资源简介

物理
电势能和力学规律的综合应用
[案例剖析]
(18分)在动摩擦因数μ＝0．2的足够长的粗糙绝缘水平槽中，长为2L的绝缘轻质细杆两端各连接一个质量均为m的带电小球A和B，如图为俯视图(槽两侧光滑)。A球的电荷量为＋2q，B球的电荷量为－3q(均可视为质点，且不考虑两者间相互作用的库仑力)。现让A处于如图所示的①有界匀强电场区域MPQN内，已知虚线MP②恰位于细杆的中垂线上，MP和NQ的距离为3L，匀强电场的电场强度为E＝，方向水平向右。释放带电系统，让A、B③从静止开始运动(忽略小球运动中所产生的磁场造成的影响)。求：
(1)小球B第一次到达电场边界MP④所用的时间；
(2)小球A第一次⑤离开电场边界NQ时的速度大小；
(3)带电系统运动过程中，B球⑥电势能增加量的最大值。
[审题　抓住信息，准确推断]　
关键信息 信息挖掘
题干 ①有界匀强电场区域MPQN内 说明在空间MPQN内有电场，其他地方没有电场
②恰位于细杆的中垂线上 明确了系统开始运动的空间位置，此时只有A球受静电力
③从静止开始运动 系统开始运动时的初速度为零
问题 ④所用的时间 可利用牛顿第二定律及运动学公式求解
⑤离开电场边界NQ时的速度大小 分析A球在离开NQ前的运动情况：先加速运动，再减速运动
⑥电势能增加量的最大值 B球进入电场后受静电力方向向左，只要B球向右运动，电势能就会增加
[破题　形成思路，快速突破]　
(1)小球B第一次到达电场边界MP所用时间的求解。
①求B球进入电场前的加速度。
a．研究对象：A、B两球组成的系统；
b．列动力学方程：2Eq－μ·2mg＝2ma1。
②求B球第一次到达电场边界MP所用时间。
列运动学方程：L＝a1t。
(2)小球A第一次离开电场边界NQ时的速度大小求解。
①研究过程：从B球进入电场到A球第一次离开电场。
②小球B刚进入电场的速度v1的求解。
a．选择规律：运动学方程；
b．方程式：v＝2a1L。
③小球A第一次离开电场的速度v2的求解。
a．选择规律：动力学方程和运动学方程；
b．动力学方程式：2Eq－3Eq－μ·2mg＝2ma2；
运动学方程式：v－v＝2a2L。
(3)如何求带电系统运动过程中，B球电势能增加量的最大值？
提示：B球克服静电力做功越多，其增加的电势能越大。先求出A球出电场后系统的加速度和系统速度减小到零时A球离开右边界的距离x，判断x≤2L是否成立，以确定此时B球是否在电场中，如果在电场中，则利用静电力做功与电势能变化的关系求解，如果不在电场中，则进一步分析计算。
[解题　规范步骤，水到渠成]　
(1)带电系统开始运动后，先向右加速运动，当B进入电场区时，开始做减速运动。设B球进入电场前的过程中，系统的加速度为a1，由牛顿第二定律：2Eq－μ·2mg＝2ma1
解得：a1＝g(2分)
B球刚进入电场时，由L＝a1t(2分)
可得t1＝。(1分)
(2)设B从静止到刚进入电场的速度为v1，由v＝2a1L
可得v1＝(2分)
设B球进入电场后，系统的加速度为a2，由牛顿第二定律得：
2Eq－3Eq－μ·2mg＝2ma2
解得：a2＝－0．8g(2分)
之后系统做匀减速直线运动，设小球A第一次离开电场边界NQ时的速度大小为v2，由
v－v＝2a2L可得v2＝。(2分)
(3)当带电系统速度第一次为零时，此时A球已经到达右边界NQ右侧，B球克服静电力做的功越多，B球增加的电势能越多，设系统速度减小到零时，A球离右边界NQ的距离为x，A球离开电场后，系统的加速度为a3，由牛顿第二定律：－3Eq－2μmg＝2ma3
解得：a3＝－2g(2分)
由x＝解得：x＝0．1L<2L，所以B没有出电场，(3分)
故B电势能增加量的最大值为
ΔEp＝－W＝－[－3Eq(L＋x)]＝3Eq(L＋x)＝3Eq·1．1L＝3．3EqL＝3．96mgL。(2分)
[点题　突破瓶颈，稳拿满分]　
常见的思维障碍：
(1)在求小球A第一次离开电场边界NQ的速度大小时，错误地认为A球在电场中一直做匀加速直线运动，没有分析B球进入电场后，系统的受力情况发生了变化，导致结果错误。
