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统练 8 一模模拟
一、选择题：本题共 8 小题，共 16 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.若关于 的一元二次方程 2 + 2 + 1 = 0 有一个根是 0，则 的值为( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 0
2.下列图形中，是中心对称图形的是( )
A. 圆 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 正五边形
3.关于二次函数 = 2( 4)2 + 6，下列说法正确的是( )
A.最大值为 4 B. 最小值为 4 C.最大值为 6 D.最小值为 6
4.某厂家某年 1～5 月份的口罩产量统计如图所示．设从 2 月份到 4 月份，该厂家口罩产量
的平均月增长率为 ，根据题意可得方程( )
A. 180(1 )2 = 461 B. 180(1 + )2 = 461
C. 368(1 )2 = 442 D. 368(1 + )2 = 442
5.如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样．假设飞镖击中任何一个位置都是等可
能的，任意投掷飞镖 1 次(击中阴影区域的边界或者没有击中游戏板，则重投 1 次)，则飞镖
击中阴影区域的概率是( )
A. 1 4 5 23 B. 9 C. 9 D. 3
6.如图，在⊙ 中， 是直径，弦 的长为 5，点 在圆上，且∠ = 30°，则⊙ 的半
径为( )
A. 2.5 B. 5 C. 7.5 D. 10
4 题图 5 题图 6 题图
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7.如图，现有一把折扇和一把圆扇．已知折扇的骨柄长等于圆扇的直径，折扇扇面的宽度是
2
骨柄长的3，折扇张开的角度为 120°，则两把扇子扇面面积较大的是( )
A. 折扇 B. 圆扇 C.一样大 D.无法判断
8.如图，将 1 1 绕点 顺时针旋转 ，再将得到的 2 2 绕点 顺时针旋转 ，…依次旋
转下去，最终将 5 5 绕点 顺时针旋转 ，得到 1 1 .若点 +1在线段 上 =
1,2,3,4 ，点 1在线段 5 5上，且 1 = 1，则下列结论中正确的是( )
① = 72 ；②点 到直线 1 2的距离为 cos54 ；③若 2、 、 1三点共线，则∠ 1 = 18 ；
④五边形 1 2 3 4 5是正五边形
A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②③④
7题图
二、填空题：本题共 8 小题，共 16 分。 8题图
9 1.若分式 2有意义，则 的取值范围是 ．
10.在平面直角坐标系 中，抛物线 = 2 4 + 5 与 轴交于点 ，则点 的坐标为 ．
11 1.把抛物线 = 22 + 1 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，得到的抛物
线的解析式为 ．
12.如果关于 的方程 2 + 2 + = 0 有两个不相等的实数根，那么 的取值范围是 ．
13.如图，以 对角线的交点 为原点，平行于 边的直线为 轴，建立如图所示的平
面直角坐标系．若 点坐标为( 2,1)，则 点坐标为 ．
14.如图，在⊙ 中， 切⊙ 于点 ，连接 交⊙ 于点 ，过点 作 / / 交⊙ 于
点 ，连接 .若∠ = 50°，则∠ 的度数等于 ．
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15.如图，在平面直角坐标系中，一次函数 = 2 1 的图象分别交 、 轴于点 、 ，将直
线 绕点 按顺时针方向旋转 45°，交 轴于点 ，则直线 的函数表达式是 ．
13 题图 14 题图 15 题图
16.各数位上的数字均不相等的两位数称为好数，( , )是由两个好数组成的有序数对，将
的各位数字中最大的数作为千位数字，将 的各位数字中最小的数作为百位数字，将 的各位
数字中最小的数作为十位数字，将 的各位数字中最大的数作为个位数字，这样构成了一个
新的四位数 ，称为( , )的衍生数，若此时 = 1000 + 100 + 10 + (其中 ， ， ，
为整数，1 ≤ ≤ 9，0 ≤ ≤ 9，0 ≤ ≤ 9，1 ≤ ≤ 9)，记 ( ) = 2 + + 2 ，则(47,50)
的衍生数为______；若( , 12)的衍生数为 ，(98, )的衍生数为 ，其中 = 10 + 2， = 30 +
(1 ≤ ≤ 9,4 ≤ ≤ 8, ≠ )，且 ( ) ( ) = 2，则 + = ______．
三、解答题：本题共 12 小题，共 64 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.( 1本小题 4分)计算：4 60° + ( ) 12 12 + | 3|．
4 + 5 > 1,
18.(本小题 4分)解不等式组： 3 1
2 < .
