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物理
第讲　专题：碰撞的拓展模型
考点一　“滑块—弹簧”模型
1．模型图示
2．模型特点
(1)两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒。
(2)在能量方面，由于弹簧形变会使弹性势能发生变化，系统的总动能将发生变化；若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。
(3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(完全非弹性碰撞拓展模型)。
(4)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(弹性碰撞拓展模型，相当于碰撞结束时)。
例1　(2025·黑龙江省哈尔滨市高三上期中)如图甲所示，一轻弹簧的两端分别与质量为m1和m2的两物块相连接，并且静止在光滑的水平面上。现使m1瞬间获得水平向右的速度3 m/s，以此刻为计时零点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，从图像信息可得(　　)
A．在t1、t3时刻两物块达到共同速度1 m/s，且弹簧都处于压缩状态
B．从t3到t4弹簧由伸长状态逐渐恢复原长
C．两物块的质量之比为m1∶m2＝1∶3
D．在t2时刻两物块的动量大小之比为p1∶p2＝1∶2
例2　(多选)光滑水平面上用轻弹簧相连的A、B两物体，以6 m/s的速度匀速向右运动，质量均为2 kg。在B的正前方静止放置一质量为4 kg的物体C，B、C碰后粘在一起，则在之后的运动过程中(　　)
A．弹簧的最大弹性势能为12 J
B．A、B、C和弹簧组成的系统损失的机械能是36 J
C．物体C的最大速度为4 m/s
D．整个运动过程中A的速度不可能向左
考点二　“滑块—光滑斜(曲)面”模型和悬绳模型
1．模型图示
2．模型特点
(1)最高点：m与M具有共同水平速度v共。系统水平方向动量守恒，mv0＝(M＋m)v共；系统机械能守恒，mv＝(M＋m)v＋mgh，其中h为滑块或小球上升的最大高度，不一定等于圆弧轨道的高度或细绳的长度(完全非弹性碰撞拓展模型)。
(2)最低点：水平方向动量守恒，mv0＝mv1＋Mv2；系统机械能守恒，mv＝mv＋Mv(弹性碰撞拓展模型)。
例3　如图所示，有一质量为m的小球，以速度v0滑上静置于光滑水平面上带有四分之一光滑圆弧轨道的滑块。滑块的质量为3m，小球在上升过程中始终未能冲出圆弧，重力加速度为g，在小球运动过程中，(　　)
A．小球和滑块组成的系统动量守恒
B．小球在圆弧轨道最高点的速度大小为
C．小球在圆弧轨道上能上升的最大高度为
D．小球离开圆弧轨道时圆弧轨道的速度大小为
例4　(多选)如图所示，质量均为m的小球和小环用长为l不可伸长的轻绳相连，小环套在光滑固定的水平细杆上，将小球拉至轻绳与杆夹角为θ时，由静止释放，重力加速度为g，下列判断正确的是(　　)
A．小球和小环组成的系统，动量守恒
B．小球向右摆到的最高点和释放点的高度相同
C．小球运动到最低点时，速度为
D．小球运动到最低点时，轻绳对环的拉力为mg(2－sinθ)
考点三　“滑块—木板”模型和“子弹打木块”模型
1．模型图示
2．模型特点
(1)M与m相互作用的过程中，M的速度一直增大，m的速度一直减小，系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对路程的乘积等于系统减少的机械能。
(2)若滑块未从木板上滑下或子弹未打穿木块，当两者速度相等时M的速度最大，两者的相对路程取得极值(完全非弹性碰撞拓展模型)。
(3)该类问题既可以从动量、能量角度求解，也可以从力和运动的角度借助图像求解。
例5　如图所示，光滑水平面上有质量为m且足够长的木板，木板上放一质量也为m、可视为质点的小木块。现分别使木块获得向右的水平初速度v0和2v0，两次运动均在木板上留下划痕，则两次划痕长度之比为(　　)
A．1∶4 B．1∶4
C．1∶8 D．1∶12
例6　如图所示，在光滑的水平桌面上静止放置一个质量为980 g的长方形匀质木块，现有一质量为20 g的子弹以大小为300 m/s的水平速度沿木块的中心轴线射向木块，最终留在木块中没有射出，和木块一起以共同的速度运动。已知木块沿子弹运动方向的长度为10 cm，子弹打进木块的深度为6 cm。设木块对子弹的阻力保持不变。
(1)求子弹和木块的共同速度以及它们在此过程中所产生的内能；
(2)若子弹是以大小为400 m/s的水平速度从同一方向水平射向该木块，则在射中木块后能否射穿该木块？
课时作业
[A组　基础巩固练]