(2)小球A离开电场之后，错误地认为B球的加速度不变，没有分析A球离开电场之后，系统的受力情况发生了变化，加速度发生了变化，导致结果错误。
课时作业
[A组　基础巩固练]
1．(2024·辽宁省沈阳市高三下三模)(多选)如图所示，质量m＝1 kg、带电量q＝＋0．1 C的小球(视为质点)与长L＝0．1 m的绝缘轻绳相连，轻绳另一端固定在O点，整个系统处在与竖直方向夹角为45°、场强大小E＝100 N/C的匀强电场中。AB为水平直径，CD为竖直直径，HF直径过O点且与CD夹角为45°。当小球绕O点在竖直平面内做圆周运动时，取g＝10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A．小球运动到D点时，动能最小
B．小球运动到A点时，动能最小
C．小球从A点运动到B点时，动能增加了2 J
D．小球从F点运动到H点时，机械能增加了2 J
2．(2024·辽宁高考)在水平方向的匀强电场中，一带电小球仅在重力和电场力作用下于竖直面(纸面)内运动。如图，若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线；若小球的初速度方向垂直于虚线，则其从O点出发运动到与O点等高处的过程中(　　)
A．动能减小，电势能增大 B．动能增大，电势能增大
C．动能减小，电势能减小 D．动能增大，电势能减小
3．(多选)如图甲所示，绝缘水平面上存在方向水平向右的匀强电场，一带电物块以一定的初速度从O点开始向右运动。取O点为电势零点，该物块的电势能与动能之和E总、电势能Ep随它离开O点的距离x变化的关系如图乙所示。由此能够确定的是(　　)
A．物块受到的静电力 B．匀强电场的场强大小
C．物块返回O点时的动能 D．物块与水平面间的动摩擦因数
4．(2024·河北高考)如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为q(q>0)，质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求：
(1)电场强度E的大小。
(2)小球在A、B两点的速度大小。
5．(2022·辽宁高考)如图所示，光滑水平面AB和竖直面内的光滑圆弧导轨在B点平滑连接，导轨半径为R。质量为m的带正电小球将轻质弹簧压缩至A点后由静止释放，脱离弹簧后经过B点时的速度大小为，之后沿导轨BO运动。以O为坐标原点建立直角坐标系xOy，在x≥－R区域有方向与x轴夹角为θ＝45°的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为mg。小球在运动过程中电荷量保持不变，重力加速度为g。求：
(1)弹簧压缩至A点时的弹性势能；
(2)小球经过O点时的速度大小；
(3)小球过O点后运动的轨迹方程。
[B组　综合提升练]
6．(2024·浙江6月选考)如图所示，空间原有大小为E、方向竖直向上的匀强电场，在此空间同一水平面的M、N点固定两个等量异种点电荷，绝缘光滑圆环ABCD垂直MN放置，其圆心O在MN的中点，半径为R，AC和BD分别为竖直和水平的直径。质量为m、电荷量为＋q的小球套在圆环上，从A点沿圆环以初速度v0做完整的圆周运动，则(　　)
A．小球从A到C的过程中电势能减少
B．小球不可能沿圆环做匀速圆周运动
C．可求出小球运动到B点时的加速度
D．小球在D点受到圆环的作用力方向平行MN
7．如图所示，空间存在三个相邻的水平面M、N和Q，水平面M、N之间的距离为h，其间区域存在水平向右的匀强电场，水平面N、Q之间区域存在大小相等、方向水平向左的匀强电场。质量为m、电荷量为q的带正电小球从电场上边界M的P点由静止释放，经过电场中边界N，最终从电场下边界Q离开。已知小球到达电场下边界Q时的速度方向恰好竖直向下，且此时动能为其经过电场中边界N时动能的2．56倍。不计空气阻力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　)
