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物理
第讲　带电粒子在电场中的运动
(对应人教版必修第三册相关内容及问题)
　第十章第5节阅读[例题1]。
　第十章第5节阅读[拓展学习]“示波管的原理”这一部分内容。
　第十章第5节阅读[科学漫步]“范德格拉夫静电加速器”这一部分内容。
　第十章第5节[练习与应用]T2；T4。
考点一　带电粒子(带电体)在电场中的直线运动
1．带电粒子(带电体)在电场中运动时是否考虑重力的处理方法
(1)基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都不考虑重力(但并不忽略质量)。
(2)带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都要考虑重力。
2．做直线运动的条件
(1)带电粒子(带电体)所受合力F合＝0，则静止或做匀速直线运动。
(2)带电粒子(带电体)所受合力F合≠0，且合力与初速度方向在同一条直线上，则将做变速直线运动。
3．解题思路
(1)用动力学观点分析
Eq＋F其他＝ma，E＝(匀强电场)，v2－v＝2ad(匀变速直线运动)。
(2)用能量观点分析
①匀强电场中：W电＝Eqd＝qU，W电＋W其他＝mv2－mv。
②非匀强电场中：W电＝qU，W电＋W其他＝Ek2－Ek1。
例1　(2022·北京高考)如图所示，真空中平行金属板M、N之间距离为d，两板所加的电压为U。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M板由静止释放。不计带电粒子的重力。
(1)求带电粒子所受的静电力的大小F；
(2)求带电粒子到达N板时的速度大小v；
(3)若在带电粒子运动距离时撤去所加电压，求该粒子从M板运动到N板经历的时间t。
例2　(多选)如图所示，两个相同的平行板电容器均与水平方向成θ角放置，两极板与直流电源相连。若带电小球分别以速度v0沿边缘水平射入电容器，均能沿图中所示水平直线恰好穿出电容器，穿出时的速度分别为v1和v2。下列说法正确的是(　　)
A．两种情形下带电小球的运动时间相等
B．两种情形下电容器所加电压相等
C．小球的速度满足关系v0＝v1＝v2
D．小球的速度满足关系2v＝v＋v
考点二　带电粒子在匀强电场中的偏转
一、带电粒子在匀强电场中的偏转
1．条件分析：带电粒子的初速度方向跟电场方向垂直。
2．运动性质：类平抛运动。
3．处理方法：利用运动的合成与分解。
(1)沿初速度方向：做匀速直线运动。
(2)沿电场方向：做初速度为零的匀加速直线运动。
(3)运动过程：如图所示(假设粒子能离开极板间)。
①加速度：a＝＝＝。
②运动时间：t＝。
③末速度
v＝，tanθ＝＝。
④位移。
二、示波管
1．构造
示波管的构造如图所示，它主要由电子枪、偏转电极和荧光屏组成，管内抽成真空。
2．工作原理
(1)如果在偏转电极XX′之间和偏转电极YY′之间都没有加电压，电子束从电子枪射出后沿直线运动，打在荧光屏中心，在那里产生一个亮斑。
(2)示波管的YY′偏转电极上加的是待测的信号电压，XX′偏转电极通常接入仪器自身产生的锯齿形电压，叫作扫描电压。如果信号电压是周期性的，并且扫描电压与信号电压的周期相同，就可以在荧光屏上得到待测信号在一个周期内随时间变化的稳定图像。
1．两个结论
(1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场U1加速后再从同一偏转电场U2射出时的偏转角度θ和偏移量y总是相同的。
证明：由qU1＝mv及tanθ＝，得tanθ＝。由qU1＝mv及y＝，得y＝。
(2)粒子经电场偏转射出后，合速度的反向延长线与初速度延长线的交点O1为粒子在初速度方向分位移的中点，即O1到极板边缘在初速度方向的距离为。
2．在示波管模型中，带电粒子经加速电场U1加速，再经偏转电场U2偏转后，需要经历一段匀速直线运动才会打到荧光屏上而显示亮点P，如图所示。
(1)确定最终偏移距离
思路一：
思路二：
(2)确定偏转后的动能(或速度)
思路一：
思路二：
例3　(多选)如图所示，三个同样的带电粒子a、b、c(不计重力)同时从同一位置沿同一方向垂直于电场线射入平行板电容器间的匀强电场，它们的运动轨迹如图，不考虑带电粒子间的相互作用，下列说法中正确的是(　　)
A．当b飞离电场的同时，a刚好打在下极板上
B．b和c同时飞离电场
C．进入电场时，c的速度最大，a的速度最小
D．在电场中运动过程中，c的动能增加量最小，a、b的动能增加量相同
例4　如图所示，一真空示波管的电子从灯丝K发出(初速度不计)，经灯丝与A板间的加速电场加速，从A板中心孔沿中心线KO射出，然后进入两块平行金属板M、N形成的偏转电场中(偏转电场可视为匀强电场)，电子进入M、N间电场时的速度与电场方向垂直，电子经过电场后打在荧光屏上的P点。已知加速电压为U1，M、N两板间的电压为U2，两板间的距离为d，板长为L，偏转电场的右端到荧光屏的距离为l，电子的质量为m，电荷量为e，不计电子重力。
(1)求电子穿过A板时的速度大小v0；
(2)求电子从偏转电场射出时的侧移量y；
(3)求OP的距离Y；
(4)电子从偏转电场射出时的侧移量y和偏转电压U2的比叫作示波器的灵敏度，分析说明可采用哪些方法提高示波器的灵敏度。
考点三　带电粒子在交变电场中的运动
1．带电粒子在交变电场中的运动，通常只讨论电压的大小不变、方向做周期性变化(如方波)的情形。