1．(2024·辽宁省鞍山市高三下二模)(多选)如图所示，光滑的半圆槽质量为M，半径为R，静止在光滑的水平地面上，一质量为m的小球(视为质点)恰好能沿槽右边缘的切线方向释放滑入槽内，小球沿槽内壁运动直至槽左边缘。重力加速度大小为g。关于小球和半圆槽的运动，下列说法正确的是(　　)
A．小球和半圆槽组成的系统，动量守恒，机械能守恒
B．小球和半圆槽组成的系统，动量不守恒，机械能守恒
C．小球滑到底端时的速度大小等于
D．小球滑到底端时的速度小于
2．如图所示，在光滑的水平面上，有两个质量都是m的小车A和B，两车之间用轻质弹簧相连，它们以共同的速度v0向右运动，另有一质量为m的粘性物体，从高处自由落下，正好落在A车上，并与之粘合在一起，则这以后的运动过程中，弹簧获得的最大弹性势能为(　　)
A．mv B．mv
C．mv D．mv
3．(多选)矩形滑块由不同材料的上、下两层粘合在一起组成，将其放在光滑的水平面上，质量为m的子弹以速度v0水平射向滑块，若射击下层，子弹刚好不射出，若射击上层，则子弹刚好能射穿一半厚度，如图所示，则上述两种情况相比较，下列说法正确的是(　　)
A．子弹的末速度大小相等
B．系统产生的热量一样多
C．子弹对滑块做的功相同
D．子弹和滑块间的水平作用力一样大
4．(多选)如图所示，水平面内有两个光滑平行导轨，导轨足够长，其间距为L。质量分别为m、2m的环A、B(可视为质点)套在导轨上，两环之间连接一轻弹簧，轻弹簧原长为L。开始时弹簧与杆垂直，两环均静止。某时刻，给环B一水平向右的瞬时速度v，下列说法正确的是(　　)
A．A、B和弹簧组成的系统动量不守恒、机械能守恒
B．以水平向右为正方向，若A的速度为vA＝，则B的速度为vB＝
C．以水平向右为正方向，若A的速度为vA＝，则弹簧与导轨之间的夹角为30°
D．若弹簧恢复原长时，环B速度为水平向右的2v，则初始状态时弹簧的弹性势能Ep＝5mv2
5．(多选)如图甲所示，一小车静止在光滑水平地面上，上表面PQ是以O为圆心、半径为R的四分之一光滑圆弧轨道，左端P与平台等高且平滑对接(不粘连)。一小球以某一水平速度冲上小车。测得在水平方向上小球与小车的速度大小分别为v1、v2，作出v2 v1图像，如图乙所示。已知P点距地面高h＝，重力加速度为g，则(　　)
A．小车质量是小球质量的2倍
B．小球上升到最高点时的速度为
C．小球上升的最大高度为
D．小球落地时与小车左端P点的水平距离为R
6．(2022·河北高考)如图，光滑水平面上有两个等高的滑板A和B，质量分别为1 kg和2 kg，A右端和B左端分别放置物块C、D，物块质量均为1 kg，A和C以相同速度v0＝10 m/s向右运动，B和D以相同速度kv0向左运动，在某时刻发生碰撞，作用时间极短，碰撞后C与D粘在一起形成一个新物块，A与B粘在一起形成一个新滑板，物块与滑板之间的动摩擦因数均为μ＝0．1。重力加速度大小取g＝10 m/s2。
(1)若0(2)若k＝0．5，从碰撞后到新物块与新滑板相对静止时，求两者相对位移的大小。
[B组　综合提升练]
7．(人教版选择性必修第一册·第一章[复习与提高]B组T8改编)如图所示，质量均为m的木块A和B，并排放在光滑水平面上，A上固定一竖直轻杆，轻杆上端的O点系一长为L的细线，细线另一端系一质量为m0的球C，现将球C拉起使细线水平伸直，并由静止释放球C，则下列说法不正确的是(　　)
A．A、B两木块分离时，A、B的速度大小均为
B．A、B两木块分离时，C的速度大小为2
C．球C由静止释放到最低点的过程中，A对B的弹力的冲量大小为2m0
D．球C由静止释放到最低点的过程中，木块A移动的距离为
8．(2024·安徽高考)如图所示，一实验小车静止在光滑水平面上，其上表面有粗糙水平轨道与光滑四分之一圆弧轨道。圆弧轨道与水平轨道相切于圆弧轨道最低点，一物块静止于小车最左端，一小球用不可伸长的轻质细线悬挂于O点正下方，并轻靠在物块左侧。现将细线拉直到水平位置，由静止释放小球，小球运动到最低点时与物块发生弹性碰撞。碰撞后，物块沿着轨道运动。已知细线长L＝1．25 m，小球质量m＝0．20 kg，物块、小车质量均为M＝0．30 kg。小车上的水平轨道长s＝1．0 m，圆弧轨道半径R＝0．15 m。小球、物块均可视为质点。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。
(1)求小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小；
(2)求小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小；
(3)为使物块能进入圆弧轨道，且在上升阶段不脱离小车，求物块与水平轨道间的动摩擦因数μ的取值范围。
[C组　拔尖培优练]
9．(2025·河北省衡水市高三上9月月考)(多选)如图，有n个相同的物块紧密排列放在光滑水平面上(n足够大)，每个物块质量为m，一质量为m0的子弹(可以看成质点)以某一初速度从左端水平射入物块中，刚好能穿过第一个物块。设物块给子弹的阻力大小不变。忽略空气阻力的影响，下列说法正确的是(　　)
