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2025年高考数学高频易错考前冲刺：双曲线
一．选择题（共8小题）
1．（2025 泰州模拟）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，A为C的左支上一点，AF1与C的一条渐近线平行．若|AF2|＝|F1F2|，则C的离心率为（　　）
A．2 B． C．3 D．
2．（2024秋 合肥期末）人教A版必修第一册第92页“探究与发现”的学习内容是“探究函数的图象与性质”，函数的图象实际上是双曲线．则函数的图象对应的双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024秋 天津期末）已知双曲线C，A为C的左顶点，抛物线y2＝16ax的准线与x轴交于B．若在C的渐近线上存在点P，使得∠APB＝90°，则C的离心率的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025 江西模拟）已知圆（x﹣2）2+y2＝1与双曲线1（a＞0，b＞0）的一条渐近线交于A，B两点，且|AB|＝1，则该双曲线的离心率为（　　）
A．2 B． C． D．
5．（2024秋 平和县校级期末）双曲线的两个焦点分别是F1和F2，焦距为8；M是双曲线上的一点，且|MF1|＝5，则|MF2|的值为（　　）
A．1 B．4 C．9 D．1或9
6．（2024秋 淮安期末）已知F1，F2是双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1与双曲线实轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，若ΔABF2是正三角形，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
A．y＝±2x B． C． D．
7．（2024秋 安康期末）已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，第一象限内的点P在C上，且，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．3
8．（2025 1月份模拟）双曲线的渐近线方程为（　　）
A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±3x D．y＝±4x
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 榆阳区校级期末）已知双曲线C的方程为，则（　　）
A．9＜m＜25
B．C的焦点可能在x轴上
C．C的焦距一定为8
D．C的渐近线方程可以为
（多选）10．（2024秋 道里区校级期末）已知双曲线C：，左右焦点分别为F1，F2，则下列说法正确的是（　　）
A．双曲线C与双曲线有相同的渐近线
B．若双曲线C上一点P满足|PF1|＝2|PF2|，则△PF1F2的周长为
C．过双曲线C的焦点且与x轴垂直的弦长为4
D．若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率k∈（﹣2，2）
（多选）11．（2025 永州二模）斜率为2的直线l与双曲线的两条渐近线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与双曲线交于C，D两点，P是线段AB的中点，则下列说法正确的是（　　）
A．是双曲线两条渐近线所构成的“X”形图象的方程
B．P也是线段CD的中点
C．若l过双曲线的焦点，则直线OP的斜率是
D．若l过双曲线的焦点，点P的坐标为（2，1），则a＝b
（多选）12．（2024秋 吉林期末）已知双曲线C：x21（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，圆（x﹣1）3+y3与C的渐近线相切．P为C右支上的动点，过点P作双曲线C的两渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则以下结论中正确的有（　　）
A．两渐近线夹角为30° B．C的离心率e＝2
C．|PA| |PB|为定值 D．|AB|的最小值为
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 台州期末）已知双曲线的离心率为，则b＝ 　 　．
14．（2024秋 合肥期末）双曲线的焦距为 　 　．
15．（2024秋 杭州期末）设P（x1，y1），Q（x2，y2）是平面直角坐标系xOy上的两点，O为坐标原点，定义点P到点Q的一种折线距离d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．已知P（0，2），Q是曲线1（x＞0）上一点，则d（P，Q）的最小值为 　 　．