2．带电粒子在交变电场中运动的分析要点
(1)注重全面分析(分析受力特点和运动规律)，抓住粒子的运动具有周期性和在空间上具有对称性的特征，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的边界条件。
(2)注意从两条思路出发：一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学规律分析；二是功能关系。
3．对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，若粒子穿过板间的时间极短，带电粒子穿过电场时可认为是在匀强电场中运动。
例5　(2025·河南省高三上开学考试)如图甲所示，某多级直线加速器中多个横截面积相同的金属圆筒依次排列，其中心轴线在同一直线上，序号为奇数和偶数的圆筒分别与图乙所示交变电源两极相连。t＝0时，位于金属圆板(序号为0)中央的电子，由静止开始加速。电子通过圆筒间隙的时间不计，且忽略相对论效应，则(　　)
A．圆筒内部电场强度大小随序号增大而减小
B．电子在各圆筒中做匀加速直线运动
C．电子在各圆筒中运动的时间都为T
D．各圆筒的长度之比为1∶∶…
例6　如图甲所示，一对平行金属板M、N长为L，相距为d，O1O2为中轴线，两板间为匀强电场，忽略两极板外的电场。当两板间加电压UMN＝U0时，某一带负电的粒子从O1点以速度v0沿O1O2方向射入电场，粒子恰好打在上极板M的中点，粒子重力忽略不计。
(1)求带电粒子的比荷；
(2)若M、N间加如图乙所示的交变电压，其周期T＝，从t＝0开始，前时间内UMN＝2U，后时间内UMN＝－U，大量的上述粒子仍然以速度v0沿O1O2方向持续射入电场，最终所有粒子恰好能全部离开电场而不打在极板上，求U的值。(不计带电粒子之间的相互作用)
课时作业
[A组　基础巩固练]
1．下列带电粒子的初速度均为0，经过电压为U的电压加速后，获得速度最大的粒子是(　　)
A．质子 B．氚核
C．氦核 D．钠离子Na＋
2．如图所示，当今医学上对某些肿瘤采用质子疗法进行治疗，该疗法用一定能量的质子束照射肿瘤杀死癌细胞。现用一直线加速器来加速质子，使其从静止开始被加速到1．0×107 m/s。已知加速电场的电场强度大小为1．3×105 N/C，质子的质量为1．67×10－27 kg，电荷量为1．6×10－19 C，则下列说法正确的是(　　)
A．加速过程中质子电势能增加
B．质子所受到的静电力约为2×10－15 N
C．质子加速需要的时间约为8×10－6 s
D．加速器加速的直线长度约为4 m
3．(2022·浙江6月选考)如图所示，带等量异种电荷的两正对平行金属板M、N间存在匀强电场，板长为L(不考虑边界效应)。t＝0时刻，M板中点处的粒子源发射两个速度大小为v0的相同粒子，垂直M板向右的粒子，到达N板时速度大小为v0；平行M板向下的粒子，刚好从N板下端射出。不计重力和粒子间的相互作用，则(　　)
A．M板电势高于N板电势
B．两个粒子的电势能都增加
C．粒子在两板间的加速度a＝
D．粒子从N板下端射出的时间t＝
4．(2021·全国乙卷)(多选)四个带电粒子的电荷量和质量分别为(＋q，m)、(＋q，2m)、(＋3q，3m)、(－q，m)，它们先后以相同的速度从坐标原点沿x轴正方向射入一匀强电场中，电场方向与y轴平行，不计重力。下列描绘这四个粒子运动轨迹的图像中，可能正确的是(　　)
5．(2024·浙江省温州市高三二模)如图所示，加速电场的两极板P、Q竖直放置，间距为d，电压为U1。偏转电场的两极板M、N水平放置，两极板长度及间距均为L，电压为U2。P、Q极板分别有小孔A、B，AB连线与偏转电场中心线BC共线。质量为m、电荷量为q的正离子从小孔A无初速度进入加速电场，经过偏转电场，到达探测器(探测器可上下移动)。整个装置处于真空环境，且不计离子重力。下列说法正确的是(　　)
A．离子在加速电场中运动时间为d
B．离子在M、N板间运动时间为L
C．离子到达探测器的最大动能为q(U1＋U2)
D．为保证离子不打在M、N极板上，U1与U2应满足的关系为U2>2U1
6．如图甲所示，热电子由阴极飞出时的初速度忽略不计，电子发射装置的加速电压为U0，电容器极板长L＝10 cm，极板间距d＝10 cm，下极板接地，电容器右端到荧光屏的距离也是L＝10 cm，在电容器两极板间接一交变电压，上极板与下极板的电势差随时间变化的图像如图乙所示。每个电子穿过极板的时间都极短，可以认为电子穿过极板的过程中电压是不变的。求：
(1)在t＝0．06 s时刻，电子打在荧光屏上的位置到O点的距离；
(2)荧光屏上有电子打到的区间长度。
7．(2025·陕西省宝鸡市高三上模拟检测一)如图所示，竖直面内的圆形虚线区域内有一匀强电场，电场方向平行圆平面。圆形区域的半径为R，PQ是一条直径，与水平方向的夹角θ＝30°，A点位于P点的正下方。一个质量为m、带电荷量为＋q的粒子，从P点由静止释放后，从A点以速度v0射出电场区域，不计带电粒子的重力。
(1)求匀强电场的电场强度大小和方向；
(2)若粒子从P点水平射入电场，要使粒子恰好能从Q点射出，求粒子的入射速度；
(3)若粒子从P点沿某一方向射入电场时，电势能变化量最大，求此过程中粒子电势能变化量的最大值的绝对值。
[B组　综合提升练]
