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2025年高考数学高频易错考前冲刺：数列
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 淮安期末）已知等比数列{an}的公比为2，且前n项和为Sn，a1＝1，则S5＝（　　）
A．15 B．31 C．63 D．127
2．（2024秋 包头期末）已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64，则这个等比数列的公比为（　　）
A．2或 B．或 C． D．2
3．（2024秋 包头期末）斐波那契数列1，1，2，3，5，8，…，按此规律，则第9项为（　　）
A．13 B．21 C．34 D．55
4．（2024秋 湖南期末）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a10+a12+3a9＝4﹣a11，则3S19＝（　　）
A．10 B．15 C．21 D．38
5．（2024秋 长沙县校级期末）函数的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是两条优美的双曲线．在数列{cn}中，c1＝1，，记数列{cn}的前n项积为Tn，数列{Tn}的前n项和为Sn，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2024秋 长沙县校级期末）在等差数列{an}中，若a2＝3，a6＝11，则a4等于（　　）
A．5 B．6 C．7 D．9
7．（2024秋 台州期末）设等比数列的前n项和为Sn，若，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2024秋 上城区校级期末）设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S9＝27，a3 a7＝5，则等差数列{an}的公差为（　　）
A．1 B．2 C．±1 D．±2
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 上城区校级期末）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，正项等比数列{bn}的前n项和为Tn，下列说法正确的是（　　）
A．{Tn}不可能是等差数列
B．若S6＝S8，则S2＝S12
C．是等差数列
D．若单调递减，则{bn}单调递增
（多选）10．（2024秋 渭滨区期末）已知，x成等比数列，则x的值可以是（　　）
A．0 B．1 C． D．﹣1
（多选）11．（2024秋 包头期末）设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d且满足a1＞0，S8＝S11，则下列描述正确的是（　　）
A．S9是唯一最大值 B．S10是最大值
C．S19＝0 D．a10＝0
（多选）12．（2024秋 郴州期末）已知公差为d的等差数列{an}，其前n项和为Sn，且S12＜0，S13＞0，则下列说法正确的为（　　）
A．a7＜0
B．为等差数列
C．当Sn取得最小值时，n＝6
D．{an}为递减数列
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 上城区校级期末）若单调递增数列{an}满足an+an+1＝2n﹣5，n∈N*，则a1的取值范围是 　 　．
14．（2024秋 上城区校级期末）在等比数列{an}中，已知a1＝3，a4＝﹣81，则公比q＝ 　 　．
15．（2024秋 黄岛区期末）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝5S2，则 　 　．
16．（2024秋 平和县校级期末）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝6，S8＝18，则S12＝　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 淮安期末）已知各项为正数的等差数列{an}满足a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若等比数列{bn}满足b1＝a1，b2＝a2，问：数列{an}的前50项中哪些项在等比数列{bn}中？
18．（2024秋 包头期末）已知Sn为数列{an}的前n项和，满足.数列{bn}是等差数列，且b1＝a1，b2+b4＝6．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设求数列{cn}的前20项和．
19．（2024秋 长沙县校级期末）已知数列{an}满足a1＝2，且，在数列{bn}中，b1＝2，点P（bn，bn+1）在函数y＝x+2的图象上．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）将数列{bn}和的所有公共项从小到大排列得到数列{cn}，求数列{cn}的前n项和Tn．