A．子弹和物块组成的系统动量守恒，机械能守恒
B．若只增加物块个数，子弹可能穿过更多的物块
C．若只增加物块个数，子弹不能穿过第一个物块
D．若只改变物块个数，子弹能穿过的物块个数不超过
（答案及解析）
例1　(2025·黑龙江省哈尔滨市高三上期中)如图甲所示，一轻弹簧的两端分别与质量为m1和m2的两物块相连接，并且静止在光滑的水平面上。现使m1瞬间获得水平向右的速度3 m/s，以此刻为计时零点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，从图像信息可得(　　)
A．在t1、t3时刻两物块达到共同速度1 m/s，且弹簧都处于压缩状态
B．从t3到t4弹簧由伸长状态逐渐恢复原长
C．两物块的质量之比为m1∶m2＝1∶3
D．在t2时刻两物块的动量大小之比为p1∶p2＝1∶2
[答案]　B
[解析]　由题图乙可知，两物块的运动过程如下：开始时m1逐渐减速，m2逐渐加速，弹簧被压缩，t1时刻二者达到共同速度1 m/s，系统动能最小，弹性势能最大，弹簧被压缩至最短，然后弹簧逐渐恢复原长，m2继续加速，m1先减速为零，然后反向加速，t2时刻，弹簧恢复原长状态，且弹簧的长度将继续增大，t3时刻，两物块再次达到共同速度1 m/s，系统动能最小，弹簧被伸长至最长，之后弹簧逐渐恢复原长，t4时刻与0时刻状态相同，即从t3到t4过程中弹簧由伸长状态逐渐恢复原长，故A错误，B正确；从0时刻到t1时刻，由动量守恒定律有m1v0＝(m1＋m2)v1，将v0＝3 m/s、v1＝1 m/s代入得m1∶m2＝1∶2，故C错误；在t2时刻，m1的速度为v2＝－1 m/s，m2的速度为v2′＝2 m/s，又m1∶m2＝1∶2，则动量大小之比为p1∶p2＝m1|v2|∶m2|v2′|＝1∶4，故D错误。
例2　(多选)光滑水平面上用轻弹簧相连的A、B两物体，以6 m/s的速度匀速向右运动，质量均为2 kg。在B的正前方静止放置一质量为4 kg的物体C，B、C碰后粘在一起，则在之后的运动过程中(　　)
A．弹簧的最大弹性势能为12 J
B．A、B、C和弹簧组成的系统损失的机械能是36 J
C．物体C的最大速度为4 m/s
D．整个运动过程中A的速度不可能向左
[答案]　ACD
[解析]　B、C碰撞瞬间，B、C组成的系统动量守恒，选水平向右为正方向，由动量守恒定律得：mBv0＝(mB＋mC)v，代入数据解得，碰后瞬间B、C的速度v＝2 m/s；三个物体速度相同时弹簧的弹性势能最大，由动量守恒定律得：mAv0＋mBv0＝(mA＋mB＋mC)v共，代入数据解得：v共＝3 m/s，设弹簧的最大弹性势能为Ep，由机械能守恒定律得：Ep＝mAv＋(mB＋mC)v2－(mA＋mB＋mC)v，代入数据解得：Ep＝12 J，A、B、C和弹簧组成的系统损失的机械能ΔE＝mBv－(mB＋mC)v2＝24 J，故A正确，B错误；当弹簧由压缩状态恢复原长时，C的速度最大，设此时B、C的速度为v1，A的速度为v2，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有mAv0＋(mB＋mC)v＝mAv2＋(mB＋mC)v1，mAv＋(mB＋mC)v2＝mAv＋(mB＋mC)v，代入数据解得v1＝4 m/s，v2＝0(另一组解v1＝2 m/s，v2＝6 m/s不符合题意，故舍去)，故C正确；由于A、B、C系统的总动量守恒，总动量p＝(mA＋mB)v0＝24 kg·m/s，若A的速度向左，则B、C的合动量一定向右且大于p，则B、C的速度向右且一定大于＝4 m/s，与C项分析冲突，所以A的速度不可能向左，故D正确。
考点二　“滑块—光滑斜(曲)面”模型和悬绳模型
1．模型图示
2．模型特点
(1)最高点：m与M具有共同水平速度v共。系统水平方向动量守恒，mv0＝(M＋m)v共；系统机械能守恒，mv＝(M＋m)v＋mgh，其中h为滑块或小球上升的最大高度，不一定等于圆弧轨道的高度或细绳的长度(完全非弹性碰撞拓展模型)。
(2)最低点：水平方向动量守恒，mv0＝mv1＋Mv2；系统机械能守恒，mv＝mv＋Mv(弹性碰撞拓展模型)。
例3　如图所示，有一质量为m的小球，以速度v0滑上静置于光滑水平面上带有四分之一光滑圆弧轨道的滑块。滑块的质量为3m，小球在上升过程中始终未能冲出圆弧，重力加速度为g，在小球运动过程中，(　　)
A．小球和滑块组成的系统动量守恒
B．小球在圆弧轨道最高点的速度大小为
C．小球在圆弧轨道上能上升的最大高度为
D．小球离开圆弧轨道时圆弧轨道的速度大小为
[答案]　C