8．一对平行正对的金属板C、D接入如图所示的电路中，电源电动势为E，C板固定，D板可左右平行移动，闭合开关，一段时间后再断开开关，从C板发射一电子，恰能运动到A点后再返回，已知A到D板的距离是板间距离的三分之一，电子质量为m，电荷量为－e，忽略电子的重力，则(　　)
A．设定C板电势为0，电子在A点的电势能为－eE
B．若要让电子能够到达D板，可将D板向左平移至A点或A点左侧某位置
C．若要让电子能够到达D板，可将D板向右平移至某位置
D．若要让电子能够到达D板，可闭合开关，再将D板向右平移至某位置
9．如图是示波管的原理图。它由电子枪、偏转电极(XX′和YY′)、荧光屏组成。管内抽成真空，给电子枪通电后，如果在偏转电极XX′和YY′上都没有加电压，电子束将打在荧光屏的中心O点，在那里产生一个亮斑。下列说法不正确的是(　　)
A．要想让亮斑沿OY向上移动，需在偏转电极YY′上加电压，且Y′比Y电势高
B．要想让亮斑移到荧光屏的左下方，需在偏转电极XX′、YY′上加电压，且X比X′电势低、Y比Y′电势低
C．要想在荧光屏上出现一条竖直亮线，需在偏转电极YY′上加特定的周期性变化的电压
D．要想在荧光屏上出现一条正弦曲线，需在偏转电极XX′上加适当频率的扫描电压、在偏转电极YY′上加按正弦规律变化的电压
[C组　拔尖培优练]
10．如图a所示，两平行正对的金属板A、B间加有如图b所示的交变电压，一重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间P处。若在t0时刻释放该粒子，粒子会时而向A板运动，时而向B板运动，并最终打在A板上。则t0可能属于的时间段是(　　)
A．0C．(答案及解析)
　第十章第5节阅读[例题1]。
　第十章第5节阅读[拓展学习]“示波管的原理”这一部分内容。
　第十章第5节阅读[科学漫步]“范德格拉夫静电加速器”这一部分内容。
　第十章第5节[练习与应用]T2；T4。
提示：T2：－Ume＝0－mev。
T4：设加速电场的电压为U，离子离开加速电场时速度大小为v1，偏转电场中电场强度为E，离子在偏转电场中加速度大小为a，则有
qU＝mv－0，qE＝ma，进入偏转电场，开始计时，当离子在偏转电场中，沿垂直电场强度方向的位移为x时，经历的时间t＝，此时离子在平行电场强度方向的位移y＝at2，联立得y＝，y与q、m无关，故它们不会分离为三股粒子束。
考点一　带电粒子(带电体)在电场中的直线运动
1．带电粒子(带电体)在电场中运动时是否考虑重力的处理方法
(1)基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都不考虑重力(但并不忽略质量)。
(2)带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都要考虑重力。
2．做直线运动的条件
(1)带电粒子(带电体)所受合力F合＝0，则静止或做匀速直线运动。
(2)带电粒子(带电体)所受合力F合≠0，且合力与初速度方向在同一条直线上，则将做变速直线运动。
3．解题思路
(1)用动力学观点分析
Eq＋F其他＝ma，E＝(匀强电场)，v2－v＝2ad(匀变速直线运动)。
(2)用能量观点分析
①匀强电场中：W电＝Eqd＝qU，W电＋W其他＝mv2－mv。
②非匀强电场中：W电＝qU，W电＋W其他＝Ek2－Ek1。
例1　(2022·北京高考)如图所示，真空中平行金属板M、N之间距离为d，两板所加的电压为U。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M板由静止释放。不计带电粒子的重力。
(1)求带电粒子所受的静电力的大小F；
(2)求带电粒子到达N板时的速度大小v；
(3)若在带电粒子运动距离时撤去所加电压，求该粒子从M板运动到N板经历的时间t。
[答案]　(1)q　(2)　(3)
[解析]　(1)两平行金属板间的场强大小
E＝
带电粒子所受的静电力的大小F＝qE
联立解得F＝q。
(2)带电粒子从M板由静止开始运动到N板的过程中，根据动能定理有qU＝mv2－0
解得v＝。
(3)设带电粒子运动距离时的速度大小为v′，根据动能定理有q＝mv′2－0
带电粒子在前距离做匀加速直线运动，后距离做匀速直线运动，设经历的时间分别为t1、t2，有＝t1
＝v′t2
该粒子从M板运动到N板经历的时间
t＝t1＋t2
联立解得t＝。
例2　(多选)如图所示，两个相同的平行板电容器均与水平方向成θ角放置，两极板与直流电源相连。若带电小球分别以速度v0沿边缘水平射入电容器，均能沿图中所示水平直线恰好穿出电容器，穿出时的速度分别为v1和v2。下列说法正确的是(　　)
A．两种情形下带电小球的运动时间相等
B．两种情形下电容器所加电压相等
C．小球的速度满足关系v0＝v1＝v2
D．小球的速度满足关系2v＝v＋v
[答案]　BD
[解析]　静电力的方向垂直于极板，由于两种情形下小球均沿着水平方向运动，竖直方向所受合力均为零，因此两种情形下带电小球所受静电力大小均为F＝，又因两电容器相同，根据F＝Eq＝知两种情形下电容器所加电压相等，B正确；分析知第一种情形小球做匀减速直线运动，第二种情形小球做匀加速直线运动，初速度相同，运动位移相同，由匀变速直线运动规律知，两种情形带电小球的运动时间不同，末速度也不同，A、C错误；两种情形小球在水平方向上的加速度大小均为a＝＝gtanθ，第一种情形，水平方向上有：v－v＝2ax，第二种情形，水平方向上有：v－v＝2ax，两式联立，可得2v＝v＋v，D正确。
考点二　带电粒子在匀强电场中的偏转
