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物理
第讲　专题：带电粒子在有界匀强磁场中的运动
考点一　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1．解题关键——确定轨迹圆心
求解带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题，首先应画出轨迹圆示意图，找出轨迹圆心。确定轨迹圆心的3个依据：
(1)圆心一定在垂直于速度的直线上；
(2)圆心一定在弦的中垂线上；
(3)圆心与轨迹圆上任一点的距离一定等于轨迹半径。
常见情境：
①如图甲，若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心。
②如图乙，若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心。
③如图丙，若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r＝计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦兹力方向距离为r的位置为圆心。
2．轨迹半径的计算
方法一(由动力学关系求)：由于qvB＝，所以轨迹半径r＝；
方法二(由几何关系求)：作辅助线构造出与轨迹半径相关的三角形(通常是直角三角形)，根据勾股定理、三角函数求解，或根据正弦定理、余弦定理求解。
例如：如图所示，R＝，或由R2＝L2＋(R－d)2求得R。
3．运动时间的计算
方法一(由运动轨迹圆弧所对的圆心角α、圆周运动的周期T求)：t＝·T；
方法二(由运动的弧长s、线速度v求)：t＝。
4．作图及分析带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹时需要注意的问题
四个点：入射点、出射点、轨迹圆心、入射速度所在直线与出射速度所在直线的交点。
六条线：圆弧两端点所在的轨迹半径，入射速度所在直线和出射速度所在直线，入射点与出射点的连线，圆心与两条速度所在直线交点的连线。
三个角：速度偏转角、圆心角、弦切角(如图所示)。粒子速度的偏转角(φ)等于轨迹所对圆心角(α)，并等于AB弦与圆切线的夹角(弦切角θ)的2倍，即φ＝α＝2θ＝ωt。
例1　(多选)空间中虚线上方存在匀强磁场，磁感应强度为B，一群电子以不同速率v从边界上的P点以相同的方向射入磁场，其中某一速率为v0的电子从Q点射出，如图所示。已知电子入射方向与边界夹角为θ，则由以上条件可判断(　　)
A．该匀强磁场的方向是垂直纸面向里
B．所有电子在磁场中的轨迹相同
C．速率大的电子在磁场中运动的时间长
D．与进入磁场时相比，出磁场时，所有电子的速度方向都改变了2θ
带电粒子在单直线边界 匀强磁场区域运动的特点 等角进出：粒子进、出磁场时，速度与边界的夹角相等，即入射点的弦切角等于出射点的弦切角，如图所示。
例2　(多选)如图所示，在Oxy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带电粒子从y轴上的M点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角θ＝45°。粒子经过磁场偏转后在N点(图中未画出)垂直穿过x轴。已知OM＝a，粒子电荷量为q，质量为m，重力不计。则(　　)
A．粒子带负电荷
B．粒子速度大小为
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为a
D．N与O点相距(＋1)a
例3　(2025·河南省九师联盟高三上12月联考)(多选)如图所示，在半径为R的圆形区域内(圆心为O)有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子沿PO方向从P点射入圆形区域，经过时间t从圆上Q点(图中未标出)射出。已知PQ连线长度为R，不计粒子的重力，下列说法正确的是(　　)
A．带电粒子的速度为
B．带电粒子在圆形区域中运动的时间为
C．若仅将粒子入射速度的大小减小为原来的，在圆形区域中运动的时间为
D．若仅将粒子入射速度的大小减小为原来的，在圆形区域中运动的时间为
带电粒子在圆形边界匀强磁场区域运动的特点 (1)径向进出 若粒子沿着边界圆的某一半径方向进入磁场，则粒子离开磁场时速度的反向延长线一定过磁场区域的圆心(即沿着另一半径方向射出)。如图甲所示。 (2)等角进出 若粒子射入磁场时速度方向与入射点对应半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与出射点对应半径夹角也为θ。如图乙所示。
考点二　带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
1．带电粒子电性不确定形成多解
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。
如图甲，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如果粒子带正电，其轨迹为a，如果粒子带负电，其轨迹为b。
2．磁感应强度大小或方向不确定形成多解
如图乙，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如果B垂直纸面向里，其轨迹为a，如果B垂直纸面向外，其轨迹为b。
