资源简介 2025年高考数学高频易错考前冲刺:一元函数函数导数及其应用一.选择题(共8小题)1.(2024秋 榆阳区校级期末)已知函数f(x)在x=x0处可导,则( )A. B. C.f′(x0) D.2f′(x0)2.(2024秋 郴州期末)已知函数f(x)=x2+ex,则( )A.2+e B.﹣2﹣e C.3e D.2e3.(2024秋 上城区校级期末)已知点P是曲线上的任意一点,曲线C在点P处的切线的倾斜角为α,则α的取值范围为( )A. B. C. D.4.(2024秋 淮安期末)已知函数y=f(x)在x=x0处可导,且,则f'(x0)等于( )A. B. C.1 D.5.(2024秋 湖南期末)已知过点A(a,0)可以作曲线y=(x﹣1)ex的两条切线,则实数a的取值范围是( )A.(1,+∞) B.(﹣∞,﹣e)∪(2,+∞)C.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) D.(﹣∞,﹣3)∪(1,+∞)6.(2024秋 长沙县校级期末)已知过点(﹣1,0)的直线与曲线y=ex的相切于点A,则切点A坐标为( )A.(0,1) B.(1,e) C.(2,e2) D.(3,e3)7.(2024秋 沧州期末)若不等式恒成立,则a2﹣b2的最小值为( )A.﹣2 B. C. D.﹣18.(2024秋 黑龙江期末)设函数,则曲线y=f(x)在处的切线方程为( )A. B.C. D.二.多选题(共4小题)(多选)9.(2024秋 上城区校级期末)下列说法错误的是( )A.一个函数的极大值一定大于极小值B.曲线的切线可能与该曲线有不止一个公共点C.函数在某个区间上的最大值,一定在极大值点处取到D.若函数f(x)在某个区间上单调递增,则它的导函数在该区间上满足f′(x)>0(多选)10.(2024秋 黄岛区期末)已知函数f(x)=4ln(2﹣x)+4lnx+cosπx,则( )A.f(x)的图象关于点(1,0)对称B.f(x)的图象关于直线x=1对称C.f(x)在区间(0,1]单调递增D.f(x)<0(多选)11.(2024秋 阜阳期末)已知函数,则下列选项正确的是( )A.f(x)在(﹣∞,0)上单调递增B.f(x)的极小值点为C.若{an}满足an+1=f(an),a1>0,则an>0D.若{an}满足an+1=f(an),a1>2,则an>2(多选)12.(2024秋 湖南期末)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均是(0,+∞),x=2是f(x)的唯一零点,且(x+1)f′(x)<f(x),则( )A.2025f(2023)>2024f(2024)B.f(1)>0C.2026f(2024)<2025f(2025)D.f(3)>0三.填空题(共4小题)13.(2024秋 上城区校级期末)已知函数f(x)=ln(x2+1)+sin2x,则f′(0)= .14.(2024秋 榆阳区校级期末)已知函数f(x)=x(x﹣a)2在x=1处取得极大值,则实数a的值是 .15.(2024秋 白银期末)已知函数,则函数f(x)的最小值为 ;若过原点可向曲线作两条切线,则a的取值范围是 .(注:当x→0时,)16.(2024秋 淮安期末)已知函数f(x)=ex﹣x,则f(x)的单调递增区间为 .四.解答题(共4小题)17.(2024秋 道里区校级期末)已知函数f(x)=x2﹣x+a(lnx﹣2x),(a∈R).(1)若函数y=f(x)的图象在x=e处的切线平行于x轴,求a的值;(2)讨论f(x)的单调性.18.(2024秋 天津期末)已知函数f(x)=ex+mx﹣1(m∈R),g(x)=ln(x+1).(Ⅰ)求函数f(x)的极值;(Ⅱ)若f(x)+g(x)≥0对任意的x∈[0,+∞)恒成立,求实数m的取值范围;(Ⅲ)求证:x>0时,.19.(2024秋 金安区校级期末)已知函数.(1)若f(x)在区间[0,4]上单调递增,求实数a的取值范围;(2)若f(x)在区间[0,4]上的最小值为,求实数a的值.20.(2024秋 湖南期末)已知函数f(x)=xlnx﹣ax+a,a∈R.