资源简介 第九节 函数与导数中的创新性问题1.（2024·临沂一模）已知函数sgn（x）＝则“sgn（ex－1）＋sgn（－x＋1）＝0”是“x＞1”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.对于三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），给出定义：设f'（x）是函数y＝f（x）的导数，f″（x）是f'（x）的导数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”，则下列命题中不正确的是（ ）A.任何一个三次函数都有“拐点”B.任何一个三次函数的图象都有对称中心C.任何一个三次函数都有极值D.三次函数的“拐点”就是对称中心3.〔多选〕已知△ABC的面积为1，AB的平行线分别交AC，BC于点D，E，连接BD，△DCE，△DBE，△DBA的面积分别记为S1，S2，S3，则（ ）A.max{S1，S2，S3}的最小值为B.max{S1，S2，S3}的最小值为C.max{S1，S2，S3}的最大值为D.min{S1，S2，S3}的最大值为4.〔多选〕在直角坐标系xOy中，对于点（x，y），定义变换σ：将点（x，y）变换为点（a，b），使得其中a，b∈（－，），这样变换σ将坐标系xOy内的曲线变换为坐标系aOb内的曲线，如图，则下列说法中正确的是（ ）A.函数y1＝2x（x＞0）在坐标系xOy内的图象变换为坐标系aOb内的曲线是②B.函数y2＝x2（x＞0）在坐标系xOy内的图象变换为坐标系aOb内的曲线是①C.函数y3＝ex（x＞0）在坐标系xOy内的图象变换为坐标系aOb内的曲线是③D.函数y4＝ln x（x＞0）在坐标系xOy内的图象变换为坐标系aOb内的曲线是④5.设定义在（0，＋∞）上的函数f（x）的导函数为f'（x），若存在m，n∈N*（m＜n），使得mf（x）＜xf'（x）＜nf（x）恒成立，则称f（x）具有“可构造性”.（1）当m＝2，n＝3时，f（x）具有“可构造性”，求的取值范围；（2）对于常数m，n∈N*（m＜n），f（x）具有“可构造性”，求的取值范围.6.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f'（x）是f（x）的导函数，f″（x）是f'（x）的导函数，则曲线y＝f（x）在点（x，f（x））处的曲率K＝.（1）求曲线f（x）＝ln x在（1，0）处的曲率；（2）已知函数g（x）＝cos x＋1（x∈R），求g（x）曲率的平方的最大值.7.（2025·湖北七市州联合测试）微积分的创立是数学发展中的里程碑，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数f（x）＝（x＞0），f（x）在区间[a，b]上的图象连续不断，如图，从几何上看，定积分dx便是由直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f（x）＝（x＞0）所围成的区域（称为曲边梯形ABQP）的面积，根据微积分基本定理可得dx＝ln b－ln a，易知曲边梯形ABQP的面积小于梯形ABQP的面积，即S曲边梯形ABQP＜S梯形ABQP，代入数据，进一步可以推导出不等式：＞.（1）请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：＜；（2）已知函数F（x）＝mx2＋nx＋xln x，其中m，n∈R.证明：对任意两个不相等的正数x1，x2，曲线y＝F（x）在点（x1，F（x1））和点（x2，F（x2））处的切线均不重合.