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2024-2025学年三年级数学下册培优精练「北师大版」
第三单元乘法·计算篇【十五大考点】
【第一篇】专题解读篇
专题名称 第三单元乘法·计算篇
专题内容 本专题以两位数乘两位数的计算为主，包括两位数乘两位数乘法的口算、估算和笔算，以及其他典型问题。
总体评价
讲解建议 本专题考察多以计算为主，建议作为本章核心内容进行讲解。
考点数量 十五个考点。
【第二篇】目录导航篇
【考点一】口算乘法其一：基础口算 4
【考点二】口算乘法其二：拆分与速算 4
【考点三】笔算乘法其一：两位数乘两位数的不进位笔算乘法 5
【考点四】笔算乘法其二：两位数乘两位数的进位笔算乘法 7
【考点五】笔算乘法其三：两位数乘两位数，乘数末尾有0的笔算乘法 8
【考点六】估算乘法 9
【考点七】乘法竖式的意义 10
【考点八】判断积的位数和乘数的最大值 12
【考点九】判断积末尾的0 12
【考点十】乘积的最值问题 13
【考点十一】寻找最大值 14
【考点十二】错中求解（错看问题） 14
【考点十三】算式之间的大小比较 15
【考点十四】思维拓展其一：探究算式规律 16
【考点十五】思维拓展其二：乘法算式谜 16
【第三篇】典型例题篇
【考点一】口算乘法其一：基础口算。
【方法点拨】
1. 两位数乘一位数的口算。
先把两位数拆分成一个整十数和一个一位数，再分别与一位数相乘，最后把两次乘得的积相加。
2. 几百几十数乘一位数的口算。
可以先用一位数乘几百几十数0前面的数，再在所得的积的末尾添上1个0，也可以把几百几十数分成整百数和整十数进行口算。
3. 两位数乘整十、整百数的口算。
先把整十、整百数0前面的数与两位数相乘，计算出积后，再看整十、整百数的末尾有几个0，就在积的末尾添上几个0。
【典型例题】
口算。
18×4 = 250×3 = 35×20 = 120×40 =
【对应练习1】
口算。
22×5 = 170×4 = 14×30 = 150×60 =
【对应练习2】
口算。
27×3 = 360×2 = 45×40 = 200×50 =
【对应练习3】
口算。
19×6 = 480×5 = 28×50 = 110×30 =
【考点二】口算乘法其二：拆分与速算。
【方法点拨】
1. 两位数乘两位数的口算乘法。
将两位数拆成整十数和一位数，分别与另一个两位数相乘后相加，例：23×12 = (20×12) + (3×12) = 240 + 36 = 276
2. 速算乘法口诀。
（1）首同末合十（头同尾补十）。
规则：首位×(首位+1)作前两位，尾数相乘作后两位。
例：76×74 = 7×(7+1)作前两位得56，6×4作后两位得24，结果为5624。
（2）尾同首合十（尾同头补十）。
规则：首位相乘加尾数作前两位，尾数相乘作后两位。
例：34×74 = (3×7+4)作前两位得25，4×4作后两位16，结果为2516。
（3）与11相乘。
口诀：首尾不动，中间之和下拉，进位处理。
例：23×11 = 2(2+3)3 = 253。
【典型例题】
口算。（首同末合十）
34×36 = 53×57 = 68×62 = 75×75 =
【对应练习1】
口算。（尾同首合十）
24×84 = 37×77 = 42×62 = 19×99 =
【对应练习2】
口算。（与11相乘）
32×11 = 45×11 = 63×11 = 27×11 =
【对应练习3】
口算。
25×16 = 88×25 = 44×15 = 12×75 =
【考点三】笔算乘法其一：两位数乘两位数的不进位笔算乘法。
【方法点拨】
1. 相同数位对齐，先用第二个乘数个位上的数去乘第一个乘数各数位上的数，所得的积的未位要和第二个乘数的个位对齐；
2. 再用第二个乘数十位上的数去乘第一个乘数各数位上的数，所得的积的末位要和第二个乘数的十位对齐；
3. 最后把两次乘得的积相加。
注意：用第二个乘数哪一位上的数去乘第一个乘数，积的末位就要和哪一位对齐。
【典型例题】
列竖式计算。
39×11= 　 　31×31= 23×33=
【对应练习1】
列竖式计算。
21×24=　　　　　　12×23=　　　　　　11×34=
【对应练习2】
列竖式计算。

【对应练习3】
列竖式计算。
38×11＝ 33×23＝ 42×21＝ 21×24＝
【考点四】笔算乘法其二：两位数乘两位数的进位笔算乘法。
【方法点拨】
1. 相同数位对齐，先用第二个乘数个位上的数去乘第一个乘数，得数的末位与乘数的个位对齐；
2. 再用第二个乘数十位上的数去乘第一个乘数，得数的末位与乘数的十位对齐，哪一位上乘得的积满几十就向前一位进几；
3. 最后把两次乘得的积相加。
注意：计算两位数乘两位数（进位）时，不要忘记加上进位数。
【典型例题】
列竖式计算。
65×34＝ 36×56＝ 92×12＝
【对应练习1】
列竖式计算。
37×48＝ 26×18＝ 38×56＝
【对应练习2】
列竖式计算。
37×24＝ 55×48＝ 29×72＝ 18×43＝
【对应练习3】
列竖式计算。
24×36＝ 27×14＝ 15×62＝ 37×19＝
63×25＝ 42×28＝ 48×31＝ 45×76＝
【考点五】笔算乘法其三：两位数乘两位数，乘数末尾有0的笔算乘法。
【方法点拨】
两位数乘两位数的笔算乘法，当乘数末尾有0时，要注意使用简便写法，把个位上的0移位，单独作为一位，再计算两位数乘一位数，最后再把末尾的0写在积的末尾。
【典型例题】
列竖式计算。
32×30= 40×53=
【对应练习1】
列竖式计算。
50×73＝ 55×60＝
【对应练习2】
列竖式计算。
63×80＝ 65×80＝
【对应练习3】
列竖式计算。
50×74＝ 48×50＝
【考点六】估算乘法。
【方法点拨】
1. 整十数近似法。
将两个两位数都看作接近的整十数，再相乘，
例：
32×28≈30×30=900（两个因数均取整十数）；
45×21≈50×20=1000（一个因数向上取整，另一个向下取整）
2. 单因数近似法。
只估计一个因数为整十数，保留另一个因数不变。
例：48×19≈48×20=960