(1)若a=2,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若对任意x>0,不等式f(x)≥0恒成立,求a的值;(3)若实数m,n满足m>n>0,证明:.2025年高考数学高频易错考前冲刺:一元函数函数导数及其应用参考答案与试题解析题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D A B B D A C D一.选择题(共8小题)1.(2024秋 榆阳区校级期末)已知函数f(x)在x=x0处可导,则( )A. B. C.f′(x0) D.2f′(x0)【考点】含Δx表达式的极限计算与导数的关系.【专题】转化思想;转化法;导数的概念及应用;运算求解.【答案】D【分析】利用导数的定义可得结果.【解答】解:因为函数f(x)在x=x0处可导,则2f′(x0).故选:D.【点评】本题主要考查导数的几何意义,属于基础题.2.(2024秋 郴州期末)已知函数f(x)=x2+ex,则( )A.2+e B.﹣2﹣e C.3e D.2e【考点】含Δx表达式的极限计算与导数的关系.【专题】转化思想;转化法;导数的概念及应用;运算求解.【答案】A【分析】根据已知条件,结合导数的几何意义,以及导数的运算,即可求解.【解答】解:函数f(x)=x2+ex,则f'(x)=2x+ex,故f'(1)=2+e.故选:A.【点评】本题主要考查导数的几何意义,以及导数的运算,属于基础题.3.(2024秋 上城区校级期末)已知点P是曲线上的任意一点,曲线C在点P处的切线的倾斜角为α,则α的取值范围为( )A. B. C. D.【考点】导数与切线的斜率.【专题】转化思想;转化法;导数的概念及应用;运算求解.【答案】B【分析】结合导数的几何意义,先求出切线的斜率范围,即可求出倾斜角,即可求解.【解答】解:曲线,则y'1,当且仅当x时,等号成立,曲线C在点P处的切线的倾斜角为α,则tanα≥1,故α的取值范围为[,).故选:B.【点评】本题主要考查导数与切线的斜率,属于基础题.4.(2024秋 淮安期末)已知函数y=f(x)在x=x0处可导,且,则f'(x0)等于( )A. B. C.1 D.【考点】含Δx表达式的极限计算与导数的关系.【专题】转化思想;转化法;导数的概念及应用;运算求解.【答案】B【分析】根据已知条件,结合导数的几何意义,即可求解.【解答】解:,则f'(x0).故选:B.【点评】本题主要考查导数的几何意义,属于基础题.5.(2024秋 湖南期末)已知过点A(a,0)可以作曲线y=(x﹣1)ex的两条切线,则实数a的取值范围是( )A.(1,+∞) B.(﹣∞,﹣e)∪(2,+∞)C.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) D.(﹣∞,﹣3)∪(1,+∞)【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】函数思想;综合法;导数的概念及应用;运算求解.【答案】D【分析】设切点为,表示出切线方程,根据题意可得方程有两个不同的根,由此可得a的范围.【解答】解:设切点为,∵y'=ex+(x﹣1)ex=xex,∴切线的斜率,∴切线方程是,∵切线过点A(a,0),∴,即,∵过点A(a,0)可以作两条切线,∴方程有两个不同的根,∴Δ=(a+1)2﹣4>0,解得a>1或a<﹣3.故选:D.【点评】本题考查导数的几何意义,考查运算求解能力,属于基础题.6.(2024秋 长沙县校级期末)已知过点(﹣1,0)的直线与曲线y=ex的相切于点A,则切点A坐标为( )A.(0,1) B.(1,e) C.(2,e2) D.(3,e3)【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】方程思想;综合法;导数的概念及应用;运算求解.【答案】A【分析】设切点坐标为(t,et),利用导数求出过切点的切线方程,代入已知点的坐标求解t,则答案可求.【解答】解:设切点坐标为(t,et),由y=ex,得y′=ex,则过切点的切线方程为y=et(x﹣t)+et,把点(﹣1,0)代入,可得0=et(﹣1﹣t)+et,即tet=0,得t=0,则切点坐标为(0,1).