第九节 函数与导数中的创新性问题1.B 当sgn（ex－1）＋sgn（－x＋1）＝0时，取x＝－，则ex－1＜0，－x＋1＞0，此时sgn（ex－1）＋sgn（－x＋1）＝－1＋1＝0，则x＞1不成立，即充分性不成立；当x＞1时，ex－1＞0，－x＋1＜0，所以sgn（ex－1）＋sgn（－x＋1）＝1－1＝0，即必要性成立.所以“sgn（ex－1）＋sgn（－x＋1）＝0”是“x＞1”的必要不充分条件.2.C f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），f'（x）＝3ax2＋2bx＋c，f″（x）＝6ax＋2b，令f″（x）＝0，则此方程为一元一次方程，解得x＝－，而f（－－x）＝－f（－＋x），所以A、B、D正确，但C不正确，比如，f（x）＝x3没有极值.3.BD 如图1，设＝＝x，x∈（0，1），则S1（x）＝x2，S2（x）＝x－x2，S3（x）＝1－x，如图2，P点为函数S1（x）与函数S3（x）图象的公共点，Q点为函数S1（x）与函数S2（x）图象的公共点，它们的坐标分别为P（，），Q（，），故选B、D.4.AD 对于函数y1＝2x（x＞0）变换后为tan b＝2tan a，当a＝0时，tan b＝0，即b＝0，排除①④；当a＝时，tan b＝2＞tan，所以b＞，排除③，y1＝2x变换后是②，A正确；对于函数y2＝x2（x＞0）变换后为tan b＝tan2a，当a＝0时，tan b＝0，即b＝0，排除①④；y2＝x2变换后是③，B错误；对于函数y3＝ex（x＞0）变换后为tan b＝etan a，当a＝0时，tan b＝1，即b＝，排除④，y3＝ex变换后是①，C错误；对于y4＝ln x（x＞0）变换后为④，D正确.所以A、D正确.5.解：（1）令g（x）＝，则g'（x）＝，由题设知恒有2f（x）＜xf'（x），所以g'（x）＞0，g（2）＝＞＝g（1） ＞4.令h（x）＝，则h'（x）＝，由题设知恒有3f（x）＞xf'（x），所以h'（x）＜0，h（2）＝＜＝h（1） ＜8.所以4＜＜8.故的取值范围为（4，8）.（2）令g（x）＝，则g'（x）＝，由题设知恒有mf（x）＜xf'（x），所以g'（x）＞0，g（2）＝＞＝g（1） ＞2m.令h（x）＝，则h'（x）＝，由题设知恒有nf（x）＞xf'（x），所以h'（x）＜0，h（2）＝＜＝h（1） ＜2n.所以2m＜＜2n.故的取值范围为（2m，2n）.6.解：（1）因为f（x）＝ln x，则f'（x）＝，f″（x）＝－，所以K＝＝＝.（2）因为g（x）＝cos x＋1（x∈R），则g'（x）＝－sin x，g″（x）＝－cos x，所以K＝＝，则K2＝＝，令t＝2－cos2x，则t∈[1，2]，K2＝，设p（t）＝，则p'（t）＝＝，显然当t∈[1，2]时，p'（t）＜0，p（t）单调递减，所以p（t）max＝p（1）＝1，所以K2的最大值为1.7.证明：（1）在曲线y＝f（x）＝（x＞0）上取一点M（，），过点M（，）作曲线y＝f（x）＝（x＞0）的切线（图略），分别交AP，BQ于M1，M2，因为S曲边梯形ABQP＞，所以ln b－ln a＞·（｜AM1｜＋｜BM2｜）·｜AB｜＝·2··（b－a），即＜.（2）由题意得F'（x）＝2mx＋ln x＋n＋1，不妨设0＜x1＜x2，则曲线y＝F（x）在点（x1，F（x1））处的切线l1：y－F（x1）＝F'（x1）（x－x1），即y＝F'（x1）x＋F（x1）－x1F'（x1），同理可得，曲线y＝F（x）在点（x2，F（x2））处的切线l2：y＝F'（x2）x＋F（x2）－x2F'（x2）.假设l1与l2重合，则化简可得两式消去m可得ln x2－ln x1－2＝0，得＝.