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2025年高考数学高频易错考前冲刺：圆与方程
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 合肥期末）圆与圆的公共弦的弦长为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024秋 顺义区期末）已知直线，点P在圆（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1上运动，则点P到直线l的距离的最小值是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024秋 上城区校级期末）已知圆与圆，则圆C1与圆C2的位置关系是（　　）
A．相交 B．外离 C．外切 D．内含
4．（2025秋 甘肃校级期中）当α变动时，动直线xcos2α+ysin2α＝4cos2α围成的封闭图形的面积为（　　）
A．π B． C．2π D．4π
5．（2024秋 宝安区期末）若直线l：mx+y﹣1＝0与圆（x﹣2）2+y2＝4相切，则m＝（　　）
A． B．1 C． D．
6．（2024秋 淮安期末）设m，n为实数，若点M（m，n）是圆x2+y2＝1上的任意一点，则直线mx+ny＝1与圆的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
7．（2024秋 惠州期末）若直线ax+by＝1与圆x2+y2＝1有两个公共点，则点P（a，b）与圆的位置关系是（　　）
A．点P在圆上 B．点P在圆外
C．点P在圆内 D．以上都有可能
8．（2024秋 平和县校级期末）圆心为（1，2）且与直线3x+4y﹣1＝0相切的圆的方程为（　　）
A．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2 B．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4
C．（x+1）2+（y+2）2＝2 D．（x+1）2+（y+2）2＝4
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 平和县校级期末）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0，直线l：2x﹣y+2＝0与圆C交于A，B两点，则以下四个选项中正确的是（　　）
A．圆C的圆心坐标是（1，2）
B．
C．CA⊥CB
D．△ABC的面积是
（多选）10．（2024秋 宁德期末）已知直线l：kx﹣y﹣k+1＝0，圆C：（x﹣2）2+（y+1）2＝1，则（　　）
A．直线l过定点（0，1）
B．圆上的点到l的距离最大值为
C．当l与圆C相切时，直线l方程为3x+4y﹣7＝0
D．当k＝﹣2时，圆C上有三个点到l的距离为1
（多选）11．（2024秋 惠州期末）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣6y﹣3＝0，直线l：ax﹣y﹣a﹣1＝0（其中a为参数），则下列选项正确的是（　　）
A．圆心坐标为（2，3）
B．若直线l与圆C相交，弦长最大值为12
C．直线l过定点（0，﹣a﹣1）
D．当时，直线l与圆C相切
（多选）12．（2024秋 张家口期末）已知点A（﹣1，0），B（2，0），分别以点A，B为圆心，以1，2为半径作圆．若直线l与圆A和圆B相切，切点分别为A1，B1，则（　　）
A．若A1，B1重合，则直线l的方程是x＝0
B．若A1，B1不重合，则A1B1＝2
C．若直线l的斜率存在，则其斜率为
D．若A1，B1不重合，则四边形ABB1A1的面积为
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 顺义区期末）已知圆与圆，若圆C1与圆C2有公共点，则实数m的一个取值为 　 　．
14．（2024秋 天津期末）已知a∈R，直线l：（a+1）x+2y﹣2a＝0恒过定点P，圆C的圆心与点P关于直线y＝x对称，直线l′：2x+y﹣5＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2，则圆C的半径为 　 　．
15．（2025 永州二模）在平面直角坐标系xOy中，射线l1：y＝x（x≥0），l2：y＝0（x≥0），半圆C：y．现从点A（1，0）向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线l1，l2时会发生镜面反射．设光线在发生反射前所在直线的斜率为k，若光线始终与半圆C没有交点，则k的取值范围是 　 　．
16．（2024秋 长沙县校级期末）已知O为坐标原点，点P（0，1），圆C：x2+y2﹣4x+3＝0点Q为圆C上的一动点，则∠POQ的最小值为 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 桂林期末）已知直线l经过点P（1，﹣1），圆C：（x+1）2+（y﹣3）2＝4．
（1）若l经过圆C的圆心，求l的方程；
