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集合与简易逻辑
基本知识网络图：
第一部分：集合的概念及其运算
1、集合与元素
x是集合A的元素则记作x∈A，若元素x不是集合A的元素则记作。
2、集合的分类
有限集、无限集、 空集 。
3、集合元素的特性
确定性、互异性、无序性
4、集合的表示方法
列举法、描述法 {x|p(x)}、图示法
5、常见数集及符号
N、N*(N+)、Z、Q、R、{x|x=2n,n∈Z}、{x|x=2n+1,n∈Z}
集合名称
定 义
基本性质
子 集
（真子集）
若集合A的任何 一个元素
都是集合B的元素，则称
集合A是集合B的子集，
记作（）
①
②
③若,，则
④n元素集的子集数是2n个
等 集
如果且则称A
和B相等记作A=B
两个相等的非空集合它们的
元素完全相同
交 集
A∩B={x|x∈A且x∈B}
① A∩A=A
② A∩=
③ A∩B= B∩A
④(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
并 集
A∪B={x|x∈A或x∈B}
① A∪A=A
② A∪=A
③ A∪B= B∪A
④(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
补集
CsA={x|x∈S且x∈A}
① (CUA)∪A=U
② (CUA)∩A=
③ CU(CUA)=A，其中U为全集
1. 集合与元素的关系：
弄清楚集合与集合，元素与集合各是什么关系
例1、① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 上述正确的是
2. 集合元素具有三要素（确定性、无序性、互异性）.
在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如：
例2、，求 .
例3、，求的值.
例4、已知集合
（1）若A中只有一个元素，求A的值，并求出这个集合.
（2）若A中至多有一个元素，求A的范围.
（3）若A中有两个元素，求A的范围.
（4）若A中至少有一个元素，求A的范围.
3. 集合的表示法（列举法、描述法、图像法）.
（1）列举法：
（2）描述法：{特征元素|元素的属性}
特征元素显示谁是元素，元素的属性显示集合中所有元素具有的性质，要满足的条件；反过来，只要满足元素属性，都要作为集合的元素.
①理解集合的意义——抓住集合的代表元素(特征元素)。如：
(1)——函数的自变量的集合；
(2)——函数的函数值的集合；
(3)—函数图象上的点集，
例5、①，;
②，. 分别求.
例6、，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
（3）图像法：（韦恩图、文氏图）
图像法常用于解决有限集的计算和抽象的集合的关系
例7、，，，求A、B
例8、U为全集，，则下列结论错误的是： （ ）
（A） （B） （C） （D）
4. 集合的运算（子集；交、并、补集）.
（1）集合的其他运算性质：　
①；　 ②； ③；④； ⑤；
⑥； ⑦.
（2）对于含有个元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为
例9、，求集合P的个数.
（3）注意补集与命题的否定（）的联系.
（命题P为集合P命题为集合）
例10、已知的解集为M,若且，求.
同类题：《导》P26.11 特别提醒：若，则，为什么呢？
（4）已知集合A和含参集合B的运算问题
①遇到时，你是否注意到“极端”情况：或；
同样当时，你是否忘记的情形？要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
②若集合A、B是不等式型的集合，你是否运用了实数轴参与运算？（数形结合法）
注意：弧线同时覆盖的区域为其交集范围；只要有弧线覆盖的区域为其并集范围。
③在计算过程中，你注意到答案的范围端点取舍问题吗？
不等式型：
例11、，，，求的范围.
变式：，，，求的范围.
例12、，，，求的范围.
变式：，，，求的范围.
例13、，，，求的范围.
变式1：，，，求的范围.
变式2：，，，求的范围.
析：二次含参不等式，注意观察是非能分解，若能分解将简化题目，如上述原题；若不能分解可借助三个二次的关系，利用不等式端点与方程的对应关系，再结合根的分布问题，如变式1、2 同类题：变：《导》P20.9， P22.深化3，P23.12
例14、，，，求的范围.
变式2：，，，求的范围.
第二部分：不等式
1.等式的解法.
（1）绝对值不等式.(牢记公式).
①
②
注意：（1）、（2）公式可记为“大于取两边，小于取中间”，但前提必须是
③
④
注意：（3）、（4）公式不必讨论的正负
⑤
例15、解不等式：① ② ③
⑥
法1:零点分段讨论（每段内求交，段与段间求并，即“先交后并”）