．
19.(本小题 4分)
( x 1) x
2 2x 1
先化简，再求值： 2 ，其中 = 2 1．x 1 x 1
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20.(本小题 4分)有趣的倍圆问题：校园里有个圆形花坛，春季改造，负责该片花园维护的
某班同学经过协商，想把该花坛的面积扩大一倍．他们在图纸上设计了以下施工方案：
① ⊙ 1在 中作直径 ，分别以 、 为圆心，大于2 长为半径画弧，两弧在直径 上方交
于点 ，作射线 交⊙ 于点 ；
②连接 ，以 为圆心 长为半径画圆；
③大⊙ 即为所求作．
(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成如下证明：
证明：连接 、
在△ 中，∵ = ， 是 的中点，
∴ ⊥ (_________)(填推理的依据)
设小圆 半径长为
∵ = ，∠ = 90°
∴ = 2
∴ 大⊙ = ( 2 )
2 =______ 小⊙ ．
21.(本小题 5分)如图，在四边形 中， = ， = ，点 在对角线 的延长线
上， ， 交于点 ，且 = ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 = = 5，tan∠ = 12，求 的长．
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22 .(本小题 6分)如图，平面直角坐标系中，反比例函数 = ( ≠ 0)与一次函数 = +
( ≠ 0)的图象相交于点 (1, )， ( 3, 1)两点．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2) 直接写出当 + > 时，自变量 的取值范围；
(3)已知直线 与 轴交于点 ，点 ( , 0)是 轴上一动点，作 ⊥ 轴交反比例函数图象于
点 ，当以 ， ， ， 为顶点的四边形的面积等于 2 时，直接写出 的值．
23.(本小题 5分)某物流企业为了提高配送效率和客户满意度，对公司业务流程进行了细致
的分析．公司随机抽取了 1200 件某日发往 市的快递包裹，称重并记录每件包裹的重量(单
位： ，精确到 0.1).下面给出了部分信息．
.下图为每件包裹重量的频数分布直方图如下(数据分 11 组：第 1 组 0 ≤ < 1，第 2 组 1 ≤
< 2，第 3 组 2 ≤ < 3，第 4 组 3 ≤ < 4，第 5 组 4 ≤ < 5，第 6 组 5 ≤ < 6，第 7
组 6 ≤ < 7，第 8 组 7 ≤ < 8，第 9 组 8 ≤ < 9，第 10 组 9 ≤ < 10，第 11 组 10 ≤ <
11)：
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.在 3 ≤ < 4 这一组的数据如下：
3.0 3.6 3.1 3.7 3.1 3.5 3.2 3.2 3.3 3.9 3.4 3.4 3.4 3.5 3.5 3.5 3.3 3.6 3.7 3.8
.这 1200 件包裹重量的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
包裹重量(单位： ) 3.8
根据以上信息，回答下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)写出 的值；
(3)下面五个结论中，① 的值一定在 2 ≤ < 3 这一组；② 的值可能在 3 ≤ < 4 这一组；
③ 的值可能在 4 ≤ < 5 这一组；④ 的值不可能在 5 ≤ < 6 这一组；⑤ 的值不可能在
7 ≤ < 8 这一组．所有正确结论的序号是________；
(4)某日此快递公司将要发往 市的快递包裹统一打包装箱，其中一个集装箱中的包裹总重量
为 28500 ，请估计这个集装箱中共有多少件包裹？

24.(本小题 6分)如图， 是⊙ 的直径， 是弦， 是 的中点， 与 交于点 ， 是
延长线上的一点，且 = ．
(1)求证： 为⊙ 的切线；
(2) 连 接 ， 取 的 中 点 ， 连 接 .若 = 4 ， tan∠ = 12 ， 求 的 长 ．
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25.(本小题 6分)电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂可以近似的看成抛物线的形状．如
图，在个斜坡 上按水平距离间隔 60 米架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高
度为 27 米( = = 27 米)，以过点 的水平线为 轴，水平线与电缆的另一个交点为原
建立平面直角坐标系，如图所示．经测量， = 40 米，斜坡高度 12 米(即 、 两点的铅
直高度差).结合上面信息，回答问题：
(1)若以 1 米为一个单位长度，则 点坐标为___________
(2)求出下垂电缆的抛物线表达式；
(3)若电缆下垂的安全高度是 13.5 米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于 13.5 米时，
符合安全要求，否则存在安全隐患．(说明：直线 ⊥ 轴分别交直线 和抛物线于点 、
.点 距离坡面的铅直高度为 的长)，请判断上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请
说明理由．
26.(本小题 6分)已知抛物线 = 2 + + ( > 0)．
(1)若抛物线过点( 3, )，(5, )，求抛物线的对称轴；
(2)已知点(0, 0)，( 1, 1)，( 4, 2)，(2, )在抛物线上，其中 2 < 1 < 1，若存在 1
使 1 > ，试比较 0， 1， 2的大小关系．
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27.(本小题 7分)在△ 中， = ， 是边 上一动点，连接 ，将 绕点 逆时针
旋转到 的位置，使得∠ + ∠ = 180°．
（1）如图 1，当∠ = 90°，连接 交 于点 ，若 平分∠ ， = 2，
①则 BCE ； = ；
②求 的长；
(2)如图 2，连接 ，取 的中点 ，连接 ，猜想 与 存在的数量关系，并证明．
28.(本小题 7 分)
在平面直角坐标系 中，对于直线 ： = + ，给出如下定义：若直线 与某个圆相交，
则两个交点之间的距离称为直线 关于该圆的“圆截距”．
(1)如图 1，⊙ 的半径为 1，当 = 1， = 1 时，直接写出直线 关于⊙ 的“圆截距”；
(2)点 的坐标为( 1,0)，
4
①如图 2，若⊙ 的半径为 1，当 = 1 时，直线 关于⊙ 的“圆截距”小于 5 ，求
5
的取值范围；
②如图 3，若⊙ 的半径为 2，当 的取值在实数范围内变化时，直线 关于⊙ 的“圆截距”
的最小值为 2 2，直接写出 的值．
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统练 8 一模模拟 教师用卷
一、选择题：本题共 8 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若关于 的一元二次方程 2 + 2 + 1 = 0 有一个根是 0，则 的值为( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 0
【答案】A
【解析】解：把 = 0 代入 2 + 2 + 1 = 0，得 1 = 0，解得 = 1，
即 的值为 1．
故选： ．
根据一元二次方程的解的定义，把 = 0 代入 2 + 2 + 1 = 0 中，得 1 = 0，然后求得 即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
2.下列图形中，是中心对称图形的是( )
A. 圆 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 正五边形
【答案】A
【解析】解： 、是中心对称图形，本选项正确；
B、不是中心对称图形，本选项错误；
C、不是中心对称图形，本选项错误；
D、不是中心对称图形，本选项错误．
故选： ．
根据中心对称图形的概念求解即可．
