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2025年高考数学高频易错考前冲刺：相等关系与不等关系
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 吉林期末）若集合A＝{x|ln（）＜0，x∈N*}，集合B＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，则A∩B的非空真子集个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024秋 成都期末）若实数a，b满足a＞b＞1，则下列不等式成立的是（　　）
A．eb﹣a＜0 B．lg（a﹣b）＞0
C．ab＞ba D．logab＜logba
3．（2024秋 清远期末）已知实数a＞1，b＞1，且ab＝a+b+3，则a+9b的最小值为（　　）
A．16 B．18 C．22 D．26
4．（2024秋 宁波期末）下列命题为真命题的是（　　）
A．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2
B．若a＞b＞0，则ac2＞bc2
C．若，则a＞b
D．若a＞b＞c＞0，则
5．（2024秋 湖南期末）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|log2（x+2）≤2}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{0，1，2}
C．{﹣1，0，1，2} D．{1，2，3，4}
6．（2024秋 遵义期末）已知任意正实数x，y满足，则的最小值是（　　）
A． B． C．5 D．
7．（2025秋 甘肃校级期中）已知x＞2y＞0，则的最小值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．（2024秋 五华区校级期末）已知集合，B＝{x∈Z|﹣1≤x≤5}，则A∩B＝（　　）
A．[﹣1，2] B．{﹣1，0，1，2} C．[﹣1，2） D．{﹣1，0，1}
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 铜仁市期末）已知a＞b＞0，c∈R，则下列说法正确的是（　　）
A．a+c＞b+c B．ac＞bc C． D．
（多选）10．（2024秋 澄海区期末）若a＜0＜b，且a+b＞0，则（　　）
A． B．|a|＜|b|
C．（a﹣1）（b﹣1）＞1 D．
（多选）11．（2024秋 清远期末）下列命题是真命题的是（　　）
A．若，则a＞b2
B．若a＞b，则
C．若b＞c，a＞0，则
D．若a＞b＞c，且ac＜0，则a﹣b＞2c
（多选）12．（2024秋 五华区校级期末）下列命题为假命题的是（　　）
A．若a＞b，则
B．“x＜5”是“”的一个必要不充分条件
C．“（a﹣5）（b+1）＝0”的充要条件是“|a﹣5|+（b+1）2＝0”
D．函数的最小值是6
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 杨浦区校级期末）函数的定义域是 　 　．
14．（2024秋 贵阳期末）已知函数f（x）＝2ax﹣2﹣1（a＞0且a≠1）无论a取何值时，f（x）的图象恒过定点A，且A在直线y＝mx+n（m＞0，n＞0）上，则的最小值为 　 　．
15．（2024秋 宁波期末）设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为12，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P，则△ADP的最大面积是 　 　．
16．（2024秋 江门期末）若x＞0，则的最小值是 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 定州市期末）已知集合，B＝{x|2x﹣1≥4}．
（1）求A∩B和 R（A∪B）；
（2）若集合C＝{x|a﹣1＜x≤3﹣a}，且A∩C＝C，求实数a的取值范围．
18．（2024秋 杨浦区校级期末）设常数a∈R，集合A＝{x||x﹣2|＜a}，集合．
（1）设a＝2，求A∪B；
（2）若B∩A＝A，求a的取值范围．
19．（2024秋 肇东市校级期末）解不等式：
（1）．
（2）log0.3（3x）＜log0.3（x+1）．
（3）（m2+2m+2）3﹣2x＜（m2+2m+2）x．
20．（2024秋 淮安期末）已知集合A＝{x|lg（x﹣1）≤1}，B＝{x|0＜x+a＜2}．
（1）当a＝﹣2时，求A∩B；
（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
2025年高考数学高频易错考前冲刺：相等关系与不等关系
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C D C A C B
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 吉林期末）若集合A＝{x|ln（）＜0，x∈N*}，集合B＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，则A∩B的非空真子集个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】指、对数不等式的解法；解一元二次不等式；子集的个数．
【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】B
【分析】先求出集合A，B，然后结合集合的交集运算即可求解．
【解答】解：因为集合A＝{x|ln（）＜0，x∈N*}＝{x|，x∈N*}＝{4，5}，
集合B＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}＝{x|﹣1＜x＜6}，
则A∩B＝{4，5}的非空真子集个数2个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
