资源简介

2025年高考数学高频易错考前冲刺：抛物线
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 泉州期末）斜率为1的直线与双曲线交于A，B两点，若线段AB的中点为（3，1），则a＝（　　）
A． B． C． D．
2．（2024秋 白银期末）某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为如图2所示的抛物线，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点F处，已知卫星接收天线的口径（直径）为10m，深度为3m，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线焦点到顶点的距离为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024秋 太原期末）已知抛物线以圆x2+y2﹣2y＝0的圆心为焦点，则其标准方程为（　　）
A．y2＝﹣4x B．y2＝4x C．x2＝﹣4y D．x2＝4y
4．（2024秋 宝安区期末）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段AB中点的坐标为，则p＝（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2024秋 酒泉期末）抛物线y2＝x的准线方程是（　　）
A．x B．x C．y D．y
6．（2024秋 岳阳期末）已知抛物线C：x2＝12y的焦点为F，点P是C上的一点，点M（1，2），则△PMF周长的最小值是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024秋 海南期末）已知抛物线x2＝2py（p＞0）上一点，则点A到其焦点的距离为（　　）
A． B． C．4 D．
8．（2024秋 嘉兴期末）抛物线x2＝4y的准线方程是（　　）
A．y＝﹣1 B．y＝﹣2 C．x＝﹣1 D．x＝﹣2
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 桂林期末）抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点P在C上，若|PF|＝5．则点P的坐标为（　　）
A． B． C． D．
（多选）10．（2024秋 安康期末）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A（﹣2，0），B（﹣1，0），过点A，B作两条互相平行的直线l1，l2，其中l1与C切于点D，l2与C交于两点G，H，则（　　）
A．l1的斜率为 B．
C．|DF|＝3 D．△DGH的面积为2
（多选）11．（2024秋 重庆期末）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴交于点M，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，分别过A，B作准线的垂线，垂足为A1，B1，线段A1B1的中点为N，则下列结论正确的是（　　）
A．线段AB长度的最小值为8
B．若A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2为定值﹣8
C．AN⊥A1F
D．若∠AMF＝30°，则直线l倾斜角的正弦值为
（多选）12．（2024秋 长沙县校级期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离是4，直线l过它的焦点F且与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，M为弦AB的中点，则下列说法正确的是（　　）
A．抛物线C的焦点坐标是（2，0）
B．x1x2＝4
C．若x1+x2＝5，则|AB|＝7
D．若以M为圆心的圆与C的准线相切，则AB是该圆的一条直径
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 阜阳期末）已知曲线y＝x2与曲线交于点P，直线l与曲线y＝x2切于点A，与曲线切于点B，则△PAB的面积为 　 　．
14．（2024秋 包头期末）当抛物线x2＝y上一点P到直线y＝x﹣3的距离最短时，点P的坐标为 　 　．
15．（2024秋 颍泉区校级期末）P为抛物线C：y2＝4x上一动点，过P作圆M：（x﹣2）2+y2＝4的一条切线，A为切点，点B（5，5），则|PA|+|PB|的最小值为 　 　．
16．（2024秋 惠州期末）过抛物线y2＝4x的焦点F作直线l，交抛物线于点A，若点A的横坐标为3，则|AF|等于 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2025 株洲一模）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F．过焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点．抛物线C在点B处的切线为直线m，过点A作平行于直线m的直线交抛物线C于点P．设点A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3）．
