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浓度问题
1．甲容器中有8%的食盐水350克，乙容器中有12.5%的食盐水200克。往甲、乙两个容器中分别倒入等量的水，使两个容器中的食盐水浓度一样。应倒入多少克水？
2．要把30%的糖水与15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克？
3．在甲容器中装有浓度为10.5%的盐水90毫升，乙容器中装有浓度为11.7%的盐水210毫升．如果先从甲、乙容器中倒出同样多的盐水，再将它们分别倒入对方的容器内搅匀，结果得到浓度相同的盐水．甲、乙两个容器各倒出了多少毫升盐水？
4．有含盐20%的盐水25千克，加入一些水后含盐8%，加了多少千克水？
5．学校需要配制两杯含盐率相同的盐水，第一杯中放了18克盐和200克水，第二杯中有水500克，需要加盐多少克？
6．笑笑按照说明书上1：4的比调制了一杯100毫升的蜂蜜水给妈妈喝，妈妈尝了一口，说：“笑笑，你把这杯水的甜味调得再淡些吧，浓度是10%就可以了。”同学们，你能帮笑笑想想办法吗？请通过列式计算说明你的方法。
7．妈妈将20kg含蜂蜜30%的蜂蜜水，加水稀释配成含蜂蜜20%的蜂蜜水，需加水多少千克？
8．实验室里面有甲、乙两种不同的盐酸溶液：甲种溶液浓度为45%，有10千克；乙种溶液浓度为60%，有5千克，王老师把两种溶液混在一起，得到的盐酸溶液的浓度是多少？
9．一个萝卜刚从农地里采收时含水量是90%，在太阳下晒了一个小时后，10%的水分流失了，请问此时萝卜的含水量是百分之多少？
10．用浓度是30%和10%的糖水混合配制浓度为20%的糖水200克，需要浓度是30%和10%的糖水各多少克？
11．在浓度为15%的盐水中加入39千克水和1千克盐，浓度变为10%，这时，再加入多少千克盐，浓度变为20%？
12．小明要用一杯盐水做鸡蛋沉浮实验，他从老师那里领了一杯质量是420克的盐水，盐与水的质量之比是1：20．现在他想把盐水兑淡一些，使得盐与水的质量之比是1：25，需要加多少克水？
13．有三杯重量相等的溶液，它们的浓度依次是10%，20%，45%，如果依次将三个杯子中的溶液重量的倒入第四个空杯子中，则第四个杯子中溶液的浓度是多少？
14．第1个容器里有15%的糖水300克，第2个容器里有10%的糖水600克，往两个容器里倒入等量的水，使两个容器中糖水的浓度一样。每个容器里倒入的水应是多少千克？
15．有浓度为25%的A种盐水溶液80克，将其与120克B种盐水溶液混合后，得到浓度为16%的盐水溶液．求B种盐水溶液的浓度．
16．一容器内盛有浓度为45%的盐水，若再加入16千克水，则浓度变为25%．这个容器内原来含有盐多少千克？
17．有甲、乙、丙三种盐水，甲种盐水含盐率为4%，乙种盐水含盐率为5%，丙种盐水含盐率为6%现在从某一种盐水中取出一部分，再加入一些水，搅拌均匀后得到含盐率为2%的盐水30克如果这项工作让你来做，你打算用 　 　 种盐水，取 　 　 克，加水 　 　 克．
18．有甲、乙、丙三瓶溶液，甲比乙浓度高6%，乙的浓度则是丙的4倍，如果把乙溶液倒入甲中，就会使甲溶液的浓度比原来下降2.4%；如果把丙溶液倒入乙溶液中，就会使乙溶液的浓度比原来下降2.25%；如果把甲、丙两瓶溶液混合，则混合液的浓度正好等于乙溶液的浓度。请问：甲、乙、丙三瓶溶液的重量比是多少？它们的浓度分别是多少？
19．甲种酒精4千克，乙种酒精6千克，混合成的酒精含纯酒精62%；如果甲种酒精和乙种酒精一样多，那么混合成的酒精含纯酒精61%．甲种酒精中含酒精的百分数是多少？
20．在实验室里有一瓶含盐为15%的盐水200克，现要把它改制成含盐10%的盐水应加入水、还是盐？应加入多少克？
21．从两块分别重10千克和15千克且含铜百分比不同的合金上切下质量相同的一块，再把切下的那一块与另一块后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的那一块质量是多少千克？
22．一杯300克的盐水，浓度为20%，要让浓度增加到30%，需要浓度为50%的盐水多少克？
23．张叔叔调制浓度为10%的盐水24千克，再加入多少千克水，就可以得到浓度为8%的盐水？
24．有含盐率为15%的盐水60千克，根据需要使盐水的含盐率变为25%，那么，我们可以加盐多少千克？
25．将100克浓度为40%的盐水和150克浓度为10%的盐水混合，要配制成浓度为30%的盐水，需再加浓度为40%的盐水多少克？
26．瓶中装有浓度为15%的酒精溶液1000克，现在又分别倒入100克和400克的A、B两种酒精溶液，瓶里的酒精溶液浓度变为14%，已知A种酒精溶液浓度是B种酒精溶液浓度的2倍，那么B种酒精溶液的浓度是多少？
27．酒精溶液A、B、C的质量分别为1500g，200g，1200g，三个溶液混合在一起刚好配成浓度为14%的酒精溶液．现已知A溶液含酒精20%，B溶液的酒精含量是C溶液的4倍，求B溶液的酒精含量？
28．瓶中原有浓度为20%的酒精溶液1000克，现在先后倒入A种酒精溶液200克，B种酒精溶液400克，瓶中溶液浓度变成了15%，已知A种酒精溶液浓度是B种酒精溶液浓度的2倍，那么B种酒精溶液的浓度是多少？
29．一杯盐水，第一次加入一定量的水后盐水浓度变为15%；第二次又加入同样多的水，盐水的浓度变为12%；第三次再加入同样多的水，盐水的浓度将变为百分之几？
30．在浓度为15%的100克盐水中加入盐，使盐水浓度变成20%，需要加入多少克的盐？
31．水果店有苹果90千克，如果大小分开卖，大苹果每千克4元，小苹果每千克的售价是大苹果的，如果混合着卖每千克元．如果你是店主，你打算怎么卖？
32．一堆火柴共75根，甲、乙两人轮流每次取1至8根，甲先取，乙后取，规定谁取到最后一根火柴就获胜。甲要想一定能获胜，该怎样取火柴？
33．盘子里放有58块水果糖，笑笑和淘气两人轮流取，每次取1～3块，谁取得最后一块谁获胜。如果笑笑先取，那么怎样取笑笑一定能获胜？
34．数学游戏：两人轮流报数，每次只能报1或2，把两人报的所有数加起来，谁先报数后和是12，谁就获胜。如果是你和同桌玩，你要确保获胜，你应该选择先报还是后报？应该怎么报？
35．小军、小明、小勇三人参加学校跳绳比赛，规定时间是5分钟，结果小军前2分钟共跳128下，小明前3分钟共跳186下，小勇前2分钟共跳126下，如果三人跳的速度保持不变，那么三人中谁能获胜？
36．两人轮流报数，每次只能报1或3，把两人报的数加起来．
（1）谁报数后和是33，谁就获胜．想一想：为了确保获胜，你应该先报还是后报？应该怎样报？
（2）谁报数后和是44，谁就获胜，如果让你先报，你能保证一定获胜吗？为什么？
37．小猿和车甫正在玩一个卡片游戏。桌上一共有21张卡片，上面分别写着1～21，并且按顺序排成了一行。从小猿开始，每人轮流拿走3张卡片，要求拿走的3张卡片上的数必须是连续的3个数，谁先无法按照规则拿走卡片或无卡片可以拿谁输。请你帮小猿想一个必胜的方法。（卡片不能旋转）
38．甲、乙两个人轮流取石子，每人每次可以取1枚、3枚或x枚，规定拿到最后一个石子的获胜．已知石子总数不超过70个，甲发现无论x等于2或4或6，他都没有必胜策略，那么总共有多少个石子？
39．在一堆棋子（22枚）中，两个人轮流取，一次可以取2枚或3枚棋子，不能不取，或多取，取到最后一枚棋子的为胜利者．第一个取的人应采取怎样的策略，才能保证自己胜利？
40．从49名学生中选一名班长，小明、小红、小华为候选人，统计37票后的结果是小红15票、小明10票、小华12票．小红至少还要得多少票才能确保当上班长？
41．前面有一条河，假设人只能骑牛过河，共有A、B、C、D头牛，A牛过河要2分钟，B牛过河要3分钟，C牛过河要4分钟，D牛过河要7分钟，每次只能赶两头牛过河，人要把4头牛都赶到对岸去，最少要几分钟？
42．某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少人？
43．21个珠子，两人轮流拿，每次能拿1个或2个，谁拿到最后1个谁获胜，如果你想确保获胜，应该怎样拿珠子？
44．有30枚棋子，两人轮流拿，每次最少拿1枚，最多拿3枚，拿到最后1枚的人取胜，如果你先拿，那么你怎样拿能保证必胜？