2．（2024秋 成都期末）若实数a，b满足a＞b＞1，则下列不等式成立的是（　　）
A．eb﹣a＜0 B．lg（a﹣b）＞0
C．ab＞ba D．logab＜logba
【考点】等式与不等式的性质．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】由指数、对数函数性质判断A、B、D；应用特殊值a＝10，b＝e及幂指数函数性质判断C．
【解答】解：由指数函数性质知eb﹣a＞0，A错；
由a﹣b＞0，而a﹣b＞1不一定成立，则lg（a﹣b）＞0不一定成立，B错
当a＝10，b＝e时，ab＝10e＜103＜210＜ba＝e10，C错；
由a＞b＞1，则0＜logab＜1＜logba，D对．
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式性质，指数及对数函数的性质的应用，属于基础题．
3．（2024秋 清远期末）已知实数a＞1，b＞1，且ab＝a+b+3，则a+9b的最小值为（　　）
A．16 B．18 C．22 D．26
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】C
【分析】由已知可得（a﹣1）（b﹣1）＝4，然后结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为a＞1，b＞1，且ab＝a+b+3，
所以（a﹣1）（b﹣1）＝4，
则a+9b＝a﹣1+9（b﹣1）+1010＝22，当且仅当a﹣1＝9（b﹣1），即a＝7，b时取等号．
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
4．（2024秋 宁波期末）下列命题为真命题的是（　　）
A．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2
B．若a＞b＞0，则ac2＞bc2
C．若，则a＞b
D．若a＞b＞c＞0，则
【考点】等式与不等式的性质．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】D
【分析】由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断．
【解答】解：若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2，A错误；
当c＝0时，B显然错误；
当a＝﹣1，b＝1时，C显然错误；
若a＞b＞c＞0，则a（b+c）﹣b（a+c）＝（a﹣b）c＞0，
所以a（b+c）＞b（a+c）＞0，
所以，D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
5．（2024秋 湖南期末）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|log2（x+2）≤2}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{0，1，2}
C．{﹣1，0，1，2} D．{1，2，3，4}
【考点】指、对数不等式的解法；求集合的交集．
【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．
【答案】C
【分析】解对数不等式，得到B＝{x|﹣2＜x≤2}，根据交集概念求出答案．
【解答】解：B＝{x|log2（x+2）≤2}，
则log2（x+2）≤2＝log24 0＜x+2≤4 ﹣2＜x≤2，
故B＝{x|﹣2＜x≤2}，
A＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，
故A∩B＝{﹣1，0，1，2}．
故选：C．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
6．（2024秋 遵义期末）已知任意正实数x，y满足，则的最小值是（　　）
A． B． C．5 D．
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】A
【分析】由已知结合基本不等式即可求解．
【解答】解：正实数x，y满足，
则（x）（）＝33+2，
当且仅当y＝2，即x＝1，y＝2时取等号．
故选：A．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
7．（2025秋 甘肃校级期中）已知x＞2y＞0，则的最小值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】C
【分析】将原式配凑为，利用基本不等式求解即可．
【解答】解：∵x＞2y＞0，∴x﹣2y＞0，x+2y＞0，
，
当且仅当，即x＝3，y时等号成立，
所以的最小值为6．
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
8．（2024秋 五华区校级期末）已知集合，B＝{x∈Z|﹣1≤x≤5}，则A∩B＝（　　）
A．[﹣1，2] B．{﹣1，0，1，2} C．[﹣1，2） D．{﹣1，0，1}
【考点】分式不等式；求集合的交集．
【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．
【答案】B
【分析】先求出集合A，B，再结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合{x|﹣2＜x≤2}，B＝{x∈Z|﹣1≤x≤5}＝{﹣1，0，1，2，3，4，5}，
故A∩B＝{﹣1，0，1，2}．
故选：B．
【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 铜仁市期末）已知a＞b＞0，c∈R，则下列说法正确的是（　　）
A．a+c＞b+c B．ac＞bc C． D．
【考点】等式与不等式的性质．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】AC
【分析】由已知结合不等式性质即可求解．
【解答】解：因为a＞b＞0，
所以a+c＞b+c，，A，C正确；
当c＝0时，B显然错误；
