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2025 年高三年级第二学期教学质量阶段性检测（三）
数学试卷
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 每小题只有一个选项符合题意.
1. 已知集合 A {1,2,3}，B {2,3,4}，则 A B
A. {1} B. {2,3} C. {4} D.
2. 复数 z 1 2i的实部是
A. 1 B. 2 C. 2i D. 5
3. 圆心为(0,0)，半径为 2 的圆的方程为
A. x2 y2 2 B. x2 y2 4 C. x2 y2 8 D. x2 y2 16

4. 已知向量a (1,2)，b (3, 1)，则a b
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 抛掷一枚质地均匀的硬币，反面向上的概率为
1 1 1
A. B. C. D. 1
4 3 2
6. 等差数列{an}中，a1 2，公差d 3，则a4
A. 5 B. 8 D. 11 D. 14
7. 2025 年 5 月 4 日是五四运动 106 周年纪念日. 为了继承和发扬五四运动以来中国青年光
荣的革命传统，现从 4 名学生中选出 2 人参加五四知识竞赛，不同的选法种数为
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
8. 某环保机构研究某湖泊中微生物群落的生态恢复过程，建立数学模型描述污染停止后微
生物浓度 C(t) （单位：mg/L）随时间 t （月）的变化规律 . 经拟合，模型函数为：
C(t) 50ln(t 2) 10（其中 ln 表示自然对数）. 则根据模型，微生物浓度C(t)的定义域
是
A. (2, ) B. [2, ) C. ( , 2) D. R
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 每小题有多个选项符合题意. 全
部选对得 6 分；部分选对得部分分；错选或不选得 0 分.
9. 关于函数 f (x) cos x，正确的是
A. 是奇函数 B. 最小正周期为2π
C. 在[0,π]上单调递增 D. 最大值为 1
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10. 下列三角恒等式成立的是
A. sin2 cos2 1 B. tan sin
cos
C. sin(90 ) cos D. sin 2 2sin
11. 某量子计算实验室在新型超导量子比特稳定性测试中，记录了 5 次“量子退火能量波动
值”（单位：keV）的实验数据如下：数据集 {160,165,170,172,178} . 研究人员需分析
该量子系统的能量离散特性. 以下结论正确的有
A. 能量波动极差为 18 keV B. 能量波动中位数对应 170 keV 的本征态
C. 平均能量波动值为 169 keV D. 该数据集的众数为 160 keV
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 请将答案填写在答题卡对应位置.
12. 已知 ABC 中， AB 5, AC 7, A 60 ，则边BC ▲ .
13. 函数 f (x) x3 3x 的极小值点为 x ▲ .
14. 某疾控中心对某新型病毒进行溯源研究，实验室需从一批冷冻生物样本中随机抽取一
份进行基因测序分析. 已知该批次样本共 5 份，其中 3 份为早期动物宿主溯源阳性样本（标
记为 H1-H3），2 份为环境交叉污染对照样本（标记为 E1-E2）. 根据《病原体溯源技术规范》，
所有样本外观无差异且混合存放于-80℃超低温冰箱中. 若研究员在全程盲法操作下随机抽
取两份样本，则抽取的样本均为 H1-H3 的概率是 ▲ .
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分. 答题时应写出必要的解题过程和演算步骤.
15. （13 分）已知椭圆的中心在原点，长轴在 x 轴上，长轴长为 10，短轴长为 6.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求该椭圆的焦点坐标.
16. （15 分）如图，四棱锥 P ABCD 底面为正方形，PA 底面ABCD，PA AB 2 .
（1）证明PC BD P ；
（2）求四棱锥的体积.
A D
B C
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17. （15 分）某植物研究所为探究光照时长对某草本植物开花的影响，在温室中控制光照
条件进行实验. 记录数据如下表：
光照时长 开花植株数 未开花植株数
短日照（8 小时） 23 17
长日照（10 小时） 19 1
（1）根据上表，从所有植株中随机选取一株，求该植株开花的概率；
（2）根据上表，根据卡方检验判定有百分之多少的把握认为光照时长与开花有关；
0. 10 0. 05 0. 01 0. 001
χ 2. 706 3. 841 6. 635 10. 828
（3）该植物研究所提供了如下表更为完整的数据. 以光照时长为自变量 x，开花率为因变量
y，请你依据下表数据求线性回归方程（结果保留两位小数）．
光照时间(小时/天) 开花植株数 未开花植株数 总植株数