16．（2024秋 湖南期末）已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，以点F2为圆心且与C的渐近线相切的圆与C在第一象限交于点A，B为AF1的中点，若，则C的渐近线的斜率为 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 无锡期末）已知双曲线Γ：的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为．
（1）求双曲线Γ的方程；
（2）若双曲线Γ的右顶点为A，过焦点F的直线与Γ的右支交于P，Q两点，直线AP，AQ分别与直线交于M，N两点，记△APQ的面积为S1，△AMN的面积为S2．
（i）求证：kAPkAQ为定值；
（ii）求的取值范围．
18．（2025 柳州二模）已知双曲线C的方程为1（a＞0，b＞0），虚轴长为2，点A（2，3）在曲线C上．
（1）求双曲线C的离心率；
（2）过原点O的直线与双曲线C交于S，T两点，已知直线AS和AT的斜率存在．证明：直线AS和AT的斜率之积为定值．
19．（2025 焦作校级一模）已知双曲线的实轴长为2，离心率为2，右焦点为F，P为C上的一个动点，
（1）若点P在双曲线C右支上，在x轴的负半轴上是否存在定点M．使得∠PFM＝2∠PMF？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）过P作圆的两条切线l1、l2，若切线l1、l2分别与C相交于另外的两点E、G，证明：E、O、G三点共线．
20．（2024秋 平和县校级期末）已知双曲线的右焦点为F（2，0），渐近线方程为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设直线l与双曲线C、圆O：x2+y2＝r2相切，切点分别为A，B，与渐近线相交于M，N两点．
（i）证明：|OM| |ON|为定值；
（ii）若|AB|＝2r，求直线l的方程．
2025年高考数学高频易错考前冲刺：双曲线
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D D C C B C
一．选择题（共8小题）
1．（2025 泰州模拟）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，A为C的左支上一点，AF1与C的一条渐近线平行．若|AF2|＝|F1F2|，则C的离心率为（　　）
A．2 B． C．3 D．
【考点】求双曲线的离心率．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】设|AF1|＝m，由双曲线的定义，结合已知条件可得m＝2c﹣2a，由AF1与C的一条渐近线平行可得，在△AF1F2中，由余弦定理可得关于a，c的等式，从而可解得离心率．
【解答】解：已知|AF2|＝|F1F2|＝2c，
设|AF1|＝m，由双曲线定义可得|AF2|﹣|AF1|＝2a，
所以m＝2c﹣2a，
由于AF1与渐近线平行，可得tan∠AF1F2，
则，
在△AF1F2中，由余弦定理可得，
整理得c2﹣4ac+3a2＝0，双曲线离心率为，
则e2﹣4e+3＝0，解得e＝3，
因此，双曲线的离心率为3．
故选：C．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
2．（2024秋 合肥期末）人教A版必修第一册第92页“探究与发现”的学习内容是“探究函数的图象与性质”，函数的图象实际上是双曲线．则函数的图象对应的双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】求双曲线的离心率．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】A
【分析】直接利用函数的图象与性质，求出函数的图象对应的双曲线的离心率．
【解答】解：双曲线是由双曲线旋转得到的，
设两条渐近线的夹角记为2θ，渐近线为y轴和y＝3x，故渐近线的斜率k＝3，
所以，整理得，
解得tan，
离心率e满足：e21+tan2θ，
解得：．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点：信息题，三角函数的值，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
3．（2024秋 天津期末）已知双曲线C，A为C的左顶点，抛物线y2＝16ax的准线与x轴交于B．若在C的渐近线上存在点P，使得∠APB＝90°，则C的离心率的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的离心率．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】根据圆和直线的位置关系列不等式，化简求得双曲线离心率的取值范围．
【解答】解：抛物线y2＝16ax的准线与x轴交于B，则B（﹣4a，0），
设AB的中点为D，A（﹣a，0），则，
在C的渐近线上存在点P，使得，
即以为圆心，半径为的圆与渐近线bx﹣ay＝0有公共点，