[解析]　在小球运动过程中，小球和滑块组成的系统在水平方向上所受合力为零，水平方向动量守恒，小球上升和下落过程，竖直方向的分速度变化，则系统在竖直方向上动量不守恒，则小球和滑块组成的系统动量不守恒，故A错误；小球在圆弧轨道上升到最高点时，小球与滑块速度相同，设为v，规定v0的方向为正方向，水平方向由动量守恒定律，有mv0＝(m＋3m)v，解得v＝，故B错误；根据机械能守恒定律得mv＝×4mv2＋mghmax，解得小球在圆弧轨道上能上升的最大高度为hmax＝，故C正确；小球离开圆弧轨道时，设小球和圆弧轨道的速度分别为v1和v2，根据动量守恒定律有mv0＝mv1＋3mv2，根据机械能守恒定律有mv＝mv＋×3mv，联立以上两式可得v1＝－，v2＝，故D错误。
例4　(多选)如图所示，质量均为m的小球和小环用长为l不可伸长的轻绳相连，小环套在光滑固定的水平细杆上，将小球拉至轻绳与杆夹角为θ时，由静止释放，重力加速度为g，下列判断正确的是(　　)
A．小球和小环组成的系统，动量守恒
B．小球向右摆到的最高点和释放点的高度相同
C．小球运动到最低点时，速度为
D．小球运动到最低点时，轻绳对环的拉力为mg(2－sinθ)
[答案]　BC
[解析]　小球摆动的过程，有竖直方向的加速度，小球和小环组成的系统竖直方向上所受合力不为零，则系统动量不守恒，故A错误；根据题意可知，系统在水平方向上所受合力为零，则水平方向上动量守恒，小球运动到最高点时，竖直方向上速度为零，水平方向速度与小环相等，由动量守恒定律知，小球水平方向速度也为零，则由机械能守恒定律知，此时小球的重力势能与释放点的相等，则高度也相同，故B正确；小球运动到最低点时，设小球速度的大小为v1，小环速度的大小为v2，由动量守恒定律有mv1－mv2＝0，由机械能守恒定律有mgl(1－sinθ)＝mv＋mv，解得v1＝v2＝，此时小球相对于小环的速度大小为v＝v1＋v2＝2，对小球，由牛顿第二定律有F－mg＝m，解得F＝mg(5－4sinθ)，则此时轻绳对环的拉力为mg(5－4sinθ)，故C正确，D错误。
考点三　“滑块—木板”模型和“子弹打木块”模型
1．模型图示
2．模型特点
(1)M与m相互作用的过程中，M的速度一直增大，m的速度一直减小，系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对路程的乘积等于系统减少的机械能。
(2)若滑块未从木板上滑下或子弹未打穿木块，当两者速度相等时M的速度最大，两者的相对路程取得极值(完全非弹性碰撞拓展模型)。
(3)该类问题既可以从动量、能量角度求解，也可以从力和运动的角度借助图像求解。
例5　如图所示，光滑水平面上有质量为m且足够长的木板，木板上放一质量也为m、可视为质点的小木块。现分别使木块获得向右的水平初速度v0和2v0，两次运动均在木板上留下划痕，则两次划痕长度之比为(　　)
A．1∶4 B．1∶4
C．1∶8 D．1∶12
[答案]　A
[解析]　木块从开始运动到相对木板静止的过程中，木块和木板组成的系统水平方向动量守恒，取水平向右为正方向，当木块的初速度为v0时，有mv0＝(m＋m)v，解得v＝；根据能量守恒定律有μmgs＝mv－(m＋m)v2，解得划痕长度s＝；同理，当木块的初速度为2v0时，则划痕长度s′＝，故两次划痕长度之比为s∶s′＝1∶4，故A正确，B、C、D错误。
例6　如图所示，在光滑的水平桌面上静止放置一个质量为980 g的长方形匀质木块，现有一质量为20 g的子弹以大小为300 m/s的水平速度沿木块的中心轴线射向木块，最终留在木块中没有射出，和木块一起以共同的速度运动。已知木块沿子弹运动方向的长度为10 cm，子弹打进木块的深度为6 cm。设木块对子弹的阻力保持不变。
(1)求子弹和木块的共同速度以及它们在此过程中所产生的内能；
(2)若子弹是以大小为400 m/s的水平速度从同一方向水平射向该木块，则在射中木块后能否射穿该木块？
[答案]　(1)6 m/s　882 J　(2)能
[解析]　(1)设子弹的质量为m，木块的质量为M，子弹的初速度大小为v0，子弹射入木块后与木块的共同速度大小为v，对子弹和木块组成的系统，由动量守恒定律得mv0＝(M＋m)v
代入数据解得v＝6 m/s
它们在此过程中所产生的内能
Q＝mv－(M＋m)v2
代入数据解得Q＝882 J。
(2)假设子弹以v0′＝400 m/s的速度入射时没有射穿木块，子弹射入木块后与木块的共同速度大小为v′，则对子弹和木块组成的系统，由动量守恒定律有mv0′＝(M＋m)v′
此过程产生的内能为
Q′＝mv0′2－(M＋m)v′2
设木块对子弹的阻力大小为F阻，两个过程子弹打入木块的深度分别为d、d′，则有Q＝F阻d
Q′＝F阻d′
联立并代入数据解得d′＝ cm
因为d′>10 cm，所以假设不成立，子弹能射穿该木块。
课时作业
[A组　基础巩固练]
1．(2024·辽宁省鞍山市高三下二模)(多选)如图所示，光滑的半圆槽质量为M，半径为R，静止在光滑的水平地面上，一质量为m的小球(视为质点)恰好能沿槽右边缘的切线方向释放滑入槽内，小球沿槽内壁运动直至槽左边缘。重力加速度大小为g。关于小球和半圆槽的运动，下列说法正确的是(　　)