A．水平面N、Q之间的距离为2h
B．匀强电场的电场强度大小为
C．小球在M、N之间区域做平抛运动
D．小球在M、N间减小的电势能小于在N、Q间增加的电势能
8．(2025·新疆普通高考适应性检测高三上第一次模拟)空间有一水平向右的匀强电场，一质量为m、带电量为＋q的小球用一绝缘轻绳悬挂于O点。若将小球拉到最低点，并给小球垂直纸面向里的初速度v0，发现小球恰好沿一倾斜平面做匀速圆周运动，其圆心P与悬挂点O的连线与竖直方向成37°角，如图所示。已知重力加速度为g，小球可视为质点，忽略空气阻力，sin37°＝0．6，cos37°＝0．8，求：
(1)电场强度E的大小；
(2)小球从倾斜圆轨道的最低点A到最高点B的过程中，电势能的变化量。
[C组　拔尖培优练]
9．(2024·安徽高考)在某装置中的光滑绝缘水平面上，三个完全相同的带电小球，通过不可伸长的绝缘轻质细线，连接成边长为d的正三角形，如图甲所示。小球质量为m，带电量为＋q，可视为点电荷。初始时，小球均静止，细线拉直。现将球1和球2间的细线剪断，当三个小球运动到同一条直线上时，速度大小分别为v1、v2、v3，如图乙所示。该过程中三个小球组成的系统电势能减少了，k为静电力常量，不计空气阻力。则(　　)
A．该过程中小球3受到的合力大小始终不变
B．该过程中系统能量守恒，动量不守恒
C．在图乙位置，v1＝v2，v3≠2v1
D．在图乙位置，v3＝
（答案及解析）
[A组　基础巩固练]
1．(2024·辽宁省沈阳市高三下三模)(多选)如图所示，质量m＝1 kg、带电量q＝＋0．1 C的小球(视为质点)与长L＝0．1 m的绝缘轻绳相连，轻绳另一端固定在O点，整个系统处在与竖直方向夹角为45°、场强大小E＝100 N/C的匀强电场中。AB为水平直径，CD为竖直直径，HF直径过O点且与CD夹角为45°。当小球绕O点在竖直平面内做圆周运动时，取g＝10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A．小球运动到D点时，动能最小
B．小球运动到A点时，动能最小
C．小球从A点运动到B点时，动能增加了2 J
D．小球从F点运动到H点时，机械能增加了2 J
答案：BC
解析：对小球受力分析，所受电场力的大小qE＝10 N，重力mg＝10 N，在竖直方向上，有qEcos45°＝mg，可得二力的合力方向水平向右，即等效重力水平向右，如图所示，等效重力的大小F合＝＝10 N，则A点为圆周运动的等效最高点，故小球运动到A点时动能最小，故A错误，B正确；小球从A点运动到B点时，动能增加量等于合力做的功，即ΔEk＝F合×2L＝2 J，故C正确；小球从F点运动到H点时，克服电场力做功，机械能减少，故D错误。
2．(2024·辽宁高考)在水平方向的匀强电场中，一带电小球仅在重力和电场力作用下于竖直面(纸面)内运动。如图，若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线；若小球的初速度方向垂直于虚线，则其从O点出发运动到与O点等高处的过程中(　　)
A．动能减小，电势能增大 B．动能增大，电势能增大
C．动能减小，电势能减小 D．动能增大，电势能减小
答案：D
解析：小球的初速度方向沿虚线时，其运动轨迹为直线，可知小球所受电场力和重力的合力沿着虚线方向；已知电场强度方向为水平方向，则小球所受电场力沿水平方向，又因为小球所受重力竖直向下，根据平行四边形定则可知，小球所受合力沿虚线向下，所受电场力方向水平向右。若小球的初速度方向垂直于虚线，即与所受合力方向垂直，则小球做类平抛运动，从O点出发运动到与O点等高处的过程中，合力的方向与小球的运动方向始终成锐角，则合力对小球做正功，小球的动能增大；电场力的方向与小球的运动方向始终成锐角，则电场力对小球做正功，小球的电势能减小。故D正确。