一、带电粒子在匀强电场中的偏转
1．条件分析：带电粒子的初速度方向跟电场方向垂直。
2．运动性质：类平抛运动。
3．处理方法：利用运动的合成与分解。
(1)沿初速度方向：做匀速直线运动。
(2)沿电场方向：做初速度为零的匀加速直线运动。
(3)运动过程：如图所示(假设粒子能离开极板间)。
①加速度：a＝＝＝。
②运动时间：t＝。
③末速度
v＝，tanθ＝＝。
④位移。
二、示波管
1．构造
示波管的构造如图所示，它主要由电子枪、偏转电极和荧光屏组成，管内抽成真空。
2．工作原理
(1)如果在偏转电极XX′之间和偏转电极YY′之间都没有加电压，电子束从电子枪射出后沿直线运动，打在荧光屏中心，在那里产生一个亮斑。
(2)示波管的YY′偏转电极上加的是待测的信号电压，XX′偏转电极通常接入仪器自身产生的锯齿形电压，叫作扫描电压。如果信号电压是周期性的，并且扫描电压与信号电压的周期相同，就可以在荧光屏上得到待测信号在一个周期内随时间变化的稳定图像。
1．两个结论
(1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场U1加速后再从同一偏转电场U2射出时的偏转角度θ和偏移量y总是相同的。
证明：由qU1＝mv及tanθ＝，得tanθ＝。由qU1＝mv及y＝，得y＝。
(2)粒子经电场偏转射出后，合速度的反向延长线与初速度延长线的交点O1为粒子在初速度方向分位移的中点，即O1到极板边缘在初速度方向的距离为。
2．在示波管模型中，带电粒子经加速电场U1加速，再经偏转电场U2偏转后，需要经历一段匀速直线运动才会打到荧光屏上而显示亮点P，如图所示。
(1)确定最终偏移距离
思路一：
思路二：
(2)确定偏转后的动能(或速度)
思路一：
思路二：
例3　(多选)如图所示，三个同样的带电粒子a、b、c(不计重力)同时从同一位置沿同一方向垂直于电场线射入平行板电容器间的匀强电场，它们的运动轨迹如图，不考虑带电粒子间的相互作用，下列说法中正确的是(　　)
A．当b飞离电场的同时，a刚好打在下极板上
B．b和c同时飞离电场
C．进入电场时，c的速度最大，a的速度最小
D．在电场中运动过程中，c的动能增加量最小，a、b的动能增加量相同
[答案]　ACD
[解析]　三个粒子相同，故进入电场后，受到的静电力相等，即加速度相等，在竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，偏移量y＝at2，所以ta＝tb＞tc，故B错误，A正确；粒子在水平方向上做匀速直线运动，故有v0＝，因为xb＝xc＞xa，ta＝tb＞tc，所以有vc＞vb＞va，故C正确；根据动能定理有qU＝Eqy＝ΔEk，知c的动能增加量最小，a、b的动能增加量相同，故D正确。
例4　如图所示，一真空示波管的电子从灯丝K发出(初速度不计)，经灯丝与A板间的加速电场加速，从A板中心孔沿中心线KO射出，然后进入两块平行金属板M、N形成的偏转电场中(偏转电场可视为匀强电场)，电子进入M、N间电场时的速度与电场方向垂直，电子经过电场后打在荧光屏上的P点。已知加速电压为U1，M、N两板间的电压为U2，两板间的距离为d，板长为L，偏转电场的右端到荧光屏的距离为l，电子的质量为m，电荷量为e，不计电子重力。
(1)求电子穿过A板时的速度大小v0；
(2)求电子从偏转电场射出时的侧移量y；
(3)求OP的距离Y；
(4)电子从偏转电场射出时的侧移量y和偏转电压U2的比叫作示波器的灵敏度，分析说明可采用哪些方法提高示波器的灵敏度。
[答案]　(1)　(2) 　(3)
(4)增加L或者减小d以及减小U1均可增加灵敏度
[解析]　(1)电子在加速电场中加速，由动能定理可知：eU1＝mv
解得：v0＝。
(2)电子在偏转电场中做类平抛运动，
垂直电场方向：L＝v0t
沿电场方向：e＝ma
侧移量：y＝at2
联立解得：y＝。
(3)由几何关系可知：＝
得：Y＝。
(4)该示波器的灵敏度D＝
解得：D＝
则增加L或者减小d以及减小U1均可增加灵敏度。
考点三　带电粒子在交变电场中的运动
1．带电粒子在交变电场中的运动，通常只讨论电压的大小不变、方向做周期性变化(如方波)的情形。
2．带电粒子在交变电场中运动的分析要点
(1)注重全面分析(分析受力特点和运动规律)，抓住粒子的运动具有周期性和在空间上具有对称性的特征，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的边界条件。
(2)注意从两条思路出发：一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学规律分析；二是功能关系。
3．对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，若粒子穿过板间的时间极短，带电粒子穿过电场时可认为是在匀强电场中运动。
例5　(2025·河南省高三上开学考试)如图甲所示，某多级直线加速器中多个横截面积相同的金属圆筒依次排列，其中心轴线在同一直线上，序号为奇数和偶数的圆筒分别与图乙所示交变电源两极相连。t＝0时，位于金属圆板(序号为0)中央的电子，由静止开始加速。电子通过圆筒间隙的时间不计，且忽略相对论效应，则(　　)
A．圆筒内部电场强度大小随序号增大而减小
B．电子在各圆筒中做匀加速直线运动
C．电子在各圆筒中运动的时间都为T
D．各圆筒的长度之比为1∶∶…
[答案]　D
