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2025年高考数学高频易错考前冲刺：空间向量及其运算
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 赤峰期末）如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024秋 湖南期末）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，M为棱DD1的中点，P是线段BM上的动点，则下列式子的值为定值的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024秋 惠州期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024秋 宝安区期末）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，，，，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2024秋 惠州期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024秋 海南期末）已知向量（x，2，﹣1），（2，4，﹣2），如果，那么x等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
7．（2024秋 丰台区期末）已知向量（0，1，0），，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024秋 邯郸期末）已知空间向量（2，1，1），（0，2，﹣1），则与的夹角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 上城区校级期末）下列命题中正确的是（　　）
A．若空间向量，，，满足，，则
B．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α
C．点M（3，2，1）关于平面yOz对称的点的坐标是（﹣3，2，﹣1）
D．若，是两个单位向量，则
（多选）10．（2024秋 桂林期末）如图，已知四面体ABCD，点E，F分别是BC，CD的中点，下列等式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
（多选）11．（2024秋 张家口期末）如图，球O的两个截面圆O1和圆O2的圆心分别为O1（0，0，﹣1），O2（0，1，0），半径均为2，且圆O1和圆O2所在平面分别与z轴和y轴垂直．若动点P，Q分别在两个圆周上匀速运动，每12秒运动一周，其中点P，Q的起始点分别为A（0，﹣2，﹣1），B（0，1，2），点P，Q按照图中指针方向运动，运动时间为t（单位：秒），则（　　）
A．球O的表面积为20π
B．当t＝6时，
C．存在时刻t，使得点P，Q在球面上相遇
D．的最大值为，且同一个周期内取得最大值的时间差为8秒
（多选）12．（2024秋 海南期末）已知向量，则（　　）
A． B．
C．5 D．向量的夹角为
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 安康期末）空间直角坐标系中，已知，且点D在平面ABC上，则x＝　 　．
14．（2024秋 楚雄州期末）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝AB＝1，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，M为B1D1的中点，则 　 　．
15．（2024秋 宝山区校级期末）已知点A（2，1，0），B（2，2，1），C（1，2，2），D（0，0，k），若点D在平面ABC上，则k＝ 　 　．
16．（2024秋 张家口期末）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC的中点，若，λ（0≤λ≤1），则的取值范围是 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 宝山区校级期末）在空间直角坐标系中，设A（0，2，3）、B（﹣2，1，6）、C（1，﹣1，5）、D（3，3，4）．
（1）设，，求的坐标，并判断、是否平行；
（2）求、的夹角θ，以及、为相邻两边的三角形面积S．
18．（2024秋 抚顺校级期末）已知A（1，0，1），B（2，2，﹣1），，，．
（1）求；
（2）若，求实数m，n的值．
19．（2024秋 闵行区校级期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，∠DAB＝90°，∠A1AD＝∠A1AB＝60°．点M、N是棱AB、D1C1的中点，点P是对角线AC上一点（包括端点），且满足．
（1）若M、N、P三点共线，求λ的值；
（2）若对角线A1C＝1，求c的最大值；
（3）若a＝b＝c，直线A1M和NP的所成角为θ，求cosθ的取值范围．
20．（2024秋 乌鲁木齐校级期末）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知底面正三角形边长为2，三棱柱的高为3．
（1）建立适当的直角坐标系，标出所有点的坐标；
（2）设AA1中点为点E，BC中点为点F，求出、；
（3）求出．
2025年高考数学高频易错考前冲刺：空间向量及其运算
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 赤峰期末）如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（　　）
A． B．
C． D．
【考点】空间向量的数乘及线性运算．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】利用空间向量的线性运算法则求解．
【解答】解：．
故选：B．
【点评】本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题．
