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第二节　导数与函数的单调性
1.函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（　　）
2.下列函数中，在（0，＋∞）内单调递增的是（　　）
A.f（x）＝sin 2x B.f（x）＝xex
C.f（x）＝x3－x D.f（x）＝－x＋ln x
3.函数f（x）＝x－2ln（2x）的单调递减区间为（　　）
A.（－∞，1） B.（0，1）
C.（0，2） D.（2，＋∞）
4.已知定义在R上的函数f（x），其导函数f'（x）的大致图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A.f（b）＞f（c）＞f（a） B.f（b）＞f（c）＝f（e）
C.f（c）＞f（b）＞f（a） D.f（e）＞f（d）＞f（c）
5.〔多选〕（2024·晋城一模）若一个函数在区间D上的导数值恒大于0，则该函数在D上纯粹递增，若一个函数在区间D上的导数值恒小于0，则该函数在D上纯粹递减，则（　　）
A.函数f（x）＝x2－2x在[1，＋∞）上纯粹递增
B.函数f（x）＝x3－2x在[1，2]上纯粹递增
C.函数f（x）＝sin x－2x在[0，1]上纯粹递减
D.函数f（x）＝ex－3x在[0，2]上纯粹递减
6.〔多选〕（2025·八省联考）在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数.定义双曲正弦函数sinh x＝，双曲余弦函数cosh x＝，双曲正切函数tanh x＝.则（　　）
A.双曲正弦函数是增函数
B.双曲余弦函数是增函数
C.双曲正切函数是增函数
D.tanh（x＋y）＝
7.已知函数f（x）＝＋＋ax＋1存在三个单调区间，则实数a的取值范围是　　　　.
8.已知函数f（x）满足下列条件：①f（x）的导函数f'（x）为偶函数；②f（x）在区间（－∞，－2），（2，＋∞）上单调递增，则f（x）的一个解析式为f（x）＝　　　　.（答案不唯一）
9.求函数f（x）＝ex＋ln（1－x）＋1的单调递减区间.
10.函数f（x）＝若函数f（x）在R上是增函数，则实数a的取值范围是（　　）
A.［，2］ B.［0，］
C.［0，］ D.[0，2]
11.〔多选〕已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则g（x）＝（　　）
A.在区间（0，1）上单调递增
B.在区间（1，4）上单调递减
C.在区间（1，）上单调递减
D.在区间（，4）上单调递减
12.已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），满足f（1）＝1，且对于任意的x，都有f'（x）＜，则不等式f（x2）＜＋的解集为　　　　.
13.已知函数f（x）＝x＋＋b（x≠0），其中a，b∈R.
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）在（1，2）上为单调函数，求实数a的取值范围.
14.已知函数f（x）＝aln x－ax－3（a∈R）.
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处切线的倾斜角为45°，且对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）＝x3＋x2［f'（x）＋］在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围.
15.（情境创新）定义方程f（x）＝f'（x）的实数根x叫做函数f（x）的“躺平点”.若函数g（x）＝ex－x，h（x）＝ln x，φ（x）＝23x＋23的“躺平点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（　　）
A.a＞b＞c B.b＞a＞c
C.c＞a＞b D.c＞b＞a
第二节　导数与函数的单调性
1.D　利用导数与函数的单调性进行验证.f'（x）＞0的解集对应y＝f（x）的单调递增区间，f'（x）＜0的解集对应y＝f（x）的单调递减区间，验证只有D符合.
2.B　由于x＞0，对于A选项，f'（x）＝2cos 2x，f'（）＝－1＜0，不符合题意；对于B选项，f'（x）＝（x＋1）ex＞0，符合题意；对于C选项，f'（x）＝3x2－1，f'（）＝－＜0，不符合题意；对于D选项，f'（x）＝－1＋，f'（2）＝－＜0，不符合题意.故选B.
3.C　f（x）＝x－2ln（2x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝1－2··2＝1－＝，由f'（x）＜0，可得x∈（0，2），故f（x）＝x－2ln（2x）的单调递减区间为（0，2），故选C.
4.D　由f'（x）图象可知f（x）图象大致如图，由图可知f（a）＞f（b），f（b）＜f（c）＜f（d）＜f（e），故仅有D选项是正确的.故选D.
5.BC　A项，f'（x）＝2x－2，f'（1）＝0，所以A错误.B项，f'（x）＝3x2－2，当x∈[1，2]时，f'（x）＞0恒成立，所以B正确.C项，f'（x）＝cos x－2＜0在[0，1]上恒成立，所以C正确.D项，f'（x）＝ex－3＜0在[0，2]上不恒成立，所以D错误.故选B、C.
6.ACD　对A：令f（x）＝sinh x＝，则f'（x）＝＞0恒成立，故双曲正弦函数是增函数，故A正确；对B：令g（x）＝cosh x＝，则g'（x）＝，由A知，g'（x）为增函数，又g'（0）＝＝0，故当x∈（－∞，0）时，g'（x）＜0，当x∈（0，＋∞）时，g'（x）＞0，故g（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，故B错误；对C：tanh x＝＝＝＝＝1－，由y＝e2x＋1在R上是增函数，且y＝e2x＋1＞1，故tanh x＝1－是增函数，故C正确；对D：由C知tanh x＝，则tanh（x＋y）＝，＝＝＝＝＝，故tanh（x＋y）＝，故D正确.故选A、C、D.
7.（－∞，0）∪（4，＋∞）
解析：由函数f（x）＝＋＋ax＋1，可得f'（x）＝x2＋ax＋a，由函数f（x）存在三个单调区间，可得f'（x）有两个不相等的实数根，则满足Δ＝a2－4a＞0，解得a＜0或a＞4，即实数a的取值范围是（－∞，0）∪（4，＋∞）.
8.x3－4x（答案不唯一）
解析：因为f（x）在区间（－∞，－2），（2，＋∞）上单调递增，所以当x∈（－∞，－2）∪（2，＋∞）时，f'（x）＞0.又f（x）的导函数f'（x）为偶函数，所以令f'（x）＝x2－4，满足题意，所以f（x）＝x3－4x（答案不唯一）.