本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180°后与原图形重合．
3.关于二次函数 = 2( 4)2 + 6，下列说法正确的是( )
A.最大值为 4 B.最小值为 4 C.最大值为 6 D.最小值为 6
【答案】D
【解析】解：∵二次函数 = 2( 4)2 + 6， = 2 > 0，
∴该函数图象开口向上，有最小值，当 = 4 时取得最小值 6．
故选： ．
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根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数有最小值，最小值为 6，然后即可判断哪个选
项是正确的．
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，会求函数的最值．
4.某厂家 2020 年 1～5 月份的口罩产量统计如图所示．设从 2 月份到 4 月份，该厂家口罩产量的平均月增
长率为 ，根据题意可得方程( )
A. 180(1 )2 = 461 B. 180(1 + )2 = 461
C. 368(1 )2 = 442 D. 368(1 + )2 = 442
【答案】B
【解析】解：从 2 月份到 4 月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为 ，根据题意可得方程：180(1 + )2 = 461，
故选： ．
本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量× (1 +增长率)，如果设这个增长率为 ，根据“2 月份
的 180 万只，4 月份的利润将达到 461 万只”，即可得出方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题为增长率问题，一般形式为 (1 + )2 = ， 为起始时间
的有关数量， 为终止时间的有关数量．
5.如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样．假设飞镖击中任何一个位置都是等可能的，任意投
掷飞镖 1 次(击中阴影区域的边界或者没有击中游戏板，则重投 1 次)，则飞镖击中阴影区域的概率是( )
A. 1 4 5 23 B. 9 C. 9 D. 3
【答案】C
【解析】本题考查了几何概率，掌握某事件的概率等于这个事件所占有的面积与总面积之比成为解题的关
键．
先计算出阴影部分的面积，然后计算阴影部分的面积与整个图形的面积的比即可．
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【详解】解：∵阴影部分为正方形，正方形的边长为 12 + 22 = 5，
2
∴阴影区域的面积为 5 = 5，
∵整个正方形的面积为 3 × 3 = 9，
∴ 5飞镖击中阴影区域的概率是9．
故选 C．
6.如图，在⊙ 中， 是直径，弦 的长为 5，点 在圆上，且∠ = 30°，则⊙ 的
半径为( )
A. 2.5
B. 5
C. 7.5
D. 10
【答案】B
【解析】解：连接 ，
∵ ∠ = 12∠ ，∠ = 30°，
∴ ∠ = 60°．
∵ = ，
∴△ 是等边三角形，
∴ = = 5，
∴⊙ 的半径为 5．
故选： ．
连接 ，得到∠ = 60°，推出△ 是等边三角形，从而求出圆的半径．
本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
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7 2.如图，现有一把折扇和一把圆扇．已知折扇的骨柄长等于圆扇的直径，折扇扇面的宽度是骨柄长的3，折
扇张开的角度为 120°，则两把扇子扇面面积较大的是( )
A.折扇 B.圆扇 C.一样大 D.无法判断
【答案】A
1
120 × 2 120 ×( )2 8
【解析】解：∵折扇的面积= 3 2360 360 = 27 ，
团扇的面积= × ( )2 = 1 22 4 ，
∴折扇的面积大于圆扇的面积．
故选： ．
折扇扇面的面积等于两个扇形的面积之差，利用扇形的面积公式即可得到折扇的面积，而圆扇的面积即为
圆的面积，然后比较它们的面积大小即可判断．
本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式即可得出结论．
8.如图，将 1 1 绕点 顺时针旋转 ，再将得到的 2 2 点 顺时针旋转 ，…依次旋转下去，最终将
5 5 绕点 顺时针旋转 ，得到 1 1 .若点 +1在线段 上 = 1,2,3,4 ，点 1在线段 5 5上，且 1 =
1，则下列结论中正确的是( )
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① = 72 ；②点 到直线 1 2的距离为 cos54 ；③若 2、 、 1三点共线，则∠ 1 = 18 ；④五边形 1 2 3 4 5
是正五边形
A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②③④
【答案】B
【解析】【分析】根据旋转的性质求出 可判断①；作 ⊥ 1 2于点 ，解直角三角形可判断②；由旋转
的性质得∠ 2 = 72 由 2、 、 1三点共线先求出∠ 1 1 = 108 ，进而可求出∠ 1 = 18 ，从而判断③；
证明五边形 1 2 3 4 5各边相等，各角相等，根据正多边形的定义可判断④．
【详解】解：① = 360 ÷ 5 = 72 ，故①正确；
②由旋转的性质得 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 1，

∴ ∠ 1 2 = ∠ 2 1 = ∠ 2 3 = ∠ 3 =
180 72 = 54 2 2 ．
作 ⊥ 1 2于点
∴ = sin54 × 1 = sin54 ，故②不正确；
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③由旋转的性质得，∠ 2 = 72 1 ，
∵ 2、 、 1三点共线
∴ ∠ 1 1 = 180 72 = 108 ，
∴ ∠ 1 = 180 108 54 = 18 ，故③正确；
④ ∵ 1 = 2 = 3，∠ 1 2 = ∠ 2 3 = 72 ，
∴ 1 2 ≌ 2 3，
∴ 1 2 = 2 3，
同理可证， 1 2 = 2 3 = 3 4 = 4 5 = 5 1．
∵ ∠ 2 1 = ∠ 2 3 = 54 ，
∴ ∠ 1 2 3 = 54 + 54 = 108 ，
同理可证，∠ 1 2 3 = ∠ 2 3 4 = ∠ 3 4 5 = ∠ 4 5 1 = ∠ 5 1 2 = 108 ，
∴五边形 1 2 3 4 5是正五边形，故⑤正确．
故选 B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正多边
形的判定，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
二、填空题：本题共 8 小题，共 19 分。
9 1.若分式 2有意义，则 的取值范围是 ．
【答案】 ≠ 2
【解析】∵ 1 2有意义，∴ 2 ≠ 0，∴ ≠ 2．
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10.在平面直角坐标系 中，抛物线 = 2 4 + 5 与 轴交于点 ，则点 的坐标为 ．
【答案】(0,5)
【解析】解：令 = 0，则 = 5，
∴ (0,5)．
故答案为：(0,5)．
根据 轴上点的坐标特点，令 = 0，求出 即可得出结论．
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特点， 轴上点的坐标特点，属于基础题．
11 1.把抛物线 = 22 + 1 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，得到的抛物线的解析式
为 ．
1
【答案】 = 2
2 + 32
1
【解析】解：把抛物线 = 2
2 + 1 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，得到的抛物线的解