（2）若l与C相切，求l的方程．
18．（2024秋 合肥期末）圆x2+y2＝8内有一点M（﹣1，2），AB为过点M且倾斜角为α的弦．
（1）当时，求弦AB的长；
（2）当弦AB的长最小时，求直线AB的方程．
19．（2024秋 富平县期末）已知点A（3，0），B（2，1），圆C：x2+y2＝1．
（1）求过线段AB中点M，且与AB垂直的直线l的方程；
（2）过点B作圆C的切线，求切线方程．
20．（2024秋 惠州期末）已知圆x2+y2＝8内有一点P0（﹣1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦．
（1）当α时，求AB的长；
（2）当弦AB被点P0平分时，写出直线AB的方程．
2025年高考数学高频易错考前冲刺：圆与方程
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A D A B B B
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 合肥期末）圆与圆的公共弦的弦长为（　　）
A． B． C． D．
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】C
【分析】先求出公共弦所在直线的方程，再结合垂径定理，以及点到直线的距离公式，即可求解．
【解答】解：x2+y2﹣4＝0，①，x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0②，
②﹣①并整理得x﹣y+2＝0，为公共弦所在直线的方程，
易知圆x2+y2﹣4＝0的圆心为原点，半径为2，原点到公共弦所在直线的距离为，
故公共弦的弦长为．
故选：C．
【点评】本题主要考查两圆公共弦长的求解，属于基础题．
2．（2024秋 顺义区期末）已知直线，点P在圆（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1上运动，则点P到直线l的距离的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】计算题；整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】B
【分析】利用点到直线的距离公式即可求解．
【解答】解：已知直线，点P在圆（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1上运动，
则圆心（2，2）到直线l的距离，
所以点P到直线l的距离的最小值是．
故选：B．
【点评】本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题．
3．（2024秋 上城区校级期末）已知圆与圆，则圆C1与圆C2的位置关系是（　　）
A．相交 B．外离 C．外切 D．内含
【考点】根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】A
【分析】根据圆与圆的位置关系即可求解．
【解答】解：对于圆，圆心坐标O1（﹣2，0），半径r1＝2，
对于圆，圆心坐标O2（2，1），半径r2＝3，
则圆心距d，
两圆半径之和r1+r2＝2+3＝5，
两圆半径之差|r2﹣r1|＝|3﹣2|＝1，
因为，即|r2﹣r1|＜d＜r1+r2，
故两圆相交．
故选：A．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，属于基础题．
4．（2025秋 甘肃校级期中）当α变动时，动直线xcos2α+ysin2α＝4cos2α围成的封闭图形的面积为（　　）
A．π B． C．2π D．4π
【考点】过圆外一点的圆的切线方程；点到直线的距离公式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】D
【分析】利用点到直线的距离公式，推导出题中的动直线是圆C：（x﹣2）2+y2＝4的切线，进而利用圆的面积公式算出答案．
【解答】解：因为4cos2α＝2（1+cos2α）＝2+2cos2α，
所以直线：xcos2α+ysin2α＝4cos2α可化为（x﹣2）cos2α+ysin2α＝2，
当α变动时，点（2，0）到该直线的距离，为常数．
所以动直线是以C（2，0）为圆心、半径r＝2的圆的切线，
圆C的方程是（x﹣2）2+y2＝4，可知动直线围成的封闭图形的面积S＝π 22＝4π．
故选：D．
【点评】本题主要考查直线的方程、直线与圆的位置关系、三角恒等变换公式等知识，考查了计算能力、概念的理解能力，属于中档题．
5．（2024秋 宝安区期末）若直线l：mx+y﹣1＝0与圆（x﹣2）2+y2＝4相切，则m＝（　　）
A． B．1 C． D．
【考点】直线与圆的位置关系；由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】A
【分析】由圆的方程可得圆心坐标及半径，由题意可得圆心到直线的距离等于半径，列方程可得参数m的值．
【解答】解：圆（x﹣2）2+y2＝4的圆心C（2，0），半径r＝2，
因为直线l：mx+y﹣1＝0与圆（x﹣2）2+y2＝4相切，
所以圆心到直线的距离d2，解得m．