9.解：由1－x＞0知x＜1，故f（x）的定义域为（－∞，1）.
f'（x）＝ex＋（1－x）'＝ex＋＝.
记g（x）＝ex（x－1）＋1（x＜1），
则g'（x）＝（ex）'（x－1）＋ex（x－1）'＝ex（x－1）＋ex＝xex.
令g'（x）＝0，解得x＝0.
当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下表所示.
x （－∞，0） 0 （0，1）
g'（x） － 0 ＋
g（x） 单调递减 0 单调递增
因此，当x＝0时，g（x）有最小值g（0）＝0.
所以当x∈（－∞，1）时，g（x）≥g（0）＝0，
即f'（x）＝≤0，
所以f（x）的单调递减区间是（－∞，1）.
10.B　依题意，函数f（x）＝2（2－a）x－在（0，＋∞）上单调递增，则2－a＞0，即a＜2；由f（x）＝x3－ax2＋a（x≤0），求导得f'（x）＝3x2－2ax.因为函数f（x）＝x3－ax2＋a在（－∞，0]上单调递增，所以3x2－2ax≥0在x∈（－∞，0]上恒成立，令3x2－2ax＝0，得x＝0或x＝，当a＜0时，结合二次函数的图象知3x2－2ax≥0在（－∞，0]上不恒成立；当a≥0时，结合二次函数的图象知3x2－2ax≥0在（－∞，0]上恒成立，故a≥0，又函数f（x）在R上是增函数，则a≤，从而0≤a≤，所以实数a的取值范围是［0，］，故选B.
11.AC　当x＝0或x＝2时，f（x）＝0，则函数g（x）＝的定义域为（－∞，0）∪（0，2）∪（2，＋∞），排除选项B、D；g'（x）＝，由图易得，当x∈（0，1）时，f（x）＞f'（x），即g'（x）＝＞0，所以函数g（x）＝在（0，1）上单调递增，故选项A正确；又由图象得，当x∈（1，）时，f（x）＜f'（x），即g'（x）＝＜0，所以函数g（x）＝在（1，）上单调递减，故选项C正确.故选A、C.
12.{x｜x＜－1或x＞1}　解析：设F（x）＝f（x）－x，∴F'（x）＝f'（x）－，∵f'（x）＜，∴F'（x）＝f'（x）－＜0，即函数F（x）在R上为减函数.不等式f（x2）＜＋，化为f（x2）－＜f（1）－，∴F（x2）＜F（1），而函数F（x）在R上为减函数，∴x2＞1，即不等式的解集为{x｜x＜－1或x＞1}.
13.解：（1）f'（x）＝1－＝.
当a≤0时，显然f'（x）＞0（x≠0），这时f（x）在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递增；
当a＞0时，f'（x）＝，
令f'（x）＝0，解得x＝±，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表：
x （－∞，－） － （－，0） （0，） （，＋∞）
f'（x） ＋ 0 － － 0 ＋
f（x） 单调递增 b－2 单调递减 单调递减 2＋b 单调递增
所以f（x）在（－∞，－）和（，＋∞）上单调递增，在（－，0）和（0，）上单调递减.
（2）因为函数f（x）在（1，2）上为单调函数，故若f（x）在（1，2）上单调递增，则f'（x）≥0在x∈（1，2）时恒成立，所以x2－a≥0，即a≤x2在x∈（1，2）时恒成立，所以a≤1.
若f（x）在（1，2）上单调递减，则f'（x）≤0在x∈（1，2）时恒成立，所以x2－a≤0，即a≥x2在x∈（1，2）时恒成立，所以a≥4.
综上所述，实数a的取值范围为（－∞，1]∪[4，＋∞）.
14.解：（1）f'（x）＝（x＞0）.
当a＞0时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减；
当a＜0时，f（x）在（1，＋∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减；
当a＝0时，f（x）不具有单调性.
（2）由题意得f'（2）＝－＝1，解得a＝－2，所以f（x）＝－2ln x＋2x－3，所以g（x）＝x3＋（＋2）x2－2x，
所以g'（x）＝3x2＋（m＋4）x－2.
因为g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g'（0）＝－2，
所以结合函数g'（x）的图象可得
由题意知对于任意的t∈[1，2]，g'（t）＜0恒成立，
所以解得－＜m＜－9.
故m的取值范围是（－，－9）.
15.B　由“躺平点”的定义，可得g（a）＝g'（a），又g'（x）＝ex－1，所以ea－a＝ea－1，解得a＝1.因为h（b）＝h'（b），h'（x）＝，所以ln b＝，令m（x）＝ln x－（x＞0），则m'（x）＝＋＞0，即m（x）在（0，＋∞）上单调递增，又m（1）＝－1＜0，m（e）＝1－＞0，所以m（x）在（1，e）上有唯一零点，即b∈（1，e）.因为φ（c）＝φ'（c），φ'（x）＝23，所以23c＋23＝23，解得c＝0.所以b＞a＞c.故选B.
2 / 2第二节　导数与函数的单调性
课标要求
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性，对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.
3.会利用函数的单调性判断大小，求参数范围等简单应用.
函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f（x）在区间（a，b）上可导 f'（x）＞0 f（x）在区间（a，b）上
f'（x）＜0 f（x）在区间（a，b）上
f'（x）＝0 f（x）在区间（a，b）上是
提醒 讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.
