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高三数学
(120分钟　150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|y=ln x,y≤1},B={x||x|>e},则A∩ RB=
A.(-e,e) B.(0,e]
C.(0,e2] D.(e,e2]
2.已知复数z=1+i,||2=,则实数a的值为
A.-4 B.2
C.3 D.-4或2
3.某同学忘记单词“succeed”的字母顺序,但是记得前两个字母为“su”,后两个字母为“ed”,则该同学能写对的概率为
A. B. C. D.
4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,btan B+btan A=-2ctan B,则A=
A. B.π C. D.
5.已知函数f(x)的定义域为R,若f(2x-1)为奇函数,且f(x+1)为偶函数,则
A.f(2023)=0 B.f(2024)=0
C.f(2021)=0 D.f(2022)=0
6.已知向量a,b的夹角为锐角,且满足|a|=|b|=1,c=a+2b,则向量c的模长可以为
A. B.2 C.2 D.3
7.已知过抛物线C:y2=4x的焦点F且倾斜角为θ的直线l交C于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积为2,则θ的值为
A. B.
C.或 D.或
8.如图,在三棱锥A-BCD中,△ABC和△BCD均为边长为的等边三角形,若二面角A-BC-D的大小为90°,则三棱锥A-BCD外接球的表面积为
A.5π B.8π
C.6π D.9π
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.设a=log0.22,b=log152,c=,则
A.ab10.我国新能源发展势头强劲,产业前景广阔,特别是新能源汽车产销已经连续8年位居世界第一,如图,这是某国产新能源汽车公司的100家销售商在2023年4月份的销售数据频率分布直方图,则
A.a的值为0.004
B.估计这100家销售商新能源汽车销量(每组的销量按中点值计算)的平均数为135
C.估计这100家销售商新能源汽车销售量的中位数为158.3
D.若用分层随机抽样法从这100家销售商中抽取20家,则应从销量在[200,300]内的销售商中抽取5家
11.已知函数g(x)=+ln x,x∈(0,e],则
A.当a≤0时,g(x)有最大值
B.当0C.当0D.当a≥e时,g(x)可以取得最小值3
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若X~N(6,1),则P(513.若干水倒入底面半径为2的圆柱形器皿中,量得水面的高度为6,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥(圆锥顶点朝下)形器皿中,则水面的高度是　　　　.
14.已知圆O1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆O2:(x-1)2+(y-1)2=2,A,B分别是圆O1和圆O2上的动点,则由坐标原点O和点A,B构成的三角形的面积的最大值为　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
已知向量m=(a+cos x,1),n=(a+sin x,1)(a≥0),f(x)=m·n.
(1)当a=0时,求f()的值;
(2)若函数f(x)的最大值为,求a的值.
16.(15分)
已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且a4=a3+6a2,S2=2a1+2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若等差数列{bn}的前n项和为Tn,且b1=8,当n=4或5时,Tn取最大值,求数列{anbn}的前n项和.
17.(15分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA=PC,PB=PD,BC=CD=BD=2,AB=AD=2.
(1)若=3,=3,求证:平面AEF∥平面PCD.
(2)若PC=5,求直线AC与平面PBC所成角的正弦值.
18.(17分)
已知函数f(x)=tx+ln x(t∈R).
(1)当t=-1时,证明:f(x)≤-1.
(2)若对于定义域内的任意x,f(x)≤x·e2x-1恒成立,求t的取值范围.
19.(17分)
已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆C的离心率为,点P是椭圆C上一动点,且|PF1||PF2|的最大值为2.
(1)求椭圆C的方程.
(2)过点M(,0)的直线交椭圆C于E,F两点,判断+是否为定值 若为定值,求出该定值;若不为定值,请说明理由.
参考答案
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B D C B A C C A AC ACD ABD
1.答案　B
解题分析　∵A=(0,e], RB=[-e,e],∴A∩ RB=(0,e],故选B.
2.答案　D
解题分析　∵||2===,∴a=-4或a=2.故选D.
3.答案　C
解题分析　∵单词succeed中间三个字母cce的排列有3种排法,∴该同学能写对的概率为.故选C.
4.答案　B
解题分析　根据正弦定理,原等式可化为sin B·+sin B·=-2sin C·,进一步化为cos Asin B+sin Acos B=-2sin Ccos A,则sin(A+B)=-2sin Ccos A,即cos A=-.在△ABC中,A=.
5.答案　A
解题分析　∵f(2x-1)为奇函数,∴f(-2x-1)=-f(2x-1),且f(-1)=0,即f(-x-1)=-f(x-1),
∵f(x+1)为偶函数,∴f(-x+1)=f(x+1),∴f(x)的图象关于直线x=1对称,
∴可得f(-1+4n)=f(-1)=0,n∈Z.
∴f(2023)=f(2023-2024)=f(-1)=0,故选A.
6.答案　C
解题分析　设向量a,b的夹角为θ,∵向量a,b的夹角为锐角,∴0∴c2=(a+2b)2=5+4cos θ∈(5,9),∴|c|∈(,3),故选C.
7.答案　C
解题分析　|AB|==,圆心O到直线AB的距离为d=·sin θ=sin θ,
∴S△OAB=××sin θ=2,∴sin θ=,∴θ=或θ=.故选C.
8.答案　A
解题分析　易知△ABC和△BCD的外接圆的半径均为1,不妨记它们的圆心分别为O1和O2,三棱锥A-BCD外接球的球心为O,则OO1⊥平面ABC,OO2⊥平面BCD.易知OO1=OO2=,所以OA==,所以三棱锥A-BCD外接球的表面积为4π·OA2=5π.