（1）求证：x1，x2，x3成等差数列；
（2）求△ABP的面积的最小值．
18．（2024秋 顺义区期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点D（2，4），斜率为2的直线l经过抛物线C的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程及其焦点坐标；
（Ⅱ）抛物线的准线上是否存在点P，使得PA⊥PB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
19．（2024秋 湖南期末）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，抛物线C：y2＝4x的焦点与F2重合，点G是C与E在第一象限的交点，且．
（1）求E的方程．
（2）设过点F2的直线l与E交于点M，N，交C于点A，B，且A，B，M，N互不重合．
（ⅰ）若l的倾斜角为45°，求的值；
（ⅱ）若P为C的准线上一点，设PA，PB，PF2的斜率分别为k1，k2，k3，证明：k3为k1和k2的等差中项．
20．（2024秋 太原期末）（1）已知抛物线C经过点A（2，2），求C的标准方程和焦点坐标；
（2）已知双曲线C经过点，，求C的标准方程和焦点坐标．
2025年高考数学高频易错考前冲刺：抛物线
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 泉州期末）斜率为1的直线与双曲线交于A，B两点，若线段AB的中点为（3，1），则a＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的中点弦．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】先求出直线AB的方程，再与双曲线联立，并结合韦达定理，以及中点坐标公式，即可求解．
【解答】解：由题意可知，直线AB的方程为y﹣1＝x﹣3，即x＝y+2，
联立，化简整理可得，y2（1﹣a2）+4y+4﹣a2＝0，
若线段AB的中点为（3，1），
则，解得（负值舍去）．
故选：B．
【点评】本题主要考查抛物线的中点弦，属于基础题．
2．（2024秋 白银期末）某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为如图2所示的抛物线，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点F处，已知卫星接收天线的口径（直径）为10m，深度为3m，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线焦点到顶点的距离为（　　）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为y2＝2px（p＞0），结合条件列方程求p，结合抛物线性质可求结论．
【解答】解：由题意建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0）．
星接收天线的口径（直径）为10m，深度为3m，
则A（3，5），将点A的坐标代入抛物线的方程可得25＝6p，
解得，所以抛物线的方程为，
焦点的坐标为，即
所以抛物线焦点到顶点的距离为．
故选：B．
【点评】本题主要主要考查抛物线的性质，属于基础题．
3．（2024秋 太原期末）已知抛物线以圆x2+y2﹣2y＝0的圆心为焦点，则其标准方程为（　　）
A．y2＝﹣4x B．y2＝4x C．x2＝﹣4y D．x2＝4y
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】先求出圆的圆心坐标，然后求出抛物线的方程即可．
【解答】解：已知圆x2+y2﹣2y＝0的圆心坐标为（0，1），
则抛物线的焦点在y轴正半轴上，
设抛物线的方程为x2＝2py，p＞0，
则，
即2p＝4，
即其标准方程为x2＝4y．
故选：D．
【点评】本题考查了圆的性质，重点考查了抛物线的方程，属基础题．
4．（2024秋 宝安区期末）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段AB中点的坐标为，则p＝（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】A
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），利用作差法可得，求解即可．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
因为点A，B在抛物线上，可得，两式作差可得．
因为线段AB中点的坐标为，所以，解得p＝4．
故选：A．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查作差法的应用，属基础题．
5．（2024秋 酒泉期末）抛物线y2＝x的准线方程是（　　）
A．x B．x C．y D．y
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】B
【分析】抛物线y2＝x的焦点在x轴上，且开口向右，2p＝1，由此可得抛物线y2＝x的准线方程．