故选:A.【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,设切点是关键,是基础题.7.(2024秋 沧州期末)若不等式恒成立,则a2﹣b2的最小值为( )A.﹣2 B. C. D.﹣1【考点】不等式恒成立的问题.【专题】计算题;转化思想;综合法;函数的性质及应用;运算求解.【答案】C【分析】设,则函数的定义域为(﹣b,+∞),若恒成立,则,即,将a2﹣b2转化成关于a的二次函数求最小值即可.【解答】解:依题意,设,则函数的定义域为(﹣b,+∞),令,解得或x=1﹣b.易知函数在(﹣b,+∞)上均单调递减,若恒成立,则,即,所以,当时,a2﹣b2的最小值为.故选:C.【点评】本题主要考查不等式恒成立问题,考查运算求解能力,属于中档题.8.(2024秋 黑龙江期末)设函数,则曲线y=f(x)在处的切线方程为( )A. B.C. D.【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程.【专题】转化思想;定义法;导数的概念及应用;运算求解.【答案】D【分析】先求出导函数,再得出切线的斜率进而得出点斜式方程即可.【解答】解:因为函数,则,当x=0时,曲线y=f(x)在点处的切线斜率为,此时切线方程为,即.故选:D.【点评】本题考查导数的应用,属于中档题.二.多选题(共4小题)(多选)9.(2024秋 上城区校级期末)下列说法错误的是( )A.一个函数的极大值一定大于极小值B.曲线的切线可能与该曲线有不止一个公共点C.函数在某个区间上的最大值,一定在极大值点处取到D.若函数f(x)在某个区间上单调递增,则它的导函数在该区间上满足f′(x)>0【考点】利用导数求解函数的极值;导数与切线的斜率.【专题】函数思想;综合法;导数的综合应用;逻辑思维.【答案】ACD【分析】通过反例可判断ABD,根据极值与最值的定义即可判断C.【解答】解:对于A,若函数f(x)既有极小值又有极大值,则其极小值可能会比它的极大值大,比如,在x=﹣1处取得极大值﹣2,在x=1处取得极小值2,极小值大于极大值,故A错误;对于B,f(x)=sinx,x∈[0,3π],在点处的切线y=1与函数f(x)有两个公共点,故B正确;对于C,因为函数在闭区间上的最大值在极大值或端点处取得,所以函数在闭区间上的最大值不一定是极大值,故C错误;对于D,f(x)=x3在区间(﹣1,1)上单调递增,则它的导函数在该区间上满足f′(x)=3x2≥0,故D错误.故选:ACD.【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值,考查逻辑推理能力,属于基础题.(多选)10.(2024秋 黄岛区期末)已知函数f(x)=4ln(2﹣x)+4lnx+cosπx,则( )A.f(x)的图象关于点(1,0)对称B.f(x)的图象关于直线x=1对称C.f(x)在区间(0,1]单调递增D.f(x)<0【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间.【专题】函数思想;定义法;导数的综合应用;逻辑思维.【答案】BCD【分析】根据已知函数性质对选项逐一判断即可.【解答】解:易知f(x)的定义域为(0,2),f(2﹣x)+f(x)=4lnx+4ln(2﹣x)+cosπx+4ln(2﹣x)+4lnx+cosπ(2﹣x)=8lnx+8ln(2﹣x)+2cosπx,所以f(x)的图象不关于点(1,0)对称,故A错误;f(2﹣x)=4lnx+4ln(2﹣x)+cosπ(2﹣x)=4lnx+4ln(2﹣x)+cosπx=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,故B正确;πsinπx,当0<x≤1时,,πsinπx<0,则f'(x)>0,所以f(x)在(0,1]上单调递增,故C正确;f(1)=4lnl+4ln1+cosπ=﹣1,由C知f(x)在(0,1]上单调递增,所以当0<x≤1时,f(x)≤f(1)<0,又由B知f(x)的图象关于直线x=1对称,所以当1<x<2时,f(x)<0,故D正确.