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2025年高考数学高频易错考前冲刺：统计
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 桂林期末）根据如下两组数据，下列说法正确的是（　　）
X 5 6 7 8 9 10
Y 5 4.8 3.5 4 3 2
M 2 4 6 7 9
N 3 4 9 7 11
A．X和Y呈正相关，M和N呈正相关
B．X和Y呈负相关，M和N呈负相关
C．X和Y呈正相关，M和N呈负相关
D．X和Y呈负相关，M和N呈正相关
2．（2024秋 涪城区校级期末）某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本．经计算得到男生身高样本均值为170cm，方差为17cm2；女生身高样本均值为160cm，方差为30cm2．下列说法中正确的个数是（　　）个
①男生样本量为30；②每个女生入样的概率均为；③所有样本的均值为166cm；④所有样本的方差为22.2cm2
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024秋 顺义区期末）某学校高二年级选择“物化生”，“物化政”和“政史地”组合的学生人数分别为200，160和120．现采用分层抽样的方法选出12名学生进行调查问卷，则从“物化政”组合中选出的学生人数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．（2024秋 青岛期末）已知样本数据1，3，5，7，9，11，13，15，则该组数据的中位数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．（2024秋 滨州期末）已知两个变量x和y之间具有较强的线性相关关系，且y关于x的经验回归方程为，由它计算出成对样本数据（4，1.4）对应的残差为0.12（残差＝观测值﹣预测值），则（　　）
A．0.28 B．0.56 C．0.34 D．0.48
6．（2024秋 昌平区期末）某校高中三个年级共有学生2000人，其中高一年级有学生740人，高二年级有学生660人．为了了解该校高中学生参加整本书阅读活动的情况，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为100的样本进行调查，那么在高三年级的学生中应抽取的人数为（　　）
A．37 B．33 C．30 D．70
7．（2024秋 延庆区期末）已知甲、乙两组数可分别用图（1）、（2）表示，记甲、乙两组数的平均数和方差分别为、、、，则它们的大小关系是（　　）
A．，
B．，
C．，
D．，
8．（2025 重庆模拟）有4位同学各掷骰子5次（骰子出现的点数可能为1，2，3，4，5，6），分别记录自己每次出现的点数，四位同学根据统计结果，并对自己的试验数据分别做了如下描述，可以判断一定没有出现点数1的是（　　）
A．平均数为3，中位数为4
B．中位数为3，众数为5
C．平均数为4，方差为1.2
D．中位数为4，方差为1.6
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 佛山一模）有一组成对样本数据（x1，y1），（x2，y2）， ，（xn，yn），设，由这组数据得到新成对样本数据，下面就这两组数据分别先计算样本相关系数，再根据最小二乘法计算经验回归直线，最后计算出残差平方和，则（　　）
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．
相关系数．
A．两组数据的相关系数相同
B．两组数据的残差平方和相同
C．两条经验回归直线的斜率相同
D．两条经验回归直线的截距相同
（多选）10．（2025 厦门模拟）药物临床试验是验证新药有效性和安全性必不可少的步骤．在某新药的临床实验中，志愿者摄入一定量药物后，在较短时间内，血液中药物浓度将达到峰值，当血液中药物浓度下降至峰值浓度的20%时，需要立刻补充药物．已知血液中该药物的峰值浓度为120mg/L，为探究该药物在人体中的代谢情况，研究人员统计了血液中药物浓度y（mg/L）与代谢时间x（h）的相关数据，如表所示：
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 4
y 120 110 103 93 82 68 59 47 38 80
根据表中数据可得到经验回归方程，则（　　）
A．
B．变量y与x的相关系数r＞0
C．当x＝5时，残差为﹣1.5
D．代谢约10小时后才需要补充药物
（多选）11．（2025 长沙模拟）为了解某种新产品的加工情况，并设定工人每天加工该产品的最少数量．相关部门从工厂随机抽查了100名工人在某天内加工该产品的数量．现将这些观测数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），绘制出如图所示的频率分布直方图，则（　　）
A．样本观测数据的极差不大于50
B．样本观测数据落在区间[65，75）上的频率为0.025
C．样本观测数据的平均数大于中位数
