同的摸法，又因为所有球大小相同.
因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为样本点的概率模型为古典概型.
题型一：古典概型的判断
例1.袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其它球的编号，从中摸出一个球.
(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作是一个样本点概率模型，该模型是不是古典概型？
(2)若按球的颜色为样本点，有多少个样本点？以这些样本点建立概率模型，该模型是不是古典概型？
解：(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个样本点，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”.显然这三个样本点出现的可能性不相等，所以以颜色为样本点的概率模型不是古典概型.
例2 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为I号和II号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.
（1）写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
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1
解：该试验的所有样本点用树状图表示如下：
题型二：古典概型的计算
你还有其他方法将样本空间表示出来吗？
例2 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为I号和II号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.
（1）写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
列 表 法
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
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（1，2）
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（1，4）
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（1，6）
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
（3，5）
（3，6）
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
（2，5）
（2，6）
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
（4，5）
（4，6）
（6，1）
（6，2）
（6，4）
（6，5）
（5，1）
（5，2）
（5，3）
（5，4）
（5，5）
（5，6）
（6，6）
（6，3）
Ⅰ号
Ⅱ号
解：用数字m表示Ⅰ号骰子出现的点数是m，数字n表示Ⅱ号骰子出现的点数是n，则数组(m，n)表示这个试验的一个样本点．
因此，该试验的样本空间Ω={(m，n)|m，n∈{1，2，3，4，5，6}}，其中共有36个样本点．
（2）求下列事件的概率：A=“两个点数之和是5”；B=“两个点数相等”；C=“I号骰子的点数大于II号骰子的点数”.
（2）A={(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)} ，n(A)=4
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（3，4）
（3，5）
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（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
（2，5）
（2，6）
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
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（6，2）
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（5，2）
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（5，4）
（5，5）
（5，6）
（6，6）
（6，3）
Ⅰ号
Ⅱ号
????????=????????????????=????????????=????????
?
（2）求下列事件的概率：A=“两个点数之和是5”；B=“两个点数相等”；C=“I号骰子的点数大于II号骰子的点数”.
【解析】
B={(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}，n(B)=6
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（1，4）
（1，5）
（1，6）
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
（3，5）
（3，6）
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
（2，5）
（2，6）
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
（4，5）
（4，6）
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（6，2）
（6，4）
（6，5）
（5，1）
（5，2）
（5，3）
（5，4）
（5，5）
（5，6）
（6，6）
（6，3）
Ⅰ号
Ⅱ号
????????=????????????????=????????????=????????
?
（2）求下列事件的概率：A=“两个点数之和是5”；B=“两个点数相等”；C=“I号骰子的点数大于II号骰子的点数”.
【解析】因为C={(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)}，n(C)=15，

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（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
（3，5）
（3，6）
（2，1）
（2，2）
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Ⅰ号
Ⅱ号
????????=????????????????=????????????????=????????????
?
在上例中，为什么要把两枚骰子标上记号？如果不给两枚骰子标记号，会出现什么情况?你能解释其中的原因吗?
如果不给两枚骰子标记号，则不能区分所抛掷的两个点数分别属于哪枚骰子，如抛出的结果是1点和2点，有可能第一枚骰子的结果是1点，也有可能第二枚骰子的结果是1点．这样，(1，2)和(2，1)的结果将无法区别．
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（3，2）
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Ⅱ号
Ⅰ号
思考
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（3，3）
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（3，5）
（3，6）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
（2，5）
（2，6）
（4，4）
（4，5）
（4，6）
（5，5）
（5，6）
（6，6）
Ⅱ号
n(Ω1)=21
事件A =“两个点数之和是5” A={(1,4),(2,3)}
n(A)=2
此时，随机事件A=“两个点数之和是5”
发生的概率是多少呢？
为什么同一个事件发生的概率会不同呢？
Ⅰ号
在上例中，为什么要把两枚骰子标上记号？如果不给两枚骰子标记号，会出现什么情况?你能解释其中的原因吗?
思考
????????=????????????
?
????????=????????