由（1）的结论知＜，与上式矛盾，所以对任意两个不相等的正数x1，x2，曲线y＝F（x）在点（x1，F（x1））和点（x2，F（x2））处的切线均不重合.2 / 2第九节 函数与导数中的创新性问题重点解读 函数与导数中的创新性问题以往在自主命题卷中出现较多，可以出现在各个题型中，其题型灵活，可以单独考查函数与导数知识，也可以与其他知识交汇命题，还可以引用高等数学中的相关知识作为试题背景命题，试题新颖，对考生的文字阅读、信息提取、转化与化归能力的要求较高.创设新定义（师生共研过关）〔多选〕（2024·贵州天柱民族中学段考改编）若存在m，使得f（x）≥m对任意x∈D恒成立，则函数f（x）在D上有下界，其中m为函数f（x）的一个下界；若存在M，使得f（x）≤M对任意x∈D恒成立，则函数f（x）在D上有上界，其中M为函数f（x）的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界.则下列说法正确的是（ ）A.1是函数f（x）＝x＋（x＞0）的一个下界 B.函数f（x）＝xln x有下界，无上界C.函数f（x）＝有上界，无下界 D.函数f（x）＝有下界，无上界听课记录 解题技法 解决新定义问题，有时需要用类比的方法来理解新定义，这样有助于更为透彻地理解新定义.此类问题对阅读理解能力有一定的要求，但是要学会透过现象看本质，新定义问题考查的还是高中数学基础知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好“四基”，以不变应万变才是制胜法宝. 已知定义在R上的函数f（x），若对于任意的正整数n，有fn（x）＝则称fn（x）为f（x）的“n阶临界函数”.已知函数f（x）＝ax2－（a＋1）x＋5，且a＜0，若f4（x）在区间[－1，1]内单调递减，则实数a的取值范围为 .创新情境设置（师生共研过关）若函数g（x）在区间D上满足 a，b，c∈D，g（a），g（b），g（c）为一个三角形的三边长，则称函数g（x）在区间D上为“稳定函数”.已知函数f（x）＝＋m在区间［，e2］上是“稳定函数”，则实数m的取值范围为（ ）A.（2e＋，＋∞） B.（2e2＋，＋∞）C.（4e＋，＋∞） D.（4e2＋，＋∞）听课记录 解题技法 解答此类问题的关键是认真阅读题目情境表述，厘清已知条件、特定规则及待求问题，从中获取关键信息再将信息利用熟悉的知识和方法破译、转化为数学表达式（或数学图形），然后求解，得出结论，一般解题步骤如下所示： 在空间直角坐标系O-xyz中，三元二次方程所对应的曲面统称为二次曲面.比如方程x2＋y2＋z2＝1对应的曲面球面，就是一种常见的二次曲面.二次曲面在工业、农业、建筑等众多领域应用广泛.已知点P（x，y，z）是二次曲面4x2－xy＋y2－z＝0上的任意一点，且x＞0，y＞0，z＞0，则当取得最小值时，（－）的最大值为 .高数背景下的创新题（师生共研过关）（2024·襄阳三模）柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f（x），g（x）满足：①图象在[a，b]上是一条连续不断的曲线；②在（a，b）内可导；③对 x∈（a，b），g'（x）≠0，则 ξ∈（a，b），使得＝.特别地，取g（x）＝x，则有： ξ∈（a，b），使得＝f'（ξ），此情形称为拉格朗日中值定理.（1）设函数f（x）满足f（0）＝0，其导函数f'（x）在（0，＋∞）上单调递增，证明：函数y＝在（0，＋∞）上单调递增；（2）若 a，b∈（0，e）且a＞b，不等式－＋m（－）≤0恒成立，求实数m的取值范围.解题技法 高数背景下的创新题很多，涉及到中学数学教材中出现过的就有十几处，如泰勒公式、拉格朗日中值定理、欧拉公式等，解决该类问题不必增加高等数学的学习，而是把题目背景的条件，结论理解清楚（不必过多探究为什么），重要的是将其转化为用中学数学解决的问题.此类题目主要考查创新思维与迁移能力. （2025·贵阳适应性考试）英国数学家泰勒发现了如下公式：ex＝1＋x＋＋＋…＋＋…，其中n！