故选:BCD.【点评】本题考查导数的综合应用,属于中档题.(多选)11.(2024秋 阜阳期末)已知函数,则下列选项正确的是( )A.f(x)在(﹣∞,0)上单调递增B.f(x)的极小值点为C.若{an}满足an+1=f(an),a1>0,则an>0D.若{an}满足an+1=f(an),a1>2,则an>2【考点】利用导数求解函数的极值;数列与函数的综合;利用导数求解函数的单调性和单调区间.【专题】计算题;函数思想;综合法;导数的综合应用;运算求解.【答案】ABD【分析】求导,根据导函数的正负即可求解AB,举反例即可求解C,根据函数的单调性即可求解D.【解答】解:函数的定义域为{x|x≠1},,当x<0或时,f′(x)>0,当0<x<1或时,f′(x)<0,所以函数f(x)的递增区间为,递减区间为,故A错误;x是f(x)的极小值点,故B正确;取,则,故C错误;当x>2时,恒有f(x)>f(2)=3e2>2,则当a1>2,a2=f(a1)>2,a3=f(a2)>2, ,an=f(an﹣1)>2,D正确.故选:ABD.【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值,数列与函数的综合,考查运算求解能力,属于中档题.(多选)12.(2024秋 湖南期末)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均是(0,+∞),x=2是f(x)的唯一零点,且(x+1)f′(x)<f(x),则( )A.2025f(2023)>2024f(2024)B.f(1)>0C.2026f(2024)<2025f(2025)D.f(3)>0【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间.【专题】函数思想;定义法;导数的综合应用;逻辑思维.【答案】AB【分析】构造函数,由已知求导可得F(x)在(0,+∞)上单调递减,即可比较A正确,C错误,又x=2是f(x)的唯一零点,所以F(2)=0,借助单调性可得F(1)>0,F(3)<0,即得B正确,D错误.【解答】解:令,则,由题意知(x+1)f′(x)<f(x),所以F′(x)<0,即F(x)在(0,+∞)上单调递减,所以,,故A正确,C错误.又x=2是f(x)的唯一零点,所以F(2)=0,又F(x)在(0,+∞)上单调递减,所以,,即f(1)>0,f(3)<0,故B正确,D错误.故选:AB.【点评】本题考查导数的综合应用,属于简单题.三.填空题(共4小题)13.(2024秋 上城区校级期末)已知函数f(x)=ln(x2+1)+sin2x,则f′(0)= 2 .【考点】简单复合函数的导数.【专题】整体思想;综合法;导数的概念及应用;运算求解.【答案】2.【分析】先对函数求导,然后把x=0代入即可求解.【解答】解:因为f(x)=ln(x2+1)+sin2x,所以f′(x)2cos2x,则f′(0)= 2.故答案为:2.【点评】本题主要考查了复合函数的求导,属于基础题.14.(2024秋 榆阳区校级期末)已知函数f(x)=x(x﹣a)2在x=1处取得极大值,则实数a的值是 3 .【考点】由函数的极值求解函数或参数.【专题】计算题;转化思想;综合法;导数的综合应用;运算求解.【答案】3.【分析】对函数求导,得f′(x)=(x﹣a)(3x﹣a),由题意得到a=1或a=3,将a=1和a=3分别代入导函数,用导数的方法判断函数单调性,确定在x=1处的极值,即可得出结果.【解答】解:由题意可得f′(x)=(x﹣a)2+2x(x﹣a)=(x﹣a)(3x﹣a),因为函数f(x)在x=1处取得极大值,所以f′(1)=0,即(1﹣a)(3﹣a)=0,解得a=1或a=3;①若a=1,则f′(x)=(x﹣1)(3x﹣1),当时,f′(x)>0,则f(x)单调递增;当时,f′(x)<0,则f(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,则f(x)单调递增;此时函数y=f(x)在x=1处取得极小值,不符合题意;②若a=3,则f′(x)=(x﹣3)(3x﹣3),当x∈(﹣∞,1)时,f′(x)>0,则f(x)单调递增;当x∈(1,3)时,f′(x)<0,则f(x)单调递增;当x∈(3,+∞)时,f′(x)>0,则f(x)单调递增;此时函数y=f(x)在x=1处取得极大值,符合题意.