注意：具体使用二者场景，建议在教学中结合生活案例（如购物、旅行规划）对比。
【典型例题】
1．估算39×50时，先把39看作( )，再用( )×50＝( )，所以39×50的积大约是( )。
2．估算48×19时，可以把48看作( )，把19看作( )，积大约是( )。
【对应练习1】
估算。
34×28 ≈ 47×53 ≈ 19×22 ≈ 62×37 ≈
85×76 ≈ 23×49 ≈ 51×68 ≈ 76×44 ≈
【对应练习2】
估算。
28×63 ≈ 39×41 ≈ 55×17 ≈ 91×85 ≈
14×57 ≈ 73×29 ≈ 66×38 ≈ 88×53 ≈
【对应练习3】
估算。
36×24 ≈ 22×48 ≈ 59×19 ≈ 17×53 ≈
83×28 ≈ 44×32 ≈ 75×37 ≈ 91×64 ≈
【考点七】乘法竖式的意义。
【方法点拨】
熟练掌握笔算乘法的计算法则和各部分计算关系是解决该问题的关键。
【典型例题】
竖式计算，2与3相乘得6，“6”表示的是6个( )。
【对应练习1】
下图计算12×13的竖式中，第一步对应是图( )﹔第二步对应的是图( )。
【对应练习2】
学校买了24条跳绳，每条15元。根据下面竖式计算过程填空。
(1)竖式中“60”表示买( )条跳绳的价钱。
(2)竖式中“30”表示买( )条跳绳应付( )元钱。
【对应练习3】
想一想，填一填。
学校举行广播操表演，每行13人，一共有12行，如图所示。下图箭头所指的“3”表示点子图的哪个部分，请在算式中的括号里填上相应的序号。
( )
【考点八】判断积的位数和乘数的最大值。
【方法点拨】
两位数乘两位数的乘法，积可能是三位数，也可能是四位数，具体情况需要我们进一步计算后再来判断。
【典型例题】
1. 62×39的积是( )位数；21×46的积是( )位数。
2. □5×21，要使它的积是三位数，□里最大可以填( )，要使积是四位数，□里最小可以填( )。
【对应练习1】
□5×21，要使这个算式的积是三位数，□里最大填( )，要使积是四位数，□中可以填( )。
【对应练习2】
□6×28，如果积是三位数，□里最大填( )；如果积是四位数，□里最小填( )。
【对应练习3】
36×7的积的个位上的数字是( )，要使它的积是三位数，最大可以是( )，要使它的积是四位数，最小可以是( )。
【考点九】判断积末尾的0。
【方法点拨】
两位数乘两位数的乘法，两个乘数的个位有0或者个位与个位相乘能够得到整十的数，那么积的末尾至少有一个0，具体情况需要我们进一步计算后再来判断。【典型例题】
1. 30×20的积的末尾有( )个0。
2. 25×8□的积是( )位数，要使积的末尾有2个0，□里最大能填( )，当□里填( )时，积的末尾有3个0。
【对应练习1】
25×20的积的末尾有( )个0
【对应练习2】
15×60的积的末尾有( )个0；
【对应练习3】
45×80的积的末尾有( )个0。
【考点十】乘积的最值问题。
【方法点拨】
1. 乘积最小。
要使得这两个数的乘积最小，则这个两位数的组合要尽可能小，也就是说这个数的十位上数字越小，其值就越小，在满足十位小的时候，个位尽可能也小。
2. 乘积最大。
两位数乘两位数，要使得乘积最大，则这个两位数的组合要尽可能大，也就是说这个数的十位上数字越大，其值就越大，在满足十位大的时候，个位尽可能也大。
【典型例题】
用2、1、4、7这四个数字组成两个两位数，要使得这两个数的乘积最大，这两个数分别是( )和( )。
【对应练习1】
用2、5、7、9四个数字各一次，组成两个两位数，乘积最大是( )，最小是( )。
【对应练习2】
用3、1、6、8这四个数字组成两个两位数，要使得这两个数的乘积最小，这两个数应该是( )和( )；要使得这两个数的乘积最大，这两个数应该是( )和( )。
【对应练习3】
用9、6、5、3这四个数字按要求编成□□×□□的算式。（每个算式中每个数字只用一次）
(1)积末尾有0的算式为( )和( )。
(2)积最大的算式为( )，积最小的算式为( )。
【考点十一】寻找最大值。
【方法点拨】
在括号里填入一个最大数，只要使它们的积满足条件即可，因数×因数=积，因此可将小于符号后面的数看成一个接近的整百整十数或整百数(刚好是已知的因数与另一个未知的因数的积)，再根据估算法估出括号里的大概值，最后通过精确计算即可解答。
【典型例题】
括号最大填几？
( ) ( )
【对应练习1】
下边括号里能填的最大自然数是几？
( )×24＜130 43×( )＜302
【对应练习2】
括号里最大能填几？
( ) ( )
( ) ( )
【对应练习3】
括号里最大能填几？
8×( )＜70 40×( )＜248
31×( )＜350 32×( )＜58×32
【考点十二】错中求解（错看问题）。
【方法点拨】
一个乘数错看，但是另一个乘数是不变的，用多出的结果除以错看的数与正确的数之间的差，就可以计算出第一个乘数，最后再按照正确乘数计算出正确结果。
【典型例题】
聪聪在计算一道两位数乘两位数的题时，把第二个乘数34错看成了43，这样计算出的结果比原来多了414，这道题的正确结果是( )。
【对应练习1】
芳芳在计算一道两位数乘两位数的题时，把第二个乘数45错看成了54，这样计算出的结果比原来多了270。这道题的正确结果是( )。
【对应练习2】
小明在做两位数乘两位数的计算题时，把第二个乘数11错看成了17，结果比正确的积多了78，正确的积是( )。
【对应练习3】
静静在计算一道两位数乘两位数的题时，把第二个乘数12错看成了21，这样计算出的结果比原来多了405，这道题的正确结果是( )
【考点十三】算式之间的大小比较。
【方法点拨】
乘法算式中的大小比较问题，先计算出各算式的得数，再比较大小。
【典型例题】
在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
15×27( )28×17 30×27( )270×3
25×23( )23×18 32×8( )16×16
【对应练习1】
在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
