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物理
第讲　专题：用“动态圆”思想处理临界、极值问题
考点一　“放缩圆”
适用条件 入射点相同，速度方向一定、大小不同 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的增大而增大，如图所示
轨迹圆圆心特点 轨迹圆圆心共线 运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上
临界轨迹界定方法 缩放轨迹圆 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径缩放作轨迹圆，从而探索粒子的临界条件
例1　(多选)如图所示，仅在x>0、y>0的空间中存在垂直xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。在x轴上有一粒子源P，到坐标原点的距离为L，可垂直于磁场沿着与x轴成30°角的方向发射速率不同的相同粒子，粒子质量为m、电荷量为＋q。不计重力的影响，则下列有关说法中正确的是(　　)
A．粒子从x轴上射出的位置坐标可能是
B．粒子从x轴上射出的位置坐标可能是
C．粒子在磁场中运动的最长时间为
D．粒子在磁场中运动的最长时间为
跟进训练　(多选)如图所示，半径分别为R和2R的同心圆处于同一平面内，O为圆心。两圆形成的圆环内(含边界)有垂直圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为－q(q>0)的粒子由大圆上的A点以速率v沿大圆切线方向进入磁场，粒子仅在磁场中运动，不计粒子的重力，则粒子运动速率v可能为(　　)
A． B．
C． D．
考点二　“旋转圆”
适用条件 入射点相同，速度大小一定、方向不同 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则圆周运动半径为r＝，如图所示
轨迹圆圆心特点 轨迹圆圆心共圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点O为圆心、半径r＝的圆上
临界轨迹界定方法 旋转轨迹圆 将半径为r＝的轨迹圆以入射点为定点进行旋转，从而探索粒子的临界条件
例2　(2025·河北省唐山市高三上期中)(多选)如图，直角三角形OAC区域内有垂直于纸面向外、磁感应强度大小未知的匀强磁场，∠A＝30°、OC边长为L，在C点有放射源S，可以向磁场内各个方向发射速率为v0的同种带正电的粒子，粒子的比荷为K。S发射的粒子有三分之二可以穿过OA边界，OA含在边界以内，不计重力及粒子之间的相互影响。则(　　)
A．磁感应强度大小为 B．磁感应强度大小为
C．OA上粒子出射区域长度为L D．OA上粒子出射区域长度为
跟进训练　如图所示，在直角坐标系xOy中，x轴上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向外。许多质量为m、电荷量为＋q的粒子以相同的速率v从原点O沿纸面内由从x轴负方向到y轴正方向之间的各个方向射入磁场区域。不计重力及粒子间的相互作用。下列图中阴影部分表示带电粒子在磁场中可能经过的区域，其中R＝，则正确的图是(　　)
考点三　“平移圆”
适用条件 入射点在同一直线上，且速度大小、方向均相同 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则运动半径r＝，如图所示
轨迹圆圆心特点 轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在与入射点所在直线平行的同一直线上
临界轨迹界定方法 平移轨迹圆 将半径为r＝的圆沿入射点所在直线进行平移，从而探索粒子的临界条件
例3　(多选)如图所示，在直角三角形ABC内充满垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，AB边长度为d，∠B＝。现垂直AB边射入一束质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v的带正电粒子。已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，而运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为t0(不计重力)，则下列说法中正确的是(　　)