45．桌上放着69根小棒，甲、乙两个同学轮流取．每次只能取走2根、3根、5根或6根．规定谁取走最后一根获胜．甲先取了2根，乙第一次取几根才能保证必然获胜．
46．甲、乙两人轮流依次报数，从1报起，报数的个数之和为5，但不能不报，前一个人报到某数，后一个人就从下一个数接着报下去，谁先报到28谁就获胜，甲为了获胜他应采用何种策略？
47．有两堆火柴，一堆3根，另一堆7根。甲、乙两人轮流取火柴，每次可以从每一堆中取任意根火柴，也可以同时从两堆中取相同数目的火柴。每次至少要取走一根火柴。谁取得最后一根火柴谁胜。如果都采用最佳方法，那么谁将获胜？
48．小明和小红玩棋子游戏，每人每次只能取1枚、2枚或3枚，不能不取．谁先取得第20枚谁就获胜，如果让小明先取，取了2枚，小红要怎样取才能确保获胜？
49．有20粒珠子，甲、乙两人轮流从中拿走1粒或2粒，谁拿到最后一粒珠子谁就获胜。为了确保获胜，甲应该怎样拿珠子？
50．两人轮流报数，每次只能报1或2．把两人报的数加起来，谁报数后的和是13，谁就获胜．想一想：如果让你先报数，为了确保获胜，你第一次应该报几？接下来应该怎样报？
51．一个盒子里有24颗大小和材质都相同的扣子，两个人轮流拿扣子，但是每次只能拿1颗或者2颗，谁拿到最后一颗扣子谁就获胜了。如果是你，怎么做才能获胜？
52．10张卡片，两人轮流拿，每次能拿1张或2张，谁拿到最后1张谁获胜．如果让你先拿，怎样拿能够确保胜利？
53．小明和小红在为谁先摆硬币而吵起来了，原来他们在玩摆1元硬币的游戏，游戏规则是这样的：1元硬币若干枚和一张圆形桌子，两人依次轮流在圆形的桌面上摆硬币，一次只能摆一枚硬币，硬币之间不能重叠，也不能摆出桌面，摆好后不能移动，谁摆到最后摆不下就算输，是先摆的赢还是后摆的赢？怎样摆才会必胜？你有什么游戏的诀窍吗？把你的想法写下来。
54．有80粒珠子，甲、乙两人轮流从中取珠子（甲先取），每人至少取1粒，至多取4粒，谁取到最后一粒谁就输．你认为甲有必胜的策略吗？怎样取才能确保获胜？
55．把下面这瓶400g的糖水改配成含糖率为8%的糖水，需加水多少克？
56．甲、乙两种酒各含酒精72%和48%，要配制含酒精64%的酒3600克，应当从这两种酒精中各取多少克？
57．在浓度为15%的盐水中加入39千克水和1千克盐，浓度变为10%，这时，再加入多少千克盐，浓度变为20%？
58．甲容器中有纯酒精11升，乙容器中有水15升，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合，第二次将乙容器的一部分倒入甲容器，这样甲中含纯酒精62.5%，乙中含纯酒精25%，求：第一次从乙倒入甲容器的混合液是多少升？
59．浓度10%的酒精溶液50克、浓度15%的酒精溶液50克与浓度12%的酒精溶液100克混合，混合后的酒精溶液浓度是多少？
浓度问题
参考答案与试题解析
1．甲容器中有8%的食盐水350克，乙容器中有12.5%的食盐水200克。往甲、乙两个容器中分别倒入等量的水，使两个容器中的食盐水浓度一样。应倒入多少克水？
【答案】1050克。
【分析】先分别求出甲、乙容器中含盐的重量，可设倒入等量的水为x克，根据两个容器中盐水的浓度一样即含盐率相等，列方程解答即可。
【解答】解：350×8%＝28（克）
200×12.5%＝25（克）
设要倒入x克水，由题意得：
（200+x）×28＝（350+x）×25
5600+28x＝8750+25x
3x＝3150
x＝1050
答：应倒入水1050克水。
【点评】此题考查了浓度问题，主要根据含盐率相等列方程解决问题。
2．要把30%的糖水与15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克？
【答案】浓度是30%的糖水400克，浓度是15%的糖水200克。
【分析】根据浓度问题中各部分之间的关系，设30%的糖水x克，则15%的糖水（600﹣x）克，利用混合前两种糖水所含糖的质量之和与混合之后糖水所含糖的质量相等（溶质不变）列方程，解答即可。
【解答】解：设需要30%的糖水x克。
30%x+15%×（600﹣x）＝600×25%
0.3x+90﹣0.15x＝150
0.15x＝60
x＝400
600﹣400＝200（克）
答：需要浓度是30%的糖水400克，浓度是15%的糖水200克。
【点评】本题主要考查浓度问题，关键利用浓度问题中溶质和溶剂的关系做题。
3．在甲容器中装有浓度为10.5%的盐水90毫升，乙容器中装有浓度为11.7%的盐水210毫升．如果先从甲、乙容器中倒出同样多的盐水，再将它们分别倒入对方的容器内搅匀，结果得到浓度相同的盐水．甲、乙两个容器各倒出了多少毫升盐水？
【答案】见试题解答内容
【分析】由于交换前后两容器中溶液的重量均没有改变，而交换一定量的盐水其目的是将原来两容器中溶液的浓度由不同变为相同，而且交换前后两容器内盐水的重量之和也没有改变，根据这个条件我们可以先计算出两容器中的盐水浓度达到相等时的数值，从而再计算出应交换的盐水的量．
【解答】解：两容器中盐水混合后浓度为：
（90×10.5%+210×11.7%）÷（90+210）
＝（9.45+24.57）÷300
＝34.02÷300
＝11.34%；
所以应交换的盐水的量为：
（90×11.34%﹣90×10.5%）÷（11.7%﹣10.5%）
＝（10.206﹣9.45）÷1.2%
＝0.756÷0.012
＝63（毫升）；
答：甲、乙两个容器各倒出了63毫升盐水．
【点评】上述解法抓住了交换前后两容器中的盐水质量没有改变，以及交换前后两容器内的盐水质量之和也没有改变这一关键条件，进行列式解答．
4．有含盐20%的盐水25千克，加入一些水后含盐8%，加了多少千克水？
【答案】37.5千克。
【分析】盐的质量不变，先求出盐的质量是（25×20%）千克，再除以8%求出后来盐水的质量，最后与25千克相减即可求出加水质量。
【解答】解：25×20%÷8%﹣25
＝62.5﹣25
＝37.5（千克）
答：加了37.5千克水。
【点评】此题的关键是先求出盐的质量，然后再进一步解答。
5．学校需要配制两杯含盐率相同的盐水，第一杯中放了18克盐和200克水，第二杯中有水500克，需要加盐多少克？
【答案】45克。
【分析】第二杯水的克数是第一杯水的2.5倍，因此放盐的克数也应是18克的2.5倍。
【解答】解：500÷200＝2.5
18×2.5＝45（克）
答：第二杯中有水500克，需要加盐45克。
【点评】此题主要考查了浓度问题的解决方法，要熟练掌握，也可以根据含盐率作答。
6．笑笑按照说明书上1：4的比调制了一杯100毫升的蜂蜜水给妈妈喝，妈妈尝了一口，说：“笑笑，你把这杯水的甜味调得再淡些吧，浓度是10%就可以了。”同学们，你能帮笑笑想想办法吗？请通过列式计算说明你的方法。
【答案】加水100毫升。
【分析】把比看作份数，则蜂蜜有100÷（1+4）＝20（毫升），浓度是10%，则蜂蜜水应有20÷10%＝200（毫升），原有蜂蜜水100毫升，因此还需要加水100毫升。
【解答】解：100÷（1+4）＝20（毫升）
20÷10%＝200（毫升）
200﹣100＝100（毫升）
答：需要加水100毫升。
【点评】此题的关键是明确蜂蜜的质量不变，然后再进一步解答
7．妈妈将20kg含蜂蜜30%的蜂蜜水，加水稀释配成含蜂蜜20%的蜂蜜水，需加水多少千克？
【答案】10千克。
【分析】先求出20kg蜂蜜水中含的蜂蜜：20×30%＝6（千克），然后根据蜂蜜千克数不变再求出加水稀释配成含蜂蜜20%的蜂蜜水：6÷20%＝30（千克），最后求出需要加的水：30﹣20＝10（千克）。
【解答】解：20×30%＝6（千克）
6÷20%＝30（千克）
30﹣20＝10（千克）
答：需加水10千克。
【点评】做这题的关键是学生要知道前后两种蜂蜜水所含的蜂蜜是相同的，此题是常规题。
8．实验室里面有甲、乙两种不同的盐酸溶液：甲种溶液浓度为45%，有10千克；乙种溶液浓度为60%，有5千克，王老师把两种溶液混在一起，得到的盐酸溶液的浓度是多少？
【答案】50%。