A．小球和半圆槽组成的系统，动量守恒，机械能守恒
B．小球和半圆槽组成的系统，动量不守恒，机械能守恒
C．小球滑到底端时的速度大小等于
D．小球滑到底端时的速度小于
答案：BD
解析：根据题意可知，小球滑入槽中后，在竖直方向上具有加速度，小球和半圆槽组成的系统在竖直方向上受力不平衡，所以动量不守恒，但在水平方向上，系统不受外力作用，故水平方向上系统动量守恒，整个过程中，只有重力对系统做功，故系统的机械能守恒，故A错误，B正确；当小球滑到底端时，设小球的速度大小为v1，半圆槽的速度大小为v2，对小球和半圆槽组成的系统，由机械能守恒定律有mgR＝mv＋Mv，由水平方向动量守恒有mv1－Mv2＝0，解得v1＝<，故C错误，D正确。
2．如图所示，在光滑的水平面上，有两个质量都是m的小车A和B，两车之间用轻质弹簧相连，它们以共同的速度v0向右运动，另有一质量为m的粘性物体，从高处自由落下，正好落在A车上，并与之粘合在一起，则这以后的运动过程中，弹簧获得的最大弹性势能为(　　)
A．mv B．mv
C．mv D．mv
答案：C
解析：粘性物体和A相互作用的过程，水平方向动量守恒，取向右为正方向，由动量守恒定律有mv0＝2mv1，解得v1＝。之后三个物体组成的系统动量守恒，当B车与A车速度相等时，弹簧的弹性势能最大，根据动量守恒定律得mv0＋2mv1＝3mv2，解得v2＝v0，根据能量守恒定律，可得弹簧的最大弹性势能为Ep＝mv＋×2mv－×3mv＝mv，故C正确，A、B、D错误。
3．(多选)矩形滑块由不同材料的上、下两层粘合在一起组成，将其放在光滑的水平面上，质量为m的子弹以速度v0水平射向滑块，若射击下层，子弹刚好不射出，若射击上层，则子弹刚好能射穿一半厚度，如图所示，则上述两种情况相比较，下列说法正确的是(　　)
A．子弹的末速度大小相等
B．系统产生的热量一样多
C．子弹对滑块做的功相同
D．子弹和滑块间的水平作用力一样大
答案：ABC
解析：以v0的方向为正方向，子弹射入滑块的过程，由动量守恒定律得mv0＝(m＋M)v，解得共同速度v＝，可知两种情况下子弹的末速度是相同的，A正确；子弹射入下层或上层滑块的过程中，两种情况下子弹及滑块初、末状态均相同，系统产生的热量都等于系统减少的动能，故系统产生的热量一样多，B正确；根据动能定理，滑块动能的增加量等于子弹对滑块做的功，所以两次子弹对滑块做的功一样多，C正确；由Q＝Ff·s相对知，由于s相对不相等，所以两种情况下子弹和滑块间的水平作用力Ff不一样大，D错误。
4．(多选)如图所示，水平面内有两个光滑平行导轨，导轨足够长，其间距为L。质量分别为m、2m的环A、B(可视为质点)套在导轨上，两环之间连接一轻弹簧，轻弹簧原长为L。开始时弹簧与杆垂直，两环均静止。某时刻，给环B一水平向右的瞬时速度v，下列说法正确的是(　　)
A．A、B和弹簧组成的系统动量不守恒、机械能守恒
B．以水平向右为正方向，若A的速度为vA＝，则B的速度为vB＝
C．以水平向右为正方向，若A的速度为vA＝，则弹簧与导轨之间的夹角为30°
D．若弹簧恢复原长时，环B速度为水平向右的2v，则初始状态时弹簧的弹性势能Ep＝5mv2
答案：BCD
解析：平行导轨光滑，对A、B和弹簧组成的系统受力分析，该系统沿杆方向不受外力，垂直杆方向A、B各自均始终受力平衡，故系统所受的合力为0，系统动量守恒，系统内除弹簧的弹力，没有其他力做功，系统机械能守恒，故A错误；以水平向右为正方向，若vA＝，对A、B和弹簧组成的系统分析，由动量守恒定律可得2mv＝mvA＋2mvB，解得vB＝，设初始弹簧的弹性势能为Ep，A的速度为vA＝时弹簧的弹性势能为Ep′，根据机械能守恒定律可得×2mv2＋Ep＝×2mv＋mv＋Ep′，解得Ep＝Ep′，开始时弹簧被压缩了L－L＝，而vA＝时弹性势能与初始弹性势能相等，故vA＝时弹簧伸长量为，此时弹簧长度为L′＝L＋L＝2L＝，故vA＝时弹簧与导轨间夹角为30°，故B、C正确；当环B速度为水平向右的2v时，根据动量守恒定律可得2mv＝mvA′＋2m·2v，解得vA′＝－2v，即A的速度大小为2v，方向向左，由机械能守恒定律得×2mv2＋Ep＝×2m(2v)2＋m(－2v)2，解得Ep＝5mv2，故D正确。
5．(多选)如图甲所示，一小车静止在光滑水平地面上，上表面PQ是以O为圆心、半径为R的四分之一光滑圆弧轨道，左端P与平台等高且平滑对接(不粘连)。一小球以某一水平速度冲上小车。测得在水平方向上小球与小车的速度大小分别为v1、v2，作出v2 v1图像，如图乙所示。已知P点距地面高h＝，重力加速度为g，则(　　)
A．小车质量是小球质量的2倍
B．小球上升到最高点时的速度为
C．小球上升的最大高度为
D．小球落地时与小车左端P点的水平距离为R
答案：BCD