用充分、必要条件诠释导数与函数单调性的关系
（1）f'（x）＞0（＜0）在区间（a，b）内恒成立是f（x）在区间（a，b）内单调递增（减）的充分不必要条件；
（2）f'（x）≥0（≤0）在区间（a，b）内恒成立是f（x）在区间（a，b）内单调递增（减）的必要不充分条件；
（3）f'（x）≥0（≤0）在区间（a，b）内恒成立且在区间（a，b）的任意子区间内都不恒等于零是f（x）在区间（a，b）内单调递增（减）的充要条件.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数f（x）在（a，b）内单调递增，那么一定有f'（x）＞0.（　　）
（2）如果f（x）在某个区间内恒有f'（x）＝0，则f（x）在此区间内没有单调性.（　　）
（3）若函数f（x）在定义域上都有f'（x）＞0，则f（x）在定义域上一定是增函数.（　　）
2.（人A选二P86例1（2）改编）函数f（x）＝1＋x－sin x在（0，2π）上的单调性是（　　）
A.单调递增
B.单调递减
C.在（0，π）上单调递增，在（π，2π）上单调递减
D.在（0，π）上单调递减，在（π，2π）上单调递增
3.（人A选二P87练习3题改编）函数y＝f（x）的图象如图所示，则y＝f'（x）的图象可能是（　　）
4.（人A选二P87例3改编）设f（x）＝2x2－x3，则f（x）的单调递减区间是（　　）
A.（0，）　　 　　 B.（，＋∞）
C.（－∞，0） D.（－∞，0）和（，＋∞）
5.若函数f（x）＝kx－ln x在区间（1，＋∞）上单调递增，则k的取值范围是（　　）
A.（－∞，－2] B.（－∞，－1]
C.[2，＋∞） D.[1，＋∞）
函数的单调性
（定向精析突破）
考向1　不含参函数的单调性
（1）求函数f（x）＝的单调递减区间；
（2）已知函数f（x）＝ln x＋e1－x－1，证明f（x）在（0，＋∞）上单调递增.
解题技法
单调区间的求法
（1）求函数的单调区间时应注意先求定义域；
（2）使f'（x）＞0的区间为f（x）的单调递增区间，使f'（x）＜0的区间为f（x）的单调递减区间；
（3）若函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开.
考向2　含参函数的单调性
（2023·新高考Ⅰ卷19题节选）已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x，讨论f（x）的单调性.
解题技法
讨论函数f（x）单调性的步骤
（1）确定函数f（x）的定义域；
（2）求导数f'（x），并求方程f'（x）＝0的根；
（3）利用f'（x）＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f'（x）的正负，由符号确定f（x）在该区间上的单调性.
提醒 研究含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.
1.已知函数f（x）＝，则下列说法中正确的是（　　）
A.函数f（x）是奇函数，且在（－∞，－1）上单调递减
B.函数f（x）是奇函数，且在（－∞，－1）上单调递增
C.函数f（x）是偶函数，且在（－∞，－1）上单调递减
D.函数f（x）是偶函数，且在（－∞，－1）上单调递增
2.（2024·全国甲卷文20题改编）已知函数f（x）＝a（x－1）－ln x＋1，求f（x）的单调区间.
函数单调性的简单应用
（定向精析突破）
考向1　比较大小
（1）已知函数f（x）＝xsin x，x∈R，则f（），f（1），f（－）的大小关系为（　　）
A.f（－）＞f（1）＞f（）
B.f（1）＞f（－）＞f（）
C.f（）＞f（1）＞f（－）
D.f（－）＞f（）＞f（1）
（2）若函数y＝f（x）满足xf'（x）＞－f（x）在R上恒成立，且a＞b，则（　　）
A.af（b）＞bf（a） B.af（a）＞bf（b）
C.af（a）＜bf（b） D.af（b）＜bf（a）
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
由函数的单调性比较大小的方法
（1）若已知函数解析式比较函数值的大小，首先要判断已知函数的单调性，然后根据单调性比较大小；
（2）若是比较数值的大小，其关键是利用题目条件中的不等关系构造辅助函数，并根据构造的辅助函数的单调性比较大小.
考向2　解不等式
已知函数f（x）＝2ln x＋－x，则不等式f（2x－1）＜f（1－x）的解集为（　　）
A.（0，） B.（，1）
C.（，1） D.（，）
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
利用函数的单调性解不等式的关键
（1）会构造函数，能根据所给的不等式的特征，结合已知函数的特征，合理地构造新函数；
（2）会判断函数的性质，即借用奇偶函数的定义，判断函数的奇偶性，借用导数，判断函数的单调性；
（3）会转化，利用函数的单调性，得未知数所满足的不等式（组），通过解不等式（组），得到未知数的取值范围.
考向3　已知函数单调性求参数
（2023·新高考Ⅱ卷6题）已知函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）上单调递增，则实数a的最小值为（　　）
A.e2 B.e
C.e－1 D.e－2
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　用结论
　　若可导函数f（x）在（a，b）上存在单调递增区间，则当x∈（a，b）时，f'（x）＞0有解；若可导函数f（x）在（a，b）上存在单调递减区间，则当x∈（a，b）时，f'（x）＜0有解.
若函数h（x）＝ln x－ax2－2x在[1，4]上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（　　）
A.[－1，＋∞）　　　　B.（－1，＋∞）
C.（－∞，－］ D.（－∞，－）
解题技法
根据函数单调性求参数取值范围的一般思路
（1）利用集合间的包含关系处理，函数y＝f（x）在（a，b）上单调，则区间（a，b）是相应单调区间的子集；
（2）函数f（x）在（a，b）上单调递增的充要条件是对任意的x∈（a，b）都有f'（x）≥0，且在（a，b）的任一子区间上，f'（x）不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解；
（3）函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
1.若函数f（x）＝x3－x2＋ax＋4的单调递减区间是[－1，4]，则a＝（　　）
A.－4 B.－1
C.1 D.4
2.已知函数f（x）＝ex－e－x－2x＋1，则不等式f（2x－3）＞1的解集为　　　　.
3.已知函数f（x）＝－x2－3x＋4ln x在（t，t＋2）上不单调，则实数t的取值范围是　　　　.
第二节　导数与函数的单调性
【知识·逐点夯实】
知识梳理夯基
单调递增　单调递减　常数函数
对点自测诊断
1.（1）×　（2）√　（3）×
2.A　3.D　4.D　5.D
【考点·分类突破】
考点1
【例1】 解：（1）f'（x）＝＝.
令f'（x）＜0，得cos x＜－，
即2kπ＋＜x＜2kπ＋（k∈Z）.
因此f（x）的单调递减区间为（2kπ＋，2kπ＋）（k∈Z）.
（2）证明：由题意知，f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝－e1－x＝.
令g（x）＝ex－1－x（x＞0），则g'（x）＝ex－1－1，
由g'（x）＝0，可得x＝1.