A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t0
B．该匀强磁场的磁感应强度大小为
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为d
D．粒子进入磁场时速度大小为
课时作业
[A组　基础巩固练]
1．(2024·陕西省安康市高三上期末)(多选)如图，一束电子以大小不同的速率沿图示方向飞入一正方形的匀强磁场区，对从正方形右侧边离开磁场的电子，下列判断正确的是(　　)
A．从a点离开的电子速度最小
B．从a点离开的电子在磁场中运动时间最短
C．从b点离开的电子运动半径最小
D．从b点离开的电子速度偏转角最小
2．(2025·河南省周口市高三上模拟训练)在xOy平面的0≤yA． B．
C． D．
3．如图所示，有界匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，MN为其左边界，磁场中沿磁场方向放置一表面涂有荧光材料、底面半径为R的圆柱体，电子打到圆柱体表面时荧光材料会发出荧光，且被圆柱体吸收。圆柱体的底面圆心O到磁场边界MN的距离为2R。一平行电子束以垂直边界MN向右的初速度v0＝射入磁场，已知电子质量为m，电荷量为e，则图示截面圆上发光部分的长度等于(　　)
A．πR B．πR
C．πR D．πR
4．(2024·四川省内江市高三下三模)(多选)如图，在等腰梯形abcd区域内(包含边界)存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，边长ad＝dc＝bc＝l，ab＝2l。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从a点沿着ad方向射入磁场中，不计粒子的重力，为了使粒子不能从bc边射出磁场区域，粒子的速率可能为(　　)
A． B．
C． D．
5．(2025·河北省张家口市高三上模拟仿真训练)(多选)如图所示，等腰直角三角形区域分布有垂直纸面向里的匀强磁场，腰长AB＝2 m，O为BC的中点，磁感应强度B＝0．25 T，一群质量m＝1×10－7 kg，电荷量为－q＝－2×10－3 C的带电粒子以速度v＝5×103 m/s垂直于BO，从BO之间射入磁场区域，带电粒子不计重力，则(　　)
A．在AC边界上有粒子射出的长度为(－1) m
B．C点有粒子射出
C．在AB边界上有粒子射出的长度为1 m
D．磁场中运动时间最长的粒子从底边距B点(－1) m处入射
6．如图所示，以直角三角形abc为边界的区域存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，S为位于ac边中点的一个粒子源，某一时刻在纸面内向各个方向发射速率相同的带正电粒子。已知垂直ac边入射的粒子恰好从a点出射，粒子的质量为m，电荷量为q，∠c＝30°，ac＝L，不计粒子重力。求：
(1)粒子的速率；
(2)粒子在磁场中运动的最长时间。
[B组　综合提升练]
7．真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为(　　)
A． B．
C． D．
8．(多选)如图所示，边长为L的正三角形abc区域内(含边界)存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，正三角形中心O有一粒子源，可以沿abc平面任意方向发射相同的带电粒子，粒子质量为m，电荷量为q。粒子速度大小为v时，恰好没有粒子穿出磁场区域，不计粒子的重力。下列说法正确的是(　　)
A．磁感应强度大小为
B．磁感应强度大小为
C．若发射粒子速度为2v时，在磁场中运动的最短时间为
D．若发射粒子速度为2v时，在磁场中运动的最短时间为