当a＞b＞0时，，D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
（多选）10．（2024秋 澄海区期末）若a＜0＜b，且a+b＞0，则（　　）
A． B．|a|＜|b|
C．（a﹣1）（b﹣1）＞1 D．
【考点】不等关系与不等式．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】ABD
【分析】由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断．
【解答】解：对于A中，由a+b＞0，可得a＞﹣b，因为b＞0，可得，所以A正确；
对于B中，由|a|﹣|b|＝﹣a﹣b＝﹣（a+b）＜0，所以|a|＜|b|，所以B正确；
对于C中，因为a＜0＜b，且a+b＞0，可得ab＜0，
则（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣（a+b）+1＜1，所以C错误；
对于D中，因为a＜0＜b，且a+b＞0，可得，所以，所以D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
（多选）11．（2024秋 清远期末）下列命题是真命题的是（　　）
A．若，则a＞b2
B．若a＞b，则
C．若b＞c，a＞0，则
D．若a＞b＞c，且ac＜0，则a﹣b＞2c
【考点】等式与不等式的性质．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】BCD
【分析】由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断．
【解答】解：当a＝1，b＝﹣1，A显然错误；
若a＞b，则2a＞a+b，即a，B正确；
若b＞c．a＞0，则，C正确；
a＞b＞c，且ac＜0，则a＞0，c＜0，
所以a﹣b＞0＞2c，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
（多选）12．（2024秋 五华区校级期末）下列命题为假命题的是（　　）
A．若a＞b，则
B．“x＜5”是“”的一个必要不充分条件
C．“（a﹣5）（b+1）＝0”的充要条件是“|a﹣5|+（b+1）2＝0”
D．函数的最小值是6
【考点】运用基本不等式求最值；充分条件必要条件的判断．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】AC
【分析】结合不等式性质检验选项AB，结合充分必要条件的定义检验选项C，结合基本不等式检验选项D．
【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，A显然错误；
由可得1＜x≤4，
因为（1，4] （﹣∞，5），
所以x＜5是的必要不充分条件，B正确；
由（a﹣5）（b+1）＝0可得a＝5或b＝﹣1，由|a﹣5|+（b+1）2＝0可得a＝5且b＝﹣1，C错误；
令t，t≥2，
则t6，当且仅当t＝3时取等号，D正确．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了不等式性质，基本不等式的应用，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 杨浦区校级期末）函数的定义域是 　[1，2]　．
【考点】指、对数不等式的解法；函数的定义域及其求法．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】[1，2]．
【分析】根据解析式得到（2﹣2x）（2x﹣4）≥0，进而求解结论．
【解答】解：因为函数，
所以（2﹣2x）（2x﹣4）≥0，
解得2≤2x≤4，可得1≤x≤2，
故函数的定义域为[1，2]．
故答案为：[1，2]．
【点评】本题主要考查函数的定义域，考查计算能力，属于基础题．
14．（2024秋 贵阳期末）已知函数f（x）＝2ax﹣2﹣1（a＞0且a≠1）无论a取何值时，f（x）的图象恒过定点A，且A在直线y＝mx+n（m＞0，n＞0）上，则的最小值为 　9　．
【考点】运用基本不等式求最值；指数函数的特征及解析式．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式；运算求解．
【答案】9．
【分析】由函数的f（x）的解析式，可得函数恒过定点A的坐标，再由点A在直线上，可得m，n满足的条件，由“1”的活用及基本不等式，可得的最小值．
【解答】解：函数f（x）＝2ax﹣2﹣1（a＞0且a≠1），当x﹣2＝0时f（x）＝2×1﹣1＝1，
可得x＝2，可得f（x）的图象恒过定点A（2，1），
而A在直线y＝mx+n（m＞0，n＞0）上，所以2m+n＝1，
所以（）（2m+n）＝4+15+29，当且仅当，即m＝n，即m，n时2取等号，
所以的最小值为9．
故答案为：9．
【点评】本题考查指数函数型函数恒过定点的求法及基本不等式的性质的应用，属于基础题．
15．（2024秋 宁波期末）设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为12，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P，则△ADP的最大面积是 　27﹣18　．
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】27﹣18．
【分析】结合翻折的性质先表示出△ADP的面积，然后结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为矩形ABCD（AB＞AD）的周长为12，
设AB＝x，可得AD＝6﹣x，则x＞6﹣x，可得3＜x＜6，
又由AP＝AB1﹣PB1＝AB﹣DP＝x﹣DP，
在Rt△ADP中，（6﹣x）2+DP2＝（x﹣DP）2，解得DP，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以△ADP面积的最大值为27﹣18，此时AB的长是．
故答室为：27﹣18．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