解析：设小球质量为m，小车质量为M，小球和小车组成的系统在水平方向所受合力为零，所以水平方向动量守恒，由图乙数据可得，v2＝0时总动量p1＝m，v1＝0时总动量p2＝M，又p1＝p2，解得m＝M，故A错误；小球上升到最高点时与小车具有共同速度，设为v共，则m＝(m＋M)v共，解得v共＝，故B正确；设小球上升的最大高度为H，对小球、小车组成的系统，根据机械能守恒定律有m()2＝(m＋M)v＋mgH，解得H＝，故C正确；小球滑回至P点时，设小球和小车的速度分别为v球和v车，根据动量守恒定律和机械能守恒定律分别有m＝mv球＋Mv车，m()2＝mv＋Mv，解得v球＝0，v车＝，则小球离开小车后做自由落体运动，设运动时间为t，有h＝gt2，t时间内小车做匀速直线运动，所以小球落地时与小车左端P点的水平距离为x＝v车t＝R，故D正确。
6．(2022·河北高考)如图，光滑水平面上有两个等高的滑板A和B，质量分别为1 kg和2 kg，A右端和B左端分别放置物块C、D，物块质量均为1 kg，A和C以相同速度v0＝10 m/s向右运动，B和D以相同速度kv0向左运动，在某时刻发生碰撞，作用时间极短，碰撞后C与D粘在一起形成一个新物块，A与B粘在一起形成一个新滑板，物块与滑板之间的动摩擦因数均为μ＝0．1。重力加速度大小取g＝10 m/s2。
(1)若0(2)若k＝0．5，从碰撞后到新物块与新滑板相对静止时，求两者相对位移的大小。
答案：(1)5(1－k) m/s　 m/s　方向均水平向右　
(2)1．875 m
解析：(1)物块C、D碰撞过程中动量守恒，设碰撞后物块C、D形成的新物块的速度为v物，C、D的质量均为m，以水平向右为正方向，则有mv0－m·kv0＝(m＋m)v物
解得v物＝v0＝5(1－k) m/s>0
可知碰撞后瞬间新物块的速度大小为5(1－k) m/s，方向水平向右
滑板A、B碰撞过程中动量守恒，设碰撞后滑板A、B形成的新滑板的速度为v滑，滑板A和B质量分别为mA、mB，以水平向右为正方向，则有mAv0－mB·kv0＝(mA＋mB)v滑
解得v滑＝v0＝ m/s>0
可知碰撞后瞬间新滑板的速度大小为 m/s，方向也水平向右。
(2)若k＝0．5，可知碰撞后瞬间新物块的速度为v物＝5(1－k) m/s＝2．5 m/s
新滑板的速度为v滑＝ m/s＝0
分析可知，从碰撞后到二者相对静止，新物块向右做匀减速运动，新滑板向右做匀加速运动，设相对静止时二者的共同速度为v共，根据动量守恒定律可得2mv物＝(2m＋mA＋mB)v共
解得v共＝1 m/s
根据功能关系及能量守恒定律可得
μ×2mgx相＝×2mv－(2m＋mA＋mB)v
可解得两者相对位移的大小为x相＝1．875 m。
[B组　综合提升练]
7．(人教版选择性必修第一册·第一章[复习与提高]B组T8改编)如图所示，质量均为m的木块A和B，并排放在光滑水平面上，A上固定一竖直轻杆，轻杆上端的O点系一长为L的细线，细线另一端系一质量为m0的球C，现将球C拉起使细线水平伸直，并由静止释放球C，则下列说法不正确的是(　　)
A．A、B两木块分离时，A、B的速度大小均为
B．A、B两木块分离时，C的速度大小为2
C．球C由静止释放到最低点的过程中，A对B的弹力的冲量大小为2m0
D．球C由静止释放到最低点的过程中，木块A移动的距离为
答案：C
解析：球C下落到最低点前，A、B受到细线的作用力斜向右下方，向右做加速运动，球C越过最低点后A受到细线的作用力斜向左下方，开始向右做减速运动，则球C下落到最低点时，A、B开始分离，将A、B、C视为一个系统，从释放球C至球C下落至最低点的过程，根据机械能守恒定律有m0gL＝m0v＋×2mv，水平方向动量守恒，有m0vC＝2mvAB，联立解得A、B分离时C的速度大小vC＝2，A、B的速度大小vAB＝，故A、B正确；球C由静止释放到最低点的过程中，选B为研究对象，由动量定理得IAB＝mvAB－0＝m0，故C错误；球C由静止释放到最低点的过程中，系统水平方向动量守恒，设C对地水平向左的位移大小为x1，A、B对地水平位移大小为x2，则有m0x1＝2mx2，又x1＋x2＝L，可解得x2＝，故D正确。本题选说法不正确的，故选C。
8．(2024·安徽高考)如图所示，一实验小车静止在光滑水平面上，其上表面有粗糙水平轨道与光滑四分之一圆弧轨道。圆弧轨道与水平轨道相切于圆弧轨道最低点，一物块静止于小车最左端，一小球用不可伸长的轻质细线悬挂于O点正下方，并轻靠在物块左侧。现将细线拉直到水平位置，由静止释放小球，小球运动到最低点时与物块发生弹性碰撞。碰撞后，物块沿着轨道运动。已知细线长L＝1．25 m，小球质量m＝0．20 kg，物块、小车质量均为M＝0．30 kg。小车上的水平轨道长s＝1．0 m，圆弧轨道半径R＝0．15 m。小球、物块均可视为质点。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。