法2:数形结合法（绝对值的几何意义），但形如就不适用了.
（2）.一元二次不等式.
解二次不等式的步骤：
①看二次项系数 （正、负-化为正、零-不是二次）.
②用十字相乘法分解，若不能分解判断的正负,做出草图.
③结合图像和不等号写出解集.
尤其当和时的解集你会正确表示吗？设,是方程的两实根，且，则其解集如下表：
或
或
R
R
R
例16、解不等式：① ② ③
④ ⑤
（3）.分式、高次不等式.
穿针引线法：
例17、解不等式：① ② ③
2.含参不等式的解法.（分类讨论思想）
按正常解法进行，当因为参数不同而导致有不同解答路径时，讨论参数按对应的不同路径分开进行，从而使问题得到完整的解决。
注意：①关键是掌握好分类标准
②讨论参数时，要对参数所在范围讨论完整，做到不重不漏。
③讨论完毕，要有总结，而且是分类写出解集。
④注意分类讨论与分段讨论的区别，分段讨论是讨论的和求的相同，如：零点分段讨论；分类讨论是讨论的和求的不同，如：解含参不等式，讨论参数a求的是x。
例18、解不等式：① ② ③
④
同类题：《导》P20.8、10、12；P25例3、深化3；P26.11（2）《新》二期，提高，10、11
注意：含参二次，往往能分解，若不能分解，如③，也还是按基本的解二次的方法往下做，寻找分类标准。若例20加上条件，你又会解吗？
3.不等式解集的逆用 （知解集，求参）
（1）利用解集的端点与不等式对应的方程的根的关系解题
例19、①的解集是，求a和b。
②的解集是，求a和b。
③的解集是，求a。
④已知不等式 ax2+bx+c>0的解集为{x| –20的解集。
（2）解集无端点时，常见题型：有解、无解、恒成立
例20、①恒成立，求的范围。
②解集为，求的范围。
析：关键是求出的范围，再用最值来解决；
; 能帮你快速解题
例21、恒成立，求的范围。
析：在上恒成立或
4.一元二次方程根的分布理论。
（1）. ①方程在上有两根(两根都大于k)、②在（m,n）上有两根（两根在两点之内）、③在和（两根在两点两边）上各有一根的充要条件分别是什么？
（、、）。 根的分布理论成立的前提是开区间，
（2）.若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，再令和检查端点的情况．
例22、已知函数在区间上至少存在一个实数，使，求实数的取值范围。　 （答：）
第三部分：简易逻辑
1.复合命题真假的判断。
“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；
“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；
“非命题”的真假特点是“真假相反”。
例23、在下列说法中：⑴“且”为真是“或”为真的充分不必要条件；
⑵“且”为假是“或”为真的充分不必要条件；
⑶“或”为真是“非”为假的必要不充分条件；
⑷“非”为真是“且”为假的必要不充分条件。其中正确的是_______
2.四种命题及其相互关系。
若原命题是“若p则q”，则逆命题为“若q则p”；否命题为“若﹁p 则﹁q” ；逆否命题为“若﹁q 则﹁p”。
提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；
（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；
（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；
例24、已知命题“若p则q”，这一命题的否定是S,则S的否命题是_______
（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系判断其真假，这也是反证法的理论依据。
（5）哪些命题宜用反证法？
3.充要条件。（定义法、集合法、传递法、逆否命题法）
关键是分清条件和结论（划主谓宾），
①由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；（多数时候用集合法）
②由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。
例25、给出下列命题：
①实数是直线与平行的充要条件；
②若是成立的充要条件；
③已知，“若，则或”的逆否命题是“若或则”；
④“若和都是偶数，则是偶数”的否命题是假命题 。
其中正确命题的序号是_______

例26、设命题p：；命题q:。若┐p是┐q的必要而不充分的条件，则实数a的取值范围是

例27、p是r的充要条件，r的充分不必要条件是S，S是┐q的必要条件，则┐p是q的
条件
例28、“或” 是“” 的 条件.

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