∴当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（1，＋∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，
∴当x＝1时，g（x）min＝g（1）＝0，即g（x）≥0，
∴f'（x）≥0，
则f（x）在（0，＋∞）上单调递增.
【例2】 解：由题意知，f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f'（x）＝aex－1.
当a≤0时，易知f'（x）＜0，则f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数.
当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝ln.
当x∈（－∞，ln）时，f'（x）＜0；当x∈（ln，＋∞）时，f'（x）＞0.
所以f（x）在（－∞，ln）上单调递减，在（ln，＋∞）上单调递增.
综上可知，当a≤0时，f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数；当a＞0时，f（x）在（－∞，ln）上单调递减，在（ln，＋∞）上单调递增.
跟踪训练
1.A　由函数f（x）＝，可得其定义域为R，又由f（－x）＝＝－＝－f（x），所以f（x）为奇函数.当x∈（－∞，－1）时，f（x）＝＝xex，则f'（x）＝ex＋xex＝（1＋x）ex，则f'（x）＜0，所以f（x）在（－∞，－1）上单调递减，故选A.
2.解：因为f（x）＝a（x－1）－ln x＋1，
所以f'（x）＝a－＝，x＞0，
若a≤0，则f'（x）＜0恒成立，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减，
即f（x）的单调递减区间为（0，＋∞），无单调递增区间；
若a＞0，则当0＜x＜时，f'（x）＜0，当x＞时，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，＋∞）.
综上，当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，＋∞），无单调递增区间；当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，＋∞）.
考点2
【例3】 （1）A　（2）B　解析：（1）由题知f（－x）＝（－x）·sin（－x）＝xsin x＝f（x），则函数f（x）是偶函数，故f（－）＝f（）.又当x∈（0，）时，f'（x）＝sin x＋xcos x＞0，所以函数f（x）在（0，）上单调递增，所以f（）＜f（1）＜f（），即f（－）＞f（1）＞f（）.
（2）由xf'（x）＞－f（x），设g（x）＝xf（x），则g'（x）＝xf'（x）＋f（x）＞0，所以g（x）在R上是增函数，又a＞b，所以g（a）＞g（b），即af（a）＞bf（b），故选B.
【例4】 B　由题意可知f（x）的定义域为（0，＋∞）.因为f'（x）＝－－1＝－（－1）2≤0恒成立，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减.由f（2x－1）＜f（1－x），可得解得＜x＜1，即原不等式的解集为（，1）.
【例5】 C　法一 由题意，得f'（x）＝aex－，∴f'（x）＝aex－≥0在区间（1，2）上恒成立，即a≥在区间（1，2）上恒成立.设函数g（x）＝，x∈（1，2），则g'（x）＝－＜0，∴函数g（x）在区间（1，2）单调递减.∴ x∈（1，2），g（x）＜g（1）＝＝e－1.∴a≥e－1，∴a的最小值为e－1.故选C.
法二 ∵函数f（x）＝aex－ln x，∴f'（x）＝aex－.∵函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）单调递增，∴f'（x）≥0在（1，2）恒成立，即aex－≥0在（1，2）恒成立，易知a＞0，则0＜≤xex在（1，2）恒成立.设g（x）＝xex，则g'（x）＝（x＋1）ex.当x∈（1，2）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，∴在（1，2）上，g（x）＞g（1）＝e，∴≤e，即a≥＝e－1，故选C.
用结论
D　因为函数h（x）＝ln x－ax2－2x在[1，4]上存在单调递增区间，所以存在x∈[1，4]，使h'（x）＝－ax－2＞0成立，即存在x∈[1，4]，使a＜－成立，令G（x）＝－，x∈[1，4]，变形得G（x）＝（－1）2－1，因为x∈[1，4]，所以∈［，1］，所以当＝，即x＝4时，G（x）max＝－，所以a＜－，故选D.
跟踪训练
1.A　易知f'（x）＝x2－3x＋a，由题意知f'（x）≤0的解集为[－1，4]，则－1与4是方程x2－3x＋a＝0的两个根，故a＝－1×4＝－4.
2.（，＋∞）　解析：f（x）＝ex－e－x－2x＋1的定义域为R，f'（x）＝ex＋e－x－2≥2－2＝0，当且仅当x＝0时取“＝”，∴f（x）在R上是增函数，又f（0）＝1，∴原不等式可化为f（2x－3）＞f（0），即2x－3＞0，解得x＞，∴原不等式的解集为（，＋∞）.
3.[0，1）　解析：由f（x）＝－x2－3x＋4ln x（x＞0），得f'（x）＝－x－3＋，∵函数f（x）在（t，t＋2）上不单调，∴f'（x）＝－x－3＋在（t，t＋2）上有变号零点，∴＝0在（t，t＋2）上有解，∴x2＋3x－4＝0在（t，t＋2）上有解，由x2＋3x－4＝0，得x＝1或x＝－4（舍去），∴1∈（t，t＋2），∴t∈（－1，1），又f（x）的定义域为（0，＋∞），∴t≥0，∴t∈[0，1），故实数t的取值范围是[0，1）.
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第二节　导数与函数的单调性
高中总复习·数学
课标要求
1. 结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2. 能利用导数研究函数的单调性，对于多项式函数，能求不超过三次的多
项式函数的单调区间.
3. 会利用函数的单调性判断大小，求参数范围等简单应用.
目 录
CONTENTS
知识·逐点夯实
01.
考点·分类突破
02.
课时·跟踪检测
03.
PART 01
知识·逐点夯实
必备知识 | 课前自修
函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f（x）在区间（a，b）上可导 f'（x）＞0 f（x）在区间（a，b）上
f'（x）＜0 f（x）在区间（a，b）上

f'（x）＝0 f（x）在区间（a，b）上是

提醒 讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，
要坚持“定义域优先”原则.