故选：A．
【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用及直线与圆相切的性质的应用，属于基础题．
6．（2024秋 淮安期末）设m，n为实数，若点M（m，n）是圆x2+y2＝1上的任意一点，则直线mx+ny＝1与圆的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【考点】直线与圆的位置关系；根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】B
【分析】根据题意，由点M在圆上可得m2+n2＝1，由直线与圆位置关系的判断方法分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆x2+y2＝1的圆心为（0，0），半径为1，
若点M（m，n）是圆x2+y2＝1上的任意一点，则m2+n2＝1，
圆心O到直线mx+ny＝1的距离d1，
故直线与圆相切．
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的标准方程和直线的一般方程，属于基础题．
7．（2024秋 惠州期末）若直线ax+by＝1与圆x2+y2＝1有两个公共点，则点P（a，b）与圆的位置关系是（　　）
A．点P在圆上 B．点P在圆外
C．点P在圆内 D．以上都有可能
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】B
【分析】题意可得圆心（0，0）到直线ax+by＝1的距离小于半径1，从而可得a2+b2＞1，进而可得结论．
【解答】解：因为直线ax+by＝1与圆x2+y2＝1有两个公共点，
所以圆心（0，0）到直线ax+by＝1的距离小于半径1，即，
所以，
所以a2+b2＞1，
所以点P（a，b）在圆x2+y2＝1外，
故选：B．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于基础题．
8．（2024秋 平和县校级期末）圆心为（1，2）且与直线3x+4y﹣1＝0相切的圆的方程为（　　）
A．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2 B．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4
C．（x+1）2+（y+2）2＝2 D．（x+1）2+（y+2）2＝4
【考点】由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数；根据圆的几何属性求圆的标准方程．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】B
【分析】根据题意，先求出圆的半径，结合圆的标准方程分析可得答案．
【解答】解：根据题意，点（1，2）到直线3x+4y﹣1＝0的距离d2，即圆的半径为2，
故要求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的标准方程，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 平和县校级期末）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0，直线l：2x﹣y+2＝0与圆C交于A，B两点，则以下四个选项中正确的是（　　）
A．圆C的圆心坐标是（1，2）
B．
C．CA⊥CB
D．△ABC的面积是
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】计算题；整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】AB
【分析】对于A，利用配方法整理圆的方程，根据圆的标准方程，可得答案；
对于B，利用点到直线的距离公式求得弦心距，根据弦长公式，可得答案；
对于C，根据垂径定理的相关性质，结合正弦函数的二倍角公式以及锐角三角函数定义，可得答案；
对于D，根据三角形的面积公式，可得答案．
【解答】解：已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0，直线l：2x﹣y+2＝0与圆C交于A，B两点，
由题意，过C作CD⊥l，垂足为D，作图如下：
对于A选项，由方程x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0，整理可得（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，
则圆心C（1，2），故A选项正确；
对于B选项，圆心（1，2）到直线2x﹣y+2＝0的距离是，
则，故B选项正确；
对于C选项，，故C选项错误；
对于D选项，，故D选项错误．
故选：AB．
【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，属于中档题．
（多选）10．（2024秋 宁德期末）已知直线l：kx﹣y﹣k+1＝0，圆C：（x﹣2）2+（y+1）2＝1，则（　　）