29×10( )300 30×50( )1500
31×13( )14×41 28×30( )56×15
【对应练习2】
在括号里填上“＜”“＞”或“＝”。
24×40( )42×40 50×30( )30×50 19×20( )14×25
50×26( )260×5 0×78( )0÷85 35×20( )7000
【对应练习3】
在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
569÷9( )70 355÷5( )71 47×52( )2500
50×30( )15×70 65×27( )27×86 10×32( )20×16
【考点十四】思维拓展其一：探究算式规律。
【方法点拨】
观察算式与积之间的特点，找出二者之间的规律。
【典型例题1】
找规律，写得数。
2＋3＋4＋5＋6＝（2＋6）×5÷2＝8×5÷2＝40÷2＝20；
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＝( )。
【对应练习1】
你认真观察整式，发现规律，然后直接写出下面两道题的得数。
35×11＝( ) 79×11＝( )
【对应练习2】
找规律、写得数。



( ) ( )
( ) ( )
【考点十五】思维拓展其二：乘法算式谜。
【方法点拨】
两位数乘两位数的乘法算式谜，相对来说较困难，需要熟练掌握笔算方法并对乘法口诀敏感。
【典型例题】
在里填上合适的数，使竖式成立。
【对应练习1】
在□里填上合适的数字。
【对应练习2】
在方框里填上合适的数。
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第三单元乘法·计算篇【十五大考点】
【第一篇】专题解读篇
专题名称 第三单元乘法·计算篇
专题内容 本专题以两位数乘两位数的计算为主，包括两位数乘两位数乘法的口算、估算和笔算，以及其他典型问题。
总体评价
讲解建议 本专题考察多以计算为主，建议作为本章核心内容进行讲解。
考点数量 十五个考点。
【第二篇】目录导航篇
【考点一】口算乘法其一：基础口算 4
【考点二】口算乘法其二：拆分与速算 5
【考点三】笔算乘法其一：两位数乘两位数的不进位笔算乘法 6
【考点四】笔算乘法其二：两位数乘两位数的进位笔算乘法 8
【考点五】笔算乘法其三：两位数乘两位数，乘数末尾有0的笔算乘法 11
【考点六】估算乘法 11
【考点七】乘法竖式的意义 13
【考点八】判断积的位数和乘数的最大值 15
【考点九】判断积末尾的0 17
【考点十】乘积的最值问题 18
【考点十一】寻找最大值 21
【考点十二】错中求解（错看问题） 23
【考点十三】算式之间的大小比较 25
【考点十四】思维拓展其一：探究算式规律 28
【考点十五】思维拓展其二：乘法算式谜 29
【第三篇】典型例题篇
【考点一】口算乘法其一：基础口算。
【方法点拨】
1. 两位数乘一位数的口算。
先把两位数拆分成一个整十数和一个一位数，再分别与一位数相乘，最后把两次乘得的积相加。
2. 几百几十数乘一位数的口算。
可以先用一位数乘几百几十数0前面的数，再在所得的积的末尾添上1个0，也可以把几百几十数分成整百数和整十数进行口算。
3. 两位数乘整十、整百数的口算。
先把整十、整百数0前面的数与两位数相乘，计算出积后，再看整十、整百数的末尾有几个0，就在积的末尾添上几个0。
【典型例题】
口算。
18×4 = 250×3 = 35×20 = 120×40 =
解析：72；750；700；4800
【对应练习1】
口算。
22×5 = 170×4 = 14×30 = 150×60 =
解析：110；680；420；9000
【对应练习2】
口算。
27×3 = 360×2 = 45×40 = 200×50 =
解析：81；720；1800；10000
【对应练习3】
口算。
19×6 = 480×5 = 28×50 = 110×30 =
解析：114；2400；1400；3300
【考点二】口算乘法其二：拆分与速算。
【方法点拨】
1. 两位数乘两位数的口算乘法。
将两位数拆成整十数和一位数，分别与另一个两位数相乘后相加，例：23×12 = (20×12) + (3×12) = 240 + 36 = 276
2. 速算乘法口诀。
（1）首同末合十（头同尾补十）。
规则：首位×(首位+1)作前两位，尾数相乘作后两位。
例：76×74 = 7×(7+1)作前两位得56，6×4作后两位得24，结果为5624。
（2）尾同首合十（尾同头补十）。
规则：首位相乘加尾数作前两位，尾数相乘作后两位。
例：34×74 = (3×7+4)作前两位得25，4×4作后两位16，结果为2516。
（3）与11相乘。
口诀：首尾不动，中间之和下拉，进位处理。
例：23×11 = 2(2+3)3 = 253。
【典型例题】
口算。（首同末合十）
34×36 = 53×57 = 68×62 = 75×75 =
解析：1224；3021；4216；5625
【对应练习1】
口算。（尾同首合十）
24×84 = 37×77 = 42×62 = 19×99 =
解析：2016；2849；2604；1881
【对应练习2】
口算。（与11相乘）
32×11 = 45×11 = 63×11 = 27×11 =
解析：352；495；693；297
【对应练习3】
口算。
25×16 = 88×25 = 44×15 = 12×75 =
解析：
400（25×4×4）；2200（88×100÷4）；660（44×10+44×5）；900（12×100－12×25）
【考点三】笔算乘法其一：两位数乘两位数的不进位笔算乘法。
【方法点拨】
1. 相同数位对齐，先用第二个乘数个位上的数去乘第一个乘数各数位上的数，所得的积的未位要和第二个乘数的个位对齐；
2. 再用第二个乘数十位上的数去乘第一个乘数各数位上的数，所得的积的末位要和第二个乘数的十位对齐；
3. 最后把两次乘得的积相加。
注意：用第二个乘数哪一位上的数去乘第一个乘数，积的末位就要和哪一位对齐。
【典型例题】
列竖式计算。
39×11= 　　31×31= 23×33=