＝1×2×3×4×…×n，e为自然对数的底数，e＝2.718 28…….以上公式称为泰勒展开式.设f（x）＝，g（x）＝，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.（1）证明：ex≥1＋x；（2）设x∈（0，＋∞），证明：＜g（x）.第九节 函数与导数中的创新性问题【考点·分类突破】考点1【例1】 AB 当x＞0时，x＋≥2（当且仅当x＝1时取等号），∴f（x）＞1恒成立，∴1是f（x）的一个下界，故A正确；f'（x）＝ln x＋1（x＞0），∴当x∈（0，）时，f'（x）＜0，当x∈（，＋∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，＋∞）上单调递增，∴f（x）≥f（）＝－，f（x）有下界.又当x→＋∞时，f（x）→＋∞，∴f（x）无上界.综上所述，f（x）＝xln x有下界，无上界，故B正确；∵x2＞0，ex＞0，∴＞0，∴f（x）有下界，故C错误；∵sin x∈[－1，1]，∴≤≤.又≥－1，≤1，∴－1＜＜1，∴f（x）既有上界又有下界，故D错误.跟踪训练［－，0） 解析：令ax2－（a＋1）x＋5≥4，解得≤x≤1，所以f4（x）＝要使f4（x）在[－1，1]内单调递减，需满足－≤－1且≤－1，解得－≤a＜0，故a的取值范围为［－，0）.考点2【例2】 D f（x）＝＋m，则f'（x）＝，当≤x＜e时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；当e＜x≤e2时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减.所以在区间［，e2］上，f（x）max＝f（e）＝m＋，又f（）＝m－2e2，f（e2）＝m＋，所以在区间［，e2］上，f（x）min＝m－2e2，由题意可得可得解得m＞4e2＋.故选D.跟踪训练 解析：由题意知，z＝4x2－xy＋y2，故＝＋－1≥2－1＝3，当且仅当y＝2x时等号成立，此时z＝6x2，所以（－）＝－＝－.令t＝＞0，f（t）＝－（t＞0），故f'（t）＝，当0＜t＜2时f'（t）＞0，当t＞2时f'（t）＜0，所以f（t）在（0，2）上单调递增，在（2，＋∞）上单调递减.故f（t）≤f（2）＝，故（－）≤，当x＝，y＝1，z＝时等号成立，综上，（－）的最大值为.考点3【例3】 解：（1）证明：由题＝，由柯西中值定理知，对 x＞0， ξ∈（0，x），使得＝＝f'（ξ），即＝f'（ξ），又f'（x）在（0，＋∞）上单调递增，则f'（x）＞f'（ξ），则f'（x）＞，即xf'（x）－f（x）＞0，所以［］'＝＞0，故y＝在（0，＋∞）上单调递增.（2）－＋m（－）≤0 ≤m，取f（x）＝xln x，g（x）＝x2，因为a＞b，所以由柯西中值定理知， ξ∈（b，a），使得＝＝＝.由题意有≤m，设G（x）＝（0＜x＜e），G'（x）＝，当0＜x＜1时，G'（x）＞0，当1＜x＜e时，G'（x）＜0，所以G（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，所以G（x）max＝G（1）＝，故m≥，所以实数m的取值范围是［，＋∞）.跟踪训练证明：（1）设h（x）＝ex－x－1，则h'（x）＝ex－1.当x＞0时，h'（x）＞0；当x＜0时，h'（x）＜0.所以h（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增.因此，h（x）≥h（0）＝0，即ex≥1＋x.