3．带电粒子射入磁场时的速度大小或方向不确定形成多解
有些题目只指明了带电粒子的电性，但未具体指出粒子射入磁场时速度的大小或方向，此时必须要考虑由于速度的不确定而形成的多解。
如图丙所示，带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界匀强磁场时，由于粒子速度大小不确定，因此，它飞出磁场的情况不唯一，可能穿过下边界，也可能转过180°反向飞出，于是形成多解。
4．带电粒子运动的周期性或往复性形成多解
带电粒子在磁场中运动时，若因为磁场周期性变化、粒子与挡板反复碰撞或与电场组合等原因而导致运动具有周期性或往复性，则通常会形成多解。如图丁所示，粒子进入磁场的位置、时间不唯一。
例4　(2022·湖北高考)(多选)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为(　　)
A．kBL，0° B．kBL，0°
C．kBL，60° D．2kBL，60°
例5　(多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示。磁感应强度为B，板间距离为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　　)
A．使粒子的速度v< B．使粒子的速度v>
C．使粒子的速度v> D．使粒子的速度（答案及解析）
例1　(多选)空间中虚线上方存在匀强磁场，磁感应强度为B，一群电子以不同速率v从边界上的P点以相同的方向射入磁场，其中某一速率为v0的电子从Q点射出，如图所示。已知电子入射方向与边界夹角为θ，则由以上条件可判断(　　)
A．该匀强磁场的方向是垂直纸面向里
B．所有电子在磁场中的轨迹相同
C．速率大的电子在磁场中运动的时间长
D．与进入磁场时相比，出磁场时，所有电子的速度方向都改变了2θ
[答案]　AD
[解析]　根据左手定则判断可知，该匀强磁场的方向垂直纸面向里，故A正确。电子进入磁场后受到洛伦兹力而做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得evB＝m，解得电子的轨迹半径r＝，则电子的轨迹半径与电子的速率成正比，速率不同，轨迹半径不同，则在磁场中的轨迹不同，故B错误。根据圆的对称性可知，所有电子离开磁场时速度方向与PQ线的夹角都是θ，则与进入磁场时相比，出磁场时所有电子的速度方向都改变了2θ，由几何知识可知，所有电子在磁场中的轨迹对应的圆心角都是2θ，电子在磁场中运动的周期T＝，解得T＝，可知所有电子做圆周运动的周期都相同，则所有电子在磁场中运动的时间都相同，为t＝·T＝，故C错误，D正确。
例2　(多选)如图所示，在Oxy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带电粒子从y轴上的M点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角θ＝45°。粒子经过磁场偏转后在N点(图中未画出)垂直穿过x轴。已知OM＝a，粒子电荷量为q，质量为m，重力不计。则(　　)
A．粒子带负电荷
B．粒子速度大小为
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为a
D．N与O点相距(＋1)a
[答案]　AD
[解析]　由题意知，粒子运动的轨迹如图所示，根据左手定则可知，粒子带负电荷，A正确；由于初速度方向与y轴正方向的夹角θ＝45°，根据几何关系可知∠OMO1＝∠OO1M＝45°，OM＝OO1＝a，则粒子在磁场中运动的轨道半径为r＝O1M＝a，C错误；洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，解得粒子速度大小为v＝，B错误；N与O点的距离为NO＝OO1＋r＝(＋1)a，D正确。
例3　(2025·河南省九师联盟高三上12月联考)(多选)如图所示，在半径为R的圆形区域内(圆心为O)有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子沿PO方向从P点射入圆形区域，经过时间t从圆上Q点(图中未标出)射出。已知PQ连线长度为R，不计粒子的重力，下列说法正确的是(　　)
A．带电粒子的速度为
B．带电粒子在圆形区域中运动的时间为
C．若仅将粒子入射速度的大小减小为原来的，在圆形区域中运动的时间为
D．若仅将粒子入射速度的大小减小为原来的，在圆形区域中运动的时间为
[答案]　BD
[解析]　作出粒子的运动轨迹如图所示，根据几何关系可得2Rsinα＝R，则α＝60°，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径r＝Rtanα＝R，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，联立解得v＝，故A错误；根据几何关系可知，带电粒子的轨迹所对应的圆心角为θ＝2(90°－α)＝60°＝，在圆形区域中运动的时间为t＝＝，故B正确；将粒子入射
速度的大小减小为原来的，由洛伦兹力提供向心力有vqB＝m，解得粒子做圆周运动的轨迹半径为r′＝，根据几何关系可知，粒子在圆形区域中的轨迹所对应的圆心角θ′满足tan＝，解得θ′＝，其在圆形区域中运动的时间为t′＝＝，故C错误，D正确。