【答案】429；961；759
【分析】两位数乘两位数的竖式计算方法：先用下面因数个位的数去乘上面因数，得数的末位和下面因数的个位对齐，再用下面因数十位上的数去乘上面的因数，得数的末位和下面因数的十位对齐，然后把两次乘得的数加起来；据此计算。
【详解】39×11＝429 　　31×31＝961 23×33＝759

【对应练习1】
列竖式计算。
21×24=　　　　　　12×23=　　　　　　11×34=
【答案】504；276；374
【分析】根据两位数乘两位数的笔算方法：先用第二个因数个位上的数与第一个因数相乘，乘得的积的末位与个位对齐；再用第二个因数十位上的数与第一个因数相乘，乘得的积的末位与十位对齐，最后把两次乘得的积相加，即可解答。
【详解】21×24＝504 12×23＝276 11×34＝374

【对应练习2】
列竖式计算。

【答案】528；416；462；483
【分析】两位数乘两位数，先用第二个乘数的个位上的数去乘第一个乘数，得数的末尾和个位对齐，再用第二个乘数的十位去乘第一个乘数，得数的末尾和十位对齐，然后将两次的积相加即可，据此解答。
【详解】

【对应练习3】
列竖式计算。
38×11＝ 33×23＝ 42×21＝ 21×24＝
【答案】418；759；882；504
【分析】笔算两位数乘两位数的进位乘法时，用第二个乘数每一位上的数分别去乘第一个乘数，用哪一位上的数去乘，积的末尾就和那一位对齐，哪一位乘得的积满几十，就要向前一位进几，再把两次乘得的积相加，据此解题即可。
【详解】38×11＝418 33×23＝759 42×21＝882 21×24＝504

【考点四】笔算乘法其二：两位数乘两位数的进位笔算乘法。
【方法点拨】
1. 相同数位对齐，先用第二个乘数个位上的数去乘第一个乘数，得数的末位与乘数的个位对齐；
2. 再用第二个乘数十位上的数去乘第一个乘数，得数的末位与乘数的十位对齐，哪一位上乘得的积满几十就向前一位进几；
3. 最后把两次乘得的积相加。
注意：计算两位数乘两位数（进位）时，不要忘记加上进位数。
【典型例题】
列竖式计算。
65×34＝ 36×56＝ 92×12＝
【答案】2210；2016；1104
【分析】两位数乘两位数时，相同数位要对齐。先用第二个因数个位上的数分别与第一个因数每一位数相乘， 再用第二个因数十位上的数分别与第一个因数每一位数相乘，乘得结果要与十位对齐， 然后两个结果相加就得到两位数乘两位数的结果。
【详解】65×34＝2210 36×56＝2016 92×12＝1104

【对应练习1】
列竖式计算。
37×48＝ 26×18＝ 38×56＝
【答案】1776；468；2128
【分析】两位数乘两位数的竖式计算方法：先用下面因数个位的数去乘上面因数，得数的末位和下面因数的个位对齐，再用下面因数十位上的数去乘上面的因数，得数的末位和下面因数的十位对齐，然后把两次乘得的数加起来；据此计算。
【详解】37×48＝1776 26×18＝468 38×56＝2128

【对应练习2】
列竖式计算。
37×24＝ 55×48＝ 29×72＝ 18×43＝
【答案】888；2640；2088；774
【分析】两位数乘两位数的计算方法：先是用第二个因数的个位上的数与第一个因数相乘，所得的积末尾与个位对齐；接着用第二个因数的十位上的数与第一个因数相乘，所得的积末尾与十位对齐，最后把两次乘得的积相加；据此解答。
【详解】37×24＝ 888 55×48＝ 2640 29×72＝2088 18×43＝774

【对应练习3】
列竖式计算。
24×36＝ 27×14＝ 15×62＝ 37×19＝
63×25＝ 42×28＝ 48×31＝ 45×76＝
【答案】864；378；930；703
1575；1176；1488；3420
【分析】两位数乘两位数，把一个两位数的个位数字分别与另一个两位数的个位、十位数字相乘，并将乘得结果与乘数的个位数字对齐，再把两位数的十位数字分别与另一个两位数的个位、十位数字相乘，并将乘得结果的末位数字与乘数的十位数字对齐，满10时向前一位进1，最后将两次乘得的结果相加即可。
【详解】24×36＝864 27×14＝378
15×62＝930 37×19＝703

63×25＝1575 42×28＝1176
48×31＝1488 45×76＝3420
【考点五】笔算乘法其三：两位数乘两位数，乘数末尾有0的笔算乘法。
【方法点拨】
两位数乘两位数的笔算乘法，当乘数末尾有0时，要注意使用简便写法，把个位上的0移位，单独作为一位，再计算两位数乘一位数，最后再把末尾的0写在积的末尾。
【典型例题】
列竖式计算。
32×30= 40×53=
解析：960；2120
【对应练习1】
列竖式计算。
50×73＝ 55×60＝
解析：3650；3300
【对应练习2】
列竖式计算。
63×80＝ 65×80＝
解析：5040；5200
【对应练习3】
列竖式计算。
50×74＝ 48×50＝
解析：3700；2400
【考点六】估算乘法。
【方法点拨】
1. 整十数近似法。
将两个两位数都看作接近的整十数，再相乘，
例：
32×28≈30×30=900（两个因数均取整十数）；
45×21≈50×20=1000（一个因数向上取整，另一个向下取整）
2. 单因数近似法。
只估计一个因数为整十数，保留另一个因数不变。
例：48×19≈48×20=960
注意：具体使用二者场景，建议在教学中结合生活案例（如购物、旅行规划）对比。
【典型例题】
1．估算39×50时，先把39看作( )，再用( )×50＝( )，所以39×50的积大约是( )。
【答案】 40 40 2000 2000
【分析】乘法的估算，一般要根据“四舍五入”法把因数看作是整十、整百、整千……的数来进行计算，然后按表内乘法的计算方法计算，再在乘积的末尾添上相应的0即可。
【详解】39×50≈40×50＝2000
估算39×50时，先把39看作40，再用40×50＝2000，所以39×50的积大约是2000。
2．估算48×19时，可以把48看作( )，把19看作( )，积大约是( )。
【答案】 50 20 1000