所以，5b≤3c，25b2≤9c2，
，
所以，
即C的离心率的取值范围是（1，]．
故选：D．
【点评】本题主要考查双曲线的离心率，考查运算求解能力，属于中档题．
4．（2025 江西模拟）已知圆（x﹣2）2+y2＝1与双曲线1（a＞0，b＞0）的一条渐近线交于A，B两点，且|AB|＝1，则该双曲线的离心率为（　　）
A．2 B． C． D．
【考点】求双曲线的离心率．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用圆的半径与半弦长，圆心到直线的距离满足的勾股定理求解即可．
【解答】解：双曲线1（a＞0，b＞0）的一条渐近线：bx﹣ay＝0，圆（x﹣2）2+y2＝1相交于A、B两点，
圆的圆心为（2，0），半径为1，圆心到直线的距离为：，|AB|＝1，
可得：，解得，c．
则双曲线的离心率为．
故选：D．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，双曲线的离心率的求法，考查计算能力，是中档题．
5．（2024秋 平和县校级期末）双曲线的两个焦点分别是F1和F2，焦距为8；M是双曲线上的一点，且|MF1|＝5，则|MF2|的值为（　　）
A．1 B．4 C．9 D．1或9
【考点】双曲线上的点与焦点的距离．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】利用双曲线的焦距求解a，通过双曲线的定义求解即可．
【解答】解：双曲线的两个焦点分别是F1与F2，焦距为8；
可得a2+12＝16，解得a＝2，
M是双曲线上的一点，且|MF1|＝5＜a+c＝6，
所以M在双曲线的左支上，所以|MF2|＝|MF1|+2a＝5+4＝9．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义的应用，属基础题．
6．（2024秋 淮安期末）已知F1，F2是双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1与双曲线实轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，若ΔABF2是正三角形，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
A．y＝±2x B． C． D．
【考点】求双曲线的渐近线方程．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】由已知可得关于a，b的方程，求得的值，则答案可求．
【解答】解：由题意可得，AB为双曲线的一条通径，通径长为，
又ΔABF2是正三角形，
∴，即，可得，．
∴该双曲线的渐近线方程为y．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是基础题．
7．（2024秋 安康期末）已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，第一象限内的点P在C上，且，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．3
【考点】求双曲线的离心率．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】求出，|PF2|＝|F1F2|＝2c，根据双曲线定义得到关于a，c的方程，求出．
【解答】解：由题意得|PF2|＝|F1F2|＝2c，故，，
由题意结合双曲线定义知，故，
所以C的离心率为．
故选：B．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
8．（2025 1月份模拟）双曲线的渐近线方程为（　　）
A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±3x D．y＝±4x
【考点】求双曲线的渐近线方程．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】利用双曲线的几何性质求解．
【解答】解：因为双曲线方程为，
所以a2＝1，b2＝9，
所以a＝1，b＝3，
所以渐近线方程为y＝±3x．
故选：C．
【点评】本题主要考查了双曲线的渐近线方程，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 榆阳区校级期末）已知双曲线C的方程为，则（　　）
A．9＜m＜25
B．C的焦点可能在x轴上
C．C的焦距一定为8
D．C的渐近线方程可以为
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据方程为双曲线可得9＜m＜25，且焦点在y轴上，即A正确，B错误；计算可得焦距为8，即C正确；当m＝13时，渐近线方程为，即D正确．
【解答】解：由题意得（9﹣m）（25﹣m）＜0，解得9＜m＜25，故A正确；
由A的分析可得双曲线C的标准方程为，
故双曲线C的焦点一定在y轴上，故B错误；