16．（2024秋 江门期末）若x＞0，则的最小值是 　23　．
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】转化思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】23．
【分析】将代数式整理，由基本不等式可得代数式的最小值．
【解答】解：因为x＞0，则2x3≥23＝23，当且仅当2x，即x时取等号，
所以的最小值为23．
故答案为：23．
【点评】本题考查基本不等式的性质的应用，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 定州市期末）已知集合，B＝{x|2x﹣1≥4}．
（1）求A∩B和 R（A∪B）；
（2）若集合C＝{x|a﹣1＜x≤3﹣a}，且A∩C＝C，求实数a的取值范围．
【考点】分式不等式；集合的包含关系的应用；集合的交并补混合运算．
【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】（1）A∩B＝{x|3≤x＜6}， R（A∪B）＝{x|x＜﹣2}．
（2）{a|a≥﹣1}．
【分析】（1）先求出集合A，B，然后结合集合的基本运算即可分别求解；
（2）A∩C＝C可得C A，然后结合集合的包含关系即可求解．
【解答】解：{x|﹣2≤x＜6}，B＝{x|2x﹣1≥4}＝{x|x≥3}，
（1）A∩B＝{x|3≤x＜6}，A∪B＝{x|x≥﹣2}， R（A∪B）＝{x|x＜﹣2}．
（2）若集合C＝{x|a﹣1＜x≤3﹣a}，且A∩C＝C，则C A，
当C＝ 时，a﹣1≥3﹣a，即a≥2，符合题意；
当C≠ 时，，解得﹣1≤a＜2，
故实数a的取值范围为{a|a≥﹣1}．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算及集合包含关系的应用，属于基础题．
18．（2024秋 杨浦区校级期末）设常数a∈R，集合A＝{x||x﹣2|＜a}，集合．
（1）设a＝2，求A∪B；
（2）若B∩A＝A，求a的取值范围．
【考点】分式不等式；绝对值不等式的解法；集合的包含关系的应用．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】（1）{x|﹣2＜x＜4}；
（2）（﹣∞，1]．
【分析】（1）根据题意，求出集合A、B，进而求出其并集可得答案；
（2）根据题意，分析可得A B，分a≤0和a＞0两种情况讨论，求出a的范围，综合可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，a＝2，|x﹣2|＜2 ﹣2＜x﹣2＜2，解可得0＜x＜4，则A＝（0，4），
1 0 ﹣2＜x＜3，则B＝（﹣2，3），
则A∪B＝（﹣2，4）；
（2）若B∩A＝A，则A B，
当a≤0时，|x﹣2|＜a无解，A＝ ，满足A B，
当a＞0时，|x﹣2|＜a，解可得2﹣a＜x＜2+a，此时A＝（2﹣a，2+a），
若A B，必有﹣2≤2﹣a＜2+a≤3，
解可得：a≤1，
又由a＞0，则0＜a≤1，
综合可得：a≤1，即a的取值范围为（﹣∞，1]．
【点评】本题考查集合的混合运算，涉及分式不等式的解法，属于基础题．
19．（2024秋 肇东市校级期末）解不等式：
（1）．
（2）log0.3（3x）＜log0.3（x+1）．
（3）（m2+2m+2）3﹣2x＜（m2+2m+2）x．
【考点】指、对数不等式的解法．
【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）{x|﹣3＜x＜2}．
（2）{x|x}．
（3）{x|x＞1}．
【分析】（1）解指数不等式，化简为同底指数，结合单调性比较大小即可．
（2）对数不等式结合函数的定义域以及单调性求解即可．
（3）判断底数跟1的大小关系，结合单调性求解即可．
【解答】解：（1）不等式可化为，
根据指数函数y＝2x在R上单调递增，知x2﹣2x﹣3＜3﹣3x，整理得x2+x﹣6＜0，
解得﹣3＜x＜2，所以不等式的解集为{x|﹣3＜x＜2}．
（2）因为函数y＝log0.3x是定义域（0，+∞）上的减函数，
所以原不等式等价于，解得，
所以原不等式的解集为{x|x}．
（3）因为m2+2m+2＝（m+1）2+1＞1，所以原不等式等价于3﹣2x＜x，
解得x＞1，
所以原不等式的解集为{x|x＞1}．
【点评】本题考查了根据函数的单调性解不等式的应用问题，是基础题．
20．（2024秋 淮安期末）已知集合A＝{x|lg（x﹣1）≤1}，B＝{x|0＜x+a＜2}．
（1）当a＝﹣2时，求A∩B；
（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【考点】指、对数不等式的解法；求集合的交集；充分不必要条件的应用．
【专题】转化思想；定义法；不等式的解法及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）{x|2＜x＜4}；
（2）{a|﹣9≤a≤﹣1}．
【分析】（1）化简集合A与B，根据交集的定义求解即可；
（2）根据“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，得B是A的真子集，由此得出实数a的取值范围．
【解答】解：（1）集合A＝{x|lg（x﹣1）≤1}＝{x|0＜x﹣1≤10}＝{x|1＜x≤11}，
a＝2时，B＝{x|0＜x﹣2＜2}＝{x|2＜x＜4}，所以A∩B＝{x|2＜x＜4}；
（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则B是A的真子集，
由B＝{x|0＜x+a＜2}＝{x|﹣a＜x＜2﹣a}，
得或，解得﹣9≤a＜1或﹣9＜a≤﹣1，
综上，实数a的取值范围是{a|﹣9≤a≤﹣1}．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了转化思想，是基础题．
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