[解析]　由静电平衡可知，金属圆筒内部电场强度为零，电子不受电场力，做匀速直线运动，故A、B错误；分析可知，只有电子在各圆筒中运动的时间都为时，才能保证电子每次通过圆筒间隙时都被电场加速，故C错误；设电子的质量为m，电荷量为e，电子进入第n个圆筒后的速度大小为vn，根据动能定理有neU＝mv，解得vn＝，第n个圆筒长度Ln＝vn×＝，则各圆筒的长度之比为1∶∶…，故D正确。
例6　如图甲所示，一对平行金属板M、N长为L，相距为d，O1O2为中轴线，两板间为匀强电场，忽略两极板外的电场。当两板间加电压UMN＝U0时，某一带负电的粒子从O1点以速度v0沿O1O2方向射入电场，粒子恰好打在上极板M的中点，粒子重力忽略不计。
(1)求带电粒子的比荷；
(2)若M、N间加如图乙所示的交变电压，其周期T＝，从t＝0开始，前时间内UMN＝2U，后时间内UMN＝－U，大量的上述粒子仍然以速度v0沿O1O2方向持续射入电场，最终所有粒子恰好能全部离开电场而不打在极板上，求U的值。(不计带电粒子之间的相互作用)
[答案]　(1)　(2)
[解析]　(1)设粒子经过时间t0打在M板中点
沿极板方向有＝v0t0
垂直极板方向有＝ a0t
式中粒子的加速度大小a0＝
电场强度大小E0＝
解得＝。
(2)粒子通过两板间的时间t＝＝T
从t＝0时刻开始，粒子在两板间运动时，每个电压变化周期的前三分之一时间内的加速度大小a1＝，在每个电压变化周期的后三分之二时间内的加速度大小a2＝
如图所示为从不同时刻射入电场的粒子在垂直极板方向的分速度与时间的关系图像，根据题意和图像分析可知，从t＝nT(n＝0，1，2，…)或t＝＋nT(n＝0，1，2，…)时刻入射的粒子恰好不打在极板上，则有＝×T×vym，式中vym＝a1×
解得U＝。
课时作业
[A组　基础巩固练]
1．下列带电粒子的初速度均为0，经过电压为U的电压加速后，获得速度最大的粒子是(　　)
A．质子 B．氚核
C．氦核 D．钠离子Na＋
答案：A
解析：根据动能定理可得qU＝mv2－0，解得带电粒子获得的速度v＝，可知粒子的比荷越大，获得的速度越大，设质子的电荷量为e，质量为m0，则质子的比荷为，氚核的比荷为，氦核的比荷为＝，钠离子Na＋的比荷为，可知质子的比荷最大，则获得速度最大的粒子是质子，故选A。
2．如图所示，当今医学上对某些肿瘤采用质子疗法进行治疗，该疗法用一定能量的质子束照射肿瘤杀死癌细胞。现用一直线加速器来加速质子，使其从静止开始被加速到1．0×107 m/s。已知加速电场的电场强度大小为1．3×105 N/C，质子的质量为1．67×10－27 kg，电荷量为1．6×10－19 C，则下列说法正确的是(　　)
A．加速过程中质子电势能增加
B．质子所受到的静电力约为2×10－15 N
C．质子加速需要的时间约为8×10－6 s
D．加速器加速的直线长度约为4 m
答案：D
解析：加速过程中静电力对质子做正功，则质子电势能减小，A错误；质子所受到的静电力约为F＝Eq＝1．3×105×1．6×10－19 N≈2×10－14 N，B错误；质子在加速电场中的加速度a＝＝ m/s2≈1．2×1013 m/s2，则质子加速需要的时间约为t＝＝ s≈8．3×10－7 s，C错误；加速器加速的直线长度约为x＝t＝×8．3×10－7 m≈4 m，D正确。
3．(2022·浙江6月选考)如图所示，带等量异种电荷的两正对平行金属板M、N间存在匀强电场，板长为L(不考虑边界效应)。t＝0时刻，M板中点处的粒子源发射两个速度大小为v0的相同粒子，垂直M板向右的粒子，到达N板时速度大小为v0；平行M板向下的粒子，刚好从N板下端射出。不计重力和粒子间的相互作用，则(　　)
A．M板电势高于N板电势
B．两个粒子的电势能都增加
C．粒子在两板间的加速度a＝
D．粒子从N板下端射出的时间t＝
答案：C
解析：由于不知道两粒子或M、N所带电荷的电性，故不能确定M板和N板的电势高低，A错误；根据题意，垂直M板向右运动的粒子，到达N板时速度增加，动能增加，则电场力做正功，电势能减小，则平行M板向下的粒子到达N板下端过程电场力也做正功，电势能同样减小，故B错误；设两板间距离为d，平行M板向下的粒子刚好从N板下端射出，在两板间做类平抛运动，有＝v0t，d＝at2，垂直M板向右的粒子，在板间做匀加速直线运动，因两粒子相同，则在电场中加速度相同，有(v0)2－v＝2ad，联立解得t＝，a＝，故C正确，D错误。
4．(2021·全国乙卷)(多选)四个带电粒子的电荷量和质量分别为(＋q，m)、(＋q，2m)、(＋3q，3m)、(－q，m)，它们先后以相同的速度从坐标原点沿x轴正方向射入一匀强电场中，电场方向与y轴平行，不计重力。下列描绘这四个粒子运动轨迹的图像中，可能正确的是(　　)
答案：AD
解析：带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，加速度为a＝，由类平抛运动规律可知，垂直于电场方向有x＝v0t，平行于电场方向有y＝at2，联立得y＝。因为四个带电粒子的初速度v0相同，所以沿x轴方向运动相同距离时，沿y轴方向运动的距离与比荷成正比，再结合粒子所带电荷的电性，分析可知，粒子(＋q，m)、(＋q，2m)、(＋3q，3m)向一侧偏转，粒子(－q，m)向另一侧偏转，且比荷相同的粒子(＋q，m)、(＋3q，3m)、(－q，m)的偏转程度相同，比荷较小的粒子(＋q，2m)的偏转程度较小，故A、D可能正确，B、C错误。