单调递增
单调递减
常数函数　
用充分、必要条件诠释导数与函数单调性的关系
（1）f'（x）＞0（＜0）在区间（a，b）内恒成立是f（x）在区间（a，
b）内单调递增（减）的充分不必要条件；
（2）f'（x）≥0（≤0）在区间（a，b）内恒成立是f（x）在区间（a，
b）内单调递增（减）的必要不充分条件；
（3）f'（x）≥0（≤0）在区间（a，b）内恒成立且在区间（a，b）的
任意子区间内都不恒等于零是f（x）在区间（a，b）内单调递增（减）
的充要条件.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数f（x）在（a，b）内单调递增，那么一定有f'（x）＞0.
（　×　）
（2）如果f（x）在某个区间内恒有f'（x）＝0，则f（x）在此区间内没
有单调性. （　√　）
（3）若函数f（x）在定义域上都有f'（x）＞0，则f（x）在定义域上一
定是增函数. （　×　）
×
√
×
2. （人A选二P86例1（2）改编）函数f（x）＝1＋x－ sin x在（0，2π）
上的单调性是（　　）
A. 单调递增
B. 单调递减
C. 在（0，π）上单调递增，在（π，2π）上单调递减
D. 在（0，π）上单调递减，在（π，2π）上单调递增
解析： 　因为f'（x）＝1－ cos x≥0，所以f（x）＝1＋x－ sin x在（0，
2π）上单调递增，故选A.
√
3. （人A选二P87练习3题改编）函数y＝f（x）的图象如图所示，则y＝f'（x）的图象可能是（　　）
√
解析： 　由f（x）的图象可知，f（x）在（－∞，0）上单调递增，在
（0，＋∞）上单调递减，所以在（0，＋∞）上f'（x）≤0，在（－∞，
0）上f'（x）≥0，观察四个图象可知选D.
4. （人A选二P87例3改编）设f（x）＝2x2－x3，则f（x）的单调递减区
间是（　　）
C. （－∞，0）
√
解析： 　由f（x）＝2x2－x3，得f'（x）＝4x－3x2＝x（4－3x），令f'
（x）＝0，得x＝0或x＝ ，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如
表所示.
x （－∞，0） 0
f'（x） － 0 ＋ 0 －
f（x） 单调递减 单调递增 单调递减
所以f（x）的单调递减区间是（－∞，0）和（ ，＋∞）.故选D.
5. 若函数f（x）＝kx－ln x在区间（1，＋∞）上单调递增，则k的取值范
围是（　　）
A. （－∞，－2] B. （－∞，－1]
C. [2，＋∞） D. [1，＋∞）
解析： 　因为f（x）＝kx－ln x，所以f'（x）＝k－ .因为f（x）在区
间（1，＋∞）上单调递增，所以当x＞1时，f'（x）＝k－ ≥0恒成立，
即k≥ 在区间（1，＋∞）上恒成立.因为x＞1，所以0＜ ＜1，所以
k≥1.
√
PART 02
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
函数的单调性（定向精析突破）
考向1　不含参函数的单调性
（1）求函数f（x）＝ 的单调递减区间；
解： f'（x）＝ ＝ .
令f'（x）＜0，得 cos x＜－ ，
即2kπ＋ ＜x＜2kπ＋ （k∈Z）.
因此f（x）的单调递减区间为（2kπ＋ ，2kπ＋ ）（k∈Z）.
（2）已知函数f（x）＝ln x＋e1－x－1，证明f（x）在（0，＋∞）上单调
递增.
解： 证明：由题意知，f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝
－e1－x＝ .
令g（x）＝ex－1－x（x＞0），则g'（x）＝ex－1－1，
由g'（x）＝0，可得x＝1.
∴当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（1，＋∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，
∴当x＝1时，g（x）min＝g（1）＝0，即g（x）≥0，
∴f'（x）≥0，
则f（x）在（0，＋∞）上单调递增.
解题技法
单调区间的求法
（1）求函数的单调区间时应注意先求定义域；
（2）使f'（x）＞0的区间为f（x）的单调递增区间，使f'（x）＜0的区间
为f（x）的单调递减区间；
（3）若函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用并集，要用
“逗号”或“和”隔开.
考向2　含参函数的单调性
（2023·新高考Ⅰ卷19题节选）已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x，
讨论f（x）的单调性.
解：由题意知，f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f'（x）＝aex－1.
当a≤0时，易知f'（x）＜0，则f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数.
当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝ln .
当x∈（－∞，ln ）时，f'（x）＜0；当x∈（ln ，＋∞）时，f'（x）
＞0.
所以f（x）在（－∞，ln ）上单调递减，在（ln ，＋∞）上单调递
增.
综上可知，当a≤0时，f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数；当a＞0
时，f（x）在（－∞，ln ）上单调递减，在（ln ，＋∞）上单调递
增.
解题技法
讨论函数f（x）单调性的步骤
（1）确定函数f（x）的定义域；
（2）求导数f'（x），并求方程f'（x）＝0的根；
（3）利用f'（x）＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区
间上讨论f'（x）的正负，由符号确定f（x）在该区间上的单调性.
提醒 研究含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响
进行分类讨论.
1. 已知函数f（x）＝ ，则下列说法中正确的是（　　）
A. 函数f（x）是奇函数，且在（－∞，－1）上单调递减
B. 函数f（x）是奇函数，且在（－∞，－1）上单调递增
C. 函数f（x）是偶函数，且在（－∞，－1）上单调递减
D. 函数f（x）是偶函数，且在（－∞，－1）上单调递增
√
解析： 　由函数f（x）＝ ，可得其定义域为R，又由f（－x）＝
＝－ ＝－f（x），所以f（x）为奇函数.当x∈（－∞，－
1）时，f（x）＝ ＝xex，则f'（x）＝ex＋xex＝（1＋x）ex，则f'
（x）＜0，所以f（x）在（－∞，－1）上单调递减，故选A.
2. （2024·全国甲卷文20题改编）已知函数f（x）＝a（x－1）－ln x＋
1，求f（x）的单调区间.
解：因为f（x）＝a（x－1）－ln x＋1，
所以f'（x）＝a－ ＝ ，x＞0，
若a≤0，则f'（x）＜0恒成立，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减，
即f（x）的单调递减区间为（0，＋∞），无单调递增区间；
若a＞0，则当0＜x＜ 时，f'（x）＜0，当x＞ 时，f'（x）＞0，所以f
（x）的单调递减区间为（0， ），单调递增区间为（ ，＋∞）.