2．（2024秋 湖南期末）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，M为棱DD1的中点，P是线段BM上的动点，则下列式子的值为定值的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】空间向量的数量积运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】先计算A1M，A1B，BM的长度，得到A1M⊥BM，接着利用向量数量积的几何意义：等于在上的投影向量与的数量积，逐一分析选项ABCD即可得解．
【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，M为棱DD1的中点，P是线段BM上的动点，
由题意得，，
利用勾股定理：，
∴A1M⊥BM．
如图，过点P作PN⊥A1B于点N，
对于A，由向量数量积的几何意义得 ，
由于点P是动点，所以不是定值，所以不是定值，故选项A错误；
对于B，利用向量的夹角运算：，
由于点P是动点，所以不是定值，所以不是定值，故选项B错误；
对于C，，由于不是定值，故选项C错误；
对于D，由于向量在向量上的投影向量为，所以为定值．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
3．（2024秋 惠州期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】空间向量的投影向量与投影．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】结合空间投影向量的公式，即可求解．
【解答】解：空间向量，，
则，，
故向量在向量上的投影向量是：．
故选：C．
【点评】本题主要考查空间投影向量的公式，属于基础题．
4．（2024秋 宝安区期末）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，，，，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】空间向量及其线性运算．
【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】在平行六面体中，可知相等向量，再由向量的加法，可得的表达式．
【解答】解：在平行六面体中，，，，
又因为，，，
由题意可知，．
故选：B．
【点评】本题考查向量的运算性质的应用及平行六面体的性质的应用，属于基础题．
5．（2024秋 惠州期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】空间向量的数乘及线性运算．
【专题】计算题；对应思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】利用空间向量的线性运算求解即可．
【解答】解：∵平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，，，，
∴（），
故选：A．
【点评】本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．
6．（2024秋 海南期末）已知向量（x，2，﹣1），（2，4，﹣2），如果，那么x等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【考点】空间向量的共线与共面．
【专题】计算题；方程思想；定义法；空间向量及应用．
【答案】B
【分析】利用向量与向量平行的性质直接求解．
【解答】解：∵向量（x，2，﹣1），（2，4，﹣2），，
∴，
解得x＝1．
故选：B．
【点评】本题考查实数值的求法，考查空间向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
7．（2024秋 丰台区期末）已知向量（0，1，0），，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【考点】空间向量的投影向量与投影．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
【解答】解：向量（0，1，0），，
则，，
故向量在向量上的投影向量为：．
故选：A．
【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
8．（2024秋 邯郸期末）已知空间向量（2，1，1），（0，2，﹣1），则与的夹角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】由数量积的运算及向量夹角的余弦值公式，可得答案．
【解答】解：空间向量（2，1，1），（0，2，﹣1），
则 2×0+1×2+1×（﹣1）＝1，||，||，
可得cos，．
故选：A．
【点评】本题考查向量的夹角的余弦值的求法及数量积的求法，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 上城区校级期末）下列命题中正确的是（　　）
A．若空间向量，，，满足，，则
B．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α
C．点M（3，2，1）关于平面yOz对称的点的坐标是（﹣3，2，﹣1）
D．若，是两个单位向量，则
【考点】空间向量及其线性运算．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】AD
【分析】A中，由向量的定义，可得A正确；B中，由两个向量不共线，判断出直线l与平面不垂直，判断出B的真假；C中，求出点M关于平面的对称点的坐标，判断出C的真假；D中，由单位向量的模长为1，判断出D的真假．
【解答】解：A中，因为，，由向量相等的性质可得，所以A正确；
B中，因为直线l的方向向量为，平面α的法向量为，
而λ，所以l与平面α不垂直，所以B不正确；
C中，点M（3，2，1）关于平面yOz对称的点的坐标是（﹣3，2，1），所以C不正确；
D中，，是两个单位向量，则，所以正确．
故选：AD．
【点评】本题考查向量的有关概念的应用，属于基础题．
（多选）10．（2024秋 桂林期末）如图，已知四面体ABCD，点E，F分别是BC，CD的中点，下列等式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】空间向量及其线性运算．