5．(2024·浙江省温州市高三二模)如图所示，加速电场的两极板P、Q竖直放置，间距为d，电压为U1。偏转电场的两极板M、N水平放置，两极板长度及间距均为L，电压为U2。P、Q极板分别有小孔A、B，AB连线与偏转电场中心线BC共线。质量为m、电荷量为q的正离子从小孔A无初速度进入加速电场，经过偏转电场，到达探测器(探测器可上下移动)。整个装置处于真空环境，且不计离子重力。下列说法正确的是(　　)
A．离子在加速电场中运动时间为d
B．离子在M、N板间运动时间为L
C．离子到达探测器的最大动能为q(U1＋U2)
D．为保证离子不打在M、N极板上，U1与U2应满足的关系为U2>2U1
答案：B
解析：离子在加速电场中做匀加速直线运动，加速度为a1＝，由匀变速直线运动的公式，有d＝a1t，得离子在加速电场中运动时间为t1＝d，故A错误；设离子进入偏转电场的速度为v0，由动能定理有qU1＝mv－0，离子在M、N板间做类平抛运动，运动时间为t2＝，解得t2＝L，故B正确；当离子经过M板或N板右端时到达探测器的动能最大，由动能定理可知，离子到达探测器的最大动能为Ekm＝qU1＋q，故C错误；离子在偏转电场中的加速度大小为a2＝，为保证离子不打在M、N极板上，即离子在竖直方向的偏转位移小于，有a2t<，联立解得U2<2U1，故D错误。
6．如图甲所示，热电子由阴极飞出时的初速度忽略不计，电子发射装置的加速电压为U0，电容器极板长L＝10 cm，极板间距d＝10 cm，下极板接地，电容器右端到荧光屏的距离也是L＝10 cm，在电容器两极板间接一交变电压，上极板与下极板的电势差随时间变化的图像如图乙所示。每个电子穿过极板的时间都极短，可以认为电子穿过极板的过程中电压是不变的。求：
(1)在t＝0．06 s时刻，电子打在荧光屏上的位置到O点的距离；
(2)荧光屏上有电子打到的区间长度。
答案：(1)13．5 cm　(2)30 cm
解析：(1)设电子经电压U0加速后的速度为v0，根据动能定理得：eU0＝mv　①
设电容器间偏转电场的场强为E，则有：
E＝　②
设电子经时间t通过偏转电场，偏离轴线的侧向位移为y，则：
沿中心轴线方向有：t＝　③
垂直中心轴线方向有：a＝　④
联立①②③④得y＝at2＝＝　⑤
设电子通过偏转电场过程中产生的侧向速度为vy，偏转角为θ，则电子通过偏转电场时有：
vy＝at　⑥
tanθ＝　⑦
则电子在荧光屏上偏离O点的距离为
Y＝y＋Ltanθ＝　⑧
由题图乙知t＝0．06 s时刻U＝1．8U0
解得Y＝13．5 cm。
(2)由题知电子偏转量y的最大值为，根据y＝可得，当偏转电压超过2U0时，电子就打不到荧光屏上了。
代入⑧式得：Ymax＝　⑨
所以荧光屏上电子能打到的区间长度为：
2Ymax＝3L＝30 cm。
7．(2025·陕西省宝鸡市高三上模拟检测一)如图所示，竖直面内的圆形虚线区域内有一匀强电场，电场方向平行圆平面。圆形区域的半径为R，PQ是一条直径，与水平方向的夹角θ＝30°，A点位于P点的正下方。一个质量为m、带电荷量为＋q的粒子，从P点由静止释放后，从A点以速度v0射出电场区域，不计带电粒子的重力。
(1)求匀强电场的电场强度大小和方向；
(2)若粒子从P点水平射入电场，要使粒子恰好能从Q点射出，求粒子的入射速度；
(3)若粒子从P点沿某一方向射入电场时，电势能变化量最大，求此过程中粒子电势能变化量的最大值的绝对值。
答案：(1)　由P指向A　(2)v0　(3)mv
解析：(1)根据题意可知，带正电的粒子受到电场力的方向为由P指向A，则匀强电场的电场强度方向是由P指向A。
设匀强电场的电场强度大小为E，带电粒子从P点到A点的过程中，由动能定理可得
qE·lPA＝mv－0
由几何关系可知lPA＝2Rsin30°
解得E＝。
(2)设恰好从Q点射出时，粒子的水平入射速度为v0′，从P点运动到Q点的时间为t，加速度为a，由题意可得粒子在电场中做类平抛运动，沿电场方向有2Rsin30°＝at2
由牛顿第二定律可知qE＝ma
在垂直电场方向有2Rcos30°＝v0′·t
联立解得v0′＝v0。
(3)当粒子从圆心的正下方射出时，电场力对粒子做功最多，粒子电势能变化量最大。此时，电场力做功W电＝qE·R(1＋sin30°)
由于W电＝－ΔEpmax
解得粒子电势能变化量的最大值的绝对值为
|ΔEpmax|＝mv。
[B组　综合提升练]
8．一对平行正对的金属板C、D接入如图所示的电路中，电源电动势为E，C板固定，D板可左右平行移动，闭合开关，一段时间后再断开开关，从C板发射一电子，恰能运动到A点后再返回，已知A到D板的距离是板间距离的三分之一，电子质量为m，电荷量为－e，忽略电子的重力，则(　　)
A．设定C板电势为0，电子在A点的电势能为－eE
B．若要让电子能够到达D板，可将D板向左平移至A点或A点左侧某位置
C．若要让电子能够到达D板，可将D板向右平移至某位置
D．若要让电子能够到达D板，可闭合开关，再将D板向右平移至某位置
答案：B
解析：由题图可知，金属板间的电场线方向由C指向D，C、D两板间的电势差UCD＝φC－φD＝E，设C、D两极板间距离为d，两极板间电场强度E′＝，沿着电场线电势逐渐降低，设定C板电势为0，即φC＝0，又UCA＝φC－φA＝E′·d，解得φA＝－E，电子在A点的电势能为EpA＝－eφA＝eE，故A错误；闭合开关，一段时间后再断开开关，则金属板电容器极板上的电荷量Q不变，根据电容的定义式和决定式C＝、C＝，及平行板电容器间电场强度E′＝可知，E′＝，即E′与板间距离无关，由题意并结合动能定理可知，若将D板向左平移至A点或A点左侧某位置，电子能够到达D板，若将D板向右平移至某位置，电子无法到达D板，B正确，C错误；当闭合开关时，两极板间电势差UCD＝E保持不变，根据动能定理可知，D板无论向左移动还是向右移动，电子都无法到达D板，D错误。