9．(多选)如图所示，半径为R的圆形区域内有一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，P是磁场边界上的最低点。大量质量均为m，电荷量为－q(q>0)的带电粒子，以相同的速率从P点向纸面内的各个方向射入磁场区域。已知粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径r＝2R，A、C为圆形区域水平直径的两个端点，粒子的重力、空气阻力和粒子间的相互作用均不计，则下列说法正确的是(　　)
A．粒子射入磁场时的速率为v＝
B．粒子在磁场中运动的最长时间为t＝
C．不可能有粒子从C点射出磁场
D．不可能有粒子从A点沿水平方向射出磁场
10．(2024·内蒙古包头市高三下一模)如图，一直角三角形边界的匀强磁场的磁感应强度为B，其中ac＝2d，bc＝d，c点有一发射带正电粒子的粒子源，粒子以不同速率沿不同方向进入磁场，粒子比荷为k，不计粒子重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是(　　)
A．ab边有粒子出射的区域长度为0．5d
B．粒子在磁场中运动的最长时间为
C．若粒子从ac边出射，入射速度v>kBd
D．若某粒子的速率v＝，则该粒子可以恰好从a点飞出
[C组　拔尖培优练]
11．(多选)如图所示，在荧屏MN上方分布了水平方向的匀强磁场，方向垂直纸面向里。距离荧屏d处有一粒子源S，能够在纸面内不断地向各个方向同时发射速度大小为v、电荷量为q、质量为m的带正电粒子，不计粒子的重力，已知粒子做圆周运动的半径也恰好为d，则(　　)
A．粒子能打到荧屏MN上的区域长度为2d
B．能打到荧屏MN上最左侧的粒子所用的时间为
C．粒子从发射到打到荧屏MN上的最长时间为
D．同一时刻发射的粒子打到荧屏MN上的最大时间差为
（答案及解析）
例1　(多选)如图所示，仅在x>0、y>0的空间中存在垂直xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。在x轴上有一粒子源P，到坐标原点的距离为L，可垂直于磁场沿着与x轴成30°角的方向发射速率不同的相同粒子，粒子质量为m、电荷量为＋q。不计重力的影响，则下列有关说法中正确的是(　　)
A．粒子从x轴上射出的位置坐标可能是
B．粒子从x轴上射出的位置坐标可能是
C．粒子在磁场中运动的最长时间为
D．粒子在磁场中运动的最长时间为
[答案]　AC
[解析]　画出粒子从x轴上射出的临界轨迹如图所示，此时轨迹圆与y轴相切，由几何关系可知α＝30°，设临界轨迹半径为R，则有R＋Rsinα＝L，解得R＝，则此时粒子从x轴上x＝L－2Rsinα＝位置射出，故粒子从x轴上射出的位置坐标满足：跟进训练　(多选)如图所示，半径分别为R和2R的同心圆处于同一平面内，O为圆心。两圆形成的圆环内(含边界)有垂直圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为－q(q>0)的粒子由大圆上的A点以速率v沿大圆切线方向进入磁场，粒子仅在磁场中运动，不计粒子的重力，则粒子运动速率v可能为(　　)
A． B．
C． D．
答案：ACD
解析：带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，解得轨迹半径r＝，粒子仅在磁场中运动，则轨迹半径r满足0<2r≤R或3R≤2r≤4R，将r代入解得0例2　(2025·河北省唐山市高三上期中)(多选)如图，直角三角形OAC区域内有垂直于纸面向外、磁感应强度大小未知的匀强磁场，∠A＝30°、OC边长为L，在C点有放射源S，可以向磁场内各个方向发射速率为v0的同种带正电的粒子，粒子的比荷为K。S发射的粒子有三分之二可以穿过OA边界，OA含在边界以内，不计重力及粒子之间的相互影响。则(　　)
A．磁感应强度大小为 B．磁感应强度大小为
C．OA上粒子出射区域长度为L D．OA上粒子出射区域长度为
[答案]　BC
[解析]　如图所示，S发射的粒子有三分之二可以穿过OA边界，根据左手定则可知，入射角与OC夹角为30°的粒子刚好从O点射出，根据几何关系可知，粒子做圆周运动的轨迹半径为R＝L，根据洛伦兹力提供向心力，有qv0B＝m，解得B＝，故A错误，B正确；沿CA方向入射的粒子穿过OA边界时距O点最远，根据题设并结合几何知识可知，最远距离为OD＝L，则OA上粒子出射区域长度为L，故C正确，D错误。