【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据空间向量的线性运算逐项分析即可得解．
【解答】解：由向量的加法运算可得：，故A正确；
由向量的加减运算可得：，故B错误；
由向量的加法运算可得：，故C正确；
由向量的加减法运算可得：，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查向量的加减运算的应用，属于基础题．
（多选）11．（2024秋 张家口期末）如图，球O的两个截面圆O1和圆O2的圆心分别为O1（0，0，﹣1），O2（0，1，0），半径均为2，且圆O1和圆O2所在平面分别与z轴和y轴垂直．若动点P，Q分别在两个圆周上匀速运动，每12秒运动一周，其中点P，Q的起始点分别为A（0，﹣2，﹣1），B（0，1，2），点P，Q按照图中指针方向运动，运动时间为t（单位：秒），则（　　）
A．球O的表面积为20π
B．当t＝6时，
C．存在时刻t，使得点P，Q在球面上相遇
D．的最大值为，且同一个周期内取得最大值的时间差为8秒
【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．
【专题】计算题；整体思想；综合法；球；运算求解．
【答案】ABD
【分析】求出球O的半径，由球的表面积公式可判断A；由题意，写出运动t秒后P，Q两点的坐标，求出|PQ|2，结合二次函数性质可判断BCD．
【解答】解：对于A，设球O的半径为R，由题意O到圆面O1和圆面O2的距离为，
所以，所以球O的表面积为S＝4πR2＝20π，故A正确；
对于B，由题意，A（0，﹣2，﹣1），B（0，1，2），O1（0，0，﹣1），O2（0，1，0），
因为动点P，Q分别在两个圆周上匀速运动，每12秒运动一周，
设P，Q两点运动的角速度为ω，所以，解得：，
所以P，Q两点分别从A，B同时出发，按箭头方向沿圆周O1，O2以每秒弧度的角速度运动，
运动t秒后，，
，
当t＝6时，，
所以，故B正确；
对于C，令，所以k∈[﹣1，1]，
则，
当k＝﹣1时，，
所以不存在时刻t，使得点P，Q在球面上相遇，故C错误；
对于D，当时，或t＝10，
，两个时刻的时间差为8秒，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了球和空间向量的综合应用，属于中档题．
（多选）12．（2024秋 海南期末）已知向量，则（　　）
A． B．
C．5 D．向量的夹角为
【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．
【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据空间向量的坐标运算即可对各选项进行判定．
【解答】解：，
对A，，故A正确；
对B，因为，故B错误；
对C，，故C正确；
对D，因为，
所以向量的夹角为，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查空间向量的坐标运算，属基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 安康期末）空间直角坐标系中，已知，且点D在平面ABC上，则x＝　9　．
【考点】空间向量的共线与共面．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】9．
【分析】利用空间向量的坐标运算及共面向量定理列式计算即得．
【解答】解：已知，
所以：，由点D在平面ABC上，得，
则（6，7，x﹣1）＝λ（0，1，2）+μ（3，4，5）＝（3μ，λ+4μ，2λ+5μ），
因此，解得λ＝﹣1，μ＝2，x＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，共面向量基本定理，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
14．（2024秋 楚雄州期末）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝AB＝1，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，M为B1D1的中点，则 　　．
【考点】空间向量的数量积运算．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】由向量的加减运算及数量积的运算可得的值．
【解答】解：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝AB＝1，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，M为B1D1的中点，
则（） [（）] [（）] 2 ，
因为 || ||cos60°＝1×1， || ||cos60°＝1×1，
所以12．
故答案为：．
【点评】本题考查向量的运算性质的应用，属于基础题．
15．（2024秋 宝山区校级期末）已知点A（2，1，0），B（2，2，1），C（1，2，2），D（0，0，k），若点D在平面ABC上，则k＝ 　1　．
【考点】空间向量的共线与共面．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】1．
【分析】由四点的坐标，可得，，的坐标，再由四点共面，设xy，列方程，可得k的值．
【解答】解：因为A（2，1，0），B（2，2，1），C（1，2，2），D（0，0，k），
可得（0，1，1），（﹣1，1，2），
因为D在平面ABC上，即A，B，C，D四点共面，
而（﹣2，﹣1，k），
设xy（﹣y，x+y，x+2y），
所以，解得k＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查向量共面的充要条件的应用，属于基础题．
16．（2024秋 张家口期末）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC的中点，若，λ（0≤λ≤1），则的取值范围是 　　．
【考点】空间向量及其线性运算．
【专题】转化思想；向量法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】．