【解答】解：抛物线y2＝x的焦点在x轴上，且开口向右，2p＝1，
∴，
∴抛物线y2＝x的准线方程为x．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的几何性质，定型与定位是关键．
6．（2024秋 岳阳期末）已知抛物线C：x2＝12y的焦点为F，点P是C上的一点，点M（1，2），则△PMF周长的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】过点P作C的准线的垂线，垂足为P′，结合抛物线定义及三角形的性质有|PM|+|PF|+|MF|≥|MP′|+|MF|求周长最小值．
【解答】解：由题抛物线C：x2＝12y，可知F（0，3），准线方程为y＝﹣3，过点P作C的准线的垂线，垂足为P′，
由抛物线的定义知|PF|＝|PP′|，又，
∴，
当且仅当M，P，P′三点共线时取得最小值，
故△PMF周长的最小值是．
故选：C．
【点评】本题考查直线与抛物线的组合应用，是中档题．
7．（2024秋 海南期末）已知抛物线x2＝2py（p＞0）上一点，则点A到其焦点的距离为（　　）
A． B． C．4 D．
【考点】求抛物线的焦点和焦准距．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】由题意求得p＝4，然后根据抛物线的性质求解．
【解答】解：抛物线x2＝2py（p＞0）上一点，
则，解得p＝4，
由抛物线的性质，得点A到其焦点的距离为．
故选：B．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．
8．（2024秋 嘉兴期末）抛物线x2＝4y的准线方程是（　　）
A．y＝﹣1 B．y＝﹣2 C．x＝﹣1 D．x＝﹣2
【考点】抛物线的标准方程．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】A
【分析】由抛物线的方程可得p的值，进而求出抛物线的准线方程．
【解答】解：抛物线x2＝4y的方程可得2p＝4，所以p＝2，且焦点在y轴上，
所以抛物线的准线方程为y1，
故选：A．
【点评】本题考查抛物线的性质的应用，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 桂林期末）抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点P在C上，若|PF|＝5．则点P的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的定义．
【专题】转化思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】AB
【分析】根据抛物线的定义求得P的横坐标，进而求得P的坐标．
【解答】解：依题意，抛物线C：y2＝8x的准线方程为x＝﹣2，焦点为F（2，0），
由于|PF|＝5，根据抛物线的定义可知xP＝3，
则，
所以P的坐标为，．
故选：AB．
【点评】本题考查抛物线的定义，属于基础题．
（多选）10．（2024秋 安康期末）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A（﹣2，0），B（﹣1，0），过点A，B作两条互相平行的直线l1，l2，其中l1与C切于点D，l2与C交于两点G，H，则（　　）
A．l1的斜率为 B．
C．|DF|＝3 D．△DGH的面积为2
【考点】直线与抛物线的位置关系及公共点的个数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】ACD
【分析】设出直线l1的方程，与抛物线方程联立求解判断AC；求出直线l2的方程，与抛物线方程联立，结合弦长公式求解判断BD．
【解答】解：由题意，设直线l1的方程为x＝ty﹣2，
联立，消去x整理得y2﹣4ty+8＝0，Δ＝16t2﹣32＝0，
解得，，则x2，所以点，
对于A，l1的斜率，A正确；
对于C，|DF|＝2+1＝3，C正确；
对于BD，由对称性不妨令点，则直线，
联立，消去x整理得，
设G（x1，y1），H（x2，y2），
则，
则|GH|，
点D到直线l2的距离，
所以S△DGH，B错误，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
（多选）11．（2024秋 重庆期末）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴交于点M，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，分别过A，B作准线的垂线，垂足为A1，B1，线段A1B1的中点为N，则下列结论正确的是（　　）
A．线段AB长度的最小值为8
B．若A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2为定值﹣8
C．AN⊥A1F
D．若∠AMF＝30°，则直线l倾斜角的正弦值为
【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的弦及弦长．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】ACD