1 1 3
析式为： = 2 ( + 1)
2 + 1 3，即 = 22 + 2．
= 1 2 + 3故答案为： 2 2．
可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．
本题考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函
数解析式．
12.如果关于 的方程 2 + 2 + = 0 有两个不相等的实数根，那么 的取值范围是 ．
【答案】 < 1
【解析】解：根据题意得 = 22 4 > 0，
解得 < 1，
即 的取值范围是 < 1．
故答案为： < 1．
利用根的判别式的意义得到 = 22 4 > 0，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程 2 + + = 0( ≠ 0)的根与 = 2 4 有如下关系：当 > 0
时，方程有两个不相等的实数根；当 = 0 时，方程有两个相等的实数根；当 < 0 时，方程无实数根．
13.以 对角线的交点 为原点，平行于 边的直线为 轴，建立如图所
示的平面直角坐标系．若 点坐标为( 2,1)，则 点坐标为 ．
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【答案】(2, 1)
【解析】解：∵四边形 为平行四边形，
∴点 和 关于对角线的交点 对称，
又∵ 为原点，
∴点 和 关于原点对称，
∵点 ( 2,1)，
∴点 的坐标为(2, 1)，
故答案为(2, 1)．
本题考查平行四边形的性质、坐标与图形性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行四边形的性质解答．
根据平行四边形是中心对称图形，再结合 对角线的交点 为原点和点 的坐标，即可得到点 的坐标．
14.如图，在⊙ 中， 切⊙ 于点 ，连接 交⊙ 于点 ，过点 作 / /
交⊙ 于点 ，连接 .若∠ = 50°，则∠ 的度数等于 ．
【答案】20°
【解析】解：连接 ，如图，
∵ 切⊙ 于点 ，
∴ ∠ = 90°．
∵ ∠ = 50°，
∴ ∠ = 40°，
∴ ∠ = 12∠ = 20°．
∵ / / ，
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∴ ∠ = ∠ = 20°，
故答案为：20°．
连接 ，由切线的性质得出∠ = 90°，结合∠ = 50°，得出∠ = 40°，由圆周角的性质得出∠ =
20°，再由平行线的性质得出∠ = ∠ = 20°．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握切线的性质，直角三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质
是解决问题的关键．
15.如图，在平面直角坐标系中，一次函数 = 2 1 的图象分别交 、 轴于点 、 ，将直线 绕点 按顺
时针方向旋转 45°，交 轴于点 ，则直线 的函数表达式是 ．
= 1【答案】 3 1
【解析】【分析】
本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确
的作出辅助线是解题的关键．
根据已知条件得到 ( 12 , 0)， (0, 1)
1
，求得 = 2， = 1，过 作 ⊥ 交 于 ，过 作 ⊥ 轴于 ，
1
得到 = ，证明△ ≌△ ( )，根据全等三角形的性质得到 = = 1， = = 2，求得
( 3 , 12 2 )，设直线 的函数表达式为： = + ，利用待定系数法即可得到结论．
【解答】
解：∵一次函数 = 2 1 的图象分别交 、 轴于点 、 ，
∴令 = 0，得 = 1 1，令 = 0，则 = 2，
∴ ( 12 , 0)， (0, 1)，
∴ = 12， = 1，
过 作 ⊥ 交 于 ，过 作 ⊥ 轴于 ，
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∵ ∠ = 45°，
∴△ 是等腰直角三角形，
∴ = ，
∵ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 90°，
∴ ∠ = ∠ ，
在△ 与△ 中，
∠ = ∠
∠ = ∠
=
∴△ ≌△ ( )，
∴ = = 1 1， = = 2，
∴ ( 3 12 , 2 )，
设直线 的函数表达式为： = + ，
3
∴ 2 + =
1 1
2，∴ = 3 ，
= 1 = 1
∴ 1直线 的函数表达式为： = 3 1，
故答案为： = 13 1．
16.各数位上的数字均不相等的两位数称为好数，( , )是由两个好数组成的有序数对，将 的各位数字中最
大的数作为千位数字，将 的各位数字中最小的数作为百位数字，将 的各位数字中最小的数作为十位数字，
将 的各位数字中最大的数作为个位数字，这样构成了一个新的四位数 ，称为( , )的衍生数，若此时 =
1000 + 100 + 10 + (其中 ， ， ， 为整数，1 ≤ ≤ 9，0 ≤ ≤ 9，0 ≤ ≤ 9，1 ≤ ≤ 9)，记 ( ) =
2 + + 2 ，则(47,50)的衍生数为______；若( , 12)的衍生数为 ，(98, )的衍生数为 ，其中 = 10 + 2，
= 30 + (1 ≤ ≤ 9,4 ≤ ≤ 8, ≠ )，且 ( ) ( ) = 2，则 + = ______．
【答案】7045 129
【解析】解：根据好数、衍生数，得(47,50)的衍生数为 7 × 1000 + 0 × 100 + 4 × 10 + 5 = 7045．
∵ = 10 + 2，
第 10页，共 31页
∴ ( , 12)为(10 + 2,12)的衍生数为 2000 + 100 + 10 + 2 = 2112，
当 = 1 时，
(10 + 2,12)的衍生数为 2000 + 100 + 10 + 2 = 2112，
∴ ( ) = 2 × 2 + 1 + 1 2 × 2 = 2．
∵ = 30 + ，
∴ (98,30 + )的衍生数为 9000 + 300 + 80 + = 9380 + ，
∴ ( ) = 2 × 9 + 3 + 8 2 = 29 2 ．
∵ ( ) ( ) = 2，
∴ 2 (29 2 ) = 2，
∴ = 14.5，舍去．
当 2 < ≤ 9 时，
(10 + 2,12)的衍生数为 1000 + 100 + 20 + 2 = 1000 + 122，
∴ ( ) = 2 + 1 + 2 2 × 2 = 2 1．
∴ 2 1 (29 2 ) = 2，
∴ + = 16．
∴ 7 ≤ ≤ 8，8 ≤ ≤ 9，
∵ ≠ ，
∴ = 9， = 8，
∴ = 9 × 10 + 2 = 92，
= 30 + 7 = 37，
∴ + = 92 + 37 = 129．
故答案为：7045，129．
根据好数、衍生数，得(47,50)的衍生数为 7 × 1000 + 0 × 100 + 4 × 10 + 5 = 7045.由 = 10 + 2 =
2000 + 100 + 10 + 2 = 2112，分两种情况讨论：当 = 1 和当 2 < ≤ 9，再按照衍生数的定义计算即可．
本题考查了整式的加减，运用好数、衍生数的定义进行运算是解题关键．
三、解答题：本题共 12 小题，共 83 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 5 分)
计算：4 60° + ( 1 12 ) 12 + | 3|．
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1
【答案】解：4 60° + ( 12 ) 12 + | 3|
= 4 × 32 + 2 2 3 + 3
= 2 3 + 2 2 3 + 3
= 5．
【解析】本题涉及锐角三角函数、负整数指数幂、二次根式、绝对值化简 4 个考点．在计算时，需要针对
每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握
特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
18.(本小题 5 分)
4 + 5 > 1,
解不等式组： 3 1
2 < .