20．（2024秋 宝安区期末）已知数列{an+1﹣2an}是以3为首项，2为公比的等比数列，且a1＝1．
（Ⅰ）证明：是等差数列；
（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn．
2025年高考数学高频易错考前冲刺：数列
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D D A C D C
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 淮安期末）已知等比数列{an}的公比为2，且前n项和为Sn，a1＝1，则S5＝（　　）
A．15 B．31 C．63 D．127
【考点】等比数列的前n项和．
【专题】对应思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】B
【分析】由等比数列的前n项和公式计算即可．
【解答】解：因为等比数列{an}的公比为2，且前n项和为Sn，a1＝1，
所以．
故选：B．
【点评】本题考查等比数列的前n项和公式的应用，属于基础题．
2．（2024秋 包头期末）已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64，则这个等比数列的公比为（　　）
A．2或 B．或 C． D．2
【考点】由等比数列的前n项和求解数列．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】A
【分析】设这三个数分别为x，y，z，根据条件列方程组，求出x，y，z，再得到这个等比数列的公比即可．
【解答】解：根据题意，设这三个数分别为x，y，z，
则三个数成等比数列，则y2＝xz．
这三个数的和等于14，积等于64，所以x+y+z＝14，xyz＝64．
联立方程组，可得x＝2，y＝4，z＝8或x＝8，y＝4，z＝2，
所以当x＝2，y＝4，z＝8时，这个等比数列的公比为2；
当x＝8，y＝4，z＝2时，这个等比数列的公比为，
所以等比数列的公比是2或．
故选：A．
【点评】本题考查等差数列、等差数列的性质和应用，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．
3．（2024秋 包头期末）斐波那契数列1，1，2，3，5，8，…，按此规律，则第9项为（　　）
A．13 B．21 C．34 D．55
【考点】由数列若干项求下一项或其中的项．
【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】D
【分析】根据题意，根据数列的递推关系，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，斐波那契数列1，1，2，3，5，8，…，
有a3＝a1+a2＝1+1＝2，a4＝a2+a3＝2+3＝5，a5＝a3+a4＝3+5＝8，
a6＝a4+a5＝5+8＝13，a7＝a5+a6＝8+13＝21，a8＝a6+a7＝13+21＝34，
a9＝a7+a8＝21+34＝55．
故选：D．
【点评】本题考查归纳推理的应用，涉及数列的表示方法，属于基础题．
4．（2024秋 湖南期末）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a10+a12+3a9＝4﹣a11，则3S19＝（　　）
A．10 B．15 C．21 D．38
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】D
【分析】先由题中条件，结合等差数列下标之和的性质求出，再根据等差数列的求和公式，即可求出结果．
【解答】解：等差数列{an}中，a10+a12+3a9＝4﹣a11，
所以a10+a12+a9+a11+2a9＝4，
则a10+a12+a9+a11+a8+a10＝4，
由等差数列的性质可得，a10+（a12+a8）+（a9+a11）+a10＝6a10＝4，则，
因此．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．
5．（2024秋 长沙县校级期末）函数的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是两条优美的双曲线．在数列{cn}中，c1＝1，，记数列{cn}的前n项积为Tn，数列{Tn}的前n项和为Sn，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】裂项相消法．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．
【答案】A
【分析】由数列的裂项相消求和与数列的单调性，计算可得所求取值范围．
【解答】解：在数列{cn}中，c1＝1，，
可得n，即有cn，n≥2，
即有Tn＝c1c2...cn＝1...