（2）因为ex＝1＋x＋＋＋＋＋…＋＋…， ①所以e－x＝1－x＋－＋－＋…＋（－1）n·＋…， ②由①②得f（x）＝＝x＋＋＋…＋＋…，g（x）＝＝1＋＋＋…＋＋…，所以＝1＋＋＋…＋＋…＜1＋＋＋…＋＋…＝g（x），即＜g（x）.2 / 2(共42张PPT)第九节 函数与导数中的创新性问题高中总复习·数学重点解读 函数与导数中的创新性问题以往在自主命题卷中出现较多，可以出现在各个题型中，其题型灵活，可以单独考查函数与导数知识，也可以与其他知识交汇命题，还可以引用高等数学中的相关知识作为试题背景命题，试题新颖，对考生的文字阅读、信息提取、转化与化归能力的要求较高.目 录CONTENTS考点·分类突破01.课时·跟踪检测02.PART 01考点·分类突破精选考点 | 课堂演练创设新定义（师生共研过关）〔多选〕（2024·贵州天柱民族中学段考改编）若存在m，使得f（x）≥m对任意x∈D恒成立，则函数f（x）在D上有下界，其中m为函数f（x）的一个下界；若存在M，使得f（x）≤M对任意x∈D恒成立，则函数f（x）在D上有上界，其中M为函数f（x）的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界.则下列说法正确的是（ ）B. 函数f（x）＝xln x有下界，无上界√√解析： 当x＞0时，x＋ ≥2（当且仅当x＝1时取等号），∴f（x）＞1恒成立，∴1是f（x）的一个下界，故A正确；f'（x）＝ln x＋1（x＞0），∴当x∈（0， ）时，f'（x）＜0，当x∈（ ，＋∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，＋∞）上单调递增，∴f（x）≥f（ ）＝－ ，f（x）有下界.又当x→＋∞时，f（x）→＋∞，∴f（x）无上界.综上所述，f（x）＝xln x有下界，无上界，故B正确；∵x2＞0，ex＞0，∴ ＞0，∴f（x）有下界，故C错误；∵ sin x∈[－1，1]，∴ ≤ ≤ .又 ≥－1， ≤1，∴－1＜ ＜1，∴f（x）既有上界又有下界，故D错误.解题技法 解决新定义问题，有时需要用类比的方法来理解新定义，这样有助于更为透彻地理解新定义.此类问题对阅读理解能力有一定的要求，但是要学会透过现象看本质，新定义问题考查的还是高中数学基础知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好“四基”，以不变应万变才是制胜法宝. 已知定义在R上的函数f（x），若对于任意的正整数n，有fn（x）＝则称fn（x）为f（x）的“n阶临界函数”.已知函数f（x）＝ax2－（a＋1）x＋5，且a＜0，若f4（x）在区间[－1，1]内单调递减，则实数a的取值范围为 .［－ ，0） 解析：令ax2－（a＋1）x＋5≥4，解得 ≤x≤1，所以f4（x）＝要使f4（x）在[－1，1]内单调递减，需满足－ ≤－1且 ≤－1，解得－ ≤a＜0，故a的取值范围为［－ ，0）.创新情境设置（师生共研过关）若函数g（x）在区间D上满足 a，b，c∈D，g（a），g（b），g（c）为一个三角形的三边长，则称函数g（x）在区间D上为“稳定函数”.已知函数f（x）＝ ＋m在区间［ ，e2］上是“稳定函数”，则实数m的取值范围为（ ）√解析： f（x）＝ ＋m，则f'（x）＝ ，当 ≤x＜e时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；当e＜x≤e2时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减.所以在区间［ ，e2］上，f（x）max＝f（e）＝m＋ ，又f（ ）＝m－2e2，f（e2）＝m＋ ，所以在区间［ ，e2］上，f（x）min＝m－2e2，由题意可得 可得解得m＞4e2＋ .故选D.