【分析】两位数乘两位数的估算，把这个两位数看作最接近它的整十数，再计算，此题中48最接近50，将其看作50，而19最接近20，将其看作20，再计算出50与20的积即可。
【详解】48×19≈50×20＝1000
估算48×19时，可以把48看作50，把19看作20，积大约是1000。
【对应练习1】
估算。
34×28 ≈ 47×53 ≈ 19×22 ≈ 62×37 ≈
85×76 ≈ 23×49 ≈ 51×68 ≈ 76×44 ≈
解析：900；2500；400；2400；7200；1000；3500；3200
【对应练习2】
估算。
28×63 ≈ 39×41 ≈ 55×17 ≈ 91×85 ≈
14×57 ≈ 73×29 ≈ 66×38 ≈ 88×53 ≈
解析：1800；1600；1000；8100；800；2100；2800；4500
【对应练习3】
估算。
36×24 ≈ 22×48 ≈ 59×19 ≈ 17×53 ≈
83×28 ≈ 44×32 ≈ 75×37 ≈ 91×64 ≈
解析：720；960；1200；900；2400；1400；3000；5400
【考点七】乘法竖式的意义。
【方法点拨】
熟练掌握笔算乘法的计算法则和各部分计算关系是解决该问题的关键。
【典型例题】
竖式计算，2与3相乘得6，“6”表示的是6个( )。
【答案】百
【分析】
竖式计算，3在十位上，表示3个10，2在十位上，表示2个10，3与2相乘得6，表示3个10乘2个10，即30×20＝600，6在百位上，“6”表示6个百，据此解答即可。
【详解】
根据分析可知，竖式计算时，3与2相乘得6，“6”表示的是6个百。
【对应练习1】
下图计算12×13的竖式中，第一步对应是图( )﹔第二步对应的是图( )。
【答案】 B A
【分析】两位数乘两位数，竖式计算法则：相同数位对齐，从个位乘起；先用第二个乘数个位上的数去乘第一个乘数，得数的末位和第二个乘数的个位对齐；再用第二个乘数十位上的数去乘第一个乘数，得数的末位和第二个乘数的十位对齐；然后把两次乘得的积加起来。
第一步表示12×3＝36，图B中有12列圆，每列3个圆，那么图B中一共12×3＝36（个）圆。第二步表示12×10＝120，图A中有12列圆，每列10个圆，那么图A中一共12×10＝120（个）圆，据此解答即可。
【详解】图B：
12×3＝36（个）
图A：
12×10＝120（个）
所以计算12×13的竖式中，第一步对应是图B，第二步对应的是图A。
【对应练习2】
学校买了24条跳绳，每条15元。根据下面竖式计算过程填空。
(1)竖式中“60”表示买( )条跳绳的价钱。
(2)竖式中“30”表示买( )条跳绳应付( )元钱。
【答案】(1)4
(2) 20 300
【分析】（1）竖式中的60是15与24的个位数字4相乘的积，1条跳绳15元，所以15乘4求的是4条跳绳的总价。
（2）竖式中的30是15与24的十位数字2相乘的积，这个30表示30个十，即买20根跳绳需要300元。
【详解】（1）竖式中“60”表示买4条跳绳的价钱。
（2）竖式中“30”表示买20条跳绳应付300元钱。
【对应练习3】
想一想，填一填。
学校举行广播操表演，每行13人，一共有12行，如图所示。下图箭头所指的“3”表示点子图的哪个部分，请在算式中的括号里填上相应的序号。
( )
【答案】②
【分析】用每行人数乘行数，求出总人数。计算13×12时，用12十位上的1乘13，表示1个十乘13，得到13个十，即130。方框圈出来的数就表示3个十。①表示1个百，②表示3个十，③表示2个十，④表示6个一。
【详解】由分析得：
【考点八】判断积的位数和乘数的最大值。
【方法点拨】
两位数乘两位数的乘法，积可能是三位数，也可能是四位数，具体情况需要我们进一步计算后再来判断。
【典型例题】
1. 62×39的积是( )位数；21×46的积是( )位数。
解析：四 三
2. □5×21，要使它的积是三位数，□里最大可以填( )，要使积是四位数，□里最小可以填( )。
【答案】 4 5
【分析】根据题意可知，5×21＝105，要使□5×21的积是三位数，十位上的数乘21的积就要是两位数，所以□里最大可以填4；要使积是四位数，十位上的数乘21的积就要是三位数，所以□里最小可以填5。
【详解】□5×21，要使它的积是三位数，□里最大可以填（4），要使积是四位数，□里最小可以填（5）。
【对应练习1】
□5×21，要使这个算式的积是三位数，□里最大填( )，要使积是四位数，□中可以填( )。
【答案】 4 5、6、7、8、9
【分析】50×20＝1000，由此计算出45×21，55×21的积，进而确定□的值即可。
【详解】45×21＝945
55×21＝1155
945是三位数，1155是四位数，所以，要使□5×21的积是三位数，□里最大填4，要使积是四位数，□中最小填5，也就是可以填5、6、7、8、9。
【对应练习2】
□6×28，如果积是三位数，□里最大填( )；如果积是四位数，□里最小填( )。
【答案】 2 3
【分析】□6×28，如果积是三位数，28十位上的2乘□6十位上数的积加上进上来的数不满十；如果积是四位数，28十位上的2乘□6十位上数的积加上进上来的数满十。把28看成30，根据3的乘法口诀三三得九，试算36×28，如果积是四位数，再试算26×28。
【详解】36×28＝1008，积是四位数。
26×28＝728，积是三位数。
□6×28，如果积是三位数，□里最大填2；如果积是四位数，□里最小填3。
【对应练习3】
36×7的积的个位上的数字是( )，要使它的积是三位数，最大可以是( )，要使它的积是四位数，最小可以是( )。
【答案】 2 2 3
【分析】
根据题意，用第一个乘数个位上的数乘第二个乘数个位上的数，即可求出积的个位上的数字是几；里分别填入1、2、3、4……与36相乘，看里最大填几时，它们的积是三位数，最小填几时，它的积是四位数，据此解答即可。
【详解】6×7＝42
所以，积的个位上的数字是2，
36×17＝612
36×27＝972
36×37＝1332
36×7的积的个位上的数字是2，要使它的积是三位数，最大可以是2，要使它的积是四位数，最小可以是3。
【考点九】判断积末尾的0。