D．若将工人每天加工产品的最少数量设为55，估计80%的工人能完成任务
（多选）12．（2024秋 湖南期末）某快递公司2020—2024年的快递业务量及其增长率如图所示，则（　　）
A．该公司2020﹣2024年快递业务量逐年上升
B．该公司2020﹣2024年快递业务量的极差为68.5亿件
C．该公司2020﹣2024年快递业务量的增长率的中位数为29.9%
D．该公司2020﹣2024年快递业务量的增长率的平均数为21.58%
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 道里区校级期末）某企业近几年加大了对科技研发资金的投入，其科技投入x（百万元）与收益y（百万元）的数据统计如表所示，由表中的数据求得经验回归方程为，其中m为如表中科技投入x的4个数据的方差的8倍，据此经验回归方程预测，当x＝6时，的值为 　 　（百万元）．
科技投入x（百万元） 1 2 3 4
收益y（百万元） m m+3 15 18
14．（2024秋 梧州期末）由数据（x1，y1），（x2，y2）， ，（x8，y8）可得y关于x的线性回归方程为，若7，则 　 　．
15．（2024秋 宝山区校级期末）甲、乙两人练习跳绳，每人练习10组，每组不间断跳绳计数的茎叶图如图，则下面结论中所有正确的序号是 　 　．
①甲的极差比乙的小；
②乙的中位数是18；
③甲的平均数比乙的小；
④乙的众数是21．
16．（2024秋 陕西期末）要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000，001，002，…，499，利用随机数表抽取样本，从第8行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续．则抽取的第5袋牛奶的标号是　 　．
（下面摘取了某随机数表的第7行至第9行）
84421 75531 57245 50688 77047 44767 21763
35025 83921 20676 63016 47859 16955 56719
98301 07185 12867 35807 44395 23879 33211
四．解答题（共4小题）
17．（2025 泰州模拟）某学校举行运动会，为了解学生参加跳绳比赛与学生的性别是否有关，对学生进行简单随机抽样，得到如表数据：
女 男
未参加跳绳比赛 75 90
参加跳绳比赛 25 10
（1）能否有99%的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关？
（2）为了进一步了解女生的平时运动情况，利用分层抽样的方法从这100人中抽取12人进行研究．老师甲从这12人中随机选取3人，求至少有1人参加跳绳比赛的概率．
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（x2≥k） 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18．（2025秋 甘肃校级期中）已知某校共有1000名学生参加体能达标测试，现从中随机抽取100名学生的成绩，将他们的测试成绩分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如下频数分布表．
成绩/分 [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
频数 10 15 20 30 15 10
（1）求这100名学生的体能测试平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
（2）在这100名学生中，规定：测试成绩不低于80分为“优秀”，成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为体能测试成绩是否优秀与性别有关？
优秀 非优秀 总计
男生 30
女生 50
总计
（3）根据样本数据，可认为该校全体学生的体能测试成绩X近似服从正态分布N（μ，14.312），其中μ近似为样本平均数，则这1000名学生中体能测试成绩不低于84.81分的估计有多少人？
参考公式及数据：X～N（μ，σ2），P（μ﹣σ≤X＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X＜μ+2σ）≈0.9545；
，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19．（2025 新余校级模拟）睡眠是守卫健康的忠臣，小周同学就高三同学睡眠问题展开了一次调研活动：
* 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计/人
（3，4] 1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 6
（4，5] 8 7 8 6 4 7 7 4 5 4
（5，6] 8 12 10 8 17 16 12 13 12 12
（6，7] 25 25 26 25 22 22 24 23 25 23 240