【分析】根据溶液的质量×溶液浓度＝盐酸的质量，代入数据分别求出甲乙两种溶液中含有盐酸的质量，把两种溶液中的盐酸质量加起来，再根据盐酸的质量÷溶液的质量×100%＝混合后的溶液浓度，代入数据即可得解。
【解答】解：（45%×10+60%×5）÷（10+5）×100%
＝（4.5+3）÷15×100%
＝7.5÷15×100%
＝50%
答：得到的盐酸溶液的浓度是50%。
【点评】此题的解题关键是理解浓度的意义，掌握求一个数的百分之几是多少和求一个数占另一个数的百分之几的计算方法。
9．一个萝卜刚从农地里采收时含水量是90%，在太阳下晒了一个小时后，10%的水分流失了，请问此时萝卜的含水量是百分之多少？
【答案】见试题解答内容
【分析】设萝卜的质量是1，原来的含水量是90%，那么水的质量就是1×90%，10%的水分流失了，是把原来水的质量看成单位“1”，用水的质量乘10%，求出流失部分水的质量，进而求出现在水的质量和现在萝卜的质量，再用现在水的质量除以现在萝卜的质量即可求解．
【解答】解：设萝卜的质量是1，
则：原来水的质量：1×90%＝0.9
流失部分水的质量：0.9×10%＝0.09
现在水的质量：0.9﹣0.09＝0.81
现在萝卜的质量1﹣0.09＝0.91
现在萝卜的含水量：
0.81÷0.91×100%≈89.0%
答：此时萝卜的含水量是89.0%．
【点评】解决本题注意单位“1”的变化，明确：水的质量和萝卜的总质量都发生了变化．
10．用浓度是30%和10%的糖水混合配制浓度为20%的糖水200克，需要浓度是30%和10%的糖水各多少克？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据浓度问题中各部分之间的关系，设30%的糖水x克，则10%的糖水（200﹣x）克，利用所含糖的质量列方程为：30%x+10%×（200﹣x）＝200×20%，解方程即可求出30%糖水的质量，然后再求10%的糖水的质量即可．
【解答】解：设需要30%的糖水x克，则
30%x+10%×（200﹣x）＝200×20%
0.3x+20﹣0.1x＝40
0.2x＝20
x＝100
200﹣100＝100（克）
答：需要浓度是30%的糖水100克，浓度是10%的糖水100克．
【点评】本题主要考查浓度问题，关键利用浓度问题中溶质和溶剂的关系做题．
11．在浓度为15%的盐水中加入39千克水和1千克盐，浓度变为10%，这时，再加入多少千克盐，浓度变为20%？
【答案】12.5千克。
【分析】在浓度为15%的盐水中加入39千克水和1千克盐，浓度变为10%，这时，再加入多少千克盐，浓度变为20%？
【解答】解：设原来x千克15%的盐水，则
（15%x+1）÷（x+39+1）＝10%
（0.15x+1）÷（x+40）＝0.1
1.5x+10＝40+x
0.5x＝30
x＝60
（60+39+1）×（1﹣10%）÷（1﹣20%）﹣（60+39+1）
＝90÷0.8﹣100
＝112.5﹣100
＝12.5（千克）
答：再加12.5千克盐，浓度变为20%。
【点评】此题主要考查百分数的实际应用，关键先求原来盐水的重量。
12．小明要用一杯盐水做鸡蛋沉浮实验，他从老师那里领了一杯质量是420克的盐水，盐与水的质量之比是1：20．现在他想把盐水兑淡一些，使得盐与水的质量之比是1：25，需要加多少克水？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据已知条件可知：原来盐占盐水的，现在盐占盐水的；盐水的浓度被加水稀释，这一过程中盐的重量不变；先根据原来的浓度求出盐的重量；再用盐的重量除以后来盐水的浓度，就是后来盐水的总重量，后来盐水的总重量减去原来盐水的总重量就是需要加水的重量．
【解答】解：420420
＝20×26﹣420
＝520﹣420
＝100（克）
答：需加水100克．
【点评】本题关键是找准不变的盐的重量，把盐的重量当成中间量，求出后来盐水的总重量，进而求解．
13．有三杯重量相等的溶液，它们的浓度依次是10%，20%，45%，如果依次将三个杯子中的溶液重量的倒入第四个空杯子中，则第四个杯子中溶液的浓度是多少？
【答案】见试题解答内容
【分析】设三杯溶液都重1千克，则从第一杯中取出的重：1（千克），浓度为：10%；从第二杯中取出重1（千克），浓度为20%；从第三杯中取出1（千克），浓度为45%．所以第四杯重：（千克），浓度为：（）100%≈21.1%．
【解答】解：设原来每个杯子中都是1千克，则
（）÷（）×100%
100%
≈21.1%
答：第四个杯子中溶液的浓度大约是21.1%．
【点评】本题主要考查浓度问题，关键是要抓住题中没有变化的量，不管哪个试管中的溶质，都是来自最初的某种浓度的溶液中，运用倒推的思维来解答．
14．第1个容器里有15%的糖水300克，第2个容器里有10%的糖水600克，往两个容器里倒入等量的水，使两个容器中糖水的浓度一样。每个容器里倒入的水应是多少千克？
【答案】0.6千克。
【分析】先分别求出第1、2个容器中含盐的重量，可设倒入等量的水为x千克，根据两个容器中盐水的浓度一样即含盐率相等，列方程解答即可。
【解答】解：300×15%＝45（克）
600×10%＝60（克）
设要倒入x千克水，由题意得：
（300+x）×60＝（600+x）×45
18000+60x＝27000+45x
15x＝9000
x＝600
600克＝0.6千克
答：每个容器应倒入水0.6千克。
【点评】此题考查了浓度问题，主要根据两个容器中含盐率相等列方程解决问题。
15．有浓度为25%的A种盐水溶液80克，将其与120克B种盐水溶液混合后，得到浓度为16%的盐水溶液．求B种盐水溶液的浓度．
【答案】见试题解答内容
【分析】含盐量25%是指盐的浓度，即盐的重量占盐水总重量的25%，由此用乘法求出A容器中盐的重量；再求出A、B混合后盐水的总重量，根据含盐量16%的盐水溶液求出混合后的盐的重量；进而求出B容器中盐的重量；用B容器中盐的重量除以B容器盐水的重量乘100%就是乙容器盐水的浓度．
【解答】解：A容器中盐的重量：80×25%＝20（克）；
混合后盐水溶液重量：（80+120）＝200（克）；
混合后的盐的重量：200×16%＝32（克）；
（32﹣20）÷120×100%
＝12÷120×100%
＝10%；
答：原来B容器中盐水的浓度是10%．
【点评】解决本题先理解浓度的含义，找出单位“1”，然后根据求单位“1”的百分之几用乘法求出盐的重量，再根据浓度的含义求出B容器的浓度．
16．一容器内盛有浓度为45%的盐水，若再加入16千克水，则浓度变为25%．这个容器内原来含有盐多少千克？
【答案】见试题解答内容
【分析】此题可先求出原来盐水的重量，然后根据含盐量，求出原来盐水中含盐多少千克．在求原来盐水的重量时，可设原来盐水重量为x千克，根据含盐量不变，列出方程，解方程即可．
【解答】解：设原来盐水重量为x千克，则：
45%x＝（x+16）×25%
0.45x＝0.25x+4
0.2x＝4
x＝20
20×45%＝9（千克）
答：这个容器内原来含盐9千克．
【点评】此题在求原来盐水的重量时，根据含盐量不变，列出方程解答．
17．有甲、乙、丙三种盐水，甲种盐水含盐率为4%，乙种盐水含盐率为5%，丙种盐水含盐率为6%现在从某一种盐水中取出一部分，再加入一些水，搅拌均匀后得到含盐率为2%的盐水30克如果这项工作让你来做，你打算用 　丙　 种盐水，取 　10　 克，加水 　20　 克．
【答案】见试题解答内容
【分析】如果取丙种盐水，设取丙种盐水x克，则应加水为（30﹣x）克，则根据盐水中的含盐量一定，列出方程6%×x＝30×2%，解方程求得丙种盐水的重量，进而得出加水的重量，解决问题．
【解答】解：设取丙种盐水x克，则加水为（30﹣x）克，
6%×x＝30×2%
6%x÷6%＝60%÷6%
x＝10；
所以30﹣10＝20（克）；
答：打算用丙种盐水，取10克，加水20克．
故答案为：丙，10，20．
【点评】解答此题的关键是先确定取哪种盐水，再利用盐水的含盐的量相等列出方程解决问题．
18．有甲、乙、丙三瓶溶液，甲比乙浓度高6%，乙的浓度则是丙的4倍，如果把乙溶液倒入甲中，就会使甲溶液的浓度比原来下降2.4%；如果把丙溶液倒入乙溶液中，就会使乙溶液的浓度比原来下降2.25%；如果把甲、丙两瓶溶液混合，则混合液的浓度正好等于乙溶液的浓度。请问：甲、乙、丙三瓶溶液的重量比是多少？它们的浓度分别是多少？