A．直线l过定点（0，1）
B．圆上的点到l的距离最大值为
C．当l与圆C相切时，直线l方程为3x+4y﹣7＝0
D．当k＝﹣2时，圆C上有三个点到l的距离为1
【考点】圆上的点到直线的距离及其最值；恒过定点的直线．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】BC
【分析】将l的方程化为k（x﹣1）+（﹣y+1）＝0，可知l经过直线x﹣1＝0与﹣y+1＝0的交点，从而判断出A项的正误；求出圆心C到直线l距离的最大值，进而算出圆上的点到直线l距离的最大值，由此判断出B项的正误；根据切线的性质、点到直线的距离公式，算出直线l与圆C相切时的斜率k值，进而判断出C项的正误；当k＝2时，圆心C恰好在直线l上，结合圆的半径r＝1，判断出D项的正误．
【解答】解：对于A，直线l：kx﹣y﹣k+1＝0可化为k（x﹣1）+（﹣y+1）＝0，
所以直线l经过直线x﹣1＝0与直线﹣y+1＝0的交点P（1，1），故A项不正确；
对于B，圆C：（x﹣2）2+（y+1）2＝1的圆心为C（2，﹣1），半径r＝1．
根据直线l经过定点P（1，1），可知点C到直线l的最大距离为|PC|．
因此，圆C上的点到l的距离最大值为|PC|+r，故B项正确；
对于C，当l与圆C相切时，圆心C到直线l的距离d＝r，
即，解得k，可得直线l的方程为x﹣y1＝0，即3x+4y﹣7＝0，故C项正确；
对于D，当k＝﹣2时，直线l方程为2x+y﹣3＝0，此时圆心C恰好在直线l上，
根据圆的半径r＝1，可知圆C上仅有两个点到l的距离等于1，故D项不正确．
故选：BC．
【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
（多选）11．（2024秋 惠州期末）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣6y﹣3＝0，直线l：ax﹣y﹣a﹣1＝0（其中a为参数），则下列选项正确的是（　　）
A．圆心坐标为（2，3）
B．若直线l与圆C相交，弦长最大值为12
C．直线l过定点（0，﹣a﹣1）
D．当时，直线l与圆C相切
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】AD
【分析】将圆的一般方程整理为标准方程，可得圆心C的坐标及半径r的值，判断出A的真假；B中，求出直线恒过的定点的坐标，判断出定点P在圆外，过定点的直线又过圆心时，相交弦长最大为2r＝8，判断出B的真假；C中，由B选项分析，可得C的真假；D中，求出直线与圆相切时的a的值，判断出D的真假．
【解答】解：将圆C：x2+y2﹣4x﹣6y﹣3＝0整理可得（x﹣2）2+（y﹣3）2＝16，可得圆心C（2，3），半径r＝4，所以A正确；
B中，将直线l：ax﹣y﹣a﹣1＝0整理为a（x﹣1）﹣y﹣1＝0，可得直线恒过定点P（1，﹣1），
因为（1﹣2）2+（﹣1﹣3）2＞16，所以点P在圆外，则直线与圆相交的最大弦长为2r＝8，所以B不正确；
C中，由B选项分析，直线恒过定点P（1，﹣1），所以C不正确；
D中，当直线与圆相切时，则圆心C到直线l的距离d4，解得a＝0或a，所以D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查直线恒过的定点的求法及直线与圆相切的性质的应用，属于中档题．
（多选）12．（2024秋 张家口期末）已知点A（﹣1，0），B（2，0），分别以点A，B为圆心，以1，2为半径作圆．若直线l与圆A和圆B相切，切点分别为A1，B1，则（　　）
A．若A1，B1重合，则直线l的方程是x＝0
B．若A1，B1不重合，则A1B1＝2
C．若直线l的斜率存在，则其斜率为
D．若A1，B1不重合，则四边形ABB1A1的面积为
【考点】根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】ABD
【分析】先判断两圆的位置关系，可知若A1，B1重合，则A1，B1即为O（0，0），此时直线l的方程是x＝0，可判断A；若A1，B1不重合，结合图像由此可判断BCD．
【解答】解：点A（﹣1，0），B（2，0），分别以点A，B为圆心，以1，2为半径作圆，
所以A：（x+1）2+y2＝1，B：（x﹣2）2+y2＝4，r1＝1，r2＝2，
对于A，因为|AB|＝3＝1+2＝r1+r2，所以圆A圆B外切，且切点为O（0，0），
若A1，B1重合，则A1，B1即为O（0，0），此时直线l的方程是x＝0，故A正确；
对于B，如下图，因为A1A∥B1B，|AA1|＝1，|BB1|＝2，
设直线l与x轴交于点H，所以A为BH的中点，
所以A1为B1H的中点，|AB|＝|HA|＝3，|AA1|＝1，|BB1|＝2，
所以在Rt△HAA1中，，故B正确；
对于C，在Rt△HAA1中，，
故直线l的斜率存在，则其斜率为，故C错误；
对于D，若A1，B1不重合，则四边形ABB1A1的面积为：
，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 顺义区期末）已知圆与圆，若圆C1与圆C2有公共点，则实数m的一个取值为 　0（答案不唯一，是[﹣7，5]上为实数即可）　．