【分析】A中，由抛物线的方程，可得焦点F的坐标及点M的坐标，设直线l的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积，判断出A，B的真假；当AF⊥x轴时，判断出C的真假，由题意可得直线AM的方程，与抛物线的方程联立，可得点A的坐标，进而可得直线l的斜率，进而可得直线l的倾斜角的正弦值，判断出D的真假．
【解答】解：由抛物线C：y2＝8x的方程，可得焦点为F（2，0），直线方程为x＝﹣2，由题意可得M（﹣2，0），
由题意可得直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），设A在x轴上方，
联立，整理可得：y2﹣8my﹣16＝0，可得y1+y2＝8m，y1y2＝﹣16，y2＝8m﹣y1，
A，B中，可得x1+x2＝m（y1+y2）+4＝8m2+4，
由抛物线的性质可得|AB|＝x1+x2+4＝8m2+8≥8，当m＝0时取等号，
即线段AB的最小值为8，所以A正确；B不正确；
C中，由题意可得A1B1的中点N（﹣2，），则kAN，k，
因为kAN k （）1，所以AN⊥A1F，所以C正确；
D中，∠AMF＝30°，可得直线AM的斜率为tan30°，
所以直线AM的方程为xy﹣2，
联立，整理可得y2﹣8y+16＝0，
可得y＝44或y＝44，
可得或，
即A（10+4，44）或（10﹣4，44），
可得kAF，可得直线l的倾斜角的正弦值为，
或kAF，可得直线l的倾斜角正弦值为，
综上所述：直线l的倾斜角为正弦值，所以D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查抛物线的性质的应用及直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
（多选）12．（2024秋 长沙县校级期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离是4，直线l过它的焦点F且与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，M为弦AB的中点，则下列说法正确的是（　　）
A．抛物线C的焦点坐标是（2，0）
B．x1x2＝4
C．若x1+x2＝5，则|AB|＝7
D．若以M为圆心的圆与C的准线相切，则AB是该圆的一条直径
【考点】抛物线的弦及弦长．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】ABD
【分析】对选项A，根据题意得到p＝4，即可判断A正确，对选项B，分别对直线斜率存在和不存在进行讨论，即可判断B正确，对选项C，根据焦点弦的公式即可判断C错误，对选项D，首先过A，B，M分别向准线作垂线，垂足为A1，B1，M1，再结合抛物线的概念即可判断D正确．
【解答】解：已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离是4，直线l过它的焦点F且与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，M为弦AB的中点，
对选项A，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离是4，
所以p＝4，
则F（2，0），
故A正确．
对选项B，当直线l的斜率不存在时，
则l：x＝2，
所以x1x2＝2×2＝4，
当直线l的斜率存在时，设l：y＝k（x﹣2），
得：，
所以x1x2＝4．
故B正确．
对选项C，|AB|＝x1+x2+p＝5+4＝9，故C错误．
对选项D，
过A，B，M分别向准线作垂线，垂足为A1，B1，M1，
因为|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，
所以，
即以AB为直径的圆与C的准线相切，
故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，属中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 阜阳期末）已知曲线y＝x2与曲线交于点P，直线l与曲线y＝x2切于点A，与曲线切于点B，则△PAB的面积为 　　．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】．
【分析】联立方程可得P（1，1），设切点，求导，可根据点斜式求解B处的切线方程为，与二次函数联立，根据判别式为0可得，A（﹣2，4），以及切线方程，即可根据点点距离以及点到直线距离公式求解．
【解答】解：联立，
解得x＝1，
即P（1，1），
设，
易知函数，
可得，
所以处的切线方程为，
即，
联立，消去y并整理得，
此时，
解得，
因为x2+4x+4＝0，
解得x＝﹣2，
所以，A（﹣2，4），切线AB的方程为y＝﹣4x﹣4，
则，
又点P（1，1）到直线y＝﹣4x﹣4的距离为，
则△PAB的面积S．
故答案为：．
【点评】本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