3．(多选)如图甲所示，绝缘水平面上存在方向水平向右的匀强电场，一带电物块以一定的初速度从O点开始向右运动。取O点为电势零点，该物块的电势能与动能之和E总、电势能Ep随它离开O点的距离x变化的关系如图乙所示。由此能够确定的是(　　)
A．物块受到的静电力 B．匀强电场的场强大小
C．物块返回O点时的动能 D．物块与水平面间的动摩擦因数
答案：AC
解析：由克服静电力做的功等于电势能的增加量，即ΔEp＝－FΔx，结合图乙，可得物块受到的静电力F＝－＝－ N＝－10 N，负号表示静电力方向沿x轴负方向，由于不知道物块的电荷量，则无法求解匀强电场的场强大小，故A正确，B错误；由图乙可知，物块的初动能为Ek0＝100 J，当运动到x＝8 m处时物块的动能为0，设物块受到的滑动摩擦力大小为f，则此过程中根据动能定理有－(|F|＋f)x＝0－Ek0，得f＝2．5 N，物块从O点开始运动到返回到O点的过程中，由动能定理有－f×2x＝Ek－Ek0，得物块返回O点时的动能Ek＝Ek0－2fx＝100 J－2×2．5×8 J＝60 J，由于不知道物块的质量，则无法求解物块与水平面间的动摩擦因数，故C正确，D错误。
4．(2024·河北高考)如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为q(q>0)，质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求：
(1)电场强度E的大小。
(2)小球在A、B两点的速度大小。
答案：(1) 　(2)　
解析：(1)根据匀强电场中电势差与电场强度的关系可知，电场强度的大小为E＝。
(2)设小球在A点的速度大小为vA，在B点的速度大小为vB。小球在A点时，细线对小球的拉力为0，对小球，根据牛顿第二定律得
Eq－mg＝m
解得vA＝
从A到B的过程，对小球，根据动能定理得
qU－mgL＝mv－mv
解得vB＝。
5．(2022·辽宁高考)如图所示，光滑水平面AB和竖直面内的光滑圆弧导轨在B点平滑连接，导轨半径为R。质量为m的带正电小球将轻质弹簧压缩至A点后由静止释放，脱离弹簧后经过B点时的速度大小为，之后沿导轨BO运动。以O为坐标原点建立直角坐标系xOy，在x≥－R区域有方向与x轴夹角为θ＝45°的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为mg。小球在运动过程中电荷量保持不变，重力加速度为g。求：
(1)弹簧压缩至A点时的弹性势能；
(2)小球经过O点时的速度大小；
(3)小球过O点后运动的轨迹方程。
答案：(1)mgR　(2)
(3)y2＝6Rx(x>0，y>0)
解析：(1)小球从A点运动到B点的过程，根据能量守恒定律得Ep＝mv
其中vB＝
解得弹簧压缩至A点时的弹性势能Ep＝mgR。
(2)小球从B点运动到O点的过程，根据动能定理有
－mgR＋qE·＝mv－mv
其中qE＝mg
解得小球经过O点时的速度大小vO＝。
(3)小球运动至O点时速度竖直向上，之后只受电场力和重力作用，将电场力沿x轴方向和y轴方向分解，则
x轴方向有qEcos45°＝max
y轴方向有qEsin45°－mg＝may
解得ax＝g，ay＝0
说明小球过O点后在第一象限做类平抛运动，有x＝gt2，y＝vOt
联立解得小球过O点后运动的轨迹方程为y2＝6Rx(x>0，y>0)。
[B组　综合提升练]
6．(2024·浙江6月选考)如图所示，空间原有大小为E、方向竖直向上的匀强电场，在此空间同一水平面的M、N点固定两个等量异种点电荷，绝缘光滑圆环ABCD垂直MN放置，其圆心O在MN的中点，半径为R，AC和BD分别为竖直和水平的直径。质量为m、电荷量为＋q的小球套在圆环上，从A点沿圆环以初速度v0做完整的圆周运动，则(　　)
A．小球从A到C的过程中电势能减少
B．小球不可能沿圆环做匀速圆周运动
C．可求出小球运动到B点时的加速度