．
【答案】解：由 4 + 5 > 1 得 > 2，
3 1
由 2 < 得： < 1，
则不等式组的解集为 2 < < 1．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找
不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大
小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.(本小题 8 分)
2+2 +1
先化简，再求值：( 1 1) ÷ 2 1 ，其中 = 2 1．
= ( 1) ( +1)( 1)【答案】解：原式 1 ( +1)2
1 + 1 1
= 1 · + 1 2
1
= + 1
当 = 2 1 时，
= 1 2原式 2 1+1 = 2 ．
【解析】本题主要考查了分式的化简求值，关键是熟练掌握分式的混合运算.先利用分式的混合运算计算分
式的减法，然后计算分式的除法，最后代入字母的值进行计算可得结果．
第 12页，共 31页
20.(本小题 5 分)
有趣的倍圆问题：校园里有个圆形花坛，春季改造，负责该片花园维护的某班同学经过协商，想把该花坛
的面积扩大一倍．他们在图纸上设计了以下施工方案：
⊙ 1①在 中作直径 ，分别以 、 为圆心，大于2 长为半径画弧，两弧在直径 上方交于点 ，作射线
交⊙ 于点 ；
②连接 ，以 为圆心 长为半径画圆；
③大⊙ 即为所求作．
(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成如下证明：
证明：连接 、
在△ 中，∵ = ， 是 的中点，
∴ ⊥ (______)(填推理的依据)
设小圆 半径长为
∵ = ，∠ = 90°
∴ = 2
∴ 2大⊙ = ( 2 ) =______ 小⊙ ．
【答案】等腰三角形的三线合一；2．
【解析】(1)解：图形如图所示：
(2)证明：连接 、
在△ 中，∵ = ， 是 的中点，
∴ ⊥ (等腰三角形的三线合一)，
设小圆 半径长为 ，
∵ = ，∠ = 90°，
第 13页，共 31页
∴ = 2 ，
∴ 2大⊙ = ( 2 ) = 2 小⊙ ．
故答案为：等腰三角形的三线合一，2．
(1)根据要求作出图形即可；
(2)利用等腰三角形的性质以及圆面积公式证明即可．
本题考查作图 应用与设计作图，等腰直角三角形的性质，圆的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活
运用所学知识解决问题．
21.(本小题 6 分)
如图，在四边形 中， = ， = ，点 在对角线 的延长线上， ， 交于点 ，且 = ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 = = 5，tan∠ = 12，求 的长．
【答案】(1)证明：∵ = ， = ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ = = 1 = = 12 ， 2 ，
∵ = ，
∴ = ，
∴平行四边形 是矩形；
(2)解：如图，过 作 ⊥ 于点 ，
第 14页，共 31页
∵ = = 5，
∴ = ，
在 △ 中，tan∠ = 1 = 2，
∴ = 2 ，由勾股定理得： 2 + 2 = 2，
即 2 + (2 )2 = 52，
解得： = 5(负值已舍去)，
∴ = = 2 5，
∴ = 2 = 4 5，
即 的长为 4 5．
1 1
【解析】(1)先证四边形 是平行四边形，得 = = 2 ， = = 2 ，再证 = ，然后
由矩形的判定即可得出结论；
(2)过 作 ⊥ 于点 ，由等腰三角形的性质得 = ，再由锐角三角函数定义得 = 2 ，然后由勾
股定理求出 = 5，即可解决问题．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及锐角三角函数定义等知识，熟
练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
22.(本小题 8 分)

如图，平面直角坐标系中，反比例函数 = ( ≠ 0)与一次函数 = + ( ≠ 0)的图象相交于点 (1, )，
( 3, 1)两点．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2) 直接写出当 + > 时，自变量 的取值范围；
(3)已知直线 与 轴交于点 ，点 ( , 0)是 轴上一动点，作 ⊥ 轴交反比例函数图象于点 ，当以 ， ，
， 为顶点的四边形的面积等于 2 时，直接写出 的值．
第 15页，共 31页
【答案】解：(1)把 ( 3, 1)代入 = 得 = 3，
∴ 3反比例函数的解析式为： = ，
把 (1, ) 3代入 = 得 = 3，
把 (1,3)， ( 3, 1)代入 = + ；
∴ + = 3 3 + = 1，
= 1
解得： = 2，
∴一次函数的解析式为： = + 2；
(2) ∵不等式 + > 的解集即为： 1 > 2的解集，
∴ 3 < < 0 或 > 1；
(3)如图，
由 = + 2 可知 (0,2)，
∴ = 2，
∵ = 3，
第 16页，共 31页
∴△ 3的面积为2．
∴ 1四边形 的面积为2 +
