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10.1.2 事件的关系和运算
1.了解随机事件的并、交与互斥的含义，并能对事件类型作出正确的判断.
2.能结合实例进行随机事件的并、交运算.
想一想：抛掷一枚骰子，记事件A“出现奇数点”，事件B“出现偶数点”，事件A与事件B有什么关系？能否同时发生？
大力出奇迹！
探究：在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，如：
Ci=“点数为i ”，i=1，2，3，4，5，6；
D1=“点数不大于3”； D2=“点数大于3”；
E1=“点数为1或2”; E2=“点数为2或3”;
F=“点数为偶数”； G=“点数为奇数”；
.....
你能用集合的形式表示这些事件，并借助集合与集合的关系和运算，发现这些事件之间的联系吗？
（一）事件的关系或运算
思考1：用集合的形式表示事件C1=“点数为1 ”和事件G=“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，发现这两个事件之间的联系.
用集合的形式表示：事件C1={1}和事件G={1，3，5}
显然，如果事件C1发生，那么事件G一定发生.
用集合表示就是 ，
也就是说，事件G包含事件C1.
特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含B，即B?A且A?B，则称事件A与事件B相等，记作A=B.
?
一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B），记作B?A（或 A?B），也可以用下图表示：
?
1.包含关系
思考2：用集合的形式表示事件D1=“点数不大于3 ”、事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，发现这些事件之间的联系.
用集合的形式表示：D1={1,2,3},E1={1,2}和E2={2,3}
显然，事件E1和事件E2至少有一个发生，相当于事件D1发生.
用集合表示就是{1,2}∪{2,3}={1,2,3}，即E1∪E2=D1
这时我们称事件D1为事件E1和事件E2的并事件.
一般地，若事件A和事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们就称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件），记作 A∪B（或A+B）
（如下图所示：绿色区域和黄色区域表示这个并事件）
B
A
2.并事件
思考3：用集合的形式表示事件E1=“点数为1或2”、事件E2=“点数为2或3”和事件C2=“点数为2”，借助集合与集合的关系和运算，发现这些事件之间的联系.
用集合的形式表示：E1={1,2}，E2={2,3}和C2={2}
显然事件E1和E2同时发生相当于事件C2发生.
用集合表示即{1,2}∩{2,3}={2}
这时我们称事件C2为事件E1和事件E2的交事件.
一般地，若事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，
我们就称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作A∩B（或AB）（如下图所示的蓝色区域）
A
B
3.交事件
思考4：用集合的形式表示事件C3=“点数为3”和事件C4=“点数为4”，借助集合与集合的关系和运算，发现这些事件之间的联系.
用集合的形式表示：事件C3={3}，事件C4={4}
显然，事件C3与事件C4不可能同时发生.
即C3∩C4＝?,
这时我们称事件C3与事件C4互斥.
4.互斥事件
一般地，若事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B=?，我们就称事件A与事件B互斥（或互不相容）（如下图所示）
A
B
思考5：用集合的形式表示事件F=“点数为偶数”和事件G=“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，发现这些事件之间的联系.
在任何一次试验中，事件F与事件G两者只能发生其中之一，而且也必然发生其中之一.
用集合可以表示为{2，4，6}∪{1，3，5}={1，2，3，4，5，6}，即F∪G=Ω，且{2，4，6}∩{1，3，5}=?，即 F∩G=?且F∪G=Ω.
我们称事件F与事件G互为对立事件.事件D1与D2也有这种关系.
5.对立事件
一般地，若事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B=Ω，且A∩B=?,
我们就称事件A与事件B互为对立.
事件A的对立事件记作???? .
（如图所示）
?
A
{FABFCF23-3B69-468F-B69F-88F6DE6A72F2}事件的关系或运算
含义
符号表示
包含
A发生导致B发生
并事件（和事件）
交事件（积事件）
互斥（互不相容）
互为对立
A与B有且仅有一个发生
A与B不能同时发生
A与B同时发生
A与B至少一个发生
A∩B=?
A∪B=Ω，且A∩B=?
事件的关系或运算
类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.