【答案】3：2：6，甲浓度为10%，乙的浓度为4%，丙的浓度为1%。
【分析】依据题意设乙的浓度为x%，甲、乙、丙三种溶液的质量分别为：a，b，c，则甲的浓度为（x+6）%，丙的浓度为（x÷4）%，利用浓度变化列方程计算即可。
【解答】解：设乙的浓度为x%，甲乙丙三种溶液的质量分别为：a，b，c，则甲的浓度为（x+6）%，丙的浓度为（x÷4）%，由题意得：
b×x%+a×（x+6）%＝（a+b）×（x+6%﹣2.4%），化简得：2a＝3b
b×x%+c×（x÷4）%＝（b+c）×（x%﹣2.25%），化简得：2.25b＝3cx÷4﹣2.25c
a×（x+6）%+c×（x÷4）%＝（a+c）×x%，化简得：6a＝3cx÷4
由2a＝3b，2.25b＝3cx÷4﹣2.25c，6a＝3cx÷4，可得：b＝cx÷12，x＝4，c＝3b
则质量比为3：2：6，
甲浓度为：4%+6%＝10%，丙的浓度为：4%÷4＝1%
答：甲、乙、丙三瓶溶液的重量比是3：2：6，甲浓度为10%，乙的浓度为4%，丙的浓度为1%。
【点评】本题考查的是浓度问题的应用。
19．甲种酒精4千克，乙种酒精6千克，混合成的酒精含纯酒精62%；如果甲种酒精和乙种酒精一样多，那么混合成的酒精含纯酒精61%．甲种酒精中含酒精的百分数是多少？
【答案】见试题解答内容
【分析】甲种酒精4升，乙种酒精6升，混成的酒精含纯酒精62%，即乙种酒精比甲多了2升，其中纯酒精共（4+6）×62%＝6.2（升）；如果用4升甲与4升乙混合，那么混合成的酒精含纯酒精61%，其中纯酒精共（4+4）×61%＝4.88（升）；也即2升乙酒精中含纯酒精6.2﹣4.88＝1.32（升），所以乙种酒精中含纯酒精的百分数为：（1.32÷2）×100%＝66%，甲为：61%×2﹣66%＝56%，据此解答即可．
【解答】解：（4+6）×62%＝6.2（升）；
如果用4升甲与4升乙混合，那么混合成的酒精含纯酒精61%，其中纯酒精共（4+4）×61%＝4.88（升）；
2升乙酒精中含纯酒精6.2﹣4.88＝1.32（升），
乙种酒精中含纯酒精的百分数为：（1.32÷2）×100%＝66%，
甲为：61%×2﹣66%＝56%，
答：甲种酒精中含纯酒精56%，乙种酒精中含纯酒精66%．
【点评】解答此题的关键是：由题意得出纯酒精的量，进而得出乙种酒精多出的2升中的纯酒精的量，从而求出乙种酒精的纯度，问题逐步得解．
20．在实验室里有一瓶含盐为15%的盐水200克，现要把它改制成含盐10%的盐水应加入水、还是盐？应加入多少克？
【答案】见试题解答内容
【分析】盐的浓度变小了，说明水多了，所以应加水，再抓住盐水中盐的重量，所以先根据一个数乘分数的意义，求出原来200克盐水中盐的重量，即：200×15%＝30克，因为盐的重量不变，再根据后来要配制成含盐10%的盐水，用盐的质量除以10%求出后来盐水的重量，最后用后来盐水的重量减去原来盐水的重量，即可得出需加水的重量．
【解答】解：200×15%÷10%﹣200
＝30÷0.1﹣200
＝300﹣200
＝100（克）
答：应加入水，应加入100克．
【点评】解答此题的关键：盐的浓度变小了，说明水多了，所以加水，再抓住题中盐的重量不变，要先算出原来盐水中的盐的重量，再利用浓度公式进行计算．
21．从两块分别重10千克和15千克且含铜百分比不同的合金上切下质量相同的一块，再把切下的那一块与另一块后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的那一块质量是多少千克？
【答案】6千克。
【分析】由题意可知，（10千克合金中纯铜的质量+另一块切下的纯铜的质量）÷10＝（15千克合金中纯铜的质量+另一块切下的纯铜的质量）÷15，根据这个等量关系列方程解答。
【解答】解：设切下的质量为x千克，10千克的合金的含铜量为a，15千克的合金的含铜量为b。
[（10﹣x）×a+bx]÷10＝[（15﹣x）×b+ax]÷15
[（10﹣x）×a+bx]÷10×150＝[（15﹣x）×b+ax]÷15×150
15[（10﹣x）×a+bx）]＝10[（15﹣x）×b+ax]
15a（10﹣x）+15bx＝10b（15﹣x）+10ax
150a﹣15ax+15bx＝150b﹣10bx+10ax
150a﹣15ax+15bx+15ax＝150b﹣10bx+10ax+15ax
150a+15bx＝150b﹣10bx+25ax
150a+15bx+10bx＝150b﹣10bx+25ax+10bx
150a+25bx＝150b+25ax
150a+25bx﹣25bx＝150b+25ax﹣25bx
150a﹣150b＝25（a﹣b）x+150b﹣150b
25（a﹣b）x＝150（a﹣b）
25（a﹣b）x÷25＝150（a﹣b）÷25
（a﹣b）x÷（a﹣b）＝6（a﹣b）÷（a﹣b）
x＝6
答：切下的那一块质量是6千克。
【点评】列方程解决问题的关键是找准题目中的等量关系。
22．一杯300克的盐水，浓度为20%，要让浓度增加到30%，需要浓度为50%的盐水多少克？
【答案】见试题解答内容
【分析】浓度20%是指盐的质量占盐水总质量的20%，把原来盐水的质量看成单位“1”，用原来盐水的质量乘20%即可求出原来盐的质量；同理可得：如果设需要加入浓度为50%的盐水x克，那么它含盐的质量就是50%x克；混合后盐水的总质量就是（300+x）克，而此时盐的质量就是（300+x）×30%克；再根据原来两种盐水中盐的质量和等于混合后盐的质量列出方程求解即可．
【解答】解：设需要加入浓度为50%的盐水x克，则：
300×20%+50%x＝（300+x）×30%
60+0.5x＝90+0.3x
0.2x＝30
x＝150
答：需要浓度为50%的盐水150克．
【点评】解决本题在理解浓度的基础上表示出三者盐水中盐的质量，再找出等量关系列出方程求解．
23．张叔叔调制浓度为10%的盐水24千克，再加入多少千克水，就可以得到浓度为8%的盐水？
【答案】6。
【分析】设加入x千克水，加水前后，盐水中盐的质量不变，据此列出方程求解即可。
【解答】解：设加入x千克水，根据加水前后，盐的质量不变：
24×10%＝（24+x）×8%
240＝（24+x）×8
240÷8＝（24+x）×8÷8
30＝24+x
30﹣24＝24+x﹣24
x＝6
答：再加入6千克水，就可以得到浓度为8%的盐水。
【点评】本题主要考查了浓度问题，找到前后不变的量，是本题解题的关键。
24．有含盐率为15%的盐水60千克，根据需要使盐水的含盐率变为25%，那么，我们可以加盐多少千克？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，有含盐率为15%的盐水60千克，要使盐水的含盐率变为25%，求可以加盐多少千克，意思是水的重量不变，这样就可以先求60千克盐水中水的重量，再根据已知比一个数少百分之几的数是多少求这个数，即可求出含盐率为25%的盐水的重量；减去原来盐水的重量就是需要加盐的重量．由此解答．
【解答】解：60×（1﹣15%）÷（1﹣25%）﹣60
＝60×0.85÷0.75﹣60
＝51÷0.75﹣60
＝68﹣60
＝8（千克）
答：可以加盐8千克．
【点评】解答此题的关键是抓住不变的数量，即水的重量没有变化，求出含盐率为25%的盐水的重量，减去原来盐水的重量就是需要加盐的重量．
25．将100克浓度为40%的盐水和150克浓度为10%的盐水混合，要配制成浓度为30%的盐水，需再加浓度为40%的盐水多少克？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据已有盐水的浓度和质量，算出第一次混合后的浓度，即（100×40%+150×10%）÷（100+150）＝22%，然后根据“十字相乘法”解答即可．
【解答】解：（100×40%+150×10%）÷（100+150）
＝55÷250
＝22%
（40%﹣30%）：（30%﹣22%）
＝10%：8%
＝5：4
（100+150）÷5×4
＝250÷5×4
＝200（克）
