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解几解题策略(一)
一.抓住问题实质，强化求简意识
1.正确理解和运用概念——正确理解概念，掌握其本质属性，并在运用中不断加强认识，是强化求简意识的前提。
例1.已知点A（－1，0），B(1,2),C(1,0),求点C作直线AB的垂线，求此直线的方程。
分析:如果利用点斜式y=k(x-1)求解,思路容易得到,但实现过程较麻烦.如果能够发现构成的三角形是等腰直角三角形,并且斜边AB的中点为D(0,1),那么CD就是所求直线.显然用截距式较为简便. (x+y-1=0)
例2.定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y=x上移动，记线段AB的中点为M。求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标。( () )
例3.设直线l过抛物线y2=2px的焦点且与抛物线交于A、B两点，求证对于这条抛物线任何一条给定的弦CD，直线l不是CD的垂直平分线。
2 灵活选用方程的形式——根据题设条件特点，选用恰当的直线和圆锥曲线方程是强化求简意识的重要手段，一旦灵活选用恰当的方程，就可大大简化求解过程，丰富解题方法。
例1.过p(4,8)作直线，被圆x2+y2=25截得的弦长恰好等于6，求此直线方程。(x=4或3x-4y+20)
例2.已知抛物线y2=4x的一条焦点弦被焦点分成为m,n两部分，求证:=1
3用整体观念解答有关问题——用整体观念认识和处理某些问题，可以避免繁琐运算，获得简捷解法，提高求简意识的层次。
例1.如果双曲线经过点（6,）,并且它的两条渐近线议程是y=±,求双曲线的方程.

例2.已知直线l交椭圆于M、N两点,B(0,4)是椭圆的一个顶点，若△BMN的重心在椭圆的右焦点F上，求直线l的方程。(6x-5y-28=0)
例3.已知抛物线y2=与x2+y2-2ax+a2-1=0，若两曲线有三个公共点，求a的范围。(a=1)
4善于发掘和使用隐含条件——如果隐含条件不能得到发掘和使用，则势必造成求解过程笨拙繁琐，甚至走进死胡同，一旦发掘出隐含条件，并巧妙地加以运用，就会摆脱常规解法的束缚，得到简便易行的解法，这是建立求简意识的重要内容。
例.双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线l交双曲线于P、Q两点,若OP⊥OQ,且|PQ|=4，求双曲线方程。(x2-=1)
解几解题策略(二)
二.掌握常见题型的求解思路,不断提高运算能力
1圆锥曲线性质的讨论方法——由于焦点和准线是构成圆锥曲线的最基本元素，它提示了曲线的本质属性，故应重视对这两种基本元素的研究。另外，离心率也是确定圆锥曲线的特征元素，是讨论圆锥曲线性质的重要数量指标，也应当重点加以研究。
说明:求圆锥曲线的离心率的取值范围是当前命题的一个热点,应引起我们的重视.要求离心率的取值范围,就要建立起关于离心率e的不等式(组),常用方法有利用圆锥曲线定义、利用圆锥曲线的变化范围、利用两曲线的位置关系等.(如例1、例2)
例1.已知椭圆的长轴两端点是A、B,若椭圆上存在点P，且∠APB=1200，求椭圆的离心率的取值范围。(≤e<1)
例2.已知双曲线的左、右焦点为F1、F2，左准线为l, P是双曲线左半支上一点，并且有|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的比例中项，求双曲线离心率的范围。(1例3.双曲线与椭圆有公共焦点F1(-4,0)和F2(4,0)，设e1、e2分别为椭圆和双曲线的离心率，且，求双曲线和椭圆交点的轨迹方程。(x2+y2±17x+16=0)
例4.椭圆x2+=1（α为锐角）的焦点在x轴上,A是它的右顶点,这个椭圆与射线y=x
(x≥0)的交点是B以A为焦点，且过B点，开口方向向左的抛物线的顶点为(m,0)，当椭
圆的离心率e∈(时，求m的取值范围。 (12.直线与圆锥曲线的关系的题型与求解策略——直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的热点，它的主要题型有求直线和圆锥曲线的交点、求直线被圆锥曲线所截弦长、对称问题、定值问题、交点轨迹问题等。
例1.已知椭圆(a>b>0)，A、B是椭圆和两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P（x0,0），证明:.