综上，当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，＋∞），无单调递增区
间；当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（0， ），单调递增区间为
（ ，＋∞）.
函数单调性的简单应用（定向精析突破）
考向1　比较大小
（1）已知函数f（x）＝x sin x，x∈R，则f（ ），f（1），f（－
）的大小关系为（　A　）
A
解析： 由题知f（－x）＝（－x）· sin （－x）＝x sin x＝f（x），
则函数f（x）是偶函数，故f（－ ）＝f（ ）.又当x∈（0， ）时，f'
（x）＝ sin x＋x cos x＞0，所以函数f（x）在（0， ）上单调递增，所
以f（ ）＜f（1）＜f（ ），即f（－ ）＞f（1）＞f（ ）.
（2）若函数y＝f（x）满足xf'（x）＞－f（x）在R上恒成立，且a＞
b，则（　B　）
A. af（b）＞bf（a） B. af（a）＞bf（b）
C. af（a）＜bf（b） D. af（b）＜bf（a）
B
解析： 由xf'（x）＞－f（x），设g（x）＝xf（x），则g'（x）＝
xf'（x）＋f（x）＞0，所以g（x）在R上是增函数，又a＞b，所以g
（a）＞g（b），即af（a）＞bf（b），故选B.
解题技法
由函数的单调性比较大小的方法
（1）若已知函数解析式比较函数值的大小，首先要判断已知函数的单调
性，然后根据单调性比较大小；
（2）若是比较数值的大小，其关键是利用题目条件中的不等关系构造辅
助函数，并根据构造的辅助函数的单调性比较大小.
考向2　解不等式
已知函数f（x）＝2ln x＋ －x，则不等式f（2x－1）＜f（1－x）
的解集为（　　）
√
解析： 　由题意可知f（x）的定义域为（0，＋∞）.因为f'（x）＝ －
－1＝－（ －1）2≤0恒成立，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减.
由f（2x－1）＜f（1－x），可得 解得 ＜x＜1，即原
不等式的解集为（ ，1）.
解题技法
利用函数的单调性解不等式的关键
（1）会构造函数，能根据所给的不等式的特征，结合已知函数的特征，
合理地构造新函数；
（2）会判断函数的性质，即借用奇偶函数的定义，判断函数的奇偶性，
借用导数，判断函数的单调性；
（3）会转化，利用函数的单调性，得未知数所满足的不等式（组），通
过解不等式（组），得到未知数的取值范围.
考向3　已知函数单调性求参数
（2023·新高考Ⅱ卷6题）已知函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）
上单调递增，则实数a的最小值为（　　）
A. e2 B. e
C. e－1 D. e－2
√
解析： 　法一 由题意，得f'（x）＝aex－ ，∴f'（x）＝aex－ ≥0在
区间（1，2）上恒成立，即a≥ 在区间（1，2）上恒成立.设函数g
（x）＝ ，x∈（1，2），则g'（x）＝－ ＜0，∴函数g（x）在区
间（1，2）单调递减.∴ x∈（1，2），g（x）＜g（1）＝ ＝e－
1.∴a≥e－1，∴a的最小值为e－1.故选C.
法二 ∵函数f（x）＝aex－ln x，∴f'（x）＝aex－ .∵函数f（x）＝
aex－ln x在区间（1，2）单调递增，∴f'（x）≥0在（1，2）恒成立，即
aex－ ≥0在（1，2）恒成立，易知a＞0，则0＜ ≤xex在（1，2）恒成
立.设g（x）＝xex，则g'（x）＝（x＋1）ex.当x∈（1，2）时，g'（x）
＞0，g（x）单调递增，∴在（1，2）上，g（x）＞g（1）＝e，∴ ≤e，
即a≥ ＝e－1，故选C.
用结论
　　若可导函数f（x）在（a，b）上存在单调递增区间，则当x∈（a，
b）时，f'（x）＞0有解；若可导函数f（x）在（a，b）上存在单调递减
区间，则当x∈（a，b）时，f'（x）＜0有解.
若函数h（x）＝ln x－ ax2－2x在[1，4]上存在单调递增区间，则
实数a的取值范围为（　　）
A. [－1，＋∞） B. （－1，＋∞）
√
解析： 　因为函数h（x）＝ln x－ ax2－2x在[1，4]上存在单调递增区
间，所以存在x∈[1，4]，使h'（x）＝ －ax－2＞0成立，即存在
x∈[1，4]，使a＜ － 成立，令G（x）＝ － ，x∈[1，4]，变形
得G（x）＝（ －1）2－1，因为x∈[1，4]，所以 ∈［ ，1］，所以
当 ＝ ，即x＝4时，G（x）max＝－ ，所以a＜－ ，故选D.
解题技法
根据函数单调性求参数取值范围的一般思路
（1）利用集合间的包含关系处理，函数y＝f（x）在（a，b）上单调，
则区间（a，b）是相应单调区间的子集；
（2）函数f（x）在（a，b）上单调递增的充要条件是对任意的x∈
（a，b）都有f'（x）≥0，且在（a，b）的任一子区间上，f'（x）不恒
为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解；
（3）函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
1. 若函数f（x）＝ x3－ x2＋ax＋4的单调递减区间是[－1，4]，则a＝
（　　）
A. －4 B. －1
C. 1 D. 4
解析： 　易知f'（x）＝x2－3x＋a，由题意知f'（x）≤0的解集为[－
1，4]，则－1与4是方程x2－3x＋a＝0的两个根，故a＝－1×4＝－4.
√

解析：f（x）＝ex－e－x－2x＋1的定义域为R，f'（x）＝ex＋e－x－
2≥2 －2＝0，当且仅当x＝0时取“＝”，∴f（x）在R上是增函
数，又f（0）＝1，∴原不等式可化为f（2x－3）＞f（0），即2x－3＞
0，解得x＞ ，∴原不等式的解集为（ ，＋∞）.
