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17.1勾股定理 练习
一、单选题
1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．9，40，41 B．5，12，15 C．1.5，2，2.5 D．13，14，15
2．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．6 D．7
3．如图，在中，，，按图中所示方法将沿折叠，使点C落在边的点，则长为（ ）
A． B． C． D．
4．若一直角三角形两直角边长是4和5，则它的斜边长是（ ）
A．3 B．5 C． D．3或
5．在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，设这只铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，李明想知道学校旗杆的高度．他将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端处，发现此时绳子底端距离打结处．则旗杆的高度为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，∠，，、、的对边分别是、、，下列结论：①；②；③：：；④中，错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在中，．小红作图过程如下：以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接，则的长是（ ）
A．4 B．2 C．2 D．3
10．如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C、D的边长分别是12，16，9，12，则最大正方形E的边长是（ ）
A．20 B．25 C．30 D．35
11．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，那么第三边是（ ）
A．25 B．5 C．5或 D．7或25
12．如图，点，，在同一直线上，沿折叠，点恰好落在的直角顶点处．若， ，则的值为（ ）
A．4 B． C．8 D．
二、填空题
13．文化广场有一块矩形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，足下留“青”！走“路比走路”少了 米．
14．我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有户不知高广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽，有竿不知其长短．横放，竿比门宽出4尺，竖放，竿比门长出2尺，斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线的长各是多少？设竿长为x尺，依据题意可列方程 ．
15．如图，风雨过后一棵大树被折断，折断处离地面的高度为，倒下后树顶端着地，点A距树底端点B的距离为，这棵大树在折断前的高度为 ．
16．如图，已知，则数轴上点所表示的数是 ．
三、解答题
17．每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米．
(1)求云梯顶端C与墙角O的距离的长；
(2)现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端水平方向向右滑动的距离为多少米．
18．如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．
(1)如图1请你用它验证勾股定理．
(2)如图2四边形中于点O，，，，请直接写出 ．
19．随着中小学双休制度的全面落实，各学校提倡学生利用周末走进大自然，调动五官，提高感知力，解放身心，放松自我，缓解学习压力．某周周末，小明和小亮相约去母鸡山公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为12米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.65米．
(1)求风筝的垂直高度；
(2)如果小明想风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？
20．某城市交管部门规定：小汽车在城市快速路上行驶速度不得超过80千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市快速路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了4秒后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为130米，这辆小汽车超速了吗？
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B C C B B A A B
题号 11 12
答案 C C
1．A
【分析】本题考查的是勾股数，满足的三个正整数，称为勾股数．根据勾股数的概念判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴，
∴9，40，41是勾股数，故本选项符合题意；
B、∵，
∴，
∴5，12，15不是勾股数，故本选项不符合题意；
C、∵1.5与2.5不是正整数，
∴1.5，2，2.5不是勾股数，故本选项不符合题意；
D、∵，
∴，
∴13，14，15不是勾股数，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．A
【分析】本题考查了勾股定理的应用和三角形面积的算法，解决此题的关键是合理的运用勾股定理；先根据勾股定理和已知的式子算出，再根据同底等高的算法即可得到答案；
【详解】解：在中，这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，由勾股定理得：，
即，
∵，
∴，
∵阴影部分的面积为，
∴阴影部分的面积为，
故选A．
3．B
【分析】本题主要考查了勾股定理，图形的折叠，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 在中，根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质可得：，即可求解
【详解】解：在中，，，
．
由折叠的性质得，
．
故选：B
4．C
【分析】本题考查了勾股定理，根据直角三角形两直角边长是4和5，结合勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：∵一直角三角形两直角边长是4和5，