【分析】过点D作z轴∥BB1，建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量坐标运算求出，Q（0，﹣λ，3λ），再由两点间的距离公式结合二次函数的性质即可得出答案．
【解答】解：因为正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，D为BC的中点，
所以AD⊥BC，，过点D作z轴∥BB1，
建立如图所示的空间直角坐标系，
所以A，D（0，0，0），B（0，1，0），C（0，﹣1，0），
，B1（0，1，3），C1（0，﹣1，3），
因为，，
设 P（x0，y0，z0），Q（x1，y1，z1），
则，（x1，y1，z1），
所以，（x1，y1，z1）＝λ（0，﹣1，3），（0≤λ≤1），
所以，y0＝λ，z0＝3，x1＝0，y1＝﹣λ，z1＝3λ，
所以，Q（0，﹣λ，3λ），
所以，
当时，|PQ|有最小值，
当λ＝0时，|PQ|有最大值，
所以的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查利用空间向量求解两点间的距离，属中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 宝山区校级期末）在空间直角坐标系中，设A（0，2，3）、B（﹣2，1，6）、C（1，﹣1，5）、D（3，3，4）．
（1）设，，求的坐标，并判断、是否平行；
（2）求、的夹角θ，以及、为相邻两边的三角形面积S．
【考点】空间向量的共线与共面．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）平行；（2）；．
【分析】（1）直接利用向量的坐标运算判断向量间的共线；
（2）首先利用向量的夹角公式求出cos，进一步利用三角形的面积公式求出结果．
【解答】解：（1）设A（0，2，3）、B（﹣2，1，6）、C（1，﹣1，5）、D（3，3，4），
故，
故，故、平行．
（2）由于A（0，2，3）、B（﹣2，1，6）、C（1，﹣1，5）、D（3，3，4），
所以，，且、的夹角θ
故cosθ，
由于θ∈[0，π]，所以，
所以．
故．
【点评】本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的夹角运算，向量的数量积运算，三角形的面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
18．（2024秋 抚顺校级期末）已知A（1，0，1），B（2，2，﹣1），，，．
（1）求；
（2）若，求实数m，n的值．
【考点】空间向量的数量积运算；空间向量的共线与共面．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据空间向量的坐标运算，利用数量积的计算公式，可得答案；
（2）根据平行向量的坐标表示，建立方程组，可得答案．
【解答】解：已知A（1，0，1），B（2，2，﹣1），，，．
（1），
，；
；
（2），
因为，所以设，
即（﹣2，6，﹣8）＝λ（3，m，n），故，解得．
【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的夹角运算，共线向量的应用，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
19．（2024秋 闵行区校级期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，∠DAB＝90°，∠A1AD＝∠A1AB＝60°．点M、N是棱AB、D1C1的中点，点P是对角线AC上一点（包括端点），且满足．
（1）若M、N、P三点共线，求λ的值；
（2）若对角线A1C＝1，求c的最大值；
（3）若a＝b＝c，直线A1M和NP的所成角为θ，求cosθ的取值范围．
【考点】空间向量的数量积运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）设基向量，根据空间向量的线性运算可得，又因M、N、P三点共线可得，即可求得λ；
（2）利用空间向量的数量积运算可得，从而得到不等式，求解得到c的最大值；
（3）利用空间向量的基本定理与线性运算得到，，再利用向量法求异面直线的夹角的余弦值得到，从而求得cosθ的取值范围．
【解答】解：（1）设基向量，
则，，
因为，
所以，
因为M、N、P三点共线，设，
则，
所以，即，
所以．
（2）因为，且，
所以，
配方得：，
即，
故c2≤2，即，
所以c的最大值为．
（3）由于：，
，
则，即，
，
即．
，
，
令，
，
∴．
【点评】本题考查的知识点：向量共线的充要条件，向量的夹角运算，向量的数量积运算，向量的模的求法，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
20．（2024秋 乌鲁木齐校级期末）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知底面正三角形边长为2，三棱柱的高为3．
（1）建立适当的直角坐标系，标出所有点的坐标；
（2）设AA1中点为点E，BC中点为点F，求出、；
（3）求出．
【考点】空间向量的数量积运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）以BC的中点O为原点，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，再写出各点的坐标即可；
（2）写出E，F的坐标，再根据向量的坐标表示即可得解；
（3）根据向量的夹角运算求出结果．
【解答】解：（1）以BC的中点O为原点，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，如下图，由题意知，，
则，B（0，1，0），C（0，﹣1，0），，B1（0，1，3），C1（0，﹣1，3）；
（2）设AA1中点为点E，BC中点为点F，由题意知，，故；
（3）由题意得：，所以．
【点评】本题考查的知识点：空间直角坐标系，向量的线性运算，向量的数量积运算，向量的夹角运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
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