9．如图是示波管的原理图。它由电子枪、偏转电极(XX′和YY′)、荧光屏组成。管内抽成真空，给电子枪通电后，如果在偏转电极XX′和YY′上都没有加电压，电子束将打在荧光屏的中心O点，在那里产生一个亮斑。下列说法不正确的是(　　)
A．要想让亮斑沿OY向上移动，需在偏转电极YY′上加电压，且Y′比Y电势高
B．要想让亮斑移到荧光屏的左下方，需在偏转电极XX′、YY′上加电压，且X比X′电势低、Y比Y′电势低
C．要想在荧光屏上出现一条竖直亮线，需在偏转电极YY′上加特定的周期性变化的电压
D．要想在荧光屏上出现一条正弦曲线，需在偏转电极XX′上加适当频率的扫描电压、在偏转电极YY′上加按正弦规律变化的电压
答案：A
解析：要想让亮斑沿OY向上移动，需在偏转电极YY′上加电压，使电子受向上的电场力，则要使Y比Y′电势高，A错误；要想让亮斑移到荧光屏的左下方，则要使电子受到OX′以及OY′方向的电场力，需在偏转电极XX′、YY′上加电压，且X比X′电势低、Y比Y′电势低，B正确；由示波管的原理可知，要想在荧光屏上出现一条竖直亮线，需在偏转电极YY′上加特定的周期性变化的电压，C正确；要想在荧光屏上出现一条正弦曲线，需在偏转电极XX′上加适当频率的扫描电压、在偏转电极YY′上加按正弦规律变化的电压，D正确。本题选说法不正确的，故选A。
[C组　拔尖培优练]
10．如图a所示，两平行正对的金属板A、B间加有如图b所示的交变电压，一重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间P处。若在t0时刻释放该粒子，粒子会时而向A板运动，时而向B板运动，并最终打在A板上。则t0可能属于的时间段是(　　)
A．0C．答案：B
解析：设粒子的速度方向、位移方向向右为正。依题意得，粒子的速度时而为负，时而为正，最终打在A板上时位移为负，速度为负。作出t0＝0、、、时粒子运动的速度图像如图所示。由于速度图线与时间轴所围面积表示粒子通过的位移，则由图像可知0T时情况类似。因粒子最终打在A板上，则要求粒子在每个周期内的总位移应小于零，对照各选项可知只有B正确。
16(共58张PPT)
第八章　静电场
第5讲　带电粒子在电场中的运动
目录
1
2
3
教材阅读指导
考点一　带电粒子(带电体)在电场中的直线运动
考点二　带电粒子在匀强电场中的偏转
考点三 带电粒子在交变电场中的运动
课时作业
4
5
教材阅读指导
(对应人教版必修第三册相关内容及问题)
第十章第5节阅读[拓展学习]“示波管的原理”这一部分内容。
　第十章第5节阅读[例题1]。
第十章第5节阅读[科学漫步]“范德格拉夫静电加速器”这一部分内容。
　第十章第5节[练习与应用]T2；T4。
考点一　带电粒子(带电体)在电场中的直线运动
1．带电粒子(带电体)在电场中运动时是否考虑重力的处理方法
(1)基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都不考虑重力(但并不忽略质量)。
(2)带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都要考虑重力。
2．做直线运动的条件
(1)带电粒子(带电体)所受合力F合＝0，则静止或做匀速直线运动。
(2)带电粒子(带电体)所受合力F合≠0，且合力与初速度方向在同一条直线上，则将做变速直线运动。
考点二　带电粒子在匀强电场中的偏转
一、带电粒子在匀强电场中的偏转
1．条件分析：带电粒子的初速度方向跟电场方向_____。
2．运动性质：______运动。
3．处理方法：利用运动的合成与分解。
(1)沿初速度方向：做_________运动。
(2)沿电场方向：做初速度为零的______直线运动。
(3)运动过程：如图所示(假设粒子能离开极板间)。
垂直
类平抛
匀速直线
匀加速
v0
v0t
二、示波管
1．构造
示波管的构造如图所示，它主要由________________________组成，管内抽成真空。
2．工作原理
(1)如果在偏转电极XX′之间和偏转电极YY′之间都没有加电压，电子束从电子枪射出后沿_________，打在荧光屏中心，在那里产生一个亮斑。
(2)示波管的YY′偏转电极上加的是待测的_________，XX′偏转电极通常接入仪器自身产生的锯齿形电压，叫作________。如果信号电压是周期性的，并且扫描电压与信号电压的________，就可以在荧光屏上得到待测信号在一个周期内随时间变化的稳定图像。
电子枪、偏转电极和荧光屏
直线运动
信号电压
扫描电压
周期相同
2．在示波管模型中，带电粒子经加速电场U1加速，再经偏转电场U2偏转后，需要经历一段匀速直线运动才会打到荧光屏上而显示亮点P，如图所示。
(1)确定最终偏移距离
思路一：
思路二：
(2)确定偏转后的动能(或速度)
思路一：
思路二：
例3　(多选)如图所示，三个同样的带电粒子a、b、c(不计重力)同时从同一位置沿同一方向垂直于电场线射入平行板电容器间的匀强电场，它们的运动轨迹如图，不考虑带电粒子间的相互作用，下列说法中正确的是(　　)
A．当b飞离电场的同时，a刚好打在下极板上
B．b和c同时飞离电场
C．进入电场时，c的速度最大，a的速度最小