故答案为:3.【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值,考查运算求解能力,属于中档题.15.(2024秋 白银期末)已知函数,则函数f(x)的最小值为 18﹣9ln2 ;若过原点可向曲线作两条切线,则a的取值范围是 (﹣∞,﹣7) .(注:当x→0时,)【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程.【专题】计算题;转化思想;综合法;导数的综合应用;运算求解.【答案】18﹣9ln2;(﹣∞,﹣7).【分析】求导数f′(x),根据单调性,即可求出f(x)的最小值;设切点为得切线方程,将问题转化为关于x的方程有两个不同的根即可.【解答】解:因为,所以f(x)在上单调递减,在上单调递增,所以f(x)min.因为,所以.设切点为,则切线方程为,将原点坐标代入,化简得,则关于x的方程有两个不同的根.令,则,当x∈(0,1)时,g′(x)<0,当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,因为x→0,g(x)→+∞,x→+∞,g(x)→+∞,所以a+7<0,故a的取值范围是(﹣∞,﹣7).故答案为:18﹣9ln2;(﹣∞,﹣7).【点评】本题主要考查利用导数研究函数的最值,利用导数研究曲线上某点的切线方程,考查运算求解能力,属于中档题.16.(2024秋 淮安期末)已知函数f(x)=ex﹣x,则f(x)的单调递增区间为 [0,+∞) .【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间.【专题】整体思想;综合法;导数的综合应用;运算求解.【答案】[0,+∞).【分析】先对函数求导,结合导数与单调性关系即可求解.【解答】解:f′(x)=ex﹣1,当x≥0时,f′(x)≥0,f(x)单调递增,即函数的单调递增区间为[0,+∞).故答案为:[0,+∞).【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用,属于基础题.四.解答题(共4小题)17.(2024秋 道里区校级期末)已知函数f(x)=x2﹣x+a(lnx﹣2x),(a∈R).(1)若函数y=f(x)的图象在x=e处的切线平行于x轴,求a的值;(2)讨论f(x)的单调性.【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间;导数与切线的斜率.【专题】分类讨论;综合法;导数的综合应用;运算求解.【答案】(1)a;(2)当a≤0,函数f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增;当0<a时,f(x)在(0,a)和(,+∞)上单调递增,在(a,)上单调递减;当a时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a时,f(x)在(0,)和(a,+∞)上单调递增,在(,a)上单调递减.【分析】(1)先对函数求导,结合导数的几何意义及已知切线斜率即可求解a;(2)由已知结合导数与单调性关系对a的范围进行分类讨论,即可求解.