6 8 12 20
8 15 5 20
10 19 1 20
n
xi x yi y
附：数据参考：回归方程 y a bx中，b i 1 n =0.15，a y b x .
xi x 2
i 1
18. （17 分）已知函数 f (x) x3 3x
（1）求 f (x) 的导数 f '(x) ；
（2）求 f (x) 在 x 2 处的切线方程；
（3）判断函数在区间[0, ) 上的单调性，并说明理由.
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19. （17 n分）已知数列{an}满足a1 1，且递推关系为an 1 3an 2 (n 1) .
（1）求a2 的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）若b a nn n ，求数列{bn}的前n项和Sn . 3
高三数学 第 4 页 共 4 页高三数学参考答案
一、单选题：每题 5 分，共 40 分.
题号 答案 考察知识点 难度系数（1-5）
1 B 集合运算 容易
2 A 复数实部 容易
3 B 圆的方程 容易
4 A 向量点积 容易
5 C 概率基础 容易
6 C 等差数列 容易
7 B 组合数 容易
8 A 函数定义域 较易
二、多选题：
题号 答案 考察知识点 难度系数（1-5）
9 BD 三角函数性质 较易
10 ABC 三角恒等式 较易
11 ABC 统计量计算 较易
三、填空题
题号 答案 考察知识点 难度系数（1-5）
12 39 余弦定理 较易
13 1 导数求极值 较易
3
14 组合概率 较易
10
四、解答题
15. 考点：椭圆方程与焦点坐标（13 分）
（1）（7 分）
长轴长为 10，则2a 10， a 5 （2 分）
短轴长为 6，则2b 6,b 3（2 分）
椭圆中心在原点，长轴在 x轴，标准方程为：
x2 y2 2 2
2 2 1,
x y
代入数据得 1（3 分）
a b 25 9
（2）（6 分）
2 2
焦距c a b 25 9 4（3 分）
焦点在长轴（x轴）上，坐标为 ( c,0) ，即 ( 4,0) （3 分）
总结：考察椭圆标准方程与几何性质，难度较易.
16. 四棱锥证明与体积（15 分）
（1）（8 分）
由 PA⊥底面 ABCD，得 PA⊥BD（2 分）
底面为正方形，对角线 BD⊥AC（2 分）
BD同时垂直于 PA和 AC，故 BD⊥平面 PAC（2 分）
因此 BD⊥PC（2 分）
（2）（7 分）
底面积：正方形边长 AB=2，面积 S=2×2=4（2 分）
高：PA=2（2 分）
体积公式：
V 1 1 底面积 高= 4 2= 8
3 3 3
总结：空间几何证明与体积计算，难度适中.
17. 概率与统计分析（15 分）
（1）（5 分）
总植株数：短日照 23+17=40，长日照 19+1=20，合计 60（2 分）
开花植株数：23+19=42（1 分）
42
概率： =0. 70（2 分）
60
（2）（5 分）
列联表：（1 分）
光照时长 开花 未开花
短日照 23 17
长日照 19 1
期望频数：（1 分）
40 42
短日照开花： =28
60
40 18
短日照未开花： =12
60
20 42
长日照开花： =14
60
20 18
长日照未开花： =6
60
卡方值计算：
8.93（2 分）
结论： 8.93 6.635，对应 α=0. 01，故有 99%的把握认为光照时长与开花相关（1 分）.
（3）（5 分）
数据整理（2 分）：
x（光照时长） y（开花率）
6 0. 40
8 0. 75
10 0. 95
计算平均值： x 8, y 0.70
n
xi x yi y
已知斜率：b i 1 n =0.15
x 2i x
i 1
截距计算：a y = 0.50 0.15x b x 0.50 （1 分）
回归方程： y = 0.50 0.15x（2 分）
总结：考察知识点：概率计算、卡方检验、线性回归分析；难度系数：适中（因卡方计算步
骤较多，需注意期望频数修正）
18. 函数与导数（17 分）
（1）（4 分）
逐项求导得：
f '(x) 3x2 3
（2）（6 分）
计算 f (2) ：
f (2) 23 3 2 2（2 分）
计算 f '(2) ：
f '(2) 3 22 3 9 （2 分）
切线方程：
y 2 9(x 2) y 9x 16（2 分）
（3）（7 分）
解 f '(x) 0 ：
3x2 3 0 x 1（2 分）
分析区间[0, ) ：
当0 x 1时， f '(x) 0（递减）（2 分）
当 x 1时， f '(x) 0 （递增）（2 分）
结论：函数在[0,1)递减，在 (1, )递增（1 分）
总结：导数与函数性质分析，难度适中.
19. 数列与递推（17 分）
（1）（3 分）
由a1 1，代入得
a2 3a 1 2
1 5
（2）（8 分）
an 3
n 2n
（3）（6 分）
过程（4 分）略
通项公式：
2 nb 1 n （2 分）
3
求和：
n 2
k
nS 1 n 2
k
n （2 分）
k 1 3 k 1 3
几何级数求和：
2 n1 2

n 2 k 3
3 n
2 1 2
k 1 3 1 2 3
3
最终结果：
n
S n 2 2 2 n 3

总结：递推数列求解与求和，难度较难.

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