双曲线C的焦距为，故C正确；
当m＝13时，双曲线C的标准方程为，其渐近线方程为，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
（多选）10．（2024秋 道里区校级期末）已知双曲线C：，左右焦点分别为F1，F2，则下列说法正确的是（　　）
A．双曲线C与双曲线有相同的渐近线
B．若双曲线C上一点P满足|PF1|＝2|PF2|，则△PF1F2的周长为
C．过双曲线C的焦点且与x轴垂直的弦长为4
D．若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率k∈（﹣2，2）
【考点】双曲线的焦点三角形；求双曲线的渐近线方程；双曲线的弦及弦长．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】ABD
【分析】求出两双曲线的渐近线方程即可判断A；由已知及双曲线的定义可得|PF1|，|PF2|及|F1F2|，从而可得△PF1F2的周长，即可判断B；求出弦长即可判断C；若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率必须介于两条渐近线的斜率之间，从而可得判断D．
【解答】解：对于A，双曲线C：的渐近线方程可表示为，
双曲线的渐近线方程可表示为，
整理后都是y＝±2x，故A正确；
对于B，若双曲线C上一点P满足|PF1|＝2|PF2|，
则根据双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，所以|PF1|＝4，
双曲线的焦距为2c＝2，所以|F1F2|＝2，
所以△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝6+2，故B正确；
对于C，过双曲线C的焦点F2（，0）且与x轴垂直的弦，且端点的横坐标x，
代入双曲线C的方程中，可得y＝±4，所以弦长为8，故C错误；
对于D，若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，
则直线l的斜率必须介于两条渐近线的斜率之间，即直线l的斜率k∈（﹣2，2），故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
（多选）11．（2025 永州二模）斜率为2的直线l与双曲线的两条渐近线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与双曲线交于C，D两点，P是线段AB的中点，则下列说法正确的是（　　）
A．是双曲线两条渐近线所构成的“X”形图象的方程
B．P也是线段CD的中点
C．若l过双曲线的焦点，则直线OP的斜率是
D．若l过双曲线的焦点，点P的坐标为（2，1），则a＝b
【考点】直线与双曲线的综合．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】ABD
【分析】由题意，易知，求出直线方程，结合双曲线的渐近线方程即可判断选项A；设出直线l的方程，将直线方程分别与双曲线方程以及联立，利用韦达定理即可判断选项B；设出直线l的方程，结合选项B中信息以及斜率公式即可判断选项C；结合选项C中信息即可判断选项D．
【解答】解：对于选项A：易知，
所以或，
即或，
该直线方程恰好为双曲线的两条渐近线，故选项A正确；
对于选项B：设直线l的方程为y＝2x+m，C（x3，y3），D（x4，y4），
联立，消去y并整理得（b2﹣4a2）x2﹣4a2mx﹣a2m2﹣a2b2＝0，
若b2﹣4a2＝0，渐近线方程为y＝±2x，
此时与直线l平行，不符合题意，
由韦达定理得；
联立，消去y并整理得（b2﹣4a2）x2﹣4a2mx﹣a2m2＝0，
由韦达定理得，
所以AB，CD共用同一个中点，故选项B正确；
对于选项C：若直线l过焦点（c，0），
此时直线l的方程为y＝2x﹣2（m＝﹣2c），
由选项B知，
所以，
代入直线方程中，
解得，
此时；
若直线l过焦点（﹣c，0），
此时直线方程为y＝2x+2c（m＝2c），
由选项B知，
所以，
代入直线方程中，
解得，
此时，故选项C错误；
对于选项D：由选项C知，
即a2＝b2，
因为a＞0，b＞0，
所以a＝b，故选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
（多选）12．（2024秋 吉林期末）已知双曲线C：x21（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，圆（x﹣1）3+y3与C的渐近线相切．P为C右支上的动点，过点P作双曲线C的两渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则以下结论中正确的有（　　）
A．两渐近线夹角为30° B．C的离心率e＝2
C．|PA| |PB|为定值 D．|AB|的最小值为