【方法点拨】
两位数乘两位数的乘法，两个乘数的个位有0或者个位与个位相乘能够得到整十的数，那么积的末尾至少有一个0，具体情况需要我们进一步计算后再来判断。【典型例题】
1. 30×20的积的末尾有( )个0。
解析：2
2. 25×8□的积是( )位数，要使积的末尾有2个0，□里最大能填( )，当□里填( )时，积的末尾有3个0。
【答案】 四 8 0
【分析】（1）25的十位上的数是2，表示2个十，8□十位上的数是8，表示8个十，根据两位数乘两位数的乘法算理可知，20×80＝1600，积必定是四位数；
（2）要使积的末尾有2个0，也就是□里的数与25个位的5相乘结果带0，结合5的表内乘法，可知5×2＝10，5×4＝20，5×6＝30，5×8＝40，这些数都满足条件使得与25个位的5相乘结果带0，但是要满足积的末尾有2个0，还需要代入一一验证，找出符合条件的最大的数即可；
（3）根据两位数乘两位数的乘法算理可知，25与十位上的8相乘，得到的是200个十，也就是2000，要满足积的末尾有3个0，则意味着8□的个位上的数与25相乘结果为0，这样才能满足，据此解答即可。
【详解】（1）25的十位上的数是2，表示2个十，8□十位上的数是8，表示8个十，20×80＝1600，积必定是四位数；
（2）要使积的末尾有2个0，也就是□里的数与25个位的5相乘结果带0，结合5的表内乘法，可知5×2＝10，5×4＝20，5×6＝30，5×8＝40，进一步代入验证，发现25×82＝2050，25×84＝2100，25×86＝2150，25×88＝2200，其中符合积的末尾是2个0的数只有84和88，也就是方框里可以填4和8，其中最大是8；
（3）25与十位上的8相乘，得到的是200个十，也就是2000，要满足积的末尾有3个0，则意味着8□的个位上的数与25相乘结果为0，只有0与任何数相乘为0，故方框里填0。
【对应练习1】
25×20的积的末尾有( )个0
解析：2
【对应练习2】
15×60的积的末尾有( )个0；
解析：两
【对应练习3】
45×80的积的末尾有( )个0。
解析：两
【考点十】乘积的最值问题。
【方法点拨】
1. 乘积最小。
要使得这两个数的乘积最小，则这个两位数的组合要尽可能小，也就是说这个数的十位上数字越小，其值就越小，在满足十位小的时候，个位尽可能也小。
2. 乘积最大。
两位数乘两位数,要使得乘积最大，则这个两位数的组合要尽可能大，也就是说这个数的十位上数字越大，其值就越大，在满足十位大的时候，个位尽可能也大。
【典型例题】
用2、1、4、7这四个数字组成两个两位数，要使得这两个数的乘积最大，这两个数分别是( )和( )。
【答案】 71 42
【分析】根据两位数乘两位数的计算法则可知：要使乘积最大，则要使组成的这两个两位数的差最小，因此用最大的一个数与最小的一个数组成一个两位数，用第二大的一个数与第二小的数组成一个两位数，然后再将这两个两位数相乘，依此解答即可。
【详解】7＞4＞2＞1，71×42＝2982
因此用2、1、4、7这四个数字组成两个两位数，要使得这两个数的乘积最大，这两个数分别是71和42。
【对应练习1】
用2、5、7、9四个数字各一次，组成两个两位数，乘积最大是( )，最小是( )。
【答案】 6900 1593
【分析】要让这两个两位数的乘积最大，首先要让这两个数都尽可能大，那就要把大数字放在高位，小数字放在低位，即7、9分别放在两个数的十位，2、5分别放在两个数的个位；可以组出两种情况：95×72＝6840和92×75＝6900，可以发现92和75的差更小乘积更大；
要让乘积最小，首先要让这两个数尽可能小，因此2、5在十位，7、9在个位；可以组出两种情况：27×59＝1593和29×57＝1653，因为和确定时，差越大则乘积越小，因此可以确定27×59的乘积更小；据此解答。
【详解】根据分析：95×72＝6840，92×75＝6900，6840＜6900，所以乘积最大是6900；27×59＝1593，29×57＝1653，1593＜1653，所以乘积最小是1593。
【对应练习2】
用3、1、6、8这四个数字组成两个两位数，要使得这两个数的乘积最小，这两个数应该是( )和( )；要使得这两个数的乘积最大，这两个数应该是( )和( )。
【答案】 16 38 61 83
【分析】要使得这两个数的乘积最小，则这个两位数的组合要尽可能小。也就是说这个数的十位上数字越小，其值就越小，在满足十位小的时候，个位尽可能也小，据此先确定这两个数的十位，再确定个位。两位数乘两位数，要使得乘积最大，则这个两位数的组合要尽可能大。也就是说这个数的十位上数字越大，其值就越大，在满足十位大的时候，个位尽可能也大，据此先确定这两个数的十位，再确定个位。据此解答即可。
【详解】用3、1、6、8这四个数字组成两个两位数，要使得这两个数的乘积最小，先确定这两个两位数的十位，可以发现这里最小的数是1和3，则这两个两位数的十位分别是1和3，剩下的6和8就分别与之进行搭配，可以得出16×38或18×36，分别计算其数值，可以得出：16×38＝608，18×36＝648，608＜648，则这两个两位数应该是16和38；
要使得这两个数的乘积最大，先确定这两个两位数的十位，可以发现这里最大的数是6和8，则这两个两位数的十位分别是6和8，剩下的1和3就分别与之进行搭配，可以得出61×83或81×63，分别计算其数值，可以得出：61×83＝5063，81×63＝5103，5063＜5103，则这两个两位数应该是61和83。
【对应练习3】
用9、6、5、3这四个数字按要求编成□□×□□的算式。（每个算式中每个数字只用一次）
(1)积末尾有0的算式为( )和( )。
(2)积最大的算式为( )，积最小的算式为( )。
【答案】(1) 96×35 95×36
(2) 93×65 36×59
【分析】（1）由题意可得，积末尾有0的算式，以上数字在个位上相乘能够得到末尾是0的组合只有：两个数的个位分别是5和6时，计算后即可得答案；
（2）由题意可得，要想积最大，那么两个数的十位上的数字必须是这四个数中最大的两个，所以必然是9十几和6十几，所以可能的组合有93×65和95×63，计算后即可得答案；