（7，8] 6 6 7 7 5 4 5 6 7 7 60
（9，10] 2 2 1 1 2 1 1 2 0 2
（1）小周同学调查了振兴中学高三随机十个班级的单个学生睡眠平均时长所在区间的人数分布，请补全这张统计表（横向代表班级序号，纵向代表平均睡眠时长所在区间，框内数据代表人数）与直方图并通过直方图估计振兴中学高三同学睡眠的60%分位数（作图不要求写出过程）；
（2）之后，小周同学收集了随机100名同学的具体平均睡眠时长，这些数据中男生有60人，平均睡眠时长与睡眠时长方差分别为6.3h与12.06；女生有40人，平均睡眠时长与睡眠时长方差分别为6.8h与13.01，请根据以上数据计算出这100名同学的睡眠时长总方差．
（3）睡眠连续性得分是判断睡眠质量的分数度量，一般≥70算合格．临近大型考试，小周同学用智能手表测出了考试前一周他的睡眠连续性得分，请根据图表得出两条有效信息并为他提出一条可行的睡眠建议．
20．（2024秋 南昌期末）为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，科学家进行了实验，得到如下结果（单位：人）：
患病情况服用情况 患病 不患病
服用中药预防方 10 90
不服用中药预防方 50 50
（1）该中药预防方对预防该种疾病是否有效？
（2）从参与该实验的人中任选一人，A表示事件“选到的人服用中药预防方”，B表示事件“选到的人患病”．利用该调查数据，求P（A|B），P（A|）的值．
附：χ2，其中n＝a+b+c+d．
P（x2≥x0） 0.10 0.05 0.01
x0 2.706 3.841 6.635
2025年高考数学高频易错考前冲刺：统计
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B B C A C D C
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 桂林期末）根据如下两组数据，下列说法正确的是（　　）
X 5 6 7 8 9 10
Y 5 4.8 3.5 4 3 2
M 2 4 6 7 9
N 3 4 9 7 11
A．X和Y呈正相关，M和N呈正相关
B．X和Y呈负相关，M和N呈负相关
C．X和Y呈正相关，M和N呈负相关
D．X和Y呈负相关，M和N呈正相关
【考点】样本相关系数．
【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计；数学抽象．
【答案】D
【分析】根据题意，由正、负相关的概念分析表格数据，即可得而答案．
【解答】解：根据题意，分析表格中的数据，当X增大时，Y减小，X和Y呈负相关；
当M增大时，N增大，M和N呈正相关．
故选：D．
【点评】本题考查数据的相关性，注意理解“正相关”、“负相关”的定义，属于基础题．
2．（2024秋 涪城区校级期末）某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本．经计算得到男生身高样本均值为170cm，方差为17cm2；女生身高样本均值为160cm，方差为30cm2．下列说法中正确的个数是（　　）个
①男生样本量为30；②每个女生入样的概率均为；③所有样本的均值为166cm；④所有样本的方差为22.2cm2
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】①②③直接考查简单随机抽样，利用公式易得①③正确，②错误；④主要利用男生、女生方差数据计算总体方差数据，可得④错误．
【解答】解：某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，
按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，
得到男生身高样本均值为170cm，方差为17cm2；女生身高样本均值为160cm，方差为30cm2．
对于①，抽样比为，∴样本中男生有人，故①正确；
对于②，每个女生入样的概率等于抽样比，故②错误；
对于③，由分层抽样知，样本中男生有30人，女生有20人，
所有的样本均值为：，故③正确；
对于④，设男生分别为x1，x2， ，x30，平均数，，
女生分别为y1，y2， ，y20，平均数，，
总体的平均数为，方差为S2，
，
∵，
而，
∴，
同理可得，
∴，故④错误．
故选：B．
【点评】本题考查分层抽样、平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（2024秋 顺义区期末）某学校高二年级选择“物化生”，“物化政”和“政史地”组合的学生人数分别为200，160和120．现采用分层抽样的方法选出12名学生进行调查问卷，则从“物化政”组合中选出的学生人数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
【解答】解：现采用分层抽样的方法选出12名学生进行调查问卷，
则从“物化政”组合中选出的学生人数是．
故选：B．
【点评】本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