【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的弦及弦长；求双曲线的离心率．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】BCD
【分析】根据双曲线的渐近线与圆相切求出b，再根据双曲线的几何性质，针对各个选项分别求解即可．
【解答】解：∵双曲线C：x21（b＞0）的渐近线为y＝±bx，
又圆（x﹣1）3+y3与C的渐近线相切，
∴圆心（1，0）到渐近线：y＝±bx的距离d，
即，b＞0，解得b，
∴a＝1，b，c＝2，
∴双曲线C的方程为，
∴渐近线为y＝±x，∴两渐近线夹角为60°，∴A选项错误；
∴C的离心率e2，∴B选项正确；
设P（m，n），则，∴3m2﹣n2＝3，
又渐近线为y＝±x，
∴|PA| |PB|，∴C选项正确；
∵yx的倾斜角为60°，∴可得∠APB＝60°，
∴|AB|2＝|PA|2+|PB|2﹣2|PA|×|PB|×cos60°
≥2|PA| |PB|﹣|PA| |PB|＝|PA| |PB|，
当且仅当PA|＝|PB|时，等号成立，
∴|AB|的最小值为，∴D选项正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，重要不等式的应用，属中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 台州期末）已知双曲线的离心率为，则b＝ 　2　．
【考点】由双曲线的离心率求解方程或参数．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】2．
【分析】根据双曲线的离心率为，可得，即可求解．
【解答】解：由双曲线方程可知a＝1，
又离心率为，
可得，
代入可得b2＝4，
则b＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程与几何性质，属于基础题．
14．（2024秋 合肥期末）双曲线的焦距为 　8　．
【考点】求双曲线的焦点和焦距．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】8．
【分析】根据已知条件，结合双曲线焦距的定义，即可求解．
【解答】解：因为双曲线，
则a2＝10，b2＝6，
所以，所以焦距为8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查双曲线焦距的定义，属于基础题．
15．（2024秋 杭州期末）设P（x1，y1），Q（x2，y2）是平面直角坐标系xOy上的两点，O为坐标原点，定义点P到点Q的一种折线距离d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．已知P（0，2），Q是曲线1（x＞0）上一点，则d（P，Q）的最小值为 　3　．
【考点】双曲线的标准方程；两点间的距离公式．
【专题】分类讨论；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解；新定义类．
【答案】3．
【分析】由题意可得d（P，Q）表达式，对其求导并令导数为0，可得结果．
【解答】解：设Q（x，y），P（0，2），由题意知折线距离d（P，Q）＝|x|+|y﹣2|，
由于点Q在双曲线上，且x＞0，要求d（P，Q）的最小值，
结合曲线的对称性，此时y≥0，所以，
①当0＜y≤2时，即x，将y代入折线距离公式，得到d（P，Q）＝|x﹣0|+|y﹣2|＝x﹣y+2＝x+2，
对d（P，Q）求导，d'（P，Q）＝1，
令d'（P，Q）＝0，解得x＝2，
当x＜2时，d'（P，Q）＜0，即d（P，Q）单调递减；
当2＜x时，d'（P，Q）＞0，即d（P，Q）单调递增，
所以当x＝2时，d（P，Q）取得最小值，且最小值为3；
②当y＞2时，即x，将y代入折线距离公式，
同理得到d（P，Q）＝x2，
对d（P，Q）求导，d'（P，Q）＝10，
当x时，d'（P，Q）＞0，d（P，Q）单调递增，d（P，Q）23，
③当y＝0时，x，d（P，Q）＝23，
综上所述：d（P，Q）取得最小值，且最小值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查利用导数求函数的最值，双曲线的几何性质，属于中档题．
16．（2024秋 湖南期末）已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，以点F2为圆心且与C的渐近线相切的圆与C在第一象限交于点A，B为AF1的中点，若，则C的渐近线的斜率为 　　．
【考点】直线与双曲线的综合；求双曲线的渐近线方程．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】．
【分析】利用点到直线的距离求得圆F2的半径为b，利用双曲线的定义及中位线的性质得，由余弦定理建立方程求得，从而得到渐近线斜率．
【解答】解：易知双曲线C的右焦点F2（c，0），一条渐近线方程为，
所以点F2到渐近线的距离，
因为以点F2为圆心且与C的渐近线相切的圆与C在第一象限交于点A，
所以圆F2的半径为b，