D．小球在D点受到圆环的作用力方向平行MN
答案：C
解析：小球从A到C的过程，等量异种点电荷的电场对小球的电场力F1方向与MN平行，该电场力对小球不做功，匀强电场对小球的电场力F2＝Eq，方向竖直向上，该电场力对小球做负功，则合电场力对小球做负功，小球电势能增加，故A错误；当F2＝mg时，圆环对小球的弹力和两异种点电荷的电场力的合力始终指向圆心O，小球沿圆环做匀速圆周运动，故B错误；小球从A到B，根据动能定理，有(mg－Eq)R＝mv－mv，小球运动到B点时，设向心加速度为a1，根据牛顿第二定律，有ma1＝m，联立可求出a1的大小、方向，小球运动到B点时，设切向加速度为a2，在竖直方向，以竖直向下为正方向，根据牛顿第二定律，有mg－Eq＝ma2，可求出a2的大小、方向，根据矢量合成，可求出小球运动到B点的加速度的大小、方向，故C正确；小球经过D点时，所受重力、匀强电场的电场力与AC方向平行，所受两异种点电荷的电场力与MN方向平行，均不能提供向心力，则小球在D点受到圆环的作用力在垂直MN指向O方向的分力不为零，故小球在D点受到圆环的作用力方向不平行MN，故D错误。
7．如图所示，空间存在三个相邻的水平面M、N和Q，水平面M、N之间的距离为h，其间区域存在水平向右的匀强电场，水平面N、Q之间区域存在大小相等、方向水平向左的匀强电场。质量为m、电荷量为q的带正电小球从电场上边界M的P点由静止释放，经过电场中边界N，最终从电场下边界Q离开。已知小球到达电场下边界Q时的速度方向恰好竖直向下，且此时动能为其经过电场中边界N时动能的2．56倍。不计空气阻力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　)
A．水平面N、Q之间的距离为2h
B．匀强电场的电场强度大小为
C．小球在M、N之间区域做平抛运动
D．小球在M、N间减小的电势能小于在N、Q间增加的电势能
答案：B
解析：根据题意可知，小球在电场中运动时，受重力和电场力，竖直方向上做自由落体运动，水平方向在M、N之间区域向右做初速度为零的匀加速直线运动，在N、Q之间区域向右做末速度为零的匀减速直线运动，则小球在M、N之间区域做初速度为零的匀加速直线运动，故C错误；两区域电场强度等大反向，则小球在两区域运动时水平方向加速度等大反向，则小球在M、N之间与在N、Q之间的运动时间相同，水平位移大小相同，则在M、N之间电场力做的功与在N、Q之间克服电场力做的功相等，由功能关系可知小球在M、N间减小的电势能等于在N、Q间增加的电势能，故D错误；设水平面N、Q之间的距离为h′，小球在竖直方向做自由落体运动，又在M、N间与N、Q间运动时间相同，由初速度为零的匀变速直线运动规律可得h∶h′＝1∶3，则h′＝3h，故A错误；设小球在M、N之间和N、Q之间的运动时间均为t，水平方向的加速度大小为a，则在边界N上时，水平分速度vNx＝at，其中a＝，竖直分速度为vNy＝gt，此时动能为EkN＝m(v＋v)，小球在边界Q上时，vQ＝g·2t，此时动能EkQ＝mv，又EkQ＝2．56EkN，解得E＝，B正确。
8．(2025·新疆普通高考适应性检测高三上第一次模拟)空间有一水平向右的匀强电场，一质量为m、带电量为＋q的小球用一绝缘轻绳悬挂于O点。若将小球拉到最低点，并给小球垂直纸面向里的初速度v0，发现小球恰好沿一倾斜平面做匀速圆周运动，其圆心P与悬挂点O的连线与竖直方向成37°角，如图所示。已知重力加速度为g，小球可视为质点，忽略空气阻力，sin37°＝0．6，cos37°＝0．8，求：
(1)电场强度E的大小；
(2)小球从倾斜圆轨道的最低点A到最高点B的过程中，电势能的变化量。
答案：(1)　(2)减小mv
解析：(1)带电小球在倾斜平面做匀速圆周运动，因此重力和电场力的合力沿OP方向，如图所示，由矢量的合成定则可知Eq＝mgtan37°
解得E＝。
(2)如图所示，小球做匀速圆周运动时合力指向圆心，大小为F合＝F合1tan37°