（ ，＋∞）　
3. 已知函数f（x）＝－ x2－3x＋4ln x在（t，t＋2）上不单调，则实数t
的取值范围是 .
解析：由f（x）＝－ x2－3x＋4ln x（x＞0），得f'（x）＝－x－3＋ ，
∵函数f（x）在（t，t＋2）上不单调，∴f'（x）＝－x－3＋ 在（t，t
＋2）上有变号零点，∴ ＝0在（t，t＋2）上有解，∴x2＋3x－4
＝0在（t，t＋2）上有解，由x2＋3x－4＝0，得x＝1或x＝－4（舍
去），∴1∈（t，t＋2），∴t∈（－1，1），又f（x）的定义域为（0，
＋∞），∴t≥0，∴t∈[0，1），故实数t的取值范围是[0，1）.
[0，1）　
PART 03
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. 函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（　　）
√
解析： 　利用导数与函数的单调性进行验证.f'（x）＞0的解集对应y＝f
（x）的单调递增区间，f'（x）＜0的解集对应y＝f（x）的单调递减区
间，验证只有D符合.
1
2
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2. 下列函数中，在（0，＋∞）内单调递增的是（　　）
A. f（x）＝ sin 2x B. f（x）＝xex
C. f（x）＝x3－x D. f（x）＝－x＋ln x
解析： 　由于x＞0，对于A选项，f'（x）＝2 cos 2x，f'（ ）＝－1＜
0，不符合题意；对于B选项，f'（x）＝（x＋1）ex＞0，符合题意；对于
C选项，f'（x）＝3x2－1，f'（ ）＝－ ＜0，不符合题意；对于D选项，f'
（x）＝－1＋ ，f'（2）＝－ ＜0，不符合题意.故选B.
√
3. 函数f（x）＝x－2ln（2x）的单调递减区间为（　　）
A. （－∞，1） B. （0，1）
C. （0，2） D. （2，＋∞）
解析： 　f（x）＝x－2ln（2x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝1－
2· ·2＝1－ ＝ ，由f'（x）＜0，可得x∈（0，2），故f（x）＝x－
2ln（2x）的单调递减区间为（0，2），故选C.
√
4. 已知定义在R上的函数f（x），其导函数f'（x）的大致图象如图所示，
则下列结论正确的是（　　）
A. f（b）＞f（c）＞f（a）
B. f（b）＞f（c）＝f（e）
C. f（c）＞f（b）＞f（a）
D. f（e）＞f（d）＞f（c）
解析： 　由f'（x）图象可知f（x）图象大致如图，
由图可知f（a）＞f（b），f（b）＜f（c）＜f
（d）＜f（e），故仅有D选项是正确的.故选D.
√
5. 〔多选〕（2024·晋城一模）若一个函数在区间D上的导数值恒大于0，
则该函数在D上纯粹递增，若一个函数在区间D上的导数值恒小于0，则
该函数在D上纯粹递减，则（　　）
A. 函数f（x）＝x2－2x在[1，＋∞）上纯粹递增
B. 函数f（x）＝x3－2x在[1，2]上纯粹递增
C. 函数f（x）＝ sin x－2x在[0，1]上纯粹递减
D. 函数f（x）＝ex－3x在[0，2]上纯粹递减
√
√
解析： 　A项，f'（x）＝2x－2，f'（1）＝0，所以A错误.B项，f'
（x）＝3x2－2，当x∈[1，2]时，f'（x）＞0恒成立，所以B正确.C项，f'
（x）＝ cos x－2＜0在[0，1]上恒成立，所以C正确.D项，f'（x）＝ex－
3＜0在[0，2]上不恒成立，所以D错误.故选B、C.
6. 〔多选〕（2025·八省联考）在人工神经网络中，单个神经元输入与输
出的函数关系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数.定义双曲
正弦函数 sin h x＝ ，双曲余弦函数 cos h x＝ ，双曲正切函数
tanh x＝ .则（　　）
A. 双曲正弦函数是增函数
B. 双曲余弦函数是增函数
C. 双曲正切函数是增函数
√
√
√
解析： 　对A：令f（x）＝ sin h x＝ ，则f'（x）＝ ＞0
恒成立，故双曲正弦函数是增函数，故A正确；对B：令g（x）＝ cos h x
＝ ，则g'（x）＝ ，由A知，g'（x）为增函数，又g'（0）＝
＝0，故当x∈（－∞，0）时，g'（x）＜0，当x∈（0，＋∞）时，
g'（x）＞0，故g（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调
递增，故B错误；对C：tanh x＝ ＝ ＝ ＝ ＝1－ ，由y＝e2x＋1在R上是增函数，且y＝e2x＋1＞1，故tanh x＝1－ 是增函数，故C正确；
对D：由C知tanh x＝ ，则tanh（x＋y）＝ ， ＝
＝ ＝
＝ ＝ ，故tanh（x＋y）
＝ ，故D正确.故选A、C、D.
7. 已知函数f（x）＝ ＋ ＋ax＋1存在三个单调区间，则实数a的取
值范围是 .
解析：由函数f（x）＝ ＋ ＋ax＋1，可得f'（x）＝x2＋ax＋a，由
函数f（x）存在三个单调区间，可得f'（x）有两个不相等的实数根，则满
足Δ＝a2－4a＞0，解得a＜0或a＞4，即实数a的取值范围是（－∞，0）
∪（4，＋∞）.
（－∞，0）∪（4，＋∞）　

解析：因为f（x）在区间（－∞，－2），（2，＋∞）上单调递增，所以
当x∈（－∞，－2）∪（2，＋∞）时，f'（x）＞0.又f（x）的导函数f'
（x）为偶函数，所以令f'（x）＝x2－4，满足题意，所以f（x）＝ x3－
4x（答案不唯一）.
x3－4x（答案不唯一）　
9. 求函数f（x）＝ex＋ln（1－x）＋1的单调递减区间.
解：由1－x＞0知x＜1，故f（x）的定义域为（－∞，1）.
f'（x）＝ex＋ （1－x）'＝ex＋ ＝ .
记g（x）＝ex（x－1）＋1（x＜1），
则g'（x）＝（ex）'（x－1）＋ex（x－1）'＝ex（x－1）＋ex＝xex.