【考点】根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】0（答案不唯一，是[﹣7，5]上为实数即可）．
【分析】根据题意，分析两个圆的圆心和半径，若圆C1与圆C2有公共点，即两圆相交或相切，由此可得|1|≤31，解可得m的取值范围，取其中特殊值即可．
【解答】解：根据题意，圆，其圆心为（0，0），半径R＝1，
圆，变形可得（x﹣3）2+y2＝9﹣m，必有m＜9，
其圆心为（3，0），半径r，
若圆C1与圆C2有公共点，即两圆相交或相切，则有|1|≤31，
解可得：﹣7≤m≤5，即m的取值范围为[﹣7，5]，
故实数m的一个取值为0．
故答案为：0（答案不唯一，是[﹣7，5]上为实数即可）．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的一般方程，属于基础题．
14．（2024秋 天津期末）已知a∈R，直线l：（a+1）x+2y﹣2a＝0恒过定点P，圆C的圆心与点P关于直线y＝x对称，直线l′：2x+y﹣5＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2，则圆C的半径为 　　．
【考点】直线与圆相交的性质；恒过定点的直线．
【专题】计算题；整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】．
【分析】根据题意，由直线过定点可得点P的坐标，从而可得点C的坐标，再由圆的弦长公式，代入计算，即可得到结果．
【解答】解：直线l：（a+1）x+2y﹣2a＝0的方程可化为a（x﹣2）+（x+2y）＝0，
令，解得，所以点P的坐标为（2，﹣1），
又圆C的圆心与点P关于直线y＝x对称，则C（﹣1，2），
设圆C的方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝r2（r＞0），
且圆C的圆心到直线l′：2x+y﹣5＝0的距离为，
又|AB|＝2，则，
即圆C的半径为．
故答案为：．
【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，属于中档题．
15．（2025 永州二模）在平面直角坐标系xOy中，射线l1：y＝x（x≥0），l2：y＝0（x≥0），半圆C：y．现从点A（1，0）向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线l1，l2时会发生镜面反射．设光线在发生反射前所在直线的斜率为k，若光线始终与半圆C没有交点，则k的取值范围是 　　．
【考点】根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】．
【分析】求出光线与（x﹣4）2+y2＝1（y≥0），（x+4）2+y2＝1（y≥0），x2+（y﹣4）2＝1相切时的斜率，数形结合即可得解．
【解答】解：将半圆依次沿着y＝x，x＝0，y＝﹣x作对称，如图所示：
光线在镜面发生反射可以等效处理为：光线进入了镜子后的空间，
因此问题就转化为光线如何与镜子内外的圆没有交点，光线变化的范围如图所示，
当光线与（x﹣4）2+y2＝1（y≥0）相切时，光线所在直线斜率为，
由对称性可知当光线遇射线l1时反射光线若与（x﹣4）2+y2＝1（y≥0）相切，
则入射光线所在直线为x＝1与圆x2+（y﹣4）2＝1相切，
当光线与圆x2+（y﹣4）2＝1相切但遇射线l1时反射光线不与（x﹣4）2+y2＝1（y≥0）相切时，
此时，所以光线斜率为，
当光线与（x+4）2+y2＝1（y≥0）相切时，光线斜率为，
所以由图可知k的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
16．（2024秋 长沙县校级期末）已知O为坐标原点，点P（0，1），圆C：x2+y2﹣4x+3＝0点Q为圆C上的一动点，则∠POQ的最小值为 　　．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】．
【分析】求出当Q位于第一象限且OQ与圆C相切时∠COQ的大小进而即可得∠POQ的最小值．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣4x+3＝0，可得标准方程为（x﹣2）2+y2＝1，圆心为C（2，0），半径为r＝1（如图）．
由图可知，当OQ与圆C相切，且Q位于第一象限时∠POQ最小，
此时，即，所以，
故∠POQ的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 桂林期末）已知直线l经过点P（1，﹣1），圆C：（x+1）2+（y﹣3）2＝4．
（1）若l经过圆C的圆心，求l的方程；
（2）若l与C相切，求l的方程．
【考点】直线与圆的位置关系；根据圆的几何属性求圆的标准方程．
【专题】计算题；整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）2x+y﹣1＝0；
（2）x＝1或3x+4y+1＝0．
【分析】（1）由圆的标准方程得到圆心坐标，由两点得斜率，由点斜式写出直线方程，化简即得；