4．（2024秋 青岛期末）已知样本数据1，3，5，7，9，11，13，15，则该组数据的中位数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】中位数．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】结合中位数的定义，即可求解．
【解答】解：样本数据1，3，5，7，9，11，13，15，共8个数据，并从小到大排序，
则该组数据的中位数是．
故选：C．
【点评】本题主要考查中位数的定义，属于基础题．
5．（2024秋 滨州期末）已知两个变量x和y之间具有较强的线性相关关系，且y关于x的经验回归方程为，由它计算出成对样本数据（4，1.4）对应的残差为0.12（残差＝观测值﹣预测值），则（　　）
A．0.28 B．0.56 C．0.34 D．0.48
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】由题意先求出x＝4时的预报值，通过残差列出方程，求解即得的值．
【解答】解：y关于x的经验回归方程为，由它计算出成对样本数据（4，1.4）对应的残差为0.12，
则，解得．
故选：A．
【点评】本题主要考查线性回归方程的应用，属于基础题．
6．（2024秋 昌平区期末）某校高中三个年级共有学生2000人，其中高一年级有学生740人，高二年级有学生660人．为了了解该校高中学生参加整本书阅读活动的情况，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为100的样本进行调查，那么在高三年级的学生中应抽取的人数为（　　）
A．37 B．33 C．30 D．70
【考点】分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
【解答】解：采用分层抽样的方法从中抽取容量为100的样本进行调查，
则在高三年级的学生中应抽取的人数为．
故选：C．
【点评】本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
7．（2024秋 延庆区期末）已知甲、乙两组数可分别用图（1）、（2）表示，记甲、乙两组数的平均数和方差分别为、、、，则它们的大小关系是（　　）
A．，
B．，
C．，
D．，
【考点】平均数；方差．
【专题】数形结合；数形结合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】利用条形统计图、平均数、方差求解．
【解答】解：甲、乙两组数的平均数和方差分别为、、、，
由图可知：
，．
故选：D．
【点评】本题考查条形统计图、平均数、方差等基础知识，是基础题．
8．（2025 重庆模拟）有4位同学各掷骰子5次（骰子出现的点数可能为1，2，3，4，5，6），分别记录自己每次出现的点数，四位同学根据统计结果，并对自己的试验数据分别做了如下描述，可以判断一定没有出现点数1的是（　　）
A．平均数为3，中位数为4
B．中位数为3，众数为5
C．平均数为4，方差为1.2
D．中位数为4，方差为1.6
【考点】用样本估计总体的集中趋势参数；用样本估计总体的离散程度参数．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】根据数字特征的定义，依次对选项分析判断即可．
【解答】解：对于A，∵平均数为3，中位数为4，
∴这5个数从小到大排列后，第3次是4，
当3，4，5次为4，4，4时，总和为12，
第1，2 次总和为3，
∴这5个数可以是1，2，4，4，4，故A错误；
对于B，由于中位数为3，众数为5，
∴这5个数从小到大排列后，第3次是3，
则第4次和第5次为5，
∴这5个数可以是1，2，3，5，5，故B错误；
对于C，∵平均数为4，方差为1.2，则5次总和为20，
[（x1﹣4）2+（x2﹣4）2+（x3﹣4）2+（x4﹣4）2+（x5﹣4）2]＝1.2，
若有一个数为1，取x1＝1，
则（x2﹣4）2+（x3﹣4）2+（x4﹣4）2+（x5﹣4）2＝﹣3，不合题意，
则一定没有出现点数1，故C正确；
对于D，∵中位数为4，方差为1.6，
∴这5个数从小到大排列后，第3次是4，平均数最小值为2.8，
[（x1）2+（x2）2+（x3）2+（x4）2+（x5）2]＝1.6，
（x1）2+（x2）2+（4）2+（x4）2+（x5）2＝8，
若第一个数为1，取x1＝1，（1）2≤8，（4）2≤8，
若取平均数为3，则（1﹣3）2+（x2﹣3）2+（4﹣3）2+（x4﹣3）2+（x5﹣3）2＝8，
（x2﹣3）2+（x4﹣3）2+（x5﹣3）2＝3，
则x2＝2，x4＝x5＝4符合要求，
这5个数为1，2，4，4，4，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查数字特征的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 佛山一模）有一组成对样本数据（x1，y1），（x2，y2）， ，（xn，yn），设，由这组数据得到新成对样本数据，下面就这两组数据分别先计算样本相关系数，再根据最小二乘法计算经验回归直线，最后计算出残差平方和，则（　　）