答：需再加浓度为40%的盐水200克．
【点评】不管是哪类的浓度问题，最关键的思维是要抓住题中没有变化的量，灵活应用“十字相乘法”解决浓度问题．
26．瓶中装有浓度为15%的酒精溶液1000克，现在又分别倒入100克和400克的A、B两种酒精溶液，瓶里的酒精溶液浓度变为14%，已知A种酒精溶液浓度是B种酒精溶液浓度的2倍，那么B种酒精溶液的浓度是多少？
【答案】10%。
【分析】根据倒入前后的不同浓度分布求出酒精的量，再根据“A种酒精溶液浓度是B种酒精溶液浓度的2倍”就可以把这两种溶液看成一种来计算，根据含酒精的量和溶液的总重量就可以求出浓度。
【解答】解：三种混合的溶液量：1000+100+400＝1500（克）
总含酒精：14%×1500＝210（克）
原来含酒精：15%×1000＝150（克）
A、B两种溶液共含酒精：210﹣150＝60（克）
由于A的浓度是B的2倍，那么100克A溶液的酒精含量相当于B溶液的：100×2＝200（克）
B的浓度为：60÷（400+200）×100%＝10%
答：B种酒精溶液的浓度是10%。
【点评】本题考查了浓度问题，浓度是指溶液中溶质占溶液的百分比，计算方法是：浓度＝（溶质重量÷溶液重量）×100%，只要知道了其中的两个量即可求出另一个量。
27．酒精溶液A、B、C的质量分别为1500g，200g，1200g，三个溶液混合在一起刚好配成浓度为14%的酒精溶液．现已知A溶液含酒精20%，B溶液的酒精含量是C溶液的4倍，求B溶液的酒精含量？
【答案】见试题解答内容
【分析】用三种酒精溶液的总质量乘14%求出总的纯酒精的质量，再减去浓度为14%的酒精溶液中的纯酒精的质量，即为B、C溶液中的纯酒精的质量，然后求出两者的质量比和浓度比，再根据按比例分配的方法求出B溶液中的纯酒精的质量，最后除以它的质量就是B溶液的酒精含量．
【解答】解：（1500+200+1200）×14%
＝2900×14%
＝406（克）
1500×20%＝300（克）
200：1200＝1：6
（1×4）：（6×1）＝2：3
（406﹣300）÷（2+3）×2
＝106÷5×2
＝42.4（克）
42.4÷200＝21.2%
答：B溶液的酒精含量是21.2%．
【点评】本题考查了比较复杂的浓度问题，关键是求出B溶液中的纯酒精的质量．
28．瓶中原有浓度为20%的酒精溶液1000克，现在先后倒入A种酒精溶液200克，B种酒精溶液400克，瓶中溶液浓度变成了15%，已知A种酒精溶液浓度是B种酒精溶液浓度的2倍，那么B种酒精溶液的浓度是多少？
【答案】5%。
【分析】先求出混合后溶液的质量，根据浓度100%，求出混合后酒精的总质量，求出原来酒精的质量，相减即可得出A、B两种溶液共含酒精数，再根据“A种酒精溶液是B种酒精溶液浓度的2倍”我们就可以把这两种溶液看成一种来计算，根据含酒精的量和溶液的总质量就可以求出浓度。
【解答】解：三种混合后溶液重：
1000+200+400＝1600（克），
总含酒精：
15%×1600＝240（克），
原来含酒精：
20%×1000＝200（克），
A、B两种溶液共含酒精：
240﹣200＝40（克）．
由于A的浓度是B的2倍，那么200克A溶液的酒精含量相当于B溶液酒精的含量：
200×2＝400（克）；
B溶液的浓度是：
100%＝5%。
答：B种酒精溶液的浓度是5%。
【点评】本题关键是对于“A种酒精溶液是B种酒精溶液浓度的2倍”的理解，这句话说明要使A、B两种溶液的溶质的质量相等，那么B溶液的质量应是A溶液的2倍。
29．一杯盐水，第一次加入一定量的水后盐水浓度变为15%；第二次又加入同样多的水，盐水的浓度变为12%；第三次再加入同样多的水，盐水的浓度将变为百分之几？
【答案】10.
【分析】由题意可知：第一次加入一定量的水后，盐水含盐量的百分比变为15%，第二次又加入同样多的水，盐水含盐量的百分比变为12%，那么由含盐量不变即可列式计算。
【解答】解：第一次加入一定量的水后，盐水含盐量的百分比变为15%，第二次又加入同样多的水，盐水含盐量的百分比变为12%，
那么由含盐量不变，
第二次又加入同样多的水后，
含盐量＝第一次加入一定量的水后的盐水×12%+第二次所加入的水的重量×12%＝第一次加入一定量的水后的盐水×15%，
所以第一次加入一定量的水后的盐水：所加入一定量的水＝12%：15%﹣12%＝4：1；
所以未加水时的盐水：每次所加入一定量的水＝（4﹣1）：1＝3：1；
所以第三次加入同样多的水，盐水含盐量的百分比将变为15%＝10%。
故答案为：10。
【点评】此题关键是明白什么引起的浓度变化。
30．在浓度为15%的100克盐水中加入盐，使盐水浓度变成20%，需要加入多少克的盐？
【答案】6.25克。
【分析】因为两种浓度不同的盐水中，水的重量是不变量，因此，根据15%的盐水有100克，求出水的重量是100×（1﹣15%），又因为20%的盐水中水的重量占（1﹣20%），因此，根据分数除法的意义可以求出20%的盐水的重量，最后用20%的盐水重量减去100克即可。
【解答】解：100×（1﹣15%）÷（1﹣20%）﹣100
＝100×85%÷80%﹣100
＝106.25﹣100
＝6.25（千克）
答：需要加入6.25克的盐。
【点评】解答此题的重点是求含盐20%的盐水的重量，关键是求不变量水的重量。
31．水果店有苹果90千克，如果大小分开卖，大苹果每千克4元，小苹果每千克的售价是大苹果的，如果混合着卖每千克元．如果你是店主，你打算怎么卖？
【答案】见试题解答内容
【分析】先计算全部混合卖，一共可以卖多少钱：90315（元），现在考虑当大苹果有多少千克时分开卖的总价等于混合卖的价格．
【解答】解：设大苹果有x千克，小苹果有（90﹣x）千克．
4x+（90﹣x）×490
4x+270﹣3x＝315
x＝315﹣270
x＝45
答：当大苹果有45千克，小苹果有45千克时分开卖与混合卖收入一样，当大苹果超过45千克时分开卖收入更高，当大苹果小于45千克时混合卖收入更高．
【点评】先找到分开卖与混合卖收入相等时两种苹果的各自重量是解题的关键．
32．一堆火柴共75根，甲、乙两人轮流每次取1至8根，甲先取，乙后取，规定谁取到最后一根火柴就获胜。甲要想一定能获胜，该怎样取火柴？
【答案】甲先取3根，以后每次两人取的数量和为9。
【分析】由甲、乙两人轮流拿，每人每次拿1至8根，75÷（1+8）＝8……3，有余数，先取者可获胜，甲先取3根，以后每次两人取的数量和为9，据此制定策略即可。
【解答】解：75÷（1+8）＝8……3
有余数，为确保获胜，甲先取3根，以后每次两人取的数量和为9；
甲取胜策略：甲先取3根，然后如果乙取m根（m＜9），则甲取（9﹣m）根，甲、乙共取了9根，余下的根数仍为9的倍数。
如此反复，直至余下的数量为9根后，乙再取了若干根，甲就可全部取光，即可获胜。
【点评】本题属于典型的不会输的游戏，这种类型的应用题，一般结合余数分析问题，制定策略。
33．盘子里放有58块水果糖，笑笑和淘气两人轮流取，每次取1～3块，谁取得最后一块谁获胜。如果笑笑先取，那么怎样取笑笑一定能获胜？
【答案】笑笑先取2块，这样无论淘气怎么取，只要笑笑每次取的块数与淘气的和是4，最后总余4块，不论淘气怎么取，最后一次总是笑笑取，笑笑一定获胜。
【分析】58÷4＝14……2，由于有余数2，如果笑笑先取，要使笑笑一定获胜，先把余下的2块取走，这样无论淘气怎么取，只要笑笑每次取的块数与淘气的和是4，最后总余4块，不论淘气怎么取，最后一次总是笑笑取，笑笑一定获胜，据此即可解答问题。
【解答】解：58÷（1+3）＝14……2
由于有余数2，所以笑笑先取2块，这样无论淘气怎么取，只要笑笑每次取的块数与淘气的和是4，最后总余4块，不论淘气怎么取，最后一次总是笑笑取，笑笑一定获胜。
【点评】要解答正确首先要明确获胜策略：最后一次只剩4块，保证每次两人取的块数和是4块。
34．数学游戏：两人轮流报数，每次只能报1或2，把两人报的所有数加起来，谁先报数后和是12，谁就获胜。如果是你和同桌玩，你要确保获胜，你应该选择先报还是后报？应该怎么报？
【答案】后报；同桌报1我就报2，同桌报2我就报1。
【分析】根据题意可知，12是3的倍数，如果我要想获胜，则我应该后报数。用12除以1与2的和，商是几，则我报的数与同桌报的数和为3即可，依此解答。