（2）验证斜率不存在时是否符合题意，斜率存在时，设出切线方程，由圆心到切线距离等于圆的半径可求得参数，得直线方程．
【解答】解：（1）已知直线l经过点P（1，﹣1），圆C：（x+1）2+（y﹣3）2＝4，
圆C：（x+1）2+（y﹣3）2＝4的圆心为（﹣1，3），半径r＝2，
因为直线l经过点P（1，﹣1），则直线l的斜率为，
所以l的方程为y+1＝﹣2（x﹣1），即2x+y﹣1＝0；
（2）若l与C相切，
当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，圆心到直线的距离为2，等于半径，符合题意；
当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y+1＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣1＝0，
因为l与C相切，则，解得，
所以l的方程为；
综上，直线l的方程为x＝1或3x+4y+1＝0．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
18．（2024秋 合肥期末）圆x2+y2＝8内有一点M（﹣1，2），AB为过点M且倾斜角为α的弦．
（1）当时，求弦AB的长；
（2）当弦AB的长最小时，求直线AB的方程．
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】计算题；整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）；
（2）x﹣2y+5＝0．
【分析】（1）先求出直线AB的方程，然后求圆心到直线的距离d，再利用圆心距，弦和半径的关系可求出|AB|的长；
（2）由圆的性质可知当MO⊥AB时，弦AB最短，从而可求出直线AB的方程．
【解答】解：（1）圆x2+y2＝8内有一点M（﹣1，2），AB为过点M且倾斜角为α的弦，
当时，直线AB的斜率k＝tanα＝﹣1，圆的半径，
则直线AB的点斜式方程为y﹣2＝﹣（x+1），即x+y﹣1＝0，
则圆心（0，0）到直线AB的距离，
由垂径定理，得，
所以，
解得；
（2）当弦AB最短时，M为AB的中点，MO⊥AB，
由题意kMO kAB＝﹣1，则，
则直线AB的点斜式方程为，即x﹣2y+5＝0．
【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，属于中档题．
19．（2024秋 富平县期末）已知点A（3，0），B（2，1），圆C：x2+y2＝1．
（1）求过线段AB中点M，且与AB垂直的直线l的方程；
（2）过点B作圆C的切线，求切线方程．
【考点】由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；过圆外一点的圆的切线方程．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）y＝x﹣2；
（2）y＝1或4x﹣3y﹣5＝0．
【分析】（1）求出中点M与直线l的斜率，应用点斜式写出即可；
（2）设切线的斜率，写出切线方程，应用相切的充要条件求出斜率，即可解出切线方程．
【解答】解：（1）根据题意，因为点A（3，0），B（2，1），AB的中点为M，
则M的坐标为（，），，
所以直线l的方程为，即y＝x﹣2
（2）根据题意，分2种情况讨论：
当切线斜率不存在时，切线的方程为x＝2，与圆C不相切；
当切线斜率存在时，设切线方程为y＝k（x﹣2）+1，即kx﹣y﹣2k+1＝0，
因为圆C：x2+y2＝1的圆心为（0，0），半径为1，
所以，解之得k＝0或，
此时圆C的切线方程为y＝1或4x﹣3y﹣5＝0；
故要求切线方程为y＝1或4x﹣3y﹣5＝0．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及线段的垂直平分线，属于基础题．
20．（2024秋 惠州期末）已知圆x2+y2＝8内有一点P0（﹣1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦．
（1）当α时，求AB的长；
（2）当弦AB被点P0平分时，写出直线AB的方程．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】综合题；方程思想；演绎法；直线与圆．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）当α时，求出直线AB的方程，圆心到直线AB的距离，即可求AB的长；
（2）当弦AB被点P0平分时，OP0⊥AB，求出直线AB的斜率，即可写出直线AB的方程．
【解答】解：（1）当时，直线AB的方程为：y﹣2＝﹣（x+1） x+y﹣1＝0，
设圆心到直线AB的距离为d，则，
∴（5分），
（2）当弦AB被点P0平分时，OP0⊥AB，
∵，∴，
故直线AB的方程为：即x﹣2y+5＝0…（10分）
【点评】本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
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