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．
相关系数．
A．两组数据的相关系数相同
B．两组数据的残差平方和相同
C．两条经验回归直线的斜率相同
D．两条经验回归直线的截距相同
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】ABC
【分析】利用公式求相关系数，通过对公式的理解，可以作出判断．
【解答】解：∵新成对样本数据（，），（，），…，（，），
其平均数为[（）+（）+…+（）][（x1+x2+…+xn）﹣n]＝0，
同理[（）+（）+…+（）][（y1+y2+…+yn）﹣n]＝0，
根据公式，r，
用样本数据减去去平均数得与新数据（）（）﹣0，
用样本数据减去平均数得与新成对数据（）（）﹣0，
即它们每一个对应数据的差值都是一样的，
这就说明两条经验回归直线的斜率相同，两组数据的相关系数相同，故AC正确；
由于回归直线经过样本数据的样本点为（，），
而新数据的样本点为（0，0），
即样本数据的回归直线方程为y（x），
而新数据的回归直线方程 为yx，
∴两条经验回归直线的截距不相同，故D错误；
由于样本数据回归直线和新数据回归直线是平行关系，
∴实际值与估计值的差的平方和应该是相同的，
即两组数据的残差平方和相同，故B正确．
故选：ABC．
【点评】本题考查相关系数、平均数、残差、回归直线等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）10．（2025 厦门模拟）药物临床试验是验证新药有效性和安全性必不可少的步骤．在某新药的临床实验中，志愿者摄入一定量药物后，在较短时间内，血液中药物浓度将达到峰值，当血液中药物浓度下降至峰值浓度的20%时，需要立刻补充药物．已知血液中该药物的峰值浓度为120mg/L，为探究该药物在人体中的代谢情况，研究人员统计了血液中药物浓度y（mg/L）与代谢时间x（h）的相关数据，如表所示：
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 4
y 120 110 103 93 82 68 59 47 38 80
根据表中数据可得到经验回归方程，则（　　）
A．
B．变量y与x的相关系数r＞0
C．当x＝5时，残差为﹣1.5
D．代谢约10小时后才需要补充药物
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据经验回归方程过点（，）可求出的值，再结合相关系数和残差的定义，逐个判断各个选项即可．
【解答】解：因为经验回归方程过点（，），即（4，80），
所以80＝﹣10.5×4，
解得122，故A正确；
因为血液中药物浓度y（mg/L）随代谢时间x（h）的增大而减小，所以变量y与x的相关系数r＜0，故B错误；
因为122，
所以10.5x+122，
当x＝5时，10.5×5+122＝69.5，残差为68﹣69.5＝﹣1.5，故C正确；
令﹣10.5x+122＝120×0.2，得x≈9.33，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了经验回归方程的性质，考查了相关系数和残差的定义，属于基础题．
（多选）11．（2025 长沙模拟）为了解某种新产品的加工情况，并设定工人每天加工该产品的最少数量．相关部门从工厂随机抽查了100名工人在某天内加工该产品的数量．现将这些观测数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），绘制出如图所示的频率分布直方图，则（　　）
A．样本观测数据的极差不大于50
B．样本观测数据落在区间[65，75）上的频率为0.025
C．样本观测数据的平均数大于中位数
D．若将工人每天加工产品的最少数量设为55，估计80%的工人能完成任务
【考点】频率分布直方图的应用；平均数；中位数．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据频率分布直方图的性质，针对各个选项，即可分别求解．
【解答】解：∵95﹣45＝50，∴样本观测数据的极差不大于50，∴A选项正确；
∵样本观测数据落在区间[65，75）上的频率为0.025×10＝0.25，∴B选项错误；
根据题意可得样本观测数据的平均数为：
50×0.2+60×0.4+70×0.25+80×0.1+90×0.05＝64，
∵前两组的频率依次为0.2，0.4，
∴样观本测数据的中位数为：62.5＜64，
∴样本观测数据的平均数大于中位数，∴C选项正确；
∵[45，55）的频率为0.2，
∴若将工人每天加工产品的最少数量设为55，估计80%的工人能完成任务，∴D选项正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查频率分布直方图的综合运用，属中档题．
（多选）12．（2024秋 湖南期末）某快递公司2020—2024年的快递业务量及其增长率如图所示，则（　　）
A．该公司2020﹣2024年快递业务量逐年上升
B．该公司2020﹣2024年快递业务量的极差为68.5亿件