由题意可得，要想积最小，那么两个数的十位上的数字必须是这四个数中最小的两个，所以必然是3十几和5十几，所以可能的组合有36×59和39×56，计算后即可得答案。
【详解】（1）96×35＝3360
95×36＝3420
所以积末尾有0的算式为96×35和95×36。
（2）93×65＝6045
95×63＝5985
6045＞5985
36×59＝2124
39×56＝2184
2124＜2184
所以积最大的算式为93×65，积最小的算式为36×59。
【考点十一】寻找最大值。
【方法点拨】
在括号里填入一个最大数，只要使它们的积满足条件即可，因数×因数=积，因此可将小于符号后面的数看成一个接近的整百整十数或整百数(刚好是已知的因数与另一个未知的因数的积)，再根据估算法估出括号里的大概值，最后通过精确计算即可解答。
【典型例题】
括号最大填几？
( ) ( )
【答案】 20 9
【分析】①将29看作30，计算发现用30乘20等于600，试算一下（20×29）和（21×29）的结果，找出小于600的算式；
②将21看作20，计算发现用20乘10等于200，试算一下（10×21）和（9×21）的结果，找出小于200的算式；据此解答。
【详解】根据分析：
①20×29＝580，21×29＝609，所以20×29＜600；
②10×21＝210，9×21＝189，所以9×21＜200。
【点睛】本题主要考查了整数的计算，熟练掌握相关计算方法是解决本题的关键。
【对应练习1】
下边括号里能填的最大自然数是几？
( )×24＜130 43×( )＜302
【答案】 5 7
【分析】因为5×24＝120，120＜130，再用6与24相乘，观察所得的乘积的具体情况，再做判断；因为7×43＝301，301＜302，再用8与43相乘，观察所得的乘积的具体情况，即可判断。
【详解】根据分析可知：
5×24＝120，6×24＝144，据此可知（ ）×24＜130中，（ ）最大能填的自然数是5；
7×43＝301，8×43＝344，,据此可知43×（ ）＜302中，（ ）最大能填的自然数是7。
【点睛】熟练掌握两位数乘一位数的计算方法是解答此题的关键。
【对应练习2】
括号里最大能填几？
( ) ( )
( ) ( )
【答案】 31 57 5 14
【分析】在括号里填入一个最大数，只要使它们的积满足条件即可，因数×因数＝积，因此可将小于符号后面的数看成一个接近的整百整十数或整百数（刚好是已知的因数与另一个未知的因数的积），再根据估算法估出括号里的大概值，最后通过精确计算即可解答。
【详解】156接近150，30×5＝150，31×5＝155＜156，32×5＝160＞156，因此括号里最大填31。
463接近480，8×60＝480＞463，8×59＝472＞463，8×58＝464＞463，8×57＝456＜463，8×58＝464＞463，因此括号里最大填57。
420接近400，82接近80，5×80＝400，4×82＝328＜420，5×82＝410＜820，6×82＝492＞420，因此括号里最大填5。
225里面有15个15，15×15＝225，因此括号里的数应小于15，15×14＝210＜225，因此括号里最大填14。
【对应练习3】
括号里最大能填几？
8×( )＜70 40×( )＜248
31×( )＜350 32×( )＜58×32
【答案】 8 6 11 57
【分析】（1）8×8＝64＜70，8×9＝72＞70，所以8×（ ）＜70的括号最大能填8；
（2）40×6＝240＜248，40×7＝280＞248，所以40×（ ）＜248的括号最大能填6；
（3）31×11＝341＜350，31×12＝372＞350，所以31×（ ）＜350的括号最大能填11；
（4）一个因数（0除外）相同，另一个因数减1为括号里能填的最大数。
【详解】根据分析可知：
8×（ ）＜70的括号里最大能填8；
40×（ ）＜248的括号里最大能填6；
31×（ ）＜350的括号里最大能填11；
58－1＝57，所以32×（ ）＜58×32的括号里最大能填57。
【考点十二】错中求解（错看问题）。
【方法点拨】
一个乘数错看，但是另一个乘数是不变的，用多出的结果除以错看的数与正确的数之间的差，就可以计算出第一个乘数，最后再按照正确乘数计算出正确结果。
【典型例题】
聪聪在计算一道两位数乘两位数的题时，把第二个乘数34错看成了43，这样计算出的结果比原来多了414，这道题的正确结果是( )。
【答案】1564
【分析】把第二个乘数34错看成了43，但是第一个乘数是不变的，那么用多出的结果除以错看的数与正确的数之间的差，可以计算出第一个乘数，再乘34计算出正确结果。
【详解】根据分析：
414÷（43－34）
＝414÷9
＝46
46×34＝1564
所以这道题的正确结果是1564。
【对应练习1】
芳芳在计算一道两位数乘两位数的题时，把第二个乘数45错看成了54，这样计算出的结果比原来多了270。这道题的正确结果是( )。
【答案】1350
【分析】先用54减45，从而计算出多算另一个因数的个数，然后用270除以多算另一个因数的个数，即可计算出另一个因数，最后再用这个数乘45即可求解。
【详解】270÷（54－45）
＝270÷9
＝30
30×45＝1350
芳芳在计算一道两位数乘两位数的题时，把第二个乘数45错看成了54，这样计算出的结果比原来多了270。这道题的正确结果是1350。
【对应练习2】
小明在做两位数乘两位数的计算题时，把第二个乘数11错看成了17，结果比正确的积多了78，正确的积是( )。
【答案】143
【分析】先用17减去11计算出多算另一个乘数的个数，然后用78除以多算另一个乘数的个数即可计算出另一个乘数，最后再计算出这两个乘数的积即可。
【详解】17－11＝6
78÷6＝13
13×11＝143
【点睛】此题考查的是两位数乘两位数的计算，应先计算出多算另一个乘数的个数再解答。
【对应练习3】
静静在计算一道两位数乘两位数的题时，把第二个乘数12错看成了21，这样计算出的结果比原来多了405，这道题的正确结果是( )
【答案】540