令g'（x）＝0，解得x＝0.
当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下表所示.
x （－∞，0） 0 （0，1）
g'（x） － 0 ＋
g（x） 单调递减 0 单调递增
因此，当x＝0时，g（x）有最小值g（0）＝0.
所以当x∈（－∞，1）时，g（x）≥g（0）＝0，
即f'（x）＝ ≤0，
所以f（x）的单调递减区间是（－∞，1）.
10. 函数f（x）＝ 若函数f（x）在R上是增函
数，则实数a的取值范围是（　　）
D. [0，2]
√
解析： 　依题意，函数f（x）＝2（2－a）x－ 在（0，＋∞）上单调递
增，则2－a＞0，即a＜2；由f（x）＝x3－ax2＋a（x≤0），求导得f'
（x）＝3x2－2ax.因为函数f（x）＝x3－ax2＋a在（－∞，0]上单调递
增，所以3x2－2ax≥0在x∈（－∞，0]上恒成立，令3x2－2ax＝0，得x
＝0或x＝ ，当a＜0时，结合二次函数的图象知3x2－2ax≥0在（－∞，
0]上不恒成立；当a≥0时，结合二次函数的图象知3x2－2ax≥0在（－
∞，0]上恒成立，故a≥0，又函数f（x）在R上是增函数，则a≤ ，从
而0≤a≤ ，所以实数a的取值范围是［0， ］，故选B.
11. 〔多选〕已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则g（x）＝
（　　）
A. 在区间（0，1）上单调递增
B. 在区间（1，4）上单调递减
√
√
解析： 　当x＝0或x＝2时，f（x）＝0，则函数g（x）＝ 的定
义域为（－∞，0）∪（0，2）∪（2，＋∞），排除选项B、D；g'（x）
＝ ，由图易得，当x∈（0，1）时，f（x）＞f'（x），即g'
（x）＝ ＞0，所以函数g（x）＝ 在（0，1）上单调
递增，故选项A正确；又由图象得，当x∈（1， ）时，f（x）＜f'
（x），即g'（x）＝ ＜0，所以函数g（x）＝ 在
（1， ）上单调递减，故选项C正确.故选A、C.
12. 已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），满足f（1）＝1，
且对于任意的x，都有f'（x）＜ ，则不等式f（x2）＜ ＋ 的解集
为 .
解析：设F（x）＝f（x）－ x，∴F'（x）＝f'（x）－ ，∵f'（x）＜
，∴F'（x）＝f'（x）－ ＜0，即函数F（x）在R上为减函数.不等式f
（x2）＜ ＋ ，化为f（x2）－ ＜f（1）－ ，∴F（x2）＜F（1），
而函数F（x）在R上为减函数，∴x2＞1，即不等式的解集为{x｜x＜－1
或x＞1}.
{x｜x＜－1或x＞1}　
13. 已知函数f（x）＝x＋ ＋b（x≠0），其中a，b∈R.
（1）讨论函数f（x）的单调性；
解： f'（x）＝1－ ＝ .
当a≤0时，显然f'（x）＞0（x≠0），这时f（x）在（－∞，0），（0，
＋∞）上单调递增；
当a＞0时，f'（x）＝ ，
令f'（x）＝0，解得x＝± ，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表：
x
f'（x） ＋ 0 － － 0 ＋
f（x） 单调 递增 单调 递减 单调 递减 单调
递增
所以f（x）在（－∞，－ ）和（ ，＋∞）上单调递增，在（－
，0）和（0， ）上单调递减.
（2）若函数f（x）在（1，2）上为单调函数，求实数a的取值范围.
解： 因为函数f（x）在（1，2）上为单调函数，故若f（x）在
（1，2）上单调递增，则f'（x）≥0在x∈（1，2）时恒成立，所以x2－
a≥0，即a≤x2在x∈（1，2）时恒成立，所以a≤1.
若f（x）在（1，2）上单调递减，则f'（x）≤0在x∈（1，2）时恒成
立，所以x2－a≤0，即a≥x2在x∈（1，2）时恒成立，所以a≥4.
综上所述，实数a的取值范围为（－∞，1]∪[4，＋∞）.
14. 已知函数f（x）＝aln x－ax－3（a∈R）.
（1）讨论函数f（x）的单调性；
解： f'（x）＝ （x＞0）.
当a＞0时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减；
当a＜0时，f（x）在（1，＋∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减；
当a＝0时，f（x）不具有单调性.
（2）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处切线的倾斜角为
45°，且对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）＝x3＋x2［f'（x）＋ ］在
区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围.
解： 由题意得f'（2）＝－ ＝1，解得a＝－2，所以f（x）＝－2ln x
＋2x－3，所以g（x）＝x3＋（ ＋2）x2－2x，
所以g'（x）＝3x2＋（m＋4）x－2.
因为g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g'（0）＝－2，
所以结合函数g'（x）的图象可得
由题意知对于任意的t∈[1，2]，g'（t）＜0恒成立，
所以 解得－ ＜m＜－9.
故m的取值范围是（－ ，－9）.
15. （情境创新）定义方程f（x）＝f'（x）的实数根x叫做函数f（x）的
“躺平点”.若函数g（x）＝ex－x，h（x）＝ln x，φ（x）＝23x＋23
的“躺平点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（　　）
A. a＞b＞c B. b＞a＞c
C. c＞a＞b D. c＞b＞a
√
解析： 　由“躺平点”的定义，可得g（a）＝g'（a），又g'（x）＝ex
－1，所以ea－a＝ea－1，解得a＝1.因为h（b）＝h'（b），h'（x）＝
，所以ln b＝ ，令m（x）＝ln x－ （x＞0），则m'（x）＝ ＋ ＞
0，即m（x）在（0，＋∞）上单调递增，又m（1）＝－1＜0，m（e）
＝1－ ＞0，所以m（x）在（1，e）上有唯一零点，即b∈（1，e）.因
为φ（c）＝φ'（c），φ'（x）＝23，所以23c＋23＝23，解得c＝0.所以b
＞a＞c.故选B.
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