例4　(2022·湖北高考)(多选)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为(　　)
A．kBL，0° B．kBL，0°
C．kBL，60° D．2kBL，60°
[答案]　BC
[解析]　若离子最后经过下部分磁场从P点射出，如图1，则θ＝60°，R＝(n＝1，3，5，…)，又qvB＝m，可得v＝＝(n＝1，3，5，…)；若离子最后经过上部分磁场从P点射出，如图2，则θ＝0°，R＝(n＝2，4，6，…)，又qvB＝m，可得v＝＝(n＝2，4，6，…)。综上可知，B、C可能，A、D不可能。
例5　(多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示。磁感应强度为B，板间距离为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　　)
A．使粒子的速度v< B．使粒子的速度v>
C．使粒子的速度v> D．使粒子的速度[答案]　AB
[解析]　如图所示，若带电粒子刚好打在极板右边缘，有r＝＋l2，又因为qv1B＝m，解得v1＝；若粒子刚好打在极板左边缘，有r2＝，又qv2B＝m，解得v2＝。欲使粒子不打在极板上，应使v<或v>，故A、B正确，C、D错误。
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第十章　磁场
第3讲　专题：带电粒子在
有界匀强磁场中的运动
目录
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考点一　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
考点二　带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
考点一　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1．解题关键——确定轨迹圆心
求解带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题，首先应画出轨迹圆示意图，找出轨迹圆心。确定轨迹圆心的3个依据：
(1)圆心一定在垂直于速度的直线上；
(2)圆心一定在弦的中垂线上；
(3)圆心与轨迹圆上任一点的距离一定等于轨迹半径。
六条线：圆弧两端点所在的轨迹半径，入射速度所在直线和出射速度所在直线，入射点与出射点的连线，圆心与两条速度所在直线交点的连线。
三个角：速度偏转角、圆心角、弦切角(如图所示)。粒子速度的偏转角(φ)等于轨迹所对圆心角(α)，并等于AB弦与圆切线的夹角(弦切角θ)的2倍，即φ＝α＝2θ＝ωt。
例1　(多选)空间中虚线上方存在匀强磁场，磁感应强度为B，一群电子以不同速率v从边界上的P点以相同的方向射入磁场，其中某一速率为v0的电子从Q点射出，如图所示。已知电子入射方向与边界夹角为θ，则由以上条件可判断(　　)
A．该匀强磁场的方向是垂直纸面向里
B．所有电子在磁场中的轨迹相同
C．速率大的电子在磁场中运动的时间长
D．与进入磁场时相比，出磁场时，所有电子的速度方向都改变了2θ
带电粒子在单直线边界匀强磁场区域运动的特点
等角进出：粒子进、出磁场时，速度与边界的夹角相等，即入射点的弦切角等于出射点的弦切角，如图所示。
带电粒子在圆形边界匀强磁场区域运动的特点
(1)径向进出
若粒子沿着边界圆的某一半径方向进入磁场，则粒子离开磁场时速度的反向延长线一定过磁场区域的圆心(即沿着另一半径方向射
出)。如图甲所示。
(2)等角进出
若粒子射入磁场时速度方向与入射点对应半径夹
角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与出射点对应半径夹角也为θ。如图乙所示。
考点二　带电粒子在有界匀强磁场中运动的
多解问题
1．带电粒子电性不确定形成多解
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。
如图甲，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如果粒子带正电，其轨迹为a，如果粒子带负电，其轨迹为b。
2．磁感应强度大小或方向不确定形成多解
如图乙，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如果B垂直纸面向里，其轨迹为a，如果B垂直纸面向外，其轨迹为b。
3．带电粒子射入磁场时的速度大小或方向不确定形成多解
有些题目只指明了带电粒子的电性，但未具体指出粒子射入磁场时速度的大小或方向，此时必须要考虑由于速度的不确定而形成的多解。
如图丙所示，带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界匀强磁场时，由于粒子速度大小不确定，因此，它飞出磁场的情况不唯一，可能穿过下边界，也可能转过180°反向飞出，于是形成多解。
4．带电粒子运动的周期性或往复性形成多解
带电粒子在磁场中运动时，若因为磁场周期性变化、粒子与挡板反复碰撞或与电场组合等原因而导致运动具有周期性或往复性，则通常会形成多解。如图丁所示，粒子进入磁场的位置、时间不唯一。

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