【分析】由题意得，本来应该算第一个乘数乘12，实际上计算的是第一个乘数乘21，根据乘法的意义可知，就多出来9个第一个乘数。而题目中计算出的结果比原来多了405，所以直接用405除以9即可算出第一个乘数。然后再用这个乘数乘12即可得到正确的结果。
【详解】21－12＝9
405÷9＝45
45×12＝540
故这道题的正确结果是540。
【考点十三】算式之间的大小比较。
【方法点拨】
乘法算式中的大小比较问题，先计算出各算式的得数，再比较大小。
【典型例题】
在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
15×27( )28×17 30×27( )270×3
25×23( )23×18 32×8( )16×16
【答案】 ＜ ＝ ＞ ＝
【分析】分别计算出括号前后的两个式子的结果，再进行比较即可。
【详解】（1）15×27＝405，28×17＝476，因为405＜476，所以15×27＜28×17；
（2）30×27＝810，270×3＝810，因为810＝810，所以30×27＝270×3；
（3）25×23＝575，23×18＝414，因为575＞414，所以25×23＞23×18；
（4）32×8＝256，16×16＝256，因为256＝256，所以32×8＝16×16。
【对应练习1】
在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
29×10( )300 30×50( )1500
31×13( )14×41 28×30( )56×15
【答案】 ＜ ＝ ＜ ＝
【分析】两位数乘两位数的方法：先用两位数的个位上的数与另一个因数的每一位上的数依次相乘，所得的积末尾与个位对齐；再用两位数的十位上的数与另一个因数的每一位上的数依次相乘，所得的积末尾与十位对齐，再把两次相乘的积加起来。末尾有0时，把两个因数0前面的数对齐，并将它们相乘，再在积的后面添上没有参加运算的几个0。先计算出算式的结果再比较大小。
【详解】29×10＝290＜300
30×50＝1500
31×13＝403，14×41＝574，所以31×13＜14×41
28×30＝840，56×15＝840，所以28×30＝56×15
【对应练习2】
在括号里填上“＜”“＞”或“＝”。
24×40( )42×40 50×30( )30×50 19×20( )14×25
50×26( )260×5 0×78( )0÷85 35×20( )7000
【答案】 ＜ ＝ ＞ ＝ ＝ ＜
【分析】根据两位数乘两位数的乘法，以及0乘任何数积都为0，0除以任何不为0的数商为0；据此求出相关算式的结果，然后进行比较。
【详解】24×40＝960，42×40＝1680，960＜1680，所以24×40＜42×40；
50×30＝1500，30×50＝1500，所以50×30＝30×50；
19×20＝380，14×25＝350，380＞350，所以19×20＞14×25；
50×26＝1300，260×5＝1300，所以50×26＝260×5；
0×78＝0，0÷85＝0，所以0×78＝0÷85；
35×20＝700，700＜7000，所以35×20＜7000。
综上可知，24×40＜42×40，50×30＝30×50，19×20＞14×25，50×26＝260×5，0×78＝0÷85，35×20＜7000。
【对应练习3】
在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
569÷9( )70 355÷5( )71 47×52( )2500
50×30( )15×70 65×27( )27×86 10×32( )20×16
【答案】 ＜ ＝ ＜ ＞ ＜ ＝
【分析】（1）、（2）、（3）分别计算左边的算式，计算出结果后，再与右边的数字比较即可；
（4）、（5）分别计算左右两边的算式，再进行比较；
（6）根据积的变化规律：如果一个因数扩大到原来的几倍或缩小为原来的几分之一（0除外），另一个因数缩小到原来的几分之一或扩大到原来的几倍，积不变。
【详解】（1）569÷9＝63……2
63……2＜70
569÷9＜70
（2）355÷5＝71
（3）47×52＝2444
2444＜2500
47×52＜2500
（4）50×30＝1500
15×70＝1050
1500＞1050
50×30＞15×70
（5）65×27＝1755
27×86＝2322
1755＜2322
65×27＜27×86
（6）10×32＝20×16
569÷9＜70 355÷5＝71 47×52＜2500
50×30＞15×70 65×27＜27×86 10×32＝20×16
【考点十四】思维拓展其一：探究算式规律。
【方法点拨】
观察算式与积之间的特点，找出二者之间的规律。
【典型例题1】
找规律，写得数。
2＋3＋4＋5＋6＝（2＋6）×5÷2＝8×5÷2＝40÷2＝20；
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＝( )。
解析：
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12
＝（1＋12）×12÷2
＝13×12÷2
＝156÷2
＝78
【对应练习1】
你认真观察整式，发现规律，然后直接写出下面两道题的得数。
35×11＝( ) 79×11＝( )
解析：
3＋5＝8
所以，35×11＝385；
7＋9＝16
7＋1＝8
所以，79×11＝869。
【对应练习2】
找规律、写得数。



( ) ( )
( ) ( )
解析：224
【考点十五】思维拓展其二：乘法算式谜。
【方法点拨】
两位数乘两位数的乘法算式谜，相对来说较困难，需要熟练掌握笔算方法并对乘法口诀敏感。
【典型例题】
在里填上合适的数，使竖式成立。
解析：如图：
【对应练习1】
在□里填上合适的数字。
解析：
填空如下：
【对应练习2】
在方框里填上合适的数。
解析：填空如下所示：

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