跟进训练　如图所示，在直角坐标系xOy中，x轴上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向外。许多质量为m、电荷量为＋q的粒子以相同的速率v从原点O沿纸面内由从x轴负方向到y轴正方向之间的各个方向射入磁场区域。不计重力及粒子间的相互作用。下列图中阴影部分表示带电粒子在磁场中可能经过的区域，其中R＝，则正确的图是(　　)
答案：D
解析：如图，从O点沿x轴负方向射入的粒子，轨迹为圆，和x轴相切于O点，在x轴上方，半径为R；沿y轴正方向射入的粒子，轨迹为半圆，在y轴右侧，和x轴的交点距O点为2R；沿其余方向射入的带电粒子，轨迹最远点均在以O为圆心、半径为2R的圆周上；由以上分析结合定圆旋转法，可知D正确。
例3　(多选)如图所示，在直角三角形ABC内充满垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，AB边长度为d，∠B＝。现垂直AB边射入一束质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v的带正电粒子。已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，而运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为t0(不计重力)，则下列说法中正确的是(　　)
A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t0
B．该匀强磁场的磁感应强度大小为
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为d
D．粒子进入磁场时速度大小为
[答案]　ABC
[解析]　根据题意，粒子垂直AB边射入，垂直AC边射出时经过四分之一个周期，即T＝t0，解得T＝4t0，A正确；带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，解得R＝，粒子运动的周期T＝＝＝4t0，可解得该匀强磁场的磁感应强度大小为B＝，B正确；当粒子轨迹与BC边相切时，粒子在磁场中运动的时间最长，为t0＝T，则在磁场中转过的圆心角为120°，如图所示，根据几何关系可知Rsin＋＝d，解得R＝d，C正确；根据T＝可知，v＝＝＝，D错误。
课时作业
[A组　基础巩固练]
1．(2024·陕西省安康市高三上期末)(多选)如图，一束电子以大小不同的速率沿图示方向飞入一正方形的匀强磁场区，对从正方形右侧边离开磁场的电子，下列判断正确的是(　　)
A．从a点离开的电子速度最小
B．从a点离开的电子在磁场中运动时间最短
C．从b点离开的电子运动半径最小
D．从b点离开的电子速度偏转角最小
答案：BC
解析：对从正方形右侧边离开磁场的电子，由几何关系可知，从a点离开的电子运动半径最大，从b点离开的电子运动半径最小，根据洛伦兹力提供向心力有evB＝，解得电子在匀强磁场中的轨道半径为r＝，可知轨道半径越大，电子的速度v越大，则从a点离开的电子速度最大，从a点离开的电子速度偏转角最小，轨迹对应的圆心角θ最小，从b点离开的电子速度偏转角最大，根据在磁场中运动时间t＝T＝·＝，可知在磁场中轨迹对应的圆心角θ越小，在磁场中运动时间越短，故从a点离开的电子在磁场中运动时间最短，故B、C正确，A、D错误。
2．(2025·河南省周口市高三上模拟训练)在xOy平面的0≤yA． B．
C． D．
答案：B
解析：根据洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，可知速率相等的大量质子的运动半径r也相等，令质子初速度的方向与x轴正方向的夹角为发射角度，由题意可知，从磁场上边界射出的质子的发射角度范围为90°×＝60°，根据旋转质子的偏转轨迹圆和几何关系可知，能从上边界射出的质子的发射角度在0～60°之间，画出发射角度为60°的质子的轨迹，该轨迹与磁场上边界相切，如图所示，由几何关系知r＋rsin30°＝a，代入得r＝，故选B。