1 3 1
2 = 2 + 2 × 2 = 2，
解得 = 12，
∵ 点坐标为( , 0)，点 可能在 轴正半轴或负半轴，
∴ = 1 12或 2，
∴当 = 1 12或 2时，以 ， ， ， 为四边形的面积等于 2．
【解析】(1)由题意得把 ( 3, 1)代入 = 得 = 3，即可得出 点坐标，将 两点代入一次函数 = +
求出 、 ，从而得出答案；
(2)一次函数在反比例函数图象的上方时，自变量 的取值范围即可．
(3) 1由题意得， = 2，再根据面积求出 = 2，即可求出 点坐标，可得 的值．
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，坐标与图形面积，熟练掌握函数解析式的求法以及利用数
形结合得出函数值大小关系是重点．
23.(本小题 8 分)
某物流企业为了提高配送效率和客户满意度，对公司业务流程进行了细致的分析．公司随机抽取了 1200 件
某日发往 市的快递包裹，称重并记录每件包裹的重量(单位： ，精确到 0.1).下面给出了部分信息．
.下图为每件包裹重量的频数分布直方图如下(数据分 11 组：第 1 组 0 ≤ < 1，第 2 组 1 ≤ < 2，第 3
组 2 ≤ < 3，第 4 组 3 ≤ < 4，第 5 组 4 ≤ < 5，第 6 组 5 ≤ < 6，第 7 组 6 ≤ < 7，第 8 组 7 ≤ < 8，
第 9 组 8 ≤ < 9，第 10 组 9 ≤ < 10，第 11 组 10 ≤ < 11)：
.在 3 ≤ < 4 这一组的数据如下：
3.0 3.6 3.1 3.7 3.1 3.5 3.2 3.2 3.3 3.9 3.4 3.4 3.4 3.5 3.5 3.5 3.3 3.6 3.7 3.8
第 17页，共 31页
.这 1200 件包裹重量的平均数、中位数、众数如下：
平均数中位数众数
包裹重量(单位： )3.8
根据以上信息，回答下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)写出 的值；
(3)下面五个结论中，① 的值一定在 2 ≤ < 3 这一组；② 的值可能在 3 ≤ < 4 这一组；③ 的值可能在
4 ≤ < 5 这一组；④ 的值不可能在 5 ≤ < 6 这一组；⑤ 的值不可能在 7 ≤ < 8 这一组．所有正确结
论的序号是________；
(4)某日此快递公司将要发往 市的快递包裹统一打包装箱，其中一个集装箱中的包裹总重量为 28500 ，
请估计这个集装箱中共有多少件包裹？
【答案】(1)解：由题意知，第 3 组 2 ≤ < 3 的人数为 1200 112 82 20 386 101 50 12 15
5 17 = 400(人)，
∴补全统计图如下；
(2)解：由题意知，0 ≤ < 1，1 ≤ < 2，2 ≤ < 3 的包裹数为 112 + 82 + 400 = 594(件)，
∴中位数在 3 ≤ < 4 这一组，
将 3 ≤ < 4 这一组的数从小到大依次排序为：
3.03.13.13.23.23.33.33.43.43.43.53.53.53.53.63.63.73.73.83.9，
∴ = 3.3+3.32 = 3.3，
∴ 的值为 3.3；
(3)解：由题意知，2 ≤ < 3 这一组的频数为 400；
第 18页，共 31页
3 ≤ < 4 这一组的频数为 20；
4 ≤ < 5 这一组的频数为 386；
5 ≤ < 6 这一组的频数为 101；
7 ≤ < 8 这一组的频数为 12；
∵每一组共 10 个重量值，
∴ 的值可能在 2 ≤ < 3 这一组，可能性较大，①说法太绝对，错误，故不符合要求；
的值不可能在 3 ≤ < 4 这一组，频数太小，②错误，故不符合要求；
的值可能在 4 ≤ < 5 这一组，可能性较大，③正确，故符合要求；
的值可能在 5 ≤ < 6 这一组，④错误，故不符合要求；
的值不可能在 7 ≤ < 8 这一组，⑤正确，故符合要求；
故答案为：③⑤．
(4)解：由题意知，28500 ÷ 3.8 = 7500(件)，
∴估计这个集装箱中共有 7500 件包裹．
【解析】【分析】(1)解：由题意知，第 3 组 2 ≤ < 3 的人数为 1200 112 82 20 386 101 50
12 15 5 17 = 400(人)，然后补图即可；
(2)由题意知，
0 ≤ < 1，1 ≤ < 2，2 ≤ < 3 的包裹数为 112 + 82 + 400 = 594(件)，则中位数在
3 ≤ < 4 这一组，然后根据中位数是第 600、601 个数的平均数求解作答即可；
(3)由题意知，每一组共 10 个重量值，然后根据众数的定义判断作答即可；
(4)根据 28500 ÷ 3.8，计算求解即可．
【点睛】本题考查了条形统计图，中位数，众数，平均数等知识．熟练掌握条形统计图，中位数，众数，
平均数是解题的关键．
24.(本小题 8 分)

如图， 是⊙ 的直径， 是弦， 是 的中点， 与 交于点 ， 是 延长线上的一点，且 = ．
第 19页，共 31页
(1)求证： 为⊙ 的切线；
(2)连接 1，取 的中点 ，连接 .若 = 4，tan∠ = 2，求 的长．
【答案】(1)证明：如图 1，连接 ， ．
∵ = ，
∴ ∠ = ∠ ．
∵ = ，
∴ ∠ = ∠ .