＝2（），
则Sn＝T1+T2+...+Tn＝2（1...）＝2（1），
由于n≥2，{Sn}递增，可得S2≤Sn＜2，即为Sn＜2．
故选：A．
【点评】本题考查函数与数列的综合，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
6．（2024秋 长沙县校级期末）在等差数列{an}中，若a2＝3，a6＝11，则a4等于（　　）
A．5 B．6 C．7 D．9
【考点】等差数列的通项公式．
【专题】等差数列与等比数列．
【答案】C
【分析】由等差数列的性质可得2a4＝a2+a6，代值计算可得．
【解答】解：由等差数列的性质可得：
2a4＝a2+a6＝3+11＝14，
解得a4＝7
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的性质，属基础题．
7．（2024秋 台州期末）设等比数列的前n项和为Sn，若，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】求等比数列的前n项和．
【专题】分类讨论；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】D
【分析】对公比进行分类讨论，结合等比数列的通项公式和前n项和公式计算即可求解．
【解答】解：设公比为q，
当q＝1时，满足，此时；
当q≠1时，，解得q＝1，矛盾，
综上，的值为4．
故选：D．
【点评】本题考查等比数列的前n项和，属于基础题．
8．（2024秋 上城区校级期末）设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S9＝27，a3 a7＝5，则等差数列{an}的公差为（　　）
A．1 B．2 C．±1 D．±2
【考点】求等差数列的前n项和．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意，设等差数列{an}的公差为d，由S9＝27，可得a5＝3，又由a3 a7＝（a5﹣2d）（a5+2d）＝5，可得关于d的方程，解可得答案．
【解答】解：根据题意，设等差数列{an}的公差为d，
若S9＝27，则有S99a5＝27，则有a5＝3，
又由a3 a7＝5，则有a3 a7＝（a5﹣2d）（a5+2d）＝（3﹣2d）（3+2d）＝5，解可得d＝±1．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的前n项和，涉及等差数列性质，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 上城区校级期末）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，正项等比数列{bn}的前n项和为Tn，下列说法正确的是（　　）
A．{Tn}不可能是等差数列
B．若S6＝S8，则S2＝S12
C．是等差数列
D．若单调递减，则{bn}单调递增
【考点】等比数列的前n项和；等差数列的概念与判定．
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据题意，举出反例可得A、D错误，由等差数列的性质分析B，由等差数列的定义分析C，综合可得答案．
【解答】解：依次分析选项：
对于A，等比数列{bn}，当其公比为1时，Tn＝nb1，{Tn}是等差数列，A错误；
对于B，等差数列{an}中，若S6＝S8，即S8﹣S6＝a7+a8＝0，
S12﹣S2＝a3+a4+a5+a6+……+a11+a12＝5（a7+a8）＝0，则S2＝S12，B正确；
对于C，等差数列{an}，设其公差为d，则a1，数列{}是等差数列，
等比数列{bn}，设其公比为q，则bn＝b1qn﹣1，则lgbn＝（n﹣1）lgb1，则数列{lgbn}也是等差数列，
故数列{lgbn}是等差数列，C正确；
对于D，当an＝﹣2n，bn＝1时，单调递减，则{bn}不是递增数列，D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查等比数列、等差数列的性质，涉及等比、等差数列的求和，属于基础题．
（多选）10．（2024秋 渭滨区期末）已知，x成等比数列，则x的值可以是（　　）
A．0 B．1 C． D．﹣1
【考点】等比数列的性质．
【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】BD
【分析】根据等比中项建立等式求解即可．
【解答】解：∵，x成等比数列，
∴根据题意可知：，
解得x＝±1．
故选：BD．
【点评】本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）11．（2024秋 包头期末）设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d且满足a1＞0，S8＝S11，则下列描述正确的是（　　）
A．S9是唯一最大值 B．S10是最大值
C．S19＝0 D．a10＝0
【考点】求等差数列的前n项和．
【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】BCD
【分析】利用等差数列的性质和求和公式求出a10＝0判断C，D；利用通项求出d＜0，然后利用二次函数的性质求出最值判断A，B
【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d且满足a1＞0，S8＝S11，
∴S11﹣S8＝a11+a10+a9＝3a10＝0，∴a10＝0，故D对；
，故C对；
又a10＝a1+9d＝0，∴a1＝﹣9d＞0，∴d＜0，
∴，
又d＜0，∴当n＝9或n＝10，Sn取得最大值，故A错，B对．
故选：BCD．