C．该公司2020﹣2024年快递业务量的增长率的中位数为29.9%
D．该公司2020﹣2024年快递业务量的增长率的平均数为21.58%
【考点】统计图表获取信息．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据图像和极差，中位数，平均数的计算公式依次判断每个选项即可．
【解答】解：A项．根据题意，2020—2024年快递业务量逐年上升，故A项正确；
B项.2020—2024年快递业务量极差为132.0﹣63.5＝68.5（亿件），故B项正确；
C项．增长率从小到大排序：2.1%，19.4%，25.3%，29.9%，31.2%，
则中位数为25.3%，故C项错误；
D项.，故D项正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了极差，中位数，平均数的计算公式，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 道里区校级期末）某企业近几年加大了对科技研发资金的投入，其科技投入x（百万元）与收益y（百万元）的数据统计如表所示，由表中的数据求得经验回归方程为，其中m为如表中科技投入x的4个数据的方差的8倍，据此经验回归方程预测，当x＝6时，的值为 　35　（百万元）．
科技投入x（百万元） 1 2 3 4
收益y（百万元） m m+3 15 18
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】35．
【分析】根据方差的定义求出m的值，再根据经验回归方程过点（，）求出，进而得到经验回归方程为6x﹣1，令x＝6求出的值即可．
【解答】解：由题意可知，表中科技投入x的4个数据的平均数为2.5，
所以表中科技投入x的4个数据的方差为[（1﹣2.5）2+（2﹣2.5）2+（3﹣2.5）2+（4﹣2.5）2]＝1.25，
所以m＝8×1.25＝10，
所以14，
又因为经验回归方程过点（，），即（2.5，14），
所以14＝2.51，
解得6，
所以经验回归方程为6x﹣1，
当x＝6时，6×6﹣1＝35．
故答案为：35．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，属于基础题．
14．（2024秋 梧州期末）由数据（x1，y1），（x2，y2）， ，（x8，y8）可得y关于x的线性回归方程为，若7，则 　32　．
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】32．
【分析】根据线性回归方程过点（，）求解即可．
【解答】解：因为线性回归方程过点（，），
所以，
解得，
所以．
故答案为：32．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，属于基础题．
15．（2024秋 宝山区校级期末）甲、乙两人练习跳绳，每人练习10组，每组不间断跳绳计数的茎叶图如图，则下面结论中所有正确的序号是 　④　．
①甲的极差比乙的小；
②乙的中位数是18；
③甲的平均数比乙的小；
④乙的众数是21．
【考点】茎叶图；中位数；极差．
【专题】数形结合；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】④．
【分析】根据茎叶图提供的数据求出相应的极差、中位 数、均值、众数再判断．
【解答】解：由茎叶图，甲的极差为37﹣8＝29，乙的极差为23﹣9＝14，
∴甲的极差比乙的在，故①错误；
乙的中位数是18.5，故②错误；
甲的平均数为（8+12+13+20+22+24+25+26+27+37）＝21.4，
乙的平均数为（9+11+13+14+18+19+20+21+21+23）＝16.9，
∴甲的平均数比乙的大，故③错误；
乙的众数是21，故④正确．
故答案为：④．
【点评】本题考查极差、中位数、平均数、众数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16．（2024秋 陕西期末）要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000，001，002，…，499，利用随机数表抽取样本，从第8行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续．则抽取的第5袋牛奶的标号是　286　．
（下面摘取了某随机数表的第7行至第9行）
84421 75531 57245 50688 77047 44767 21763
35025 83921 20676 63016 47859 16955 56719
98301 07185 12867 35807 44395 23879 33211
【考点】求随机数法抽样的样本．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】071．
【分析】根据题意列出所有数据，从中挑选复合的数据即可求解．
【解答】解：从第8行第5列的数开始向右读，第一个数为583，不符合条件，