连接AF2，
此时|AF2|＝b，
由双曲线的定义得|AF1|﹣|AF2|＝2a，
所以，
在△AF1F2中，O为F1F2的中点，B为AF1的中点，
所以，
若，
所以△OBF2为直角三角形，
在Rt△OBF2中，，
在△OBF1中，，
因为cos∠BOF1＝﹣cos∠BOF2，
所以，
即，
则双曲线的渐近线斜率．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 无锡期末）已知双曲线Γ：的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为．
（1）求双曲线Γ的方程；
（2）若双曲线Γ的右顶点为A，过焦点F的直线与Γ的右支交于P，Q两点，直线AP，AQ分别与直线交于M，N两点，记△APQ的面积为S1，△AMN的面积为S2．
（i）求证：kAPkAQ为定值；
（ii）求的取值范围．
【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的几何特征．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑思维．
【答案】（1）；
（2）（i）证明见解答．
（ii）[4，+∞）．
【分析】（1）由题意求出a，b，即可求得答案；
（2）（i）设直线PQ的方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系式，结合kAPkAQ的表达式，即可证明结论；
（ii）利用直线方程求出相关点坐标，可得S1，S2的表达式，即可求出的表达式，结合不等式性质，即可求得答案．
【解答】解：（1）设双曲线的半焦距为c，由题意得，F（c，0），
渐近线方程不妨取，即bx﹣ay＝0，则，
所以，而c2＝a2+b2＝4a2，所以a2＝1，
故双曲线方程为；
（2）（i）证明：由题意知A（1，0），F（2，0），
设直线PQ的方程为x＝my+2（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立方程组，得（3m2﹣1）y2+12my+9＝0，
因为过焦点F的直线与Γ的右支交于P，Q两点，故．
则y1+y2，y1y2，
则；
当直线PQ斜率不存在时，，
故APkAQ为定值；
（ii）由题意可得，
直线AP的方程为，则，
直线AQ的方程为，则，
则．
所以，
由于．即0＜3m2＜1，0＜|3m2﹣1|＜1，故，
当直线PQ斜率不存在时，P（2，3），Q（2，﹣3），直线AP方程为y＝3（x﹣1），
直线AQ方程为y＝﹣3（x﹣1），可得，N（），，
综上的取值范围为[4，+∞）．
【点评】本题考查直线与双曲线的综合应用，属于中档题．
18．（2025 柳州二模）已知双曲线C的方程为1（a＞0，b＞0），虚轴长为2，点A（2，3）在曲线C上．
（1）求双曲线C的离心率；
（2）过原点O的直线与双曲线C交于S，T两点，已知直线AS和AT的斜率存在．证明：直线AS和AT的斜率之积为定值．
【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的几何特征．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）2；
（2）证明过程见解析．
【分析】（1）根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系列出等式求解即可；
（2）设出S，T的坐标和直线AS，AT的斜率，结合斜率公式以及点在曲线上即可得证．
【解答】解：（1）因为点A（2，3）在双曲线C上且虚轴长为2，
所以，
解得，
又c2＝a2+b2＝4，
解得c＝2，
所以双曲线的方程，离心率；
（2）证明：易知点S，T关于原点对称，
设S（x0，y0），
此时T（﹣x0，﹣y0），
设直线AS的斜率为k1，直线AT的斜率为k2，
因为，，
所以，①
因为点S（x0，y0）在双曲线C上，
所以，②
联立①②，
解得．
故直线AS的斜率和直线AT的斜率之积为定值3．
【点评】本题考查双曲线的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
19．（2025 焦作校级一模）已知双曲线的实轴长为2，离心率为2，右焦点为F，P为C上的一个动点，
（1）若点P在双曲线C右支上，在x轴的负半轴上是否存在定点M．使得∠PFM＝2∠PMF？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）过P作圆的两条切线l1、l2，若切线l1、l2分别与C相交于另外的两点E、G，证明：E、O、G三点共线．
【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的几何特征．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）存在，M（﹣1，0）；
（2）证明过程见解析．
【分析】（1）先求出双曲线的方程，将角度关系转化为直线的斜率关系，从而列出不等式，斜率不存在的情况单独讨论，即可求出M点的坐标；