【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式、二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）12．（2024秋 郴州期末）已知公差为d的等差数列{an}，其前n项和为Sn，且S12＜0，S13＞0，则下列说法正确的为（　　）
A．a7＜0
B．为等差数列
C．当Sn取得最小值时，n＝6
D．{an}为递减数列
【考点】求等差数列的前n项和．
【专题】转化思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据给定条件，利用等差数列的前n项和公式，结合等差数列的性质得到a7＞0，a6＜0，由此能求出结果．
【解答】解：公差为d的等差数列{an}，其前n项和为Sn，且S12＜0，S13＞0，
∴13a7＞0，6（a6+a7）＜0，
∴a7＞0，a6+a7＜0，a6＜﹣a7＜0，故A错误；
公差d＝a7﹣a6＞0，∴{an}是增数数，故D错误；
Sn＝na1，则，
（）d，
∴为等差数列，故B正确；
∵a7＞0，a6＜0，
∴当Sn取得最小值时，n＝6，故C正确．
故选：BC．
【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 上城区校级期末）若单调递增数列{an}满足an+an+1＝2n﹣5，n∈N*，则a1的取值范围是 　（，）　．
【考点】数列与不等式的综合；数列的单调性．
【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解；新定义类．
【答案】（，）．
【分析】根据题意，利用特殊值可得a1+a2＝﹣3，结合数列的单调性可得2a1＜a1+a2＝﹣3，解可得答案．
【解答】解：根据题意，数列{an}满足an+an+1＝2n﹣5①，
则有an+1+an+2＝2（n+1）﹣5＝2n﹣3②，
②﹣①可得：an+2﹣an＝2，
令n＝1，则有a1+a2＝﹣3，则a2＝﹣3﹣a1，
又由a3﹣a1＝2，则a3＝2+a1，
又由数列{an}单调递增，必有a1＜﹣3﹣a1＜2+a1，
解可得：a1，
故a1的取值范围是（，）．
故答案为：（，）．
【点评】本题考查数列与不等式的综合应用，涉及数列的单调性，属于基础题．
14．（2024秋 上城区校级期末）在等比数列{an}中，已知a1＝3，a4＝﹣81，则公比q＝ 　﹣3　．
【考点】由等比数列中若干项求通项公式或其中的项．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】﹣3．
【分析】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的通项公式可得q327，解可得答案．
【解答】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，
若a1＝3，a4＝﹣81，则q327，必有q＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的性质，属于基础题．
15．（2024秋 黄岛区期末）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝5S2，则 　4　．
【考点】求等比数列的前n项和．
【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】4．
【分析】利用等比数列的性质求解．
【解答】解：正项等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝5S2，
∴5，
解得q2＝4，
则q2＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16．（2024秋 平和县校级期末）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝6，S8＝18，则S12＝　36　．
【考点】等差数列前n项和的性质．
【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】36．
【分析】利用等差数列片断和的性质即可得解．
【解答】解：因为{an}是等差数列，
所以S4，S8﹣S4，S12﹣S8是等差数列，
则2（S8﹣S4）＝S4+S12﹣S8，
即2×（18﹣6）＝6+S12﹣18，
解得S12＝36．
故答案为：36．
【点评】本土主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 淮安期末）已知各项为正数的等差数列{an}满足a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若等比数列{bn}满足b1＝a1，b2＝a2，问：数列{an}的前50项中哪些项在等比数列{bn}中？
【考点】等差数列的性质；等比数列的性质．
【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】（1）an＝1或an＝2n﹣1．
（2）当an＝1时，数列{an}的前50项都在等比数列{bn}中；
当an＝2n﹣1时，数列{an}的前50项中有5项，分别是第1，2，5，14，41项在等比数列{bn}中．
【分析】（1）根据题意列出方程求出公差即可得到通项公式；
（2）分别求出{bn}的通项公式，根据通项公式即可确定答案．
【解答】解：（1）各项为正数的等差数列{an}满足a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列，
∴（1+d）2＝1×（1+4d），解得d＝0或d＝2，
当d＝0时，数列{an}的通项公式为an＝1；