【解答】解:(1)f′(x)=2x﹣1+a(),若函数y=f(x)的图象在x=e处的切线平行于x轴,则f′(e)=2e﹣1+a(2)=0,则a;(2)f′(x)=2x﹣1+a(),x>0,当a≤0,0<x时,f′(x)<0,当x时,f′(x)>0,故函数f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增;当0<a时,0<x<a或x时,f′(x)>0,a<x时,f′(x)<0,故f(x)在(0,a)和(,+∞)上单调递增,在(a,)上单调递减;当a时,f′(x)≥0恒成立,即f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a时,0<x或x>a时,f′(x)>0,x<a时,f′(x)<0,故f(x)在(0,)和(a,+∞)上单调递增,在(,a)上单调递减,综上,当a≤0,函数f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增;当0<a时,f(x)在(0,a)和(,+∞)上单调递增,在(a,)上单调递减;当a时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a时,f(x)在(0,)和(a,+∞)上单调递增,在(,a)上单调递减.【点评】本题主要考查了导数几何意义的应用,还考查了导数与单调性关系的应用,属于中档题.18.(2024秋 天津期末)已知函数f(x)=ex+mx﹣1(m∈R),g(x)=ln(x+1).(Ⅰ)求函数f(x)的极值;(Ⅱ)若f(x)+g(x)≥0对任意的x∈[0,+∞)恒成立,求实数m的取值范围;(Ⅲ)求证:x>0时,.【考点】利用导数求解函数的最值;利用导数求解函数的极值.【专题】函数思想;定义法;导数的综合应用;逻辑思维.【答案】(Ⅰ)当m≥0时,f(x)无极值;当m<0时,f(x)极小值为﹣m+mln(﹣m)﹣1,无极大值.(Ⅱ)[﹣2,+∞).(Ⅲ)证明见解答.【分析】(Ⅰ)求出函数f(x)的导数,按m≥0,m<0分类讨论求出函数的极值.(Ⅱ)构造函数h(x)=f(x)+g(x),x≥0,利用导数探讨单调性求出m的范围.(Ⅲ)利用导数分别证明不等式,ln(x+1),在x>0时成立,再利用不等式的性质推理得证.【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)=ex+mx﹣1的定义域为R,求导得f'(x)=ex+m,①当m≥0时,f'(x)>0恒成立,无极值;②当m<0时,由f′(x)<0,得x<ln(﹣m);由f′(x)>0,得x>ln(﹣m),函数f(x)在(﹣∞,ln(﹣m))上单调递减,在(ln(﹣m),+∞)上单调递增,因此函数f(x)极小值为f(ln(﹣m))=﹣m+mln(﹣m)﹣1,无极大值,所以当m≥0时,f(x)无极值;当m<0时,f(x)极小值为﹣m+mln(﹣m)﹣1,无极大值.(Ⅱ)对任意的x∈[0,+∞),不等式f(x)+g(x)≥0 ex+mx+ln(x+1)﹣1≥0,设h(x)=ex+mx+ln(x+1)﹣1,且h(0)=0,求导得,令φ(x)=h′(x)=ex+m,x≥0,求导得,函数y=ex,在0,+∞)上单调递增,则φ′(x)在[0,+∞)上单调递增,φ(x)≥φ′(0)=0,函数φ(x)在[0,+∞)上单调递增,而φ(0)=h′(0)=m+2,当m≥﹣2时,h′(x)≥0恒成立,函数h(x)在[0,+∞)上单调递增,h(x)≥h(0)=0恒成立;当m<﹣2,则h′(0)<0,又,则在(0,ln(﹣m))内存在x0,使得h'(x0)=0,当x∈(0,x0)时,h′(x)<0,函数h(x)在(0,x0)上单调递减,当x∈(0,x0)时,h(x)<h(0)=0,不合题意,所以实数m的取值范围是[﹣2,+∞).(Ⅲ)证明:令函数,x>0,求导得t'(x)=ex﹣1﹣x,令y=ex﹣1﹣x,x>0,求导得y′=ex﹣1>0,函数y=ex﹣1﹣x在(0,+∞)上单调递增,则t′(x)>t′(0)=0,函数t(x)在(0,+∞)上单调递增,t(x)>t(0)=0,即,令函数,x>0,求导得,函数u(x)在(0,+∞)上单调递增,u(x)>u(0)=0,即,因此当x>0时,,即(ex﹣1)g(x)>x2,所以成立.【点评】本题考查导数的综合应用,属于中档题.19.(2024秋 金安区校级期末)已知函数.(1)若f(x)在区间[0,4]上单调递增,求实数a的取值范围;(2)若f(x)在区间[0,4]上的最小值为,求实数a的值.【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间;利用导数求解函数的最值.