【解答】解：12÷（1+2）
＝12÷3
＝4
所以如果是我和同桌玩，我要确保获胜，我应该选择后报；同桌报1我就报2，同桌报2我就报1，这样保证两个每次报数和为3，我就获得胜利。
【点评】熟练掌握优化问题的计算，是解答此题的关键。
35．小军、小明、小勇三人参加学校跳绳比赛，规定时间是5分钟，结果小军前2分钟共跳128下，小明前3分钟共跳186下，小勇前2分钟共跳126下，如果三人跳的速度保持不变，那么三人中谁能获胜？
【答案】小军能获胜。
【分析】根据除法的意义可知，小军每分钟跳128÷2＝64（下），小明每分钟跳186÷3＝62（下），小勇每分钟跳126÷2＝63（下），64＞63＞62，所以小军能获胜；据此解答即可。
【解答】解：小军每分钟跳的次数：128÷2＝64（下）
小明每分钟跳的次数：186÷3＝62（下）
小勇每分钟跳的次数：126÷2＝63（下）
64＞63＞62
所以如果三人跳的速度保持不变，那么三人中小军能获胜。
【点评】根据除法的意义用每人跳的次数除以每人跳的时间，得出每人每分钟能跳多少下是完成本题的关键。
36．两人轮流报数，每次只能报1或3，把两人报的数加起来．
（1）谁报数后和是33，谁就获胜．想一想：为了确保获胜，你应该先报还是后报？应该怎样报？
（2）谁报数后和是44，谁就获胜，如果让你先报，你能保证一定获胜吗？为什么？
【答案】（1）我应该先报，先报1，然后每次保证他和我报的数和是4；
（2）不能保证，如果我先报，无论报1或者3，只要对方报的数和我报的数和为4，对方一定会获胜。
【分析】（1）3+1＝4，33÷4＝8……1，所以我应该先报1，然后每次保证他和我报的数和是4即可；
（2）44÷4＝11，没有余数，所以如果我先报，无论报1或者3，只要对方报的数和我报的数和为4，对方一定会获胜。
【解答】解：（1）3+1＝4
33÷4＝8……1
所以我应该先报1，然后每次保证他和我报的数和是4即可；
（2）44÷4＝11，没有余数，
所以如果我先报，无论报1或者3，只要对方报的数和我报的数和为4，对方一定会获胜。
所以，不能保证一定获胜。
【点评】本题主要考查了最佳对策问题，用目标数除以每次报数的和，看是否有余数来判断先报还是后报，是本题解题的关键。
37．小猿和车甫正在玩一个卡片游戏。桌上一共有21张卡片，上面分别写着1～21，并且按顺序排成了一行。从小猿开始，每人轮流拿走3张卡片，要求拿走的3张卡片上的数必须是连续的3个数，谁先无法按照规则拿走卡片或无卡片可以拿谁输。请你帮小猿想一个必胜的方法。（卡片不能旋转）
【答案】小猿第一次拿6、7、8，第二次拿11、12、13或17、18、19。（答案不唯一）
【分析】让小猿必胜，就是要控制从这21张卡片中只能按规则拿出奇数次，5张连续的卡片只能拿1次，8张连续的卡片必然拿2次，13张连续的卡片最少能拿3次，据此可以设计让小猿必胜的方案。
【解答】解：小猿第一次拿走6、7、8，把卡片分为前面连续的5张，后面连续的13张；第二次轮到小猿拿时，因为13和17之间有3张卡片，在后面连续的13张中小猿必然能拿到11、12、13或17、18、19，这13张中剩下的10张被分为连续的2张和连续的8张，做到以上两点，无论车甫怎么拿，连续的8张必然拿2次，1～5必然拿一次，21张卡片拿出5次连续的3张后就不能再拿出连续的3张，小猿必胜。（答案不唯一）
【点评】解答此题的关键在于如何控制21卡片拿出连续3张的次数必然为奇数次。
38．甲、乙两个人轮流取石子，每人每次可以取1枚、3枚或x枚，规定拿到最后一个石子的获胜．已知石子总数不超过70个，甲发现无论x等于2或4或6，他都没有必胜策略，那么总共有多少个石子？
【答案】56个。
【分析】由于甲没有必胜策略，说明最后的石子被乙拿走了；因为甲先取，乙可以使自己每次取的石子个数与甲取的个数之和为7，即“1+6”“3+4”，且有可能被2整除，同时能被7整除。由此解答即可。
【解答】解：由于甲没有必胜策略，说明最后的石子被乙拿走了；因为甲先取，乙可以使自己每次取的石子个数与甲取的个数之和为7，即“1+6”“3+4”，且有可能被2整除，同时能被7整除。
所以石子的个数为：70÷7＝10
7×9＝63（个），不能被2整除；
7×8＝56（个），能被2整除；
答：那么总共有56个石子。
【点评】此题考查最佳对策问题。学会应用逆向思维解答。
39．在一堆棋子（22枚）中，两个人轮流取，一次可以取2枚或3枚棋子，不能不取，或多取，取到最后一枚棋子的为胜利者．第一个取的人应采取怎样的策略，才能保证自己胜利？
【答案】第一次取的时候直接取2枚，以后对方取2枚我方就取3枚；对方取3枚我方就取2枚，这样就一定能保证自己胜利．
【分析】因为每人每次可取2枚或3枚棋子，所以只要第一个人先拿2枚，另一个人就只能拿3枚，如果先取3枚，剩下的就取2枚，反正第一个人先拿走后和另一个人再拿的枚数和起来是5，则保证甲获胜．
【解答】解：第一次取的时候直接取2枚，以后对方取2枚我方就取3枚；
对方取3枚我方就取2枚，这样就一定能保证自己胜利．
【点评】关键是保证第一个人先拿走后和另一个人再拿的枚数和起来是5．
40．从49名学生中选一名班长，小明、小红、小华为候选人，统计37票后的结果是小红15票、小明10票、小华12票．小红至少还要得多少票才能确保当上班长？
【答案】见试题解答内容
【分析】小红至少再得5张票才能保证以票数最多当选．由题可知49 名学生，有 37 张选票，还可以有 49﹣37＝12张选票． 又知小红 15 票，小明10 票，小华 12 票，小红比小华多3张，如果三人再各得 4 张选票，小红当选；若小红得 4 张，小明不得，小华得 8 张，小华选票＞小红选票，小红不当 选；若小红得 5 张，小明不得，小华得 7 张，小红选票＞小华选票，小红必当选．
【解答】解：由题可知还剩选票：49﹣37＝12（张），
如果把这12张平均得，每人得：12÷3＝4（张），
小红15+4＝19（张），小明10+4＝14（张），小华12+4＝16（张），小红当选．
如小红得4张，小明不得，小华得8张，15+4＜12+8，小华当选，小红不当选．
如小红得5张，小明不得，小华得7张，15+5＞12+7，小红当选．
所以至少得 5 张才能保证得票最多当选．
答：小红至少再得5张票才能保证票数最多当选为班长．
故选：B．
【点评】此题关键是看看，还剩几张，现在多的两人差几张，余下的平均几张，就能找到答案．
41．前面有一条河，假设人只能骑牛过河，共有A、B、C、D头牛，A牛过河要2分钟，B牛过河要3分钟，C牛过河要4分钟，D牛过河要7分钟，每次只能赶两头牛过河，人要把4头牛都赶到对岸去，最少要几分钟？
【答案】18分钟。
【分析】根据题意，A和B先送到对岸，需3分钟，然后骑A回来2分钟；C和D送过河，需7分钟，骑B回来；A和B再过河，需3分钟，据此解答。
【解答】解：A和B先送到对岸，需3分钟，然后骑A回来2分钟；C和D送过河，需7分钟，骑B回来；A和B再过河，需3分钟，
3+2+7+3+3＝18（分钟）
答：最少要18分钟。
【点评】本题主要考查最佳对策问题，关键找到正确的组合一起过河。
42．某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少人？
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据题意，设应安排生产螺母x人，则应安排生产螺钉（26﹣x）人；然后根据：每人每天可以生产螺母的数量×安排生产螺母的工人的人数＝每人每天可以生产螺钉的数量×安排生产螺钉的工人的人数×2，列出方程，求出x的值是多少，进而求出应安排生产螺母多少人即可．
【解答】解：设应安排生产螺钉x人，
则1000x＝800×（26﹣x）×2
1000x＝41600﹣1600x
1000x+1600x＝41600﹣1600x+1600x
2600x＝41600
2600x÷2600＝41600÷2600
x＝16
26﹣16＝10（人）
答：应安排生产螺钉的工人10人，生产螺母的工人16人．
【点评】此题主要考查了工程问题的应用，以及一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键．