3．如图所示，有界匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，MN为其左边界，磁场中沿磁场方向放置一表面涂有荧光材料、底面半径为R的圆柱体，电子打到圆柱体表面时荧光材料会发出荧光，且被圆柱体吸收。圆柱体的底面圆心O到磁场边界MN的距离为2R。一平行电子束以垂直边界MN向右的初速度v0＝射入磁场，已知电子质量为m，电荷量为e，则图示截面圆上发光部分的长度等于(　　)
A．πR B．πR
C．πR D．πR
答案：C
解析：由洛伦兹力提供向心力得ev0B＝，解得电子在磁场中的轨迹半径r＝3R，画出与圆柱体相切的两条轨迹，如图所示，由几何关系知sinα＝，解得α＝，则截面圆上发光部分对应的圆心角为θ＝π＋＝π，则截面圆上发光部分的长度l＝θR＝πR，故选C。
4．(2024·四川省内江市高三下三模)(多选)如图，在等腰梯形abcd区域内(包含边界)存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，边长ad＝dc＝bc＝l，ab＝2l。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从a点沿着ad方向射入磁场中，不计粒子的重力，为了使粒子不能从bc边射出磁场区域，粒子的速率可能为(　　)
A． B．
C． D．
答案：AC
解析：粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，整理有r＝，因ad＝dc，由几何知识可知，ad、dc分别为粒子过a、c点轨迹圆的两条切线，则粒子不从bc边射出，其临界情况分别是从b点和c点射出，其临界轨迹如图所示。由几何关系知cos∠a＝cos∠b＝＝，则∠a＝∠b＝60°，∠d＝∠c＝180°－∠a＝120°，△O2ac为等边三角形，∠aO2d＝＝30°，∠O1ab＝90°－∠a＝30°，当粒子从c点飞出时，由几何关系有r1＝＝l，当粒子从b点飞出时，由几何关系有r2＝·＝l，综上所述，当rr1，即v<或v>时，粒子不能从bc边射出磁场区域，故选A、C。
5．(2025·河北省张家口市高三上模拟仿真训练)(多选)如图所示，等腰直角三角形区域分布有垂直纸面向里的匀强磁场，腰长AB＝2 m，O为BC的中点，磁感应强度B＝0．25 T，一群质量m＝1×10－7 kg，电荷量为－q＝－2×10－3 C的带电粒子以速度v＝5×103 m/s垂直于BO，从BO之间射入磁场区域，带电粒子不计重力，则(　　)
A．在AC边界上有粒子射出的长度为(－1) m
B．C点有粒子射出
C．在AB边界上有粒子射出的长度为1 m
D．磁场中运动时间最长的粒子从底边距B点(－1) m处入射
答案：ACD
解析：粒子在磁场中偏转，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，解得粒子在磁场中运动的轨迹半径R＝＝ m＝1 m，作出粒子在磁场中的运动轨迹如图所示。平移粒子的运动轨迹，由几何关系可知，粒子不可能到达C点，且沿BC方向从AC边界射出时，射出点距A点最近，设为E，则能从AC边射出的粒子长度为＝－＝R－R＝(－1) m，故A正确，B错误；由几何关系可知，△BOF为等腰直角三角形，在AB边界上有粒子射出的长度为BF＝FO＝R＝1 m，故C正确；磁场中运动时间最长的粒子运动半个圆周，轨迹与AB、AC均相切，由图可知从底边距B点l＝－R＝(－1) m处入射，故D正确。
6．如图所示，以直角三角形abc为边界的区域存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，S为位于ac边中点的一个粒子源，某一时刻在纸面内向各个方向发射速率相同的带正电粒子。已知垂直ac边入射的粒子恰好从a点出射，粒子的质量为m，电荷量为q，∠c＝30°，ac＝L，不计粒子重力。求：
(1)粒子的速率；
(2)粒子在磁场中运动的最长时间。
答案：(1)　(2)
解析：(1)设粒子的速率为v，由垂直ac边入射的粒子恰好从a点出射，可得粒子在磁场中运动的半径为R＝ac
由牛顿第二定律可得qvB＝m
联立解得v＝。
(2)由题意可知，当粒子的运动轨迹与bc边相切时，粒子在磁场中运动的时间最长，设最长时间为t，如图所示，切点为d，因S点到bc的距离l＝sinc＝＝Od，可知bc∥OS，由几何知识可得轨迹对应的圆心角为θ＝240°，有
T＝
t＝T
联立解得t＝。