当d＝2时，数列{an}的通项公式为an＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1．
（2）等比数列{bn}满足b1＝a1，b2＝a2，
当an＝1时，b1＝a1＝1，b2＝a2＝1，
∴等比数列{bn}中，bn＝1，
∴数列{an}的前50项都在等比数列{bn}中；
当an＝2n﹣1时，b1＝a1＝1，b2＝a2＝3，
q3，∴bn3n﹣1，
∴b1＝a1＝1，b2＝a2＝3，b3＝9＝a5，b4＝27＝a14，b5＝81＝a41，b6＝243＞a50＝99，
∴数列{an}的前50项中有5项，分别是第1，2，5，14，41项在等比数列{bn}中．
【点评】本题考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18．（2024秋 包头期末）已知Sn为数列{an}的前n项和，满足.数列{bn}是等差数列，且b1＝a1，b2+b4＝6．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设求数列{cn}的前20项和．
【考点】数列求和的其他方法；由等差数列中若干项求通项公式或其中的项．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】（1）an＝2n﹣1，bn＝n；（2）110．
【分析】（1）由数列的通项与求和的关系，结合等比数列的定义和通项公式，可得an；再由等差数列的通项公式，可得bn；
（2）由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．
【解答】解：（1）Sn为数列{an}的前n项和，满足，
由，①
所以有a1＝1，Sn+1＝2an+1﹣1．②
②﹣①得．
所以数列{an}成以1为首项，以2为公比的等比数列，
所以．
又数列{bn}是等差数列，且b1＝a1，b2+b4＝6，
可得b1＝a1＝1，b2+b4＝2+4d＝6，
所以b1＝1，d＝1，
所以bn＝n．
（2）因为，
设数列{cn}的前2n项和为T2n，
所以T2n＝a1+b2+a3+b4+ +a2n﹣1+b2n
＝（a1+a3+ +a2n﹣1）+（b2+b4+ +b2n）
＝20+22+ +22n﹣2+2+4+ +2n
．
故．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式与求和公式，以及数列的分组求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
19．（2024秋 长沙县校级期末）已知数列{an}满足a1＝2，且，在数列{bn}中，b1＝2，点P（bn，bn+1）在函数y＝x+2的图象上．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）将数列{bn}和的所有公共项从小到大排列得到数列{cn}，求数列{cn}的前n项和Tn．
【考点】数列递推式；数列求和的其他方法．
【专题】计算题；转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．
【答案】（1），bn＝2n；
（2）．
【分析】（1）根据数列{an}的递推式采用两式相减的方法可得an+1＝2an（n≥2），再结合等比数列定义即可得{an}的通项公式，由点P（bn，bn+1）在函数y＝x+2的图象上，可得bn+1＝bn+2，结合等差数列定义可得{bn}的通项公式；
（2）由题意可得，结合等比数列与等差数列求和公式分组计算即可得解．
【解答】解：（1）∵，
∴当n≥2时，，
两式相减可得，
∴2an＝nan+1﹣2（n﹣1）an，∴an+1＝2an（n≥2），又a1＝2，a2＝2a1＝4，
∴{an}是首项和公比都为2的等比数列，∴，
∵点P（bn，bn+1）在函数y＝x+2的图象上，∴bn+1＝bn+2，即bn+1﹣bn＝2，
又b1＝2，∴{bn}是首项和公差都为2的等差数列，∴bn＝2+2（n﹣1）＝2n．
（2）∵bn＝2n是所有的正偶数，又，∴，
∴
＝22+24+26+ +22n+2+4+6+ +2n
．
【点评】本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
20．（2024秋 宝安区期末）已知数列{an+1﹣2an}是以3为首项，2为公比的等比数列，且a1＝1．
（Ⅰ）证明：是等差数列；
（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn．
【考点】数列求和的其他方法；等差数列的概念与判定．
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维；运算求解．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；
（Ⅱ）．
【分析】（1）由等比数列的定义可得出，在等式两边同时除以2n+1，结合等差数列的定义可得结论；
（2）根据（1）中的结论求出数列{an}的通项公式，然后利用错位相减法可求得Sn．
【解答】证明：（Ⅰ）因为{an+1﹣2an}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以，
所以，即，
又，所以是首项为，公差为的等差数列．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
所以，
所以，．
则，
上述两个等式作差可得，
，
＝（3n﹣4） 2n﹣1+2．
故．
【点评】本题考查的知识点：数列的通项公式的求法，数列的求和，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
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