∴它的斜边长是，
故选：C
5．C
【分析】本题考查了两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式：若，则是解题的关键．
由两点间距离公式直接求解即可．
【详解】解：点到原点的距离为，
故选：C．
6．B
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是运用勾股定理求出斜边的长度．首先根据问题的条件可得到当铅笔与笔筒底垂直时最大，此时最大值为铅笔的高减去笔筒内壁的高；分析可知，当铅笔如图放置时最小，在中，运用勾股定理即可得到答案．
【详解】解：当铅笔与笔筒底垂直时最大，最大．
当铅笔如图放置时最小．
在中，，
，
．
的取值范围：．
故选：B．
7．B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设旗杆的高度为，根据勾股定理得出，求解即可．
【详解】解：设旗杆的高度为，
由题意并结合勾股定理可得：，
解得：，
∴旗杆的高度为，
故选：B．
8．A
【分析】本题考查的是勾股定理、含度角的直角三角形的性质，根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理计算，判断即可．
【详解】解：∵在中，∠，，
∴，①正确，不符合题意；
由勾股定理得，，②正确，不符合题意；
，即，③正确，不符合题意；
∴，④错误，符合题意，
故选：A．
9．A
【分析】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作，垂足为，根据等腰三角形三线合一可推出，再根据30度所对直角边等于斜边的一半求得，然后利用勾股定理求得，，最后由即可求得答案．
【详解】解：过点作，垂足为，如图
根据题意可知，，
，
，
在，，，
，
，
在，，
，
，
．
故选：A．
10．B
【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理可得，，则，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，由勾股定理得，
∵A、B、F都是正方形，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴最大正方形E的边长是25，
故选：B．
11．C
【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边的长的平方，据此分长为4的边为直角边和斜边两种情况，讨论求解即可．
【详解】解：当长为4的边为直角边时，则第三边的长是，
当长为4的边为斜边时，则第三边的长是；
综上所述，第三边的长为5或，
故选：C．
12．C
【分析】本题考查翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，作于点，交的延长线于点，由折叠得，，而，则，可证明，得，，由，得，由，得，再证明，得，所以，求得，即可求解．
【详解】解：作于点，交的延长线于点，则，
沿折叠，点落在的直角顶点处，且，，
，，，
，
，
在和中，
，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
故选：C．
13．4
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题的关键．在中，直接利用勾股定理得出的长，再利用进而得出答案．
【详解】解：在中，，，
∴，
则，
故答案为：4．
14．
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，设未知数建立关于未知数的方程是解题的关键．
利用勾股定理建立方程，解方程得出门高即可．
【详解】解：设竿长为x尺，则门宽为尺，门高尺，门对角线是x尺，
根据勾股定理可得：．
故答案为：．
15．/
【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理求出的长是解答此题的关键．由勾股定理求出的长，然后求出结果，即可解决问题．
【详解】解：在中，，，
，
∴，
即这棵大树在折断前的高度为，
故答案为：．
16．/
【分析】本题考查了利用勾股定理计算线段长度，解题的关键是结合数轴上点的位置关系进行求解．先在中，利用勾股定理计算的长度，然后在中，计算的长度，根据，确定的长度，进而求解点在数轴上所表示的数．
【详解】解：如图所示，在中，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
点在原点的右侧，
数轴上点所表示的数是，
故答案为：．
17．(1)云梯顶端与墙角的距离的长为
(2)云梯底端在水平方向上滑动的距离为
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）在中，根据勾股定理即可得到求解；
（2）在中，根据勾股定理求出，即可得到结论．
【详解】（1）解：在中，，，
由勾股定理得，
即，
解得：；
答：云梯顶端与墙角的距离的长为；
（2）解：，，
，
在中，，，
由勾股定理得，
即，
解得：，
，
．
答：云梯底端在水平方向上滑动的距离为．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键.
（1）通过图中小正方形面积证明勾股定理；
（2）根据均为直角三角形，根据勾股定理得出 即可求出的值.
【详解】（1）解：，
另一方面，
即，
；
（2）解：由题意可得， 均为直角三角形，
由勾股定理可得， ①，②，③，④
可得；
可得；
即：，
，
解得（负值舍去），
故答案为：．
19．(1)风筝的垂直高度为17.65米
(2)他应该往回收线7米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：由题意可知：米，米，米，
在中，由勾股定理得，，
∴（负值已舍去），
∴（米），
答：风筝的垂直高度为17.65米；
（2）解：∵风筝沿方向下降11米，保持不变，如图，
∴此时的（米），
即此时在中，米，有（米），
相比下降之前，缩短长度为（米），
∴他应该往回收线7米．
20．这辆小汽车超速了
【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理列式求出，再根据速度路程时间求出小汽车的速度，然后化为千米/小时的单位即可得解．
【详解】解：由勾股定理得（米），
小汽车的速度为：（米/秒），
30米/秒108千米/时80千米/时，
所以，这辆小汽车超速了．

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