∵ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ．

∵ 是⊙ 的直径， 是 的中点，
∴ ∠ = 90 ．
∴ ∠ + ∠ = 90 ．
∴ ∠ + ∠ = 90 ，即∠ = 90 ．
∴ ⊥ ．
∴ 为⊙ 的切线．
(2)解：如图 2，连接 ，过 作 ⊥ ，垂足为 ．
第 20页，共 31页
∵ 是⊙ 的直径，
∴ ∠ = 90 ，
∴ ∠ + ∠ = 90 ，
∵ = ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = ∠ + ∠ = 90 ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = ∠ ，
∴ ∽ ，
∴ = ， = ，
∵ = 4，tan∠ = tan∠ = 1 = 2，
∴ = 8，
∴ 4 = 8 4 ，解得 = 2，
设⊙ 的半径为 ，则 = 2 + 2 = 8．
解之得 = 3．
∵ ⊥ ，
∴ ∠ = 90 .
∵ ∠ = 90 ，
∴ ∠ = ∠ ．
∴ // ．
∴ ∽
∴ = ．
∵ 为 中点，
第 21页，共 31页
∴ = 12 ．
∴ = 12 =
3
2， =
1
2 =
3
2．
∴ = = 6 32 =
9
2．
2 2
∴ = 2 + 2 = 3 + 9 = 32 2 2 10．
【解析】【分析】(1)连接 ， .由∠ = ∠ ， = ，可得∠ = ∠ ，由 是⊙ 的直径，

是 的中点，∠ = 90 ，进而可得∠ = 90 ，即可证明 为⊙ 的切线；
(2)连接 ，过 作 ⊥ ，垂足为 .利用相似三角形的性质求出 = 2，设⊙ 的半径为 ，则 = + 2.
在 = 3 中，勾股定理求得 ，证明 // ，得出 ∽ ，根据 = ，求得 , ，进
而求得 ，根据勾股定理即可求得 ．
【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
25.(本小题 8 分)
电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂可以近似的看成抛物线的形状．如图，在个斜坡 上按水平距离
间隔 60 米架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为 27 米( = = 27 米)，以过点 的水
平线为 轴，水平线与电缆的另一个交点为原 建立平面直角坐标系，如图所示．经测量， = 40 米，斜
坡高度 12 米(即 、 两点的铅直高度差).结合上面信息，回答问题：
(1)若以 1 米为一个单位长度，则 点坐标为_
(2)求出下垂电缆的抛物线表达式
(3)若电缆下垂的安全高度是 13.5 米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于 13.5 米时，符合安全要求，
否则存在安全隐患．(说明：直线 ⊥ 轴分别交直线 和抛物线于点 、 .点 距离坡面的铅直高度为
的长)，请判断上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由．
第 22页，共 31页
【答案】(1)由题意得： = 40 米， = 60 米， = = 27 米， = 12 米， ⊥ 轴， ⊥
轴，
∴ = 27 12 = 15 米， = 60 40 = 20 米，
∴ 20, 15 ．
故答案为 20, 15
(2) ∵ = = 27 15 = 12 米，
∴ 20,12
∵ 40,0 , 0,0 ，
∴设下垂电缆的抛物线表达式为： = + 40 ，
∴ 20 20 + 40 = 12，
1
解得： = 100，
∴ 1 1 2下垂电缆的抛物线表达式为： = 100 + 40 =
2
100 + 5 ．
(3)这种电缆的架设符合安全要求，理由如下：
(1) = 1由 可知： 2100 +
2
5 ， 40, 27 ， 20, 15 ，
设斜坡 解析式为 = + ，
∴ 27 = 40 + =
1
15 = 20 + ，解得： 5 = 19
∴ = 1斜坡 解析式为 5 19，
1 2 1 1
则电缆与坡面的铅直高度 = 100
2 + 5 5 19 = 100 + 10
2 + 18．
∵ 1100 > 0，
∴当 = 10 时， 有最小值为 18，即 min = 18 > 13.5，
∴这种电缆的架设符合安全要求．
【解析】【分析】本题考查二次函数的实际应用，一次函数的实际应用．
(1)由题意可求出 = 15 米， = 20 米，即得出 20, 15 .又可求出 = 12 米，即得出 20,12 ．
(2)结合 40,0 , 0,0 ，利用待定系数法求解即可；
(3) 1利用待定系数法可求出斜坡 解析式为 = 5 19 =
1
，即可求出电缆与坡面的铅直高度 100 +
10 2 + 18.再根据二次函数的性质求解即可．
第 23页，共 31页
26.(本小题 7 分)
已知抛物线 = 2 + + ( > 0)．
(1)若抛物线过点( 3, )，(5, )，求抛物线的对称轴；
(2)已知点(0, 0)，( 1, 1)，( 4, 2)，(2, )在抛物线上，其中 2 < 1 < 1，若存在 1使 1 > ，试比较
0， 1， 2的大小关系．
【答案】解：(1) ∵抛物线过点( 3, )，(5, )，
∴ ( 3, )，(5, )关于对称轴对称，
∴ 3+5抛物线的对称轴是 = 2 = 1．
(2)设抛物线 = 2 + + ( > 0)的对称轴为 = ，
由题知，(2, )在 = 的右侧，( 1, 1)在 = 的左侧，
∵ > 0，存在 1 > ，
∴点( 1, 1)到 = 大于 点(2, )到 = 的距离，
∴ ( 1, 1)到 = 的距离为： 1，点(2, )到 = 的距离为：2 ，
∴ 1 > 2 ，
∴ > 2+ 12 ，
∵ 2 < 1 < 1，
∴ 0 < 2+ 12 <
1
2，
∴ 0 < < 12，
∴ (0, 0)，( 1, 1)，( 4, 2)都在函数的左侧，
∴ > 0，
∴抛物线 = 2 + + 开口向上，在对称轴左侧函数随着 的增大而减小，
∵ 4 < 1 < 0，
∴ 2 > 1 > 0．
【解析】(1)抛物线过点( 3, )，(5, )，可知( 3, )，(5, )关于对称轴对称，即可求解；
(2)设抛物线 = 2 + + ( > 0)的对称轴为 = ，先求出 的取值范围，再根据函数的增减性即可求解．
本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与 轴的交点问题，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
27.(本小题 8 分)