43．21个珠子，两人轮流拿，每次能拿1个或2个，谁拿到最后1个谁获胜，如果你想确保获胜，应该怎样拿珠子？
【答案】让对方先拿，只要保证每次两人所拿的个数和为3，就能获胜．
【分析】21÷（1+2）＝7，没有余数，所以后拿者可获胜，只要保证每次两人所拿的个数和为3；据此制定策略即可．
【解答】解：21÷（1+2）＝7
没有余数，所以让对方先拿，对方拿1个，我拿2个；对方拿2个，我拿1个；所以只要保证每次两人所拿的个数和为3，就能获胜．
答：让对方先拿，只要保证每次两人所拿的个数和为3，就能获胜．
【点评】如何制定最佳策略，要根据具体的“对策现象”来分析．一般来说，要结合余数问题来选择制胜策略．
44．有30枚棋子，两人轮流拿，每次最少拿1枚，最多拿3枚，拿到最后1枚的人取胜，如果你先拿，那么你怎样拿能保证必胜？
【答案】如果让我先拿，则先拿2枚，以后对方拿n（1≤n≤3）枚，我就拿（4﹣n）枚，则最后剩下的4枚，无论对方怎么拿，都由我拿最后一枚，即可取胜．
【分析】由已知要求，先取者只要到最后一次给后取者剩下4枚就能保证赢，因此，不管后取者取多少枚，最后的赢家定是先取者．由此可得到第一次取后要留下的应是4的倍数．
【解答】解：因每人每次取的枚数是最少1枚，最多3枚，所以先取者只要到最后一次给后取者剩下4枚，
因此，不管后取者取多少枚，最后的赢家定是先取者．
为此，先取者取后留下的枚数是4的倍数即28、24、20、16、12、8、4．
所以先取者为战胜对手，第一次应取2枚．
答：如果让我先拿，则先拿2枚，以后对方拿n（1≤n≤3）枚，我就拿（4﹣n）枚，则最后剩下的4枚，无论对方怎么拿，都由我拿最后一枚，即可取胜．
【点评】此题考查的知识点是推理与论证，关键是先取者取后留下的枚数是4的倍数．
45．桌上放着69根小棒，甲、乙两个同学轮流取．每次只能取走2根、3根、5根或6根．规定谁取走最后一根获胜．甲先取了2根，乙第一次取几根才能保证必然获胜．
【答案】见试题解答内容
【分析】（69﹣2）÷（2+6）＝8…3，由于有余数3，如果甲先取，要使乙一定获胜，先把余下的3根取走，这样无论甲怎么取，只要乙每次取的根数与甲的和是8，最后一次总是乙取，乙一定获胜．
【解答】解：（69﹣2）÷（2+6）＝8…3，
由于有余数3，如果甲先取2根，要使乙一定获胜，先把余下的3根取走，
这样无论甲怎么取，只要乙每次取的根数与甲的和是8，最后一次总是乙取，乙一定获胜．
【点评】要解答正确首先要明确获胜策略：最后一次只剩8根，保证每次两人取的根数和是8根．
46．甲、乙两人轮流依次报数，从1报起，报数的个数之和为5，但不能不报，前一个人报到某数，后一个人就从下一个数接着报下去，谁先报到28谁就获胜，甲为了获胜他应采用何种策略？
【答案】见试题解答内容
【分析】28÷5＝5…3，先报数者可获胜，假设甲先报数，每次两人所报的数的个数和为5，即先报的数总是5的倍数；据此制定策略即可．
【解答】解：先报数者可获胜，假设甲先报数，
甲获胜的策略：28÷5＝5…3，
甲先报3个数，则余下的个数为5的倍数，如果乙报m个数（m＜6），则甲报（5﹣m）个数，甲乙共报了5个数，余下的个数仍为5的倍数．
如此反复，直至余下的个数为5个后，乙再取了若干个后，甲就可全部报完，甲就可获胜．
答：先报者必胜．先报3个，以后每次报的个数与对方合起来是5．
【点评】本题属于典型的不会输的游戏，即如果所给的数除以5，有余数，先报余数，再与对方报的个数和是5，即可获胜，如果没有余数，就让对方先报，自己再报时与对方报的数的个数和是5，自己一定获胜．
47．有两堆火柴，一堆3根，另一堆7根。甲、乙两人轮流取火柴，每次可以从每一堆中取任意根火柴，也可以同时从两堆中取相同数目的火柴。每次至少要取走一根火柴。谁取得最后一根火柴谁胜。如果都采用最佳方法，那么谁将获胜？
【答案】假设甲获胜，甲最终将两堆火柴都变为0，简记（0，0）；因为甲至少取1根火柴，所以甲取之前，即乙留给甲的两堆火柴最少的几种情况是（1，0），（2，0）或（1，1）；要想乙留给甲上述情况，甲应该留给乙（1，2）；再往前逆推，当甲留给乙（3，5）时，无论乙怎样取，甲都可以一次取完所有的火柴或留给乙（1，2）。所以甲先从7根火柴的一堆取出2根，留给乙（3，5），甲必胜。
【分析】采用逆推法分析，假设甲获胜，甲最终将两堆火柴都变为0，简记（0，0）；因为甲至少取1根火柴，所以甲取之前，即乙留给甲的两堆火柴最少的几种情况是（1，0），（2，0）或（1，1）；要想乙留给甲上述情况，甲应该留给乙（1，2）；再往前逆推，当甲留给乙（3，5）时，无论乙怎样取，甲都可以一次取完所有的火柴或留给乙（1，2）。所以甲先从7根火柴的一堆取出2根，留给乙（3，5），甲必胜。据此解答。
【解答】解：假设甲最终将两堆火柴都变为0，简记（0，0）；也就是假设甲获胜。
因为甲至少取1根火柴，所以甲取之前，即乙留给甲的两堆火柴最少的几种情况是（1，0），（2，0）或（1，1）；
要想乙留给甲上述情况，甲应该留给乙（1，2）；
再往前逆推，当甲留给乙（3，5）时，无论乙怎样取，甲都可以一次取完所有的火柴或留给乙（1，2）。
所以甲先从7根火柴的一堆取出2根，留给乙（3，5），则甲必胜。
【点评】本题主要考查最佳对策的应用，关键是利用逆推法、假设法解答问题。
48．小明和小红玩棋子游戏，每人每次只能取1枚、2枚或3枚，不能不取．谁先取得第20枚谁就获胜，如果让小明先取，取了2枚，小红要怎样取才能确保获胜？
【答案】见试题解答内容
【分析】（20﹣2）÷（1+3）＝4…2，先取者可获胜，如果小明先取2枚，小红要取2枚，然后每次两人取的数量和为4，然后结合余数制定策略即可．
【解答】解：先取者可获胜，如果小明先取2枚，
小红获胜的策略：（20﹣2）÷（1+3）＝4…2，
小明先取2枚，小红要取2枚，则余下的枚数为4的倍数，如果小红取m枚（m＜5），则小明取（4﹣m）枚，小明和小红共取了4枚，余下的枚数仍为4的倍数．
如此反复，直至余下的枚数为4枚后，小明再取了若干枚后，小红就可全部取光，即取得第26枚，小红就可获胜．
答：如果让小明先取，取了2枚，小红要取2枚，然后每次两人取的数量和为4取才能确保获胜．
【点评】本题属于典型的不会输的游戏，即如果所给的数除以4，有余数，先拿余数，再与对方拿的个数和是4，即可获胜，如果没有余数，就让对方先拿，自己再拿时与对方拿的个数和是4，自己一定获胜．
49．有20粒珠子，甲、乙两人轮流从中拿走1粒或2粒，谁拿到最后一粒珠子谁就获胜。为了确保获胜，甲应该怎样拿珠子？
【答案】甲先拿，要想取胜，需要先拿2粒，如果乙拿1粒，甲就拿2粒，若乙拿2粒，甲就拿1粒，即始终保持每一轮两个人拿走的粒数和是3，即可保证甲取胜。
【分析】这个问题可以倒着推：20减去2，还剩下18，正好是3的倍数；所以先拿的那个人要想取胜，需要先拿2粒，如果另一个拿1粒，先拿的就拿2粒，若另一个拿2粒，先拿的那个人就拿1粒，即始终保持每一轮两个人拿走的粒数和是3，即可保证先拿的那个人取胜。
【解答】解：甲先拿，要想取胜，需要先拿2粒，如果乙拿1粒，甲就拿2粒，若乙拿2粒，甲就拿1粒，即始终保持每一轮两个人拿走的粒数和是3，即可保证甲取胜。
【点评】此题考查的知识点是推理与论证，解答此题需要逆向思维，因为是抢20，故应先从20倒推，20，17，14，11，8，5，2的顺序。
50．两人轮流报数，每次只能报1或2．把两人报的数加起来，谁报数后的和是13，谁就获胜．想一想：如果让你先报数，为了确保获胜，你第一次应该报几？接下来应该怎样报？
【答案】我第一次应该报1；以后每次报的数始终都与另一人报的数的和是3．
【分析】因为13÷（1+2）＝4…1，所以，先报的一定要报1，然后每次报的数始终都与另一人的和是3，一定会赢．
【解答】解：因为，13÷（1+2）＝4…1，
所以先报数的人第1次一定要报1，和还剩13﹣1＝12，12是3的倍数，
所以，以后每次报的数始终都与另一人报的数的和是3，
最后一次总是先报数的人，
所以只要这样做先报数的人一定会赢．
答：为了确保获胜，我第一次应该报1；以后每次报的数始终都与另一人报的数的和是3．
【点评】本题关键根据余数确定先报的数，以后每次报的数始终都与另一人报的数的和是3，一定会赢．