[B组　综合提升练]
7．真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为(　　)
A． B．
C． D．
答案：C
解析：电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有evB＝m，则磁感应强度与圆周运动轨迹半径的关系式为：B＝，即运动轨迹半径越大，磁场的磁感应强度越小。电子从圆心沿半径方向进入磁场，当其恰好不离开图中实线圆围成的区域时，运动轨迹与实线圆相切，此时电子运动轨迹半径有最大值rmax，如图所示，其中A点为电子做圆周运动的圆心。由几何关系可得：(3a－rmax)2＝r＋a2，解得rmax＝a，则磁场的磁感应强度最小为Bmin＝＝，故C正确。
8．(多选)如图所示，边长为L的正三角形abc区域内(含边界)存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，正三角形中心O有一粒子源，可以沿abc平面任意方向发射相同的带电粒子，粒子质量为m，电荷量为q。粒子速度大小为v时，恰好没有粒子穿出磁场区域，不计粒子的重力。下列说法正确的是(　　)
A．磁感应强度大小为
B．磁感应强度大小为
C．若发射粒子速度为2v时，在磁场中运动的最短时间为
D．若发射粒子速度为2v时，在磁场中运动的最短时间为
答案：BC
解析：磁场垂直纸面向外，粒子恰好没有穿出磁场区域，因此粒子在磁场中运动轨迹的直径长度恰好等于O点垂直于bc(或ac或ab)的线段长度，设垂足为d，由几何关系得Od＝L，则粒子的轨迹半径为r＝L，由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，解得B＝＝，A错误，B正确；当发射粒子速度为2v时，由q·2vB＝m，解得r′＝＝，当粒子从垂足d射出时，在磁场中运动轨迹所对的弦最短、圆心角最小，粒子在磁场中的运动时间最短，由几何关系可得，对应的圆心角最小为θ＝60°，则最短时间为tmin＝，又因为T＝＝，则有tmin＝＝，C正确，D错误。
9．(多选)如图所示，半径为R的圆形区域内有一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，P是磁场边界上的最低点。大量质量均为m，电荷量为－q(q>0)的带电粒子，以相同的速率从P点向纸面内的各个方向射入磁场区域。已知粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径r＝2R，A、C为圆形区域水平直径的两个端点，粒子的重力、空气阻力和粒子间的相互作用均不计，则下列说法正确的是(　　)
A．粒子射入磁场时的速率为v＝
B．粒子在磁场中运动的最长时间为t＝
C．不可能有粒子从C点射出磁场
D．不可能有粒子从A点沿水平方向射出磁场
答案：BD
解析：粒子在磁场中做圆周运动，根据牛顿第二定律可知，Bqv＝，且r＝2R，所以v＝，A错误；粒子在磁场中做圆周运动的周期为T＝＝，要使粒子在圆形磁场中的运动时间最长，则粒子圆周运动的轨迹应以磁场圆直径为弦，则粒子的运动轨迹如图甲，由几何关系知，此轨迹对应的圆心角为60°，所以最长时间为t＝T＝，故B正确；当入射速度的方向合适时，粒子可以从C点射出，如图乙所示，故C错误；若粒子能从A点水平射出磁场，则在A点作速度方向的垂线，再作AP两点连线的中垂线，交点即为圆心，此时圆周运动的半径r＝R≠2R，如图丙所示，故D正确。
10．(2024·内蒙古包头市高三下一模)如图，一直角三角形边界的匀强磁场的磁感应强度为B，其中ac＝2d，bc＝d，c点有一发射带正电粒子的粒子源，粒子以不同速率沿不同方向进入磁场，粒子比荷为k，不计粒子重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是(　　)
A．ab边有粒子出射的区域长度为0．5d
B．粒子在磁场中运动的最长时间为
C．若粒子从ac边出射，入射速度v>kBd
D．若某粒子的速率v＝，则该粒子可以恰好从a点飞出
答案：B