第 24页，共 31页
在△ 中， = ， 是边 上一动点，连接 ，将 绕点 逆时针旋转到 的位置，使得∠ +
∠ = 180°．
(1)如图 1，当∠ = 90°，连接 交 于点 ，若 平分∠ ， = 2，
①则∠ =__； = ．
②求 的长；
(3)如图 2，连接 ，取 的中点 ，连接 ，猜想 与 存在的数量关系，并证明．
【答案】解：(1)①90，2；
②由①知，△ ≌△ ( )，
∴ = = 2，∠ = ∠ = 45°，
∴ ∠ = 90°，
∴ ∠ + ∠ = 90°，
∵ 平分∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ + ∠ = 90°，
∵ ∠ = 90°，
∴ ∠ + ∠ = 90°，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ = = 2，
∴ = = 22 = 2；
(2) = 12 ，
理由：如图，延长 至点 ，使 = ，连接 ，
第 25页，共 31页
∵ 是 的中点，
∴ = 12 ，
∵ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 180°，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ = ， = ，
∴ = ，
∵ = ，
∴△ ≌△ ( )，
∴ = ，
∴ = 12 ．
【解析】【分析】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，旋转的性质，角平分线的性质等有关知识．
(1)连接 ，过点 作 ⊥ 于 ，判断出 = ，再判断出∠ = ∠ ，进而得出△ ≌△ ( )，
得出 = = 2，∠ = ∠ = 45°，再判断出 = = 2，即可得出结论；
(2)由(1)知△ ≌△ ( )， = = 2，则 = = 2 可得答案；2
(3)延长 至点 ，使 = 1，连接 ，得出 = 2 ，再判断出△ ≌△ ( )，得出 = ，
即可得出结论．
【解答】
解：(1)如图，连接 ，过点 作 ⊥ 于 ，
第 26页，共 31页
∵ 平分∠ ，∠ = 90°，
∴ = ，
∵ = ，
∴ ∠ = ∠ = 45°，
∴ = 2 ，2
∵ ∠ + ∠ = 180°，
∴ ∠ = ∠ = 90°，
∴ ∠ = ∠ ，
由旋转知， = ，
∴△ ≌△ ( )，
∴ = = 2，∠ = ∠ = 45°，
∴ ∠ = 90°，
∴ ∠ + ∠ = 90°，
∵ 平分∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ + ∠ = 90°，
∵ ∠ = 90°，
∴ ∠ + ∠ = 90°，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ = = 2．
故答案为：2，2；
(2)见答案；
(3)见答案．
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28.(本小题 7 分)
在平面直角坐标系 中，对于直线 ： = + ，给出如下定义：若直线 与某个圆相交，则两个交点之
间的距离称为直线 关于该圆的“圆截距”．
(1)如图 1，⊙ 的半径为 1，当 = 1， = 1 时，直接写出直线 关于⊙ 的“圆截距”；
(2)点 的坐标为( 1,0)，
①如图 2，若⊙ 的半径为 1，当 = 1 4时，直线 关于⊙ 的“圆截距”小于5 5，求 的取值范围；
②如图 3，若⊙ 的半径为 2，当 的取值在实数范围内变化时，直线 关于⊙ 的“圆截距”的最小值为 2 2，
直接写出 的值．
【答案】解：(1)当 = 1， = 1 时，则一次函数解析式为 = + 1，
∴此时一次函数与坐标轴的交点坐标为(1,0)，(0,1)，
∵ (1,0)，(0,1)到原点的距离都为 1，
∴ (1,0)，(0,1)都在⊙ 上，即⊙ 与一次函数的交点坐标即为(1,0)，(0,1)，
∴“圆截距”= 12 + 12 = 2；
(2)①如图 2.1 所示，
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当直线 经过点 (0,1)， ( 2,0)时，代入得：
2 + = 0
= 1 ，
= 1解得： 2；
∵ = 1， = 2，∠ = 90°．
∴ = 2 + 2 = 5．
∴ cos∠ = =
2
5 5．
设 与⊙ 的另一个交点为 ，连接 ，可知∠ = 90°．
∴ = cos∠ = 45 5.即此时直线 关于⊙
4
的“圆截距”为5 5．
1
结合图形可知 0 < < 2．
如图 2.2 所示，当直线 经过点(0,1)，( 1, 1)时，同理可得 = 2．
4
由对称性可知此时直线 关于⊙ 的“圆截距”为5 5．
结合图形可知 > 2．
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0 < < 1 4综上，当 2或 > 2 时直线 关于⊙ 的“圆截距”小于5 5；
②如图所示，设直线 与⊙ 交于 、 ，与 轴交于 ，过点 作 ⊥ 于 ，连接 ，
∴ = 2 ，
在 △ 中，由勾股定理得 = 2 2 = 4 2，
∴当 最小时， 最小，即此时 最小，
∵ ≤ ，
∴当点 与点 重合时， 最小，即此时 最小，
∵直线 关于⊙ 的“圆截距”的最小值为 2 2，即 最小 = 2 2，
∴ = 12 = 2，
∴ = 2 2 = 2，
∵ (0, )，
∴ 1 + 2 = 2，
解得 =± 1．
【解析】(1)先求出⊙ 与一次函数的交点坐标即为(1,0)，(0,1)，再根据“圆截距”的定义利用勾股定理求
解即可；
(2) 1 4①求出当直线 经过点 (0,1)， ( 2,0)时， = 2，解直角三角形求出此时 = 5 5；求出当直线 经过
点(0,1)，( 1, 1)时， = 2 4，由对称性可知此时直线 关于⊙ 的“圆截距”为5 5，两种情况结合函
数图象求解即可；
②如图所示，设直线 与⊙ 交于 、 ，与 轴交于 ，过点 作 ⊥ 于 ，连接 ，先证明当点 与点
重合时， 最小，即此时 最小，再由 最小 = 2 2，求出 = 2，可得 1 +
2 = 2，解得 =± 1．
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本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，一次函数与几何综合，解直角三角形，勾股定理等等，正确理解
题意利用数形结合的思想求解是解题的关键．
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