例如，对于三个事件A,B,C,A∪B∪C（或A+B+C）发生当且仅当A,B,C中
至少一个发生，A∩B∩C（或ABC）发生当且仅当A,B,C同时发生，等等.
知识归纳
例1.如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”，B=“乙元件正常”.
（1）写出表示两个元件工作状态的样本空间；
（2）用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；
（3）用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B，并说明它们的含义及关系.
乙
甲
解：(1)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用（x1,x2)表示这个并联电路的状态.以1表示元件正常，0表示元件失效，
则样本空间Ω={（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}
（2）根据题意，可得
（3）A∪B={（0,1），（1,0），（1,1）}
????∩????={（0,0）}
?
A={（0,1），（1,0）}，B={（0,1），（1,1）}
????={（0,0），（1,1）}，????={（0,0），（1,0）}
?
A∪B表示电路正常工作，????∩????表示电路工作不正常，A∪B与????∩????互为对立事件.
?
例2.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N“两个球颜色不同”.
（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
（2）事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？
（3）事件R与G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与R2的交事件与事件R有什么关系？
解：（1）所有的试验结果如右图所示.用数组（x1,x2）表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间
Ω={（1，2），（1，3），（1，4），
（2，1），（2，3），（2，4），
（3，1），（3，2），（3，4），
（4，1），（4，2），（4，3）}
1
2
1
2
1
4
1
2
1
3
1
4
2
1
2
3
2
4
3
1
3
2
3
4
4
1
4
2
4
3
例2.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N“两个球颜色不同”.
（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
事件R1=“第一次摸到红球”，即x1=1或2
于是R1={（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3）}
事件R2=“第二次摸到红球”，即x2=1或2
于是R2={（2，1），（3，1），（4，1），（1，2），（3，2），（4，2）}
同理，于是R={（1，2），（2，1）},G={（3，4），（4，3）}，
M={（1，2)，(2，1），(3，4)，(4，3)}
N={（1，3)，(1，4）,(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}
设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N“两个球颜色不同”.
（2）因为R?R1，所以R1事件包含R事件,
?
因为R∩G=?，所以事件R与事件G互斥,
因为M∪N=Ω，M∩N=?，所以事件M与事件N互为对立事件.
（3）因为R∪G=M，所以事件M是事件R与事件G的并事件，
因为R1∩R2=R，所以事件R是事件R1与事件R2的交事件.
设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N“两个球颜色不同”.
（2）事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？
（3）事件R与G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与R2的交事件与事件R有什么关系？
1.投掷一枚骰子，下列事件：A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{点数小于3}，D＝{点数不大于2}，E＝{点数是3的倍数}．求：(1)A∩B，BC；(2)A∪B，B＋C；(3)D，AC.
解：(1) A∩B＝?，BC＝{出现2点}．(2) A∪B＝{出现1，2，3，4，5或6点}，B＋C＝{出现1，2，4或6点}．(3) D＝{点数小于或等于2}＝{出现1或2点}；AC＝{出现1点}．
2.某人打靶时连续射击2次，下列事件中与事件“至少有一次中靶”的互为对立的是( ).
A.至多一次中靶 B.两次都中靶
C.只有一次中靶 D.两次都不中靶
[变式]某人连续射击3次，则事件“至少击中两次”的对立事件是(　　)
A．恰有一次击中 B．三次都没击中
C．三次都击中 D．至多击中一次
D
D
3.把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )
A.对立事件 B.互斥但不对立事件
C.不可能事件 D.以上都不对
B
事件的关系或运算
含义
符号表示
包含
A发生导致B发生
A?B
并事件(和事件)
A与B至少一个发生
AUB或A+B
交事件(积事件)
A与B同时发生
A∩B或AB
互斥(互不相容)
A与B不能同时发生
A∩B=?
互为对立
A与B有且仅有一个发生
A∩B=?,AUB=Ω
1. 事件的关系与运算
2. 互斥事件与对立事件联系与区别
(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个要发生的互斥事件.因此，对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.
(2)对立事件是对两个事件而言的，而互斥事件是对两个或两个以上事件而言的.

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