其中重力和电场力的合力F合1＝
设小球做圆周运动的半径为R，根据向心力公式有F合＝
从A点到B点的过程中，电场力对小球做的功为W＝2EqRcos37°
小球电势能的变化量为ΔEp＝－W
联立解得ΔEp＝－mv
即电势能减小mv。
[C组　拔尖培优练]
9．(2024·安徽高考)在某装置中的光滑绝缘水平面上，三个完全相同的带电小球，通过不可伸长的绝缘轻质细线，连接成边长为d的正三角形，如图甲所示。小球质量为m，带电量为＋q，可视为点电荷。初始时，小球均静止，细线拉直。现将球1和球2间的细线剪断，当三个小球运动到同一条直线上时，速度大小分别为v1、v2、v3，如图乙所示。该过程中三个小球组成的系统电势能减少了，k为静电力常量，不计空气阻力。则(　　)
A．该过程中小球3受到的合力大小始终不变
B．该过程中系统能量守恒，动量不守恒
C．在图乙位置，v1＝v2，v3≠2v1
D．在图乙位置，v3＝
答案：D
解析：在剪断细线瞬间，小球3由静止开始向左运动，具有加速度，由牛顿第二定律可知，小球3所受合力不为0，当三个小球运动到同一条直线上时，由对称性可知，小球3受到小球1和2的电场力大小相等，方向相反，受到两细线的拉力大小相等、方向相反，此时所受合力为0，故该过程中小球3受到的合力大小是改变的，A错误；对三个小球组成的系统受力分析可知，系统受到重力和水平面的支持力，且二力平衡，所以系统所受合力为0，则在该过程中系统的动量守恒，没有外力对系统做功，则系统内的电势能与动能相互转化，能量守恒，B错误；以水平向左为正方向，根据动量守恒定律，有mv3－m(v1＋v2)＝0，因为小球1和小球2的运动具有对称性，则两小球的速度大小时刻相等，即v1＝v2，联立解得v3＝2v1，C错误；由能量守恒定律可得，＝mv＋mv＋mv，联立解得v3＝，D正确。
10(共36张PPT)
第八章　静电场
第6讲　专题：电场中的力电综合问题
满分指导 电势能和力学规律的综合应用
目录
1
2
满分指导 电势能和力学规律的综合应用
课时作业
满分指导 电势能和力学规律的综合应用
(1)小球B第一次到达电场边界MP④所用的时间；
(2)小球A第一次⑤离开电场边界NQ时的速度大小；
(3)带电系统运动过程中，B球⑥电势能增加量的最大值。
[审题　抓住信息，准确推断]　
关键信息 信息挖掘
题干 ①有界匀强电场区域MPQN内 说明在空间MPQN内有电场，其他地方没有电场
②恰位于细杆的中垂线上 明确了系统开始运动的空间位置，此时只有A球受静电力
③从静止开始运动 系统开始运动时的初速度为零
问题 ④所用的时间 可利用牛顿第二定律及运动学公式求解
⑤离开电场边界NQ时的速度大小 分析A球在离开NQ前的运动情况：先加速运动，再减速运动
⑥电势能增加量的最大值 B球进入电场后受静电力方向向左，只要B球向右运动，电势能就会增加
[破题　形成思路，快速突破]　
(1)小球B第一次到达电场边界MP所用时间的求解。
①求B球进入电场前的加速度。
a．研究对象：____________________；
b．列动力学方程：_________________。
②求B球第一次到达电场边界MP所用时间。
列运动学方程：________。
A、B两球组成的系统
2Eq－μ·2mg＝2ma1
(2)小球A第一次离开电场边界NQ时的速度大小求解。
①研究过程：_________________________________。
②小球B刚进入电场的速度v1的求解。
a．选择规律：___________；
b．方程式：________。
③小球A第一次离开电场的速度v2的求解。
a．选择规律：_____________________；
b．动力学方程式：______________________；
运动学方程式：______________。
从B球进入电场到A球第一次离开电场
运动学方程
动力学方程和运动学方程
2Eq－3Eq－μ·2mg＝2ma2
(3)如何求带电系统运动过程中，B球电势能增加量的最大值？