（2）先根据P点的位置判断能否作出切线，再将切线分为斜率存在和不存在两种情况讨论，表达出两条切线的方程，斜率存在时，再根据切线与圆的位置关系，找出两条切线的斜率的关系，再把切线方程代入双曲线，表达出点E、G的坐标并找出坐标关系，从而证出E、O、G三点共线．
【解答】解：（1）因为双曲线的实轴长为2，离心率为2，
所以，
解得a＝1，b，c＝2，
则双曲线的方程为，
设P（x0，y0），M（t，0），且t＜0，
①当直线PF的斜率存在时，即x0≠2时，
因为∠PFM＝2∠PMF，
所以，
，
此时，
整理得，
所以，
解得t＝﹣1，
则在x轴负半轴上存在点M（﹣1，0）使得∠PFM＝2∠PMF；
②当直线PF的斜率不存在时，即x0＝2时，∠PFM＝90°，
若∠PFM＝2∠PMF，
可得∠PMF＝45°，
此时P（2，3），
所以|PF|＝3，
可得|FM|＝|PF|＝3，
因为|OF|＝2，
所以|OM|＝1，
此时t＝﹣1，
综上所述，满足条件的M点存在，其坐标为（﹣1，0）．
（2）证明：若过P作圆的两条切线l1、l2，
设P（x0，y0），
易知双曲线和圆相交，
联立，
解得，
其为两曲线四个交点的坐标，
①当，即时，直线PG的斜率不存在，直线PE的斜率为0，
易得，
此时点E、G关于点O对称，
则E、O、G三点共线；
②当，且或，且时，
此时直线PE、PG的斜率存在且不为零，分别设为k1，k2，
设经过P（x0，y0）的直线方程为y＝k（x﹣x0）+y0，
因为直线与圆相切，
所以，
即，
由韦达定理得，
因为，
所以，
因为，
即，
同理得，
联立，消去y并整理得，
可得，
即，
令E（x1，y1），
由韦达定理得，
所以
设G（x2，y2），
因为k1 k2＝3，
所以，
所以x1+x2＝0，
又，
两式相减得，
即，
易知y1≠y2，
所以y1＝﹣y2，
即y1+y2＝0，
所以点E、G关于点O对称，
则E、O、G三点共线．
综上所述，E、O、G三点共线．
【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
20．（2024秋 平和县校级期末）已知双曲线的右焦点为F（2，0），渐近线方程为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设直线l与双曲线C、圆O：x2+y2＝r2相切，切点分别为A，B，与渐近线相交于M，N两点．
（i）证明：|OM| |ON|为定值；
（ii）若|AB|＝2r，求直线l的方程．
【考点】双曲线的定点及定值问题；根据双曲线的几何特征求标准方程．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；
（2）（i）证明过程见解析；
（ii）y＝±3x±．
【分析】（1）根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系，列出等式求解即可；
（2）（i）由题意，当l与x轴垂直时，求出M，N的坐标，进而可得|OM| |ON|的值；当直线l与x轴不垂直时，设出直线l的方程，将直线方程与双曲线方程和渐近线方程联立，结合韦达定理以及向量的坐标运算即可得证；
（ii）利用点到直线的距离公式求出以，设出直线OB的方程，将直线OB的方程与直线l的方程联立，求出点B的坐标，结合点A的坐标进行求解即可．
【解答】解：（1）因为双曲线C的右焦点为F（2，0），渐近线方程为，
所以，
解得，
则双曲线C的标准方程为；
（2）（i）证明：当l与x轴垂直时，直线l的方程为x＝1，
可得，，
此时OM ON＝4；
当直线l与x轴不垂直时，
设直线l的方程为y＝kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4），
联立，消去y并整理得（3﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣3＝0，
此时3﹣k2≠0且Δ＝4k2m2+4（3﹣k2）（m2+3）＝12（m2﹣k2+3）＝0，
解得m2＝k2﹣3，
易知，，
联立，消去y并整理得（3﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2＝0，
由韦达定理得，，
所以x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）
1+k2+km （）+m2＝1﹣k2+m2＝﹣2，
因为，
所以|ON||OM|＝4，
综上所述，|ON||OM|＝4；
（ii）因为直线l与圆相切，
所以，
设直线OB为l2：，
联立，
解得
易知，
所以，
又m2＝k2﹣3，
所以m4﹣4m2﹣12＝（m2+2）（m2﹣6）＝0，
所以m2＝6，k2＝9．
则直线l的方程为y＝±3x±．
【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
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