51．一个盒子里有24颗大小和材质都相同的扣子，两个人轮流拿扣子，但是每次只能拿1颗或者2颗，谁拿到最后一颗扣子谁就获胜了。如果是你，怎么做才能获胜？
【答案】让对手先拿，对手如果拿1颗，我就拿2颗；对手如果拿2颗，我就拿1颗。确保每次二人拿的个数的和是3，就可获胜。
【分析】因为24是3的倍数，所以让对手先拿，对手如果拿1颗，我就拿2颗；对手如果拿2颗，我就拿1颗。确保每次二人拿的个数的和是3，就可获胜。
【解答】解：24÷3＝8
没有余数，所以后取的能获胜。所以让对手先拿，对手如果拿1颗，我就拿2颗；对手如果拿2颗，我就拿1颗。确保每次二人拿的个数的和是3，就可获胜。
【点评】本题属于典型的不会输的游戏，即如果所给的数除以3，有余数，先拿余数，再与对方拿的个数和是3，即可获胜；如果没有余数，就让对方先拿，自己再拿时与对方拿的个数和是3，自己一定获胜。
52．10张卡片，两人轮流拿，每次能拿1张或2张，谁拿到最后1张谁获胜．如果让你先拿，怎样拿能够确保胜利？
【答案】我第一次要拿1张，每次两人取的数量和为3，才能保证获胜．
【分析】10÷（1+2）＝3…1，先取者可获胜，余数是1，如果我先取1张，然后每次使两人取的数量和为3，然后结合余数制定策略即可．
【解答】解：先取者可获胜，如果我先取，
10÷（1+2）＝3…1
我获胜的策略：
我先取1张，则余下的张数为3的3倍，如果另一个人取m张（m＜3），则我就取（3﹣m）张，两个人共取了3张，余下的张数仍为3的2倍．
如此反复，直至余下的张数为3张后，另一个人再取了若干张后，我就可全部取光，我就可获胜．
答：我第一次要拿1张，每次两人取的数量和为3，才能保证获胜．
【点评】如何制定最佳策略，要根据具体的“对策现象”来分析．一般来说，要结合余数问题来选择制胜策略．
53．小明和小红在为谁先摆硬币而吵起来了，原来他们在玩摆1元硬币的游戏，游戏规则是这样的：1元硬币若干枚和一张圆形桌子，两人依次轮流在圆形的桌面上摆硬币，一次只能摆一枚硬币，硬币之间不能重叠，也不能摆出桌面，摆好后不能移动，谁摆到最后摆不下就算输，是先摆的赢还是后摆的赢？怎样摆才会必胜？你有什么游戏的诀窍吗？把你的想法写下来。
【答案】先摆的赢，先摆在桌子中心，然后无论对方摆在哪里，都可以在与之对称的地方摆。
【分析】谁想取胜就争取先摆硬币，第一枚硬币摆在圆形桌面的中心处，然后对方摆一枚硬币，你就摆在与对方关于圆形桌面的中心对称的位置上，这样只要对方能摆下硬币，你就能摆下硬币，并且最后摆放一枚硬币。
【解答】
【点评】本题主要考查最佳方法问题，利用圆既是轴对称图形，又是中心对称图形分析解答是关键。
54．有80粒珠子，甲、乙两人轮流从中取珠子（甲先取），每人至少取1粒，至多取4粒，谁取到最后一粒谁就输．你认为甲有必胜的策略吗？怎样取才能确保获胜？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据每人至少取1粒，最多取4粒，谁取到最后一粒，就算谁输，那就让每次取出的和是5，再根据80除以5的余数，确定先取的数，以保证先取的人获胜．
【解答】解：80÷（1+4）＝16，没有余数，所以保证甲一定获胜的对策是：
（1）先取4粒珠子，这时还剩76粒珠子，
（2）下面轮到乙取，如果乙取n粒（1≤n≤4），甲就取“5﹣n”粒，
经过15个轮回后，就取出15×5＝75粒珠子，
还剩1粒珠子，这1粒必定留给乙取．
答：为保证一定获胜，则甲要先取4粒珠子，然后乙取n粒（1≤n≤4），甲就取“5﹣n“粒．
【点评】解答此题的关键是知道先取的数是多少，和每次应该怎么取，即可得出答案．
55．把下面这瓶400g的糖水改配成含糖率为8%的糖水，需加水多少克？
【答案】见试题解答内容
【分析】加水使含糖率降低，这一过程中糖的量不变，先根据原来的含糖率求出糖的质量，然后用糖的质量除以后来的含糖率求出后来糖水的总质量，再用后来的糖水总质量减去原来的糖水总质量就是需要加水的质量．
【解答】解：400×15%÷8%﹣400
＝60÷8%﹣400
＝750﹣400
＝350（克）
答：需要加水350克．
【点评】本题关键是抓住不变的糖的质量，把糖的质量作为中间量求出后来糖水的总质量即可求解．
56．甲、乙两种酒各含酒精72%和48%，要配制含酒精64%的酒3600克，应当从这两种酒精中各取多少克？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，设需要甲酒x克，则需要乙酒（3600﹣x）克，根据酒精的含量不变，有：甲种酒中酒精含量+乙种酒中酒精含量＝64%的酒的酒精含量，列方程求解即可．
【解答】解：设需要甲酒x克，则需要乙酒（3600﹣x）克，
72%x+48%×（3600﹣x）＝3600×64%
0.72x+0.48×3600﹣0.48x＝3600×0.64
0.24x＝3600×（0.64﹣0.48）
0.24x＝3600×0.16
x＝2400
3600﹣2400＝1200（克）
答：需要甲种酒2400克，乙种酒1200克．
【点评】本题主要考查浓度问题，关键根据酒精的含量不变做题．
57．在浓度为15%的盐水中加入39千克水和1千克盐，浓度变为10%，这时，再加入多少千克盐，浓度变为20%？
【答案】见试题解答内容
【分析】设原来x千克15%的盐水，根据浓度问题中，各部分之间的关系，列方程：（15%x+1）÷（x+39+1）＝10%，求出原来用多少盐水；然后根据水的质量：（60+39+1）×（1﹣10%），求现在的盐水．然后用现在盐水的质量减掉原来盐水的质量，就是加入的盐的质量．
【解答】解：设原来x千克15%的盐水，则
（15%x+1）÷（x+39+1）＝10%
（0.15x+1）÷（x+40）＝0.1
1.5x+10＝40+x
0.5x＝30
x＝60
（60+39+1）×（1﹣10%）÷（1﹣20%）﹣（60+39+1）
＝90÷0.8﹣100
＝112.5﹣100
＝12.5（千克）
答：再加12.5千克盐，浓度变为20%．
【点评】本题主要考查百分数的应用，关键利用浓度问题中溶质、溶液和溶剂之间的关系做题．
58．甲容器中有纯酒精11升，乙容器中有水15升，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合，第二次将乙容器的一部分倒入甲容器，这样甲中含纯酒精62.5%，乙中含纯酒精25%，求：第一次从乙倒入甲容器的混合液是多少升？
【答案】见试题解答内容
【分析】要抓住不变的量，第一次从甲容器中倒入乙容器中一部分纯酒精，那么乙容器中不变的量是水，还是原来的15升，乙溶液的酒精浓度是25%，则溶液为：15÷（1﹣25%）＝20（升），这个数量就是第一次操作后乙中溶液的体积，那么从甲中倒入的体积就是：20﹣15＝5（升）． 甲中还剩：11﹣5＝6（升），第二次从乙容器中倒入甲容器中就要用到平均数的知识，第二次是甲容器里有6升纯酒精（含量为100%）比混合后总浓度62.5%，所以，第一次从乙中倒入甲中的：（100%﹣62.5%）×6÷（62.5%﹣25%）＝6（升）．
【解答】解：15÷（1﹣25%）＝20（升）
20﹣15＝5（升）
11﹣5＝6（升）
（100%﹣62.5%）×6÷（62.5%﹣25%）
＝37.5×6÷37.5
＝6（升）
答：第一次从乙倒入甲容器的混合液是6升．
【点评】本题主要考查浓度问题，关键找到不变量，根据溶液、溶质和溶剂之间的关系做题．
59．浓度10%的酒精溶液50克、浓度15%的酒精溶液50克与浓度12%的酒精溶液100克混合，混合后的酒精溶液浓度是多少？
【答案】见试题解答内容
【分析】先计算各种酒精溶液中酒精的含量，以及酒精溶液的总质量，然后根据浓度问题公式：浓度＝溶质÷溶液×100%，代入公式计算混合后酒精溶液的浓度即可．
【解答】解：（50×10%+50×15%+100×12%）÷（50+50+100）×100%
＝24.5÷200×100%
＝12.25%
答：混合后的酒精溶液的浓度为12.25%．
【点评】本题主要考查浓度问题，关键要抓住题中没有变化的量．
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