提示：B球克服静电力做功越多，其增加的电势能越大。先求出A球出电场后系统的加速度和系统速度减小到零时A球离开右边界的距离x，判断x≤2L是否成立，以确定此时B球是否在电场中，如果在电场中，则利用静电力做功与电势能变化的关系求解，如果不在电场中，则进一步分析计算。
[点题　突破瓶颈，稳拿满分]　
常见的思维障碍：
(1)在求小球A第一次离开电场边界NQ的速度大小时，错误地认为A球在电场中一直做匀加速直线运动，没有分析B球进入电场后，系统的受力情况发生了变化，导致结果错误。
(2)小球A离开电场之后，错误地认为B球的加速度不变，没有分析A球离开电场之后，系统的受力情况发生了变化，加速度发生了变化，导致结果错误。
课时作业
［A组　基础巩固练］
2．(2024·辽宁高考)在水平方向的匀强电场中，一带电小球仅在重力和电场力作用下于竖直面(纸面)内运动。如图，若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线；若小球的初速度方向垂直于虚线，则其从O点出发运动到与O点等高处的过程中(　　)
A．动能减小，电势能增大
B．动能增大，电势能增大
C．动能减小，电势能减小
D．动能增大，电势能减小
解析：小球的初速度方向沿虚线时，其运动轨迹为直线，可知
小球所受电场力和重力的合力沿着虚线方向；已知电场强度方向为
水平方向，则小球所受电场力沿水平方向，又因为小球所受重力竖
直向下，根据平行四边形定则可知，小球所受合力沿虚线向下，所
受电场力方向水平向右。若小球的初速度方向垂直于虚线，即与所受合力方向垂直，则小球做类平抛运动，从O点出发运动到与O点等高处的过程中，合力的方向与小球的运动方向始终成锐角，则合力对小球做正功，小球的动能增大；电场力的方向与小球的运动方向始终成锐角，则电场力对小球做正功，小球的电势能减小。故D正确。
3．(多选)如图甲所示，绝缘水平面上存在方向水平向右的匀强电场，一带电物块以一定的初速度从O点开始向右运动。取O点为电势零点，该物块的电势能与动能之和E总、电势能Ep随它离开O点的距离x变化的关系如图乙所示。由此能够确定的是(　　)
A．物块受到的静电力
B．匀强电场的场强大小
C．物块返回O点时的动能
D．物块与水平面间的动摩擦因数
4．(2024·河北高考)如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为q(q>0)，质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求：
(1)电场强度E的大小。
(2)小球在A、B两点的速度大小。
[B组　综合提升练]
6．(2024·浙江6月选考)如图所示，空间原有大小为E、方向竖直向上的匀强电场，在此空间同一水平面的M、N点固定两个等量异种点电荷，绝缘光滑圆环ABCD垂直MN放置，其圆心O在MN的中点，半径为R，AC和BD分别为竖直和水平的直径。质量为m、电荷量为＋q的小球套在圆环上，从A点沿圆环以初速度v0做完整的圆周运动，则(　　)
A．小球从A到C的过程中电势能减少
B．小球不可能沿圆环做匀速圆周运动
C．可求出小球运动到B点时的加速度
D．小球在D点受到圆环的作用力方向平行MN
8．(2025·新疆普通高考适应性检测高三上第一次模拟)空间有一水平向右的匀强电场，一质量为m、带电量为＋q的小球用一绝缘轻绳悬挂于O点。若将小球拉到最低点，并给小球垂直纸面向里的初速度v0，发现小球恰好沿一倾斜平面做匀速圆周运动，其圆心P与悬挂点O的连线与竖直方向成37°角，如图所示。已知重力加速度为g，小球可视为质点，忽略空气阻力，sin37°＝0．6，cos37°＝0．8，求：
(1)电场强度E的大小；
(2)小球从倾斜圆轨道的最低点A到最高点B的过程中，电
势能的变化量。

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