解析：粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得qvB＝，解得粒子运动的轨迹半径R＝＝，因粒子以不同速率沿不同方向射入磁场，故可以应用极限思维，当粒子的速度极大时，轨迹半径也极大，粒子在磁场中的运动轨迹趋于直线，则ab边有粒子出射的区域长度趋于ab边的长度，由几何关系可知ab＝＝d>0．5d，故A错误；粒子在磁场中做圆周运动的周期为T＝＝，若粒子在磁场中的轨迹对应的圆心角为α，则粒子在磁场中运动的时间为t＝T＝，由几何知识可知沿cb边射入、从ac边射出的粒子的速度偏转角最大，轨迹对应的圆心角最大，令其为αm，如图所示，由几何关系知αm＝，则粒子在磁场中运动的最长时间为tm＝，故B正确；由R＝可知，粒子速率越小，轨迹半径越小，能从ac边出射的粒子，减小粒子的速率后，粒子的出射点向c点靠近，当粒子的速率趋近于0时，仍可以从ac边出射，故C错误；若某粒子的速率v＝，则其轨迹半径为r＝，而ac＝2d>2r，所以无论粒子的入射方向朝向哪，该粒子都不可能从a点飞出，D错误。
[C组　拔尖培优练]
11．(多选)如图所示，在荧屏MN上方分布了水平方向的匀强磁场，方向垂直纸面向里。距离荧屏d处有一粒子源S，能够在纸面内不断地向各个方向同时发射速度大小为v、电荷量为q、质量为m的带正电粒子，不计粒子的重力，已知粒子做圆周运动的半径也恰好为d，则(　　)
A．粒子能打到荧屏MN上的区域长度为2d
B．能打到荧屏MN上最左侧的粒子所用的时间为
C．粒子从发射到打到荧屏MN上的最长时间为
D．同一时刻发射的粒子打到荧屏MN上的最大时间差为
答案：BD
解析：打在荧屏MN上的粒子轨迹的临界状态如图1所示，根据几何关系知，带电粒子能打到荧屏MN上的区域长度为：l＝AB＝R＋R＝(1＋)R＝(1＋)d，故A错误；由运动轨迹图可知，能打到荧屏MN上最左侧的粒子偏转了半个周期，故所用时间为：t＝T，又T＝，解得：t＝，故B正确；在磁场中运动时间最长(优弧1)和最短(劣弧2)的粒子的运动轨迹如图2所示，粒子做完整圆周运动的周期T＝，由几何关系可知，最长时间：t1＝T＝，最短时间：t2＝T＝，根据题意得同一时刻发射的粒子打到荧屏MN上的最大时间差：Δt＝t1－t2＝，故C错误，D正确。
1(共44张PPT)
第十章　磁场
第4讲　专题：用“动态圆”
思想处理临界、极值问题
目录
1
2
3
考点一　“放缩圆”
考点二　“旋转圆”
考点三　“平移圆”
课时作业
4
考点一　“放缩圆”
适用条件 入射点相同，速度方向一定、大小不同 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的增大而增大，如图所示
轨迹圆圆心特点 轨迹圆圆心共线 运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上
临界轨迹界定方法 缩放轨迹圆 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径缩放作轨迹圆，从而探索粒子的临界条件
考点二　“旋转圆”
解析：如图，从O点沿x轴负方向射入的粒子，轨迹为圆，和x轴相切于O点，在x轴上方，半径为R；沿y轴正方向射入的粒子，轨迹为半圆，在y轴右侧，和x轴的交点距O点为2R；沿其余方向射入的带电粒子，轨迹最远点均在以O为圆心、半径为2R的圆周上；由以上分析结合定圆旋转法，可知D正确。
考点三　“平移圆”
课时作业
1．(2024·陕西省安康市高三上期末)(多选)如图，一束电子以大小不同的速率沿图示方向飞入一正方形的匀强磁场区，对从正方形右侧边离开磁场的电子，下列判断正确的是(　　)
A．从a点离开的电子速度最小
B．从a点离开的电子在磁场中运动时间最短
C．从b点离开的电子运动半径最小
D．从b点离开的电子速度偏转角最小
［A组　基础巩固练］
6．如图所示，以直角三角形abc为边界的区域存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，S为位于ac边中点的一个粒子源，某一时刻在纸面内向各个方向发射速率相同的带正电粒子。已知垂直ac边入射的粒子恰好从a点出射，粒子的质量为m，电荷量为q，∠c＝30°，ac＝L，不计粒子重力。求：
(1)粒子的速率；
(2)粒子在磁场中运动的最长时间。
［B组　综合提升练］
［C组　拔尖培优练］

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