14．（2024秋 包头期末）当抛物线x2＝y上一点P到直线y＝x﹣3的距离最短时，点P的坐标为 　　．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】设P（x，x2），则点P到直线y＝x﹣3的距离为，然后利用二次函数的知识可得答案．
【解答】解：已知点P在抛物线x2＝y上，
设P（x，x2），
则点P到直线y＝x﹣3的距离为，
所以当时，点P到直线y＝x﹣3的距离最短，
此时．
故答案为：．
【点评】本题考查了抛物线的方程，重点考查了点到直线的距离公式，属中档题．
15．（2024秋 颍泉区校级期末）P为抛物线C：y2＝4x上一动点，过P作圆M：（x﹣2）2+y2＝4的一条切线，A为切点，点B（5，5），则|PA|+|PB|的最小值为 　　．
【考点】抛物线的焦点与准线；圆与圆锥曲线的综合．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】由抛物线的性质，结合两点的距离公式求解．
【解答】解：设P（x，y），可得y2＝4x，
又圆M：（x﹣2）2+y2＝4的圆心M（2，0），半径为2，连接PM，
如图所示：
则，
即|PA|为点P到y轴的距离．
抛物线的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，
可得，
当且仅当B，P，F三点共线时取等号，
故|PA|+|PB|的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了两点的距离公式，属中档题．
16．（2024秋 惠州期末）过抛物线y2＝4x的焦点F作直线l，交抛物线于点A，若点A的横坐标为3，则|AF|等于 　4　．
【考点】抛物线的焦点弦及焦半径．
【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】4．
【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标与准线方程，再由抛物线的定义求解．
【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点F为（1，0），准线方程为x＝﹣1，
过抛物线y2＝4x的焦点F作直线l，交抛物线于点A，点A的横坐标为3，
不妨设A是第一象限的点，则|AF|等于点A到准线的距离，等于3﹣（﹣1）＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查抛物线定义的应用，是基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025 株洲一模）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F．过焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点．抛物线C在点B处的切线为直线m，过点A作平行于直线m的直线交抛物线C于点P．设点A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3）．
（1）求证：x1，x2，x3成等差数列；
（2）求△ABP的面积的最小值．
【考点】直线与抛物线的位置关系及公共点的个数；等差数列的概念与判定．
【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）证明见详解；
（2）16．
【分析】（1）求导，得到切线方程，联立抛物线方程，得到x1+x3＝2x2，即可证明；
（2）结合（1）得S△ABP＝2S△ABM，表达出S△ABM，利用基本不等式求出最小值，从而得到△ABP面积最小值．
【解答】解：（1）证明：如图所示，由题意得F（0，1），准线方程为y＝﹣1，
直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y＝kx+1，
因为C：x2＝4y，即，则，直线m的斜率为，
设过点A作平行于直线m的直线为m1，
则直线m1的方程为，
即，联立，得x2﹣2x2x﹣4（y1+2）＝0，
因为直线m1与抛物线交于A（x1，y1），P（x3，y3），
根据韦达定理可得，故x1，x2，x3成等差数列．
（2）不妨设x1＜x2，过B向直线m1作平行于y轴的直线交直线m1于M，
由（1）可得x1+x3＝2x2，故S△ABP＝2S△ABM，
根据直线m1的方程，
当x＝x2时，，
故，
故，
故，
当且仅当，即x1＝2时，等号成立，故△ABP的面积最小值为16．
【点评】本题考查抛物线的方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
18．（2024秋 顺义区期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点D（2，4），斜率为2的直线l经过抛物线C的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程及其焦点坐标；
（Ⅱ）抛物线的准线上是否存在点P，使得PA⊥PB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的焦点与准线．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（Ⅰ）方程为y2＝8x，焦点坐标为（2，0）；