(1)求小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小；
(2)求小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小；
(3)为使物块能进入圆弧轨道，且在上升阶段不脱离小车，求物块与水平轨道间的动摩擦因数μ的取值范围。
答案：(1)6 N　(2)4 m/s　(3)0．25≤μ<0．4
解析：(1)设小球运动到最低点与物块碰撞前的速度大小为v0，此时细线上的拉力大小为FT，对小球摆动到最低点的过程，由动能定理有
mgL＝mv－0
在最低点，对小球受力分析，由牛顿第二定律有
FT－mg＝m
联立并代入数据，解得FT＝6 N。
(2)设碰撞后瞬间小球的速度为v1，物块的速度为v2，小球与物块的碰撞为弹性碰撞，以水平向右为正方向，由动量守恒定律得
mv0＝mv1＋Mv2
由机械能守恒定律得mv＝mv＋Mv
联立并代入数据，解得v2＝4 m/s
即碰撞后瞬间，物块速度的大小为4 m/s，方向水平向右。
(3)若物块恰好运动到圆弧轨道的最低点时两者共速，此时动摩擦因数μ有最大值μmax，设共同速度的大小为v3，以水平向右为正方向，对物块与小车整体，由动量守恒定律有
Mv2＝2Mv3
由能量守恒定律有
Mv＝×2Mv＋μmaxMgs
联立并代入数据，解得μmax＝0．4
若物块恰好运动到与圆弧轨道圆心等高的位置时两者共速，此时动摩擦因数μ有最小值μmin，设共同速度大小为v4，以水平向右为正方向，对物块与小车整体，由水平方向动量守恒有
Mv2＝2Mv4
由能量守恒定律有
Mv＝×2Mv＋μminMgs＋MgR
联立并代入数据，解得μmin＝0．25
综上所述，物块与水平轨道间的动摩擦因数μ的取值范围为0．25≤μ<0．4。
[C组　拔尖培优练]
9．(2025·河北省衡水市高三上9月月考)(多选)如图，有n个相同的物块紧密排列放在光滑水平面上(n足够大)，每个物块质量为m，一质量为m0的子弹(可以看成质点)以某一初速度从左端水平射入物块中，刚好能穿过第一个物块。设物块给子弹的阻力大小不变。忽略空气阻力的影响，下列说法正确的是(　　)
A．子弹和物块组成的系统动量守恒，机械能守恒
B．若只增加物块个数，子弹可能穿过更多的物块
C．若只增加物块个数，子弹不能穿过第一个物块
D．若只改变物块个数，子弹能穿过的物块个数不超过
答案：BD
解析：子弹射入物块的过程中，二者间的摩擦阻力做功，产生热量，子弹和物块组成的系统机械能不守恒，故A错误；由于物块给子弹的阻力大小不变，所以子弹每穿过一个物块产生的热量相同且为定值，设为Q，设子弹射入紧密排列的n个物块后，与物块相对静止时损失的机械能为E损，由动量守恒定律有m0v0＝(nm＋m0)v共，由能量守恒定律有E损＝m0v－(nm＋m0)v，解得E损＝·m0v＝·m0v，由题意可知Q＝E损，若只增加物块个数n，则E损将增大，将大于Q，所以子弹能穿过第一个物块，可能穿过第二个物块，故B正确，C错误；若只改变物块个数，子弹穿过物块时损失的机械能不超过E损max＝m0v，子弹能穿过的物块个数不超过kmax＝＝＝1＋，故D正确。
13(共50张PPT)
第七章　动量守恒定律及其应用
第4讲　专题：碰撞的拓展模型
目录
1
2
考点一　“滑块—弹簧”模型
考点二　“滑块—光滑斜(曲)面”模型和悬绳模型
考点三 “滑块—木板”模型和“子弹打木块”模型
课时作业
3
4
考点一　“滑块—弹簧”模型
1．模型图示
2．模型特点
(1)两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒。
(2)在能量方面，由于弹簧形变会使弹性势能发生变化，系统的总动能将发生变化；若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。
(3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(完全非弹性碰撞拓展模型)。
(4)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(弹性碰撞拓展模型，相当于碰撞结束时)。
例1　(2025·黑龙江省哈尔滨市高三上期中)如图甲所示，一轻弹簧的两端分别与质量为m1和m2的两物块相连接，并且静止在光滑的水平面上。现使m1瞬间获得水平向右的速度3 m/s，以此刻为计时零点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，从图像信息可得(　　)
A．在t1、t3时刻两物块达到共同速度1 m/s，
且弹簧都处于压缩状态
B．从t3到t4弹簧由伸长状态逐渐恢复原长
C．两物块的质量之比为m1∶m2＝1∶3
D．在t2时刻两物块的动量大小之比为p1∶p2＝1∶2