第二个数为921，不符合条件，第三个数为206，符合条件，
以下依次为：766，301，647，859，169，555，671，998，301，071，851，286，
其中766，647，859，555，671，998不符合条件，
301出现两次，故第五个数为286．
故答案为：286．
【点评】本题考查了随机数法，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025 泰州模拟）某学校举行运动会，为了解学生参加跳绳比赛与学生的性别是否有关，对学生进行简单随机抽样，得到如表数据：
女 男
未参加跳绳比赛 75 90
参加跳绳比赛 25 10
（1）能否有99%的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关？
（2）为了进一步了解女生的平时运动情况，利用分层抽样的方法从这100人中抽取12人进行研究．老师甲从这12人中随机选取3人，求至少有1人参加跳绳比赛的概率．
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（x2≥k） 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【考点】独立性检验；古典概型及其概率计算公式．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）有；
（2）．
【分析】（1）根据题意补全2×2列联表，计算χ2的值，再与临界值比较即可；
（2）利用古典概型的概率公式求解．
【解答】解：（1）补全2×2列联表如下：
女 男 总计
未参加跳绳比赛 75 90 165
参加跳绳比赛 25 10 35
总计 100 100 200
零假设H0：学生参加跳绳比赛与学生的性别无关，
则χ28.320＞6.635，
依据小概率值α＝0.010的独立性检验，我们推断H0不成立，即有99%的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关；
（2）根据分层抽样可知，抽取的12人中，未参加跳绳比赛的有9人，参加跳绳比赛的有3人，
设事件A表示“至少有1人参加跳绳比赛”，
则P（A）＝11．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．
18．（2025秋 甘肃校级期中）已知某校共有1000名学生参加体能达标测试，现从中随机抽取100名学生的成绩，将他们的测试成绩分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如下频数分布表．
成绩/分 [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
频数 10 15 20 30 15 10
（1）求这100名学生的体能测试平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
（2）在这100名学生中，规定：测试成绩不低于80分为“优秀”，成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为体能测试成绩是否优秀与性别有关？
优秀 非优秀 总计
男生 30
女生 50
总计
（3）根据样本数据，可认为该校全体学生的体能测试成绩X近似服从正态分布N（μ，14.312），其中μ近似为样本平均数，则这1000名学生中体能测试成绩不低于84.81分的估计有多少人？
参考公式及数据：X～N（μ，σ2），P（μ﹣σ≤X＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X＜μ+2σ）≈0.9545；
，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【考点】独立性检验．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）70.5；
（2）2×2列联表：
优秀 非优秀 总计
男生 20 30 50
女生 5 45 50
总计 25 75 100
有99.9%的把握认为体能测试成绩是否优秀与性别有关；
（3）159人．
【分析】（1）根据平均数的定义求解；
（2）根据题意补全2×2列联表，计算K2的值，再与临界值比较即可；
（3）根据正态分布曲线的对称性求解．
【解答】解：（1）这100名学生的体能测试平均成绩为75×0.3+85×0.15+95×0.1＝70.5；
（2）在抽取的100名学生中，测试成绩优秀的有25人，
由此可得完整的2×2列联表：
优秀 非优秀 总计
男生 20 30 50
女生 5 45 50
总计 25 75 100
零假设H0：体能测试成绩是否优秀与性别无关，
K2的观测值，
依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，
故有99.9%的把握认为体能测试成绩是否优秀与性别有关；
（3）依题意，X服从正态分布N（70.5，14.312），
因为P（μ﹣σ≤X＜μ+σ）＝P（56.19≤X＜84.81）≈0.6827，