分析: 本题涉及到圆锥曲线弦的中点及直线与圆锥曲线的交点，一般解法是设法得到关于x或y的二次方程，然后使用韦达定理求解。
例2.已知椭圆长轴|A1A2|=6，焦距|F1F2|=4，过椭圆焦点F1作一直线，交椭圆于两点M、N，设∠F2F1M=α当α取什么值时,|MN|的长度等于椭圆的短轴长。
分析: 本题涉及到“弦长”，一般应使用韦达定理求解或使用圆锥曲线的极坐标方程求解。
例3.过点M(-2,0)作直线L交双曲线x2-y2=1于点A，B，探索是否存在直线L使∠AOB=（O为坐标原点），若存在求出L方程；若不存在说明理由。
分析:本题涉及到直线被圆锥曲线所截弦，对某一定点（如原点）张直角问题，并且是以探索题的形式给出的，在求解过程中，也往往要使用韦达定理。
例4.设A(x1,y1)为椭圆x2+2y2=2上任意一点，过A作一条斜率为-的直线L，又设d为原点到直线L的距离， 分别为A到两焦点的距离，试证明=常数。
分析:本题涉及到直线与圆锥曲线相交时，所出现的定值问题，在求解过程中，应从运动变化中抓住不变因素，从而把握住解题的关键。
解几解题策略(三)
例5.给定椭圆C:，试确定m的取值范围，使得对直线:y=4x+m，椭圆C上有不同两点关于对称。
分析:本题涉及到圆锥曲线存在动弦被直线垂直平分问题，也笼统地简称为对称问题，如果圆锥曲线上存在A、B两点关于直线对，则线段AB的中点在直线上，且kAB·kL=-1，这两个性质是解决对称问题的主要依据。
例6.在直角坐标系平面内，有一个正方形ABCD，边AB在直线y=x+4上，顶点C、D在抛物线y2=x上，求正方形ABCD的面积。(18或 50)
分析:本题涉及到直线和圆锥曲线上的点所构成图形的面积，这类问题综合性较强，往往需要求弦长、求距离、求角。
3.解几中最值的解题途径。
(1)定义法——圆锥曲线的定义刻画了动点与定点（或定直线）的距离之间的定量关系，利用这些定量关系，可以将某些动态问题置于静态来考查，从而获得解题途径。
例1.设AB为过椭圆中心的弦,F1为左焦点，求△ABF1的最大面积。(12)
例2.在抛物线y2=16x内有一点G(4,4),抛物线的焦点为F，若以F,G为焦点作一个抛物线相交并且长轴最短的椭圆，求此椭圆方程。()
(2)图形性质法——平面几何和解析几何密切相关,灵活地运用平面几何中的图形性质,往往可以使问题化繁为简.
例3.已知平面上两点A(4,1)和B(0,4),在直线l:3x-y-1=0上找一点M,使|MA|-|MB|最大,求点M的
坐标。( (2 ,5) )
例4.已知F2为双曲线的右焦点,P为双曲线上一点，A(4,1),求|PA|+|PF2|的最小值和 的最大值。( )
(3)代数法——解析几何的基本思想是用代数方法研究几何问题,那么在研究解析几何的最值问题时,也必然应当使用代数的相关知识和方法.
例5.设抛物线y2=8x的弦AB的方程为x-y-8=0，问点C位于抛物线的弧AOB上何处时，内接△ABC的面积最大。( C(2, 4) )
例6.定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点 M的坐标。( , (,±) )
解几解题策略(四)
(4)三角法——由于直线、圆、椭圆的参数方程都是三角形式，因此求与它们有关的最值时，可以利用角参数，把问题转化为三角函数的最值。
例7.设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，e =，已知点P(0, )到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标。
3求轨迹方程和常用方法——根据曲线的几何性质写出曲线的方程，既是解几的重点，也是高考命题的热点。一方面求轨迹方程常常涉及到代数、三角、几何等方面的知识，有一定综合性难度；另一方面求轨迹方程又有固定可循的解法，只要平时全面地进行熟练，高考时就可以从此类题目多得分，而避免失分。
求轨迹方程的一般步骤：建系－设点－列式－代换－化简－证明（通常可省略）
几种常用方法：
(1)直线法——由生成轨迹的几何条件和图形性质，列出等式，然后代入点的坐标，直接得到两线一动点坐标所满足的轨迹方程。
例1.试求与定圆x2+y2=1及定直线x=5都相切的动圆圆心的轨迹方程。
(2)定义法——如题设条件中出现到定点与定直线的距离之比或到两定点的距离之和或差为定值等条件，可利用圆锥曲线求出轨迹方程。
例2.求经过原点,且以F1(2,0)为它的一个焦点,长轴长为6的椭圆中心的轨迹方程。
(3)转移法——当动点P(x,y)依赖于某已知曲线上的另一个动点Q(x’,y’)而运动，且Q的坐标可用P的坐标表示出来时,利用Q点在已知曲线上，就可以将P点转移到已知曲线上,从而求得P点的轨迹方程。常用转移策略有中点及定比分点的坐标公式、三角形重心坐标公式，也可以利用对称性进行转移。
例3.已知抛物线y2=x+1，定点A(3,1),B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上,且有BP:PA=1:2。当点B在抛物线上变动时,求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线。(x =y2-y+)
(4)交轨法——如果动点是两条动曲线的交点，可以变换两曲线方程直线求出交点的轨迹方程或解方程组求出交点的参数方程，再化为普通方程。
例4.自抛物线y2=2px上任一点M，向其准线l上引垂线，垂足为Q，抛物线的顶点为O，焦点为F，如果OM与FQ交于点R，求动点R的轨迹方程。( 2x2+y2-px=0 (0≤x<) )
(5)参数法——根据给定的轨迹条件，用另一个变量（参数）分别表示动点坐标，x,y，从而间接地把x,y联系起来，得到轨迹的参数方程，消去参数，则得到轨迹的普通方程。
例5.已知两点P(-2,2),Q(0,2)以及一直线l:y=x，设长为的线段AB在直线l上移动，求直线PA和QB的交点M ( (y+1)2-(x+1)2=8 )
例6.点A(3, 0)是圆x2+y2=9上一定点,在圆上另取两点B、C,使∠BAC=,求△ABC的重心M的轨迹方程。

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