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同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的结果？
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（1，2）
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（1，4）
（1，5）
（1，6）
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
（3，5）
（3，6）
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
（2，5）
（2，6）
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
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（6，1）
（6，2）
（6，4）
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（5，2）
（5，3）
（5，4）
（5，5）
（5，6）
（6，6）
（6，3）
Ⅱ号
（4，6）
我们可以发现，36个结果都是等可能的；而合并为21个可能结果时，(1，1)、(1，2)发生的可能性大小不等，这不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式计算概率
Ⅰ号
求古典概型概率的步骤
用适当的符号（字母、数字、数组等）表示试验的可能结果（借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果）；
(1 )先判断是否为古典概型;
(2 )确定样本点的总数n;
(3 )确定事件A包含的样本点个数m;
(4)计算事件A的概率，即P(A)=????????
?
方法归纳：
1.单选题是标准化考试的常用题型，一般是从A、B、C、D四个选项中选择一个正确答案。若考生掌握了考察的内容，就能选择唯一正确的答案。
假设考生不会做，他随机的选择一个答案，问他答对的概率是多少？
解：试验有选A、选B、选C、选D共4种可能结果，试验的样本空间表示为Ω
={A，B，C，D}，则n(Ω)=4
考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，是一个古典概型．
设事件M=“选中正确答案”，因为单选题的正确答案是唯一的，则n(M)=1，
所以，考生随机选择一个答案，答对的概率
????????=????????????????=????????
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例3 从两名男生（记为B1和B2）、两名女生（记为G1和G2）中任意抽取两人．
（1）分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间．
解：设第一次抽取的人记为x1，第二次抽取的人记为x2，则可用数组（x1，x2）表示样本点．
（1）根据相应的抽样方法可知：有放回简单随机抽样的样本空间
Ω1＝｛（B1，B1），（B1，B2），（B1，G1），（B1，G2），（B2，B1），（B2，B2），（B2，G1），（B2，G2），（G1，B1），（G1，B2），（G1，G1），（G1，G2），（G2，B1），（G2，B2），（G2，G1），（G2，G2）｝．
不放回简单随机抽样的样本空间
Ω2＝｛（B1，B2），（B1，G1），（B1，G2），（B2，B1），（B2，G1），（B2，G2），（G1，B1），（G1，B2），（G1，G2），（G2，B1），（G2，B2），（G2，G1）｝．
按性别等比例分层抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间 Ω3＝｛（B1，G1），（B1，G2），（B2，G1），（B2，G2）｝．
解： （2）设事件A＝“抽到两名男生”，则对于有放回简单随机抽样，
A＝｛（B1，B1），（B1，B2），（B2，B1），（B2，B2）｝．
因为抽中样本空间Ω1中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型．
因此，P（A）＝????????????＝0.25．
对于不放回简单随机抽样，A＝｛（B1，B2），（B2，B1）｝．
因为抽中样本空间Ω2中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型．
因此，P（A）＝????????????＝????????．
因为按性别等比例分层抽样，不可能抽到两名男生，所以A＝?，因此P（A）＝0．
?
例3 从两名男生（记为B1和B2）、两名女生（记为G1和G2）中任意抽取两人．
（2）在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率．
三种方法有什么区别？你从中受到什么启发？
不同的抽样方法有什么区别？
同一个事件A= “抽到两名男生” 发生的概率，在按性别等比例分层抽样时最小，在不放回简单随机抽样时次之，在有放回简单随机抽样时最大.
因此，抽样方法不同，则样本空间不同，某个事件发生的概率也可能不同.
所以，改进抽样方法对于提高样本的代表性很重要.
知识归纳：
2.从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）
A．???????? B．???????? C．???????? D．????????
?
C
解：从6张卡片中无放回抽取2张，共有15种情况，其中数字之积为4的倍数的有6种情况. 故选C.
D
3.从分别写有1,2,3,4,5 的5 张卡片中随机抽取1 张，放回后再随机抽取1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
????.???????????? ????.???????? ????.???????????? ????.????????
?
1. 古典概型： (1)有限性; (2)等可能性.
其中，n(A) 和 n(Ω)分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数.
3. 求解古典概型问题的一般思路:
（1）明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号表示试验的可能结果
（2）根据实际问题情境判断样本点的等可能性；
（3）计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率.
2. 古典概型概率计算公式：
????????=????????=????????????????
?
本节课你学到了哪些知识？

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