所以，
所以这1000人中体能测试成绩不低于84.81分的人数估计为0.15865×1000≈159人．
【点评】本题考查了根据频数分布表求平均值，考查了独立性检验，以及正态分布曲线的对称性，属于中档题．
19．（2025 新余校级模拟）睡眠是守卫健康的忠臣，小周同学就高三同学睡眠问题展开了一次调研活动：
* 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计/人
（3，4] 1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 6
（4，5] 8 7 8 6 4 7 7 4 5 4
（5，6] 8 12 10 8 17 16 12 13 12 12
（6，7] 25 25 26 25 22 22 24 23 25 23 240
（7，8] 6 6 7 7 5 4 5 6 7 7 60
（9，10] 2 2 1 1 2 1 1 2 0 2
（1）小周同学调查了振兴中学高三随机十个班级的单个学生睡眠平均时长所在区间的人数分布，请补全这张统计表（横向代表班级序号，纵向代表平均睡眠时长所在区间，框内数据代表人数）与直方图并通过直方图估计振兴中学高三同学睡眠的60%分位数（作图不要求写出过程）；
（2）之后，小周同学收集了随机100名同学的具体平均睡眠时长，这些数据中男生有60人，平均睡眠时长与睡眠时长方差分别为6.3h与12.06；女生有40人，平均睡眠时长与睡眠时长方差分别为6.8h与13.01，请根据以上数据计算出这100名同学的睡眠时长总方差．
（3）睡眠连续性得分是判断睡眠质量的分数度量，一般≥70算合格．临近大型考试，小周同学用智能手表测出了考试前一周他的睡眠连续性得分，请根据图表得出两条有效信息并为他提出一条可行的睡眠建议．
【考点】频率分布直方图的应用；方差；百分位数．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）答案见解析；
（2）12.5；
（3）答案见解析．
【分析】（1）图标如图，结合百分位数的定义计算即可求解；
（2）先求出，进而，结合表格中的数据和求和的性质计算即可求解；
（3）观察表中的数据，分析即可下结论．
【解答】解：（1）
* 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计/人
（3，4] 1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 6
（4，5] 8 7 8 6 4 7 7 4 5 4 60
（5，6] 8 12 10 8 17 16 12 13 12 12 120
（6，7] 25 25 26 25 22 22 24 23 25 23 240
（7，8] 6 6 7 7 5 4 5 6 7 7 60
（9，10] 2 2 1 1 2 1 1 2 0 2 14
图表如图：
由图可知，从左到右各组的频率分别为0.012，0.12，0.24，0.48，0.12，0.028，
则0.012+0.12+0.24＝0.372，0.012+0.12+0.24+0.48＝0.852，
所以60%分位数位于组（6，7]内，设为x，
得0.012+0.12+0.24+0.48（x﹣6）＝0.6，解得x＝6.475，
所以60%分位数为6.475．
（2）这些数据中男生有60人，平均睡眠时长与睡眠时长方差分别为6.3h与12.06；女生有40人，平均睡眠时长与睡眠时长方差分别为6.8h与13.01，
则，
，
故这100名同学的睡眠时长总方差为12.5．
（3）信息：①考试前3天睡眠连续性得分均不合格．
②临近考试时睡眠连续性得分呈下降趋势；
建议：调整心态、规律作息、不要紧张、自信迎考．
【点评】本题主要考查频率分布直方图，属于中档题．
20．（2024秋 南昌期末）为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，科学家进行了实验，得到如下结果（单位：人）：
患病情况服用情况 患病 不患病
服用中药预防方 10 90
不服用中药预防方 50 50
（1）该中药预防方对预防该种疾病是否有效？
（2）从参与该实验的人中任选一人，A表示事件“选到的人服用中药预防方”，B表示事件“选到的人患病”．利用该调查数据，求P（A|B），P（A|）的值．
附：χ2，其中n＝a+b+c+d．
P（x2≥x0） 0.10 0.05 0.01
x0 2.706 3.841 6.635
【考点】独立性检验；求解条件概率．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）有99%的把握认为该中药预防方对预防该种疾病有效；
（2）P（A|B），P（A|）．
【分析】（1）根据所给公式代入即可求解；
（2）根据条件概率的性质即可求解．
【解答】解：（1）由已知得
6.635，
所以有99%的把握认为该中药预防方对预防该种疾病有效；
（2）由题意可得，，
，，
，．
【点评】本题考查了条件概率，属于基础题．
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