（Ⅱ）存在点P（﹣2，2），满足条件．
【分析】（Ⅰ）将点D的坐标代入抛物线的方程中，求出p的值，进而可得抛物线的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）将直线l的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和向量的坐标运算求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）因为点D（2，4）在抛物线C上，
所以16＝4p，
解得p＝4，
所以抛物线C的方程为y2＝8x，焦点F（2，0）；
（Ⅱ）易知抛物线C的准线方程为x＝﹣2，
假设抛物线的准线上存在点P（﹣2，t），使得PA⊥PB，
易知直线l的方程为y＝2（x﹣2），
设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去y并整理得x2﹣6x+4＝0，
此时Δ＞0，
由韦达定理得x1+x2＝6，x1x2＝4，
又y1+y2＝2（x1﹣2）+2（x2﹣2）＝2（x1+x2）﹣8＝4，y1y2＝[2（x1﹣2）][2（x2﹣2）]＝﹣16，
因为PA⊥PB，
所以，
因为，，
所以（x1+2）（x2+2）+（y1﹣t）（y2﹣t）
＝4+12+4﹣16﹣4t+t2＝t2﹣4t+4＝0，
解得t＝2．
即抛物线的准线上存在点P（﹣2，2），使得PA⊥PB．
【点评】本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
19．（2024秋 湖南期末）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，抛物线C：y2＝4x的焦点与F2重合，点G是C与E在第一象限的交点，且．
（1）求E的方程．
（2）设过点F2的直线l与E交于点M，N，交C于点A，B，且A，B，M，N互不重合．
（ⅰ）若l的倾斜角为45°，求的值；
（ⅱ）若P为C的准线上一点，设PA，PB，PF2的斜率分别为k1，k2，k3，证明：k3为k1和k2的等差中项．
【考点】抛物线的定点及定值问题；直线与抛物线的综合．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；
（2）（ⅰ）；
（ⅱ）证明过程见解析．
【分析】（1）根据抛物线的定义求出焦点坐标，进而得到椭圆的右焦点坐标，再利用椭圆和抛物线的交点坐标满足两个方程来确定椭圆方程；
（2）（i）根据直线的倾斜角得到直线方程，然后分别代入椭圆和抛物线方程，利用弦长公式求出|MN|和|AB|的值，进而求出它们的比值；
（ii）设出直线方程，求出交点坐标，再根据斜率公式计算出k1，k2，k3，然后证明k1+k2＝2k3．
【解答】解：（1）因为抛物线C：y2＝4x的焦点与F2重合，
易知抛物线C的焦点为（1，0），
即F2（1，0），
所以a2﹣b2＝1，①
因为点G是C与E在第一象限的交点，且，
所以，
解得，
因为点G在椭圆E上，
所以，②
联立①②，
解得a2＝4，b2＝3，
则E的方程为；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4），
（ⅰ）因为直线l的倾斜角为45°，
所以直线l的方程为y＝x﹣1．
联立，消去y并整理得x2﹣6x+1＝0，
由韦达定理得x1+x2＝6，
所以|AB|＝x1+x2+p＝6+2＝8，
联立，消去y并整理得7x2﹣8x﹣8＝0，
由韦达定理得，，
所以，
则；
（ⅱ）证明：易知F1（﹣1，0），F2（1，0），
若P为C的准线上一点，
设P（﹣1，m），直线AB的方程为x＝ty+1，
联立，消去x并整理得y2﹣4ty﹣4＝0，
显然Δ＞0，
由韦达定理得y1+y2＝4t，y1 y2＝﹣4，
因为PA，PB，PF2的斜率分别为k1，k2，k3，
所以，，，
，
因为2k3＝﹣m，
即2k3＝k1+k2．
所以k3为k1和k2的等差中项．
【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
20．（2024秋 太原期末）（1）已知抛物线C经过点A（2，2），求C的标准方程和焦点坐标；
（2）已知双曲线C经过点，，求C的标准方程和焦点坐标．
【考点】抛物线的焦点与准线；双曲线的几何特征．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）C的标准方程为x2＝2y，其焦点坐标为，或C的标准方程为y2＝2x，其焦点坐标为；
（2），焦点坐标为（﹣4，0）和（4，0）．
【分析】（1）设抛物线方程为x2＝2py或y2＝2px，将点A（2，2）代入方程求解即可；
（2）设C的标准方程为mx2﹣ny2＝1，则，然后求解即可．
【解答】解：（1）设抛物线方程为x2＝2py或y2＝2px，
将点A（2，2）代入方程可得：p＝1，
即所求C的标准方程为x2＝2y，其焦点坐标为，或C的标准方程为y2＝2x，其焦点坐标为；
（2）设C的标准方程为mx2﹣ny2＝1，
则，
即，
即C的标准方程为，
其焦点坐标为（﹣4，0）和（4，0）．
【点评】本题考查了抛物线的方程，重点考查了双曲线的方程，属中档题．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