D．在电场中运动过程中，c的动能增加量最小，a、b的动能增加量相同
例4　如图所示，一真空示波管的电子从灯丝K发出(初速度不计)，经灯丝与A板间的加速电场加速，从A板中心孔沿中心线KO射出，然后进入两块平行金属板M、N形成的偏转电场中(偏转电场可视为匀强电场)，电子进入M、N间电场时的速度与电场方向垂直，电子经过电场后打在荧光屏上的P点。已知加速电压为U1，M、N两板间的电压为U2，两板间的距离为d，板长为L，偏转电场的右端到荧光屏的距离为l，电子的质量为m，电荷量为e，不计电子重力。
(1)求电子穿过A板时的速度大小v0；
(2)求电子从偏转电场射出时的侧移量y；
(3)求OP的距离Y；
(4)电子从偏转电场射出时的侧移量y和偏转电压
U2的比叫作示波器的灵敏度，分析说明可采用哪些方法提高示波器的灵敏度。
考点三　带电粒子在交变电场中的运动
1．带电粒子在交变电场中的运动，通常只讨论电压的大小不变、方向做周期性变化(如方波)的情形。
2．带电粒子在交变电场中运动的分析要点
(1)注重全面分析(分析受力特点和运动规律)，抓住粒子的运动具有周期性和在空间上具有对称性的特征，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的边界条件。
(2)注意从两条思路出发：一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学规律分析；二是功能关系。
3．对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，若粒子穿过板间的时间极短，带电粒子穿过电场时可认为是在匀强电场中运动。
课时作业
[A组　基础巩固练]
1．下列带电粒子的初速度均为0，经过电压为U的电压加速后，获得速度最大的粒子是(　　)
A．质子 B．氚核 C．氦核 D．钠离子Na＋
2．如图所示，当今医学上对某些肿瘤采用质子疗法进行治疗，该疗法用一定能量的质子束照射肿瘤杀死癌细胞。现用一直线加速器来加速质子，使其从静止开始被加速到1．0×107 m/s。已知加速电场的电场强度大小为1．3×105 N/C，质子的质量为1．67×10－27 kg，电荷量为1．6×10－19 C，则下列说法正确的是(　　)
A．加速过程中质子电势能增加
B．质子所受到的静电力约为2×10－15 N
C．质子加速需要的时间约为8×10－6 s
D．加速器加速的直线长度约为4 m
4．(2021·全国乙卷)(多选)四个带电粒子的电荷量和质量分别为(＋q，m)、(＋q，2m)、(＋3q，3m)、(－q，m)，它们先后以相同的速度从坐标原点沿x轴正方向射入一匀强电场中，电场方向与y轴平行，不计重力。下列描绘这四个粒子运动轨迹的图像中，可能正确的是(　　)
6．如图甲所示，热电子由阴极飞出时的初速度忽略不计，电子发射装置的加速电压为U0，电容器极板长L＝10 cm，极板间距d＝10 cm，下极板接地，电容器右端到荧光屏的距离也是L＝10 cm，在电容器两极板间接一交变电压，上极板与下极板的电势差随时间变化的图像如图乙所示。每个电子穿过极板的时间都极短，可以认为电子穿过极板的过程中电压是不变的。求：
(1)在t＝0．06 s时刻，电子打在荧光
屏上的位置到O点的距离；
(2)荧光屏上有电子打到的区间长度。
答案：(1)13．5 cm　(2)30 cm
7．(2025·陕西省宝鸡市高三上模拟检测一)如图所示，竖直面内的圆形虚线区域内有一匀强电场，电场方向平行圆平面。圆形区域的半径为R，PQ是一条直径，与水平方向的夹角θ＝30°，A点位于P点的正下方。一个质量为m、带电荷量为＋q的粒子，从P点由静止释放后，从A点以速度v0射出电场区域，不计带电粒子的重力。
(1)求匀强电场的电场强度大小和方向；
(2)若粒子从P点水平射入电场，要使粒子恰好能从Q点射出，
求粒子的入射速度；
(3)若粒子从P点沿某一方向射入电场时，电势能变化量最大，
求此过程中粒子电势能变化量的最大值的绝对值。
9．如图是示波管的原理图。它由电子枪、偏转电极(XX′和YY′)、荧光屏组成。管内抽成真空，给电子枪通电后，如果在偏转电极XX′和YY′上都没有加电压，电子束将打在荧光屏的中心O点，在那里产生一个亮斑。下列说法不正确的是(　　)
A．要想让亮斑沿OY向上移动，需在偏转电极YY′上加电压，且Y′比Y电势高
B．要想让亮斑移到荧光屏的左下方，需在偏转电极XX′、YY′上加电压，且X比X′电势低、Y比Y′电势低
C．要想在荧光屏上出现一条竖直亮线，需在偏转电极YY′上加特定的周期性变化的电压
D．要想在荧光屏上出现一条正弦曲线，需在偏转电极XX′上加适当频率的扫描电压、在偏转电极YY′上加按正弦规律变化的电压
解析：要想让亮斑沿OY向上移动，需在偏转电极YY′上加电压，使电子受向上的电场力，则要使Y比Y′电势高，A错误；要想让亮斑移到荧光屏的左下方，则要使电子受到OX′以及OY′方向的电场力，需在偏转电极XX′、YY′上加电压，且X比X′电势低、Y比Y′电势低，B正确；由示波管的原理可知，要想在荧光屏上出现一条竖直亮线，需在偏转电极YY′上加特定的周期性变化的电压，C正确；要想在荧光屏上出现一条正弦曲线，需在偏转电极XX′上加适当频率的扫描电压、在偏转电极YY′上加按正弦规律变化的电压，D正确。本题选说法不正确的，故选A。

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