【专题】函数思想;定义法;导数的综合应用;逻辑思维.【答案】(1)(﹣∞,0].(2)a=1.【分析】(1)求导结合已知求解.(2)令导函数为0,对a的取值分类讨论即可.【解答】(1),因为f(x)在区间[0,4]上单调递增,所以f'(x)≥0在[0,4]上恒成立,只需a≤xmin=0,即实数a的取值范围是(﹣∞,0].(2)令f'(x)=0,得x=0或x=a,①当a≤0时,f'(x)≥0恒成立,f(x)在[0,4]单调递增,所以,不合题意,舍去;②当0<a<4时,x∈[0,a),f'(x)≤0;x∈[a,4],f'(x)≥0,所以f(x)在[0,a)上单减,在[a,4]上单增,所以,解得a=1;③当a≥4时,f'(x)≤0恒成立,f(x)在[0,4]单调递减,所以,解得,舍去;综上所述,a=1.【点评】本题考查导数的综合应用,属于中档题.20.(2024秋 湖南期末)已知函数f(x)=xlnx﹣ax+a,a∈R.(1)若a=2,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若对任意x>0,不等式f(x)≥0恒成立,求a的值;(3)若实数m,n满足m>n>0,证明:.【考点】利用导数求解函数的最值;利用导数求解曲线在某点上的切线方程;不等式恒成立的问题.【专题】转化思想;综合法;导数的综合应用;运算求解.【答案】(1)y=﹣x+1;(2)a=1;(3)证明见解析.【分析】(1)求导,得到f′(1)=﹣1,结合f(1)=0,利用导数几何意义得到切线方程;(2)求导,得到f(x)的单调性,进而得到,设φ(x)=x﹣ex﹣1,求导,得到φ(x)的单调性,φ(x)≤φ(1)=0,故a﹣ea﹣1≤0,当且仅当a=1时等号成立,若满足a﹣ea﹣1≥0,必有a﹣ea﹣1=0,求出a=1;(3)变形后得到,换元后化为,由(2)知,当a=1时,f(x)=xlnx﹣x+1≥0,当且仅当x=1时取等号,故,从而成立,同理,要证明,即证明,即,令h(t)=lnt﹣t+1,t>1,求导得到h(t)的单调性,所以h(t)<h(1)=0,即lnt<t﹣1,整理得,从而成立.【解答】(1)解:若a=2,则f(x)=xlnx﹣2x+2,定义域为(0,+∞),f′(x)=lnx﹣1,则f′(1)=﹣1,又f(1)=0,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=﹣x+1.(2)解:f′(x)=lnx+1﹣a,令f′(x)=0,得x=ea﹣1,当x∈(0,ea﹣1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(ea﹣1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以,要使f(x)≥0恒成立,需满足a﹣ea﹣1≥0.设φ(x)=x﹣ex﹣1,则φ′(x)=1﹣ex﹣1,令φ′(x)=0,得x=1,当x∈(﹣∞,1)时,φ′(x)>0,φ(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,φ′(x)<0,φ(x)单调递减,所以φ(x)≤φ(1)=0,故a﹣ea﹣1≤0,当且仅当a=1时等号成立,若满足a﹣ea﹣1≥0,必有a﹣ea﹣1=0,故a=1.(3)证明:要证明,即证明,令,由m>n>0,得t>1,不等式化为.由(2)知,当a=1时,f(x)=xlnx﹣x+1≥0,当且仅当x=1时取等号,所以tlnt﹣t+1>0,整理得,从而成立;同理,要证明,即证明,即,令h(t)=lnt﹣t+1,因为t>1,所以,所以h(t)在(1,+∞)上单调递减,所以h(t)<h(1)=0,即lnt<t﹣1,整理得,从而成立.综上,.【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程,不等式恒成立问题,不等式的证明,考查运算求解能力,属于难题.21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源预览