解题技法 解答此类问题的关键是认真阅读题目情境表述，厘清已知条件、特定规则及待求问题，从中获取关键信息再将信息利用熟悉的知识和方法破译、转化为数学表达式（或数学图形），然后求解，得出结论，一般解题步骤如下所示： 在空间直角坐标系O-xyz中，三元二次方程所对应的曲面统称为二次曲面.比如方程x2＋y2＋z2＝1对应的曲面球面，就是一种常见的二次曲面.二次曲面在工业、农业、建筑等众多领域应用广泛.已知点P（x，y，z）是二次曲面4x2－xy＋y2－z＝0上的任意一点，且x＞0，y＞0，z＞0，则当取得最小值时， （ － ）的最大值为 . 解析：由题意知，z＝4x2－xy＋y2，故 ＝ ＋ －1≥2 －1＝3，当且仅当y＝2x时等号成立，此时z＝6x2，所以 （ － ）＝ － ＝－ .令t＝ ＞0，f（t）＝ － （t＞0），故f'（t）＝ ，当0＜t＜2时f'（t）＞0，当t＞2时f'（t）＜0，所以f（t）在（0，2）上单调递增，在（2，＋∞）上单调递减.故f（t）≤f（2）＝ ，故 （ －）≤ ，当x＝ ，y＝1，z＝ 时等号成立，综上， （ － ）的最大值为 .高数背景下的创新题（师生共研过关）（2024·襄阳三模）柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f（x），g（x）满足：①图象在[a，b]上是一条连续不断的曲线；②在（a，b）内可导；③对 x∈（a，b），g'（x）≠0，则 ξ∈（a，b），使得＝ .特别地，取g（x）＝x，则有： ξ∈（a，b），使得 ＝f'（ξ），此情形称为拉格朗日中值定理.（1）设函数f（x）满足f（0）＝0，其导函数f'（x）在（0，＋∞）上单调递增，证明：函数y＝ 在（0，＋∞）上单调递增；解： 证明：由题 ＝ ，由柯西中值定理知，对 x＞0， ξ∈（0，x），使得 ＝ ＝f'（ξ），即 ＝f'（ξ），又f'（x）在（0，＋∞）上单调递增，则f'（x）＞f'（ξ），则f'（x）＞ ，即xf'（x）－f（x）＞0，所以［ ］'＝ ＞0，故y＝ 在（0，＋∞）上单调递增.（2）若 a，b∈（0，e）且a＞b，不等式 － ＋m（ － ）≤0恒成立，求实数m的取值范围.解： － ＋m（ － ）≤0 ≤m，取f（x）＝xlnx，g（x）＝x2，因为a＞b，所以由柯西中值定理知， ξ∈（b，a），使得 ＝ ＝ ＝ .由题意有 ≤m，设G（x）＝ （0＜x＜e），G'（x）＝ ，当0＜x＜1时，G'（x）＞0，当1＜x＜e时，G'（x）＜0，所以G（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，所以G（x）max＝G（1）＝ ，故m≥ ，所以实数m的取值范围是［ ，＋∞）.解题技法 高数背景下的创新题很多，涉及到中学数学教材中出现过的就有十几处，如泰勒公式、拉格朗日中值定理、欧拉公式等，解决该类问题不必增加高等数学的学习，而是把题目背景的条件，结论理解清楚（不必过多探究为什么），重要的是将其转化为用中学数学解决的问题.此类题目主要考查创新思维与迁移能力. （2025·贵阳适应性考试）英国数学家泰勒发现了如下公式：ex＝1＋x＋ ＋ ＋…＋ ＋…，其中n！＝1×2×3×4×…×n，e为自然对数的底数，e＝2.718 28…….以上公式称为泰勒展开式.设f（x）＝ ，g（x）＝ ，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.（1）证明：ex≥1＋x；证明： 设h（x）＝ex－x－1，则h'（x）＝ex－1.当x＞0时，h'（x）＞0；当x＜0时，h'（x）＜0.所以h（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增.因此，h（x）≥h（0）＝0，即ex≥1＋x.（2）设x∈（0，＋∞），证明： ＜g（x）.证明： 因为ex＝1＋x