9.答案　AC
解题分析　因为a<0,b>0,所以ab<0,因为=+=log20.2+log215=log23>1,010.答案　ACD
解题分析　由(0.001+0.002+0.003+2a+0.006)×50=1,得a=0.004,A正确;
平均数约为(25×0.002+75×0.003+125×0.004+175×0.006+225×0.004+275×0.001)×50=150,B错误;设中位数为x,易知x∈[150,200),则(0.002+0.003+0.004)×50+(x-150)×0.006=0.5,得x≈158.3,C正确;应从销量在[200,300]内的销售商中抽20×(0.004+0.001)×50=5家,D正确.故选ACD.
11.答案　ABD
解题分析　当a≤0时,g(x)在(0,e]上单调递增,此时g(x)有最大值,A项正确.
g'(x)=-+=,
当0若a0,故g(x)在(a,e]上单调递增.
令g(x)min=g(a)=+ln a=-1,得a=,满足条件,B项正确.
令g(x)min=g(a)=+ln a=2,得a=e,不满足条件,C项不正确.
当a≥e时,若0令g(x)min=g(e)=+ln e=3,得a=2e,∴此时g(x)有最小值3,D项正确.
12.答案　0.8185
解题分析　P(513.答案　6
解题分析　水的体积为π×22×6=24π,设圆锥中水的底面半径为r,将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,水的体积为πr2·r=24π,r=2,水面的高度是×2=6.
14.答案　2+
解题分析　由题知当O,O1,A共线时,OA取最大值+1,当O,O2,B共线时,OB取最大值2,并且当OA和OB均取最大值时,OA⊥OB,此时△OAB的面积最大,其最大值为×2×(+1)=2+.
15.解题分析　(1)当a=0时,f(x)=sin xcos x+1=sin 2x+1, 3分
∴f()=sin +1=. 6分
(2)f(x)=(a+cos x)(a+sin x)+1=a(sin x+cos x)+sin xcos x+a2+1.
设sin x+cos x=t(-≤t≤),则sin xcos x=.设g(t)=f(x),
所以g(t)=at++a2+1=(t+a)2++.因为a≥0,所以当t=时,g(t)取得最大值,即g()=(+a)2++=,解得a=. 13分
16.解题分析　(1)设{an}的公比为q,则有, 2分
∴, 3分
∴an=3n-1. 5分
(2)设{bn}的公差为d,由题知b5=8+4d=0,
∴d=-2, 7分
∴bn=8-2(n-1)=10-2n. 10分
设数列{anbn}的前n项和为Qn,
则Qn=8×30+6×31+4×32+…+(12-2n)×3n-2+(10-2n)×3n-1,
3Qn=8×31+6×32+4×33+…+(12-2n)×3n-1+(10-2n)×3n, 12分
两式相减得-2Qn=8-2×3-2×32-2×33-…-2×3n-1-(10-2n)·3n=8--(10-2n)·3n=11-(11-2n)3n,
∴Qn=. 15分
17.解题分析　(1)∵PB=3BE,CB=3FB,
∴EF∥PC,
∵EF 平面PCD,PC 平面PCD,
∴EF∥平面PCD. 2分
∵AB=AD=2,BC=CD=BD=2,
∴∠ABC=90°, 3分
∵BC=CD=BD,
∴∠BCD=60°,
∵tan∠AFB===,∴∠AFB=60°,∴AF∥CD, 4分
∵AF 平面PCD,CD 平面PCD,∴AF∥平面PCD.
∵AF∩EF=F,AF,EF 平面AEF,
∴平面AEF∥平面PCD. 7分
(2)连接AC,交BD于点O,
∵BC=CD=BD,AB=AD,
∴O为BD的中点,且AC⊥BD,
∵PB=PD,∴PO⊥BD,
∴BD⊥平面PAC,
∴以点O为坐标原点,分别以OD,OA所在的直线为x,y轴,过点O且垂直于平面xOy的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,
则C(0,-3,0),A(0,1,0),P(0,-1,),B(-,0,0),
∴=(,-3,0),=(,-1,). 10分
设m=(x,y,-1)为平面BPC的一个法向量,则,即,
可得m=(,,-1). 12分
又=(0,-4,0),
∴直线AC与平面PBC所成角的正弦值为|cos|==. 15分
18.解题分析　(1)当t=-1时,f(x)=-x+ln x,即证明ln x-x≤-1,设g(x)=ln x-x+1,g'(x)=.
当00,g(x)单调递增;当x>1时,g'(x)<0,g(x)单调递减.所以g(x)在x=1处取到最大值,即g(x)≤g(1)=0,所以ln x-x≤-1得证. 8分
(2)由f(x)≤x·e2x-1恒成立,得t≤e2x-在(0,+∞)上恒成立;
由(1)可以得到x≥ln x+1,所以x·e2x≥ln(x·e2x)+1=ln x+2x+1.
所以e2x≥=+2,所以e2x-≥2,当且仅当x·e2x=1时取等号,
于是t的取值范围是(-∞,2]. 17分
19.解题分析　(1)由题知1-=,|PF1||PF2|≤()2=a2=2,
∴a=,b=1,
∴椭圆C的方程为+y2=1. 5分
(2)当直线EF的斜率为零时,则点E,F为椭圆长轴的端点,
则+=+===3; 8分
当直线EF不与x轴重合时,设直线EF的方程为x=ty+,设点E(x1,y1),F(x2,y2),
联立,消去x得(t2+2)y2+y-=0,
Δ=t2+(t2+2)=8t2+>0恒成立,
由韦达定理得y1+y2=-,y1y2=-, 10分
∴+=+==
===×=3. 13分
综上所述,+为定值3. 17分

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