解析　由题图乙可知，两物块的运动过程如下：开始时m1逐渐减速，m2逐渐加速，弹簧被压缩，t1时刻二者达到共同速度1 m/s，系统动能最小，弹性势能最大，弹簧被压缩至最短，然后弹簧逐渐恢复原长，m2继续加速，m1先减速为零，然后反向加速，t2时刻，弹簧恢复原长状态，且弹簧的长度将继续增大，t3时刻，两物块再次达到共同速度1 m/s，系统动能最小，弹簧被伸长至最长，之后弹簧逐渐恢复原长，t4时刻与0时刻状态相同，即从t3到t4过程中弹簧由伸长状态逐渐恢复原长，故A错误，B正确；从0时刻到t1时刻，由动量守恒定律有m1v0＝(m1＋m2)v1，将v0＝3 m/s、v1＝1 m/s代入得m1∶m2＝1∶2，故C错误；在t2时刻，m1的速度为v2＝－1 m/s，m2的速度为v2′＝2 m/s，又m1∶m2＝1∶2，则动量大小之比为p1∶p2＝m1|v2|∶m2|v2′|＝1∶4，故D错误。
例2　(多选)光滑水平面上用轻弹簧相连的A、B两物体，以6 m/s的速度匀速向右运动，质量均为2 kg。在B的正前方静止放置一质量为4 kg的物体C，B、C碰后粘在一起，则在之后的运动过程中(　　)
A．弹簧的最大弹性势能为12 J
B．A、B、C和弹簧组成的系统损失的机械能是36 J
C．物体C的最大速度为4 m/s
D．整个运动过程中A的速度不可能向左
考点二　“滑块—光滑斜(曲)面”模型和悬绳模型
1．模型图示
考点三　“滑块—木板”模型和“子弹打木块”
模型
1．模型图示
2．模型特点
(1)M与m相互作用的过程中，M的速度一直增大，m的速度一直减小，系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对路程的乘积等于系统减少的机械能。
(2)若滑块未从木板上滑下或子弹未打穿木块，当两者速度相等时M的速度最大，两者的相对路程取得极值(完全非弹性碰撞拓展模型)。
(3)该类问题既可以从动量、能量角度求解，也可以从力和运动的角度借助图像求解。
例6　如图所示，在光滑的水平桌面上静止放置一个质量为980 g的长方形匀质木块，现有一质量为20 g的子弹以大小为300 m/s的水平速度沿木块的中心轴线射向木块，最终留在木块中没有射出，和木块一起以共同的速度运动。已知木块沿子弹运动方向的长度为10 cm，子弹打进木块的深度为6 cm。设木块对子弹的阻力保持不变。
(1)求子弹和木块的共同速度以及它们在此过程中所产生的内能；
(2)若子弹是以大小为400 m/s的水平速度从同一方向水平射向该木块，则在射中木块后能否射穿该木块？
答案　(1)6 m/s　882 J　(2)能
课时作业
3．(多选)矩形滑块由不同材料的上、下两层粘合在一起组成，将其放在光滑的水平面上，质量为m的子弹以速度v0水平射向滑块，若射击下层，子弹刚好不射出，若射击上层，则子弹刚好能射穿一半厚度，如图所示，则上述两种情况相比较，下列说法正确的是(　　)
A．子弹的末速度大小相等
B．系统产生的热量一样多
C．子弹对滑块做的功相同
D．子弹和滑块间的水平作用力一样大
6．(2022·河北高考)如图，光滑水平面上有两个等高的滑板A和B，质量分别为1 kg和2 kg，A右端和B左端分别放置物块C、D，物块质量均为1 kg，A和C以相同速度v0＝10 m/s向右运动，B和D以相同速度kv0向左运动，在某时刻发生碰撞，作用时间极短，碰撞后C与D粘在一起形成一个新物块，A与B粘在一起形成一个新滑板，物块与滑板之间的动摩擦因数均为μ＝0．1。重力加速度大小取g＝10 m/s2。
(1)若0各自速度的大小和方向；
(2)若k＝0．5，从碰撞后到新物块与新滑板相对静止时，求两者相对位移的大小。
8．(2024·安徽高考)如图所示，一实验小车静止在光滑水平面上，其上表面有粗糙水平轨道与光滑四分之一圆弧轨道。圆弧轨道与水平轨道相切于圆弧轨道最低点，一物块静止于小车最左端，一小球用不可伸长的轻质细线悬挂于O点
正下方，并轻靠在物块左侧。现将细线拉直到水平位置，由静止释放小球，小球运动到最低点时与物块发生弹性碰撞。碰撞后，物块沿着轨道运动。已知细线长L＝1．25 m，小球质量m＝0．20 kg，物块、小车质量均为M＝0．30 kg。小车上的水平轨道长s＝1．0 m，圆弧轨道半径R＝0．15 m。小球、物块均可视为质点。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。
(1)求小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小；
(2)求小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小；
(3)为使物块能进入圆弧轨道，且在上升阶段不脱离小车，求物块与水平轨道间的动摩擦因数μ的取值范围。
答案：(1)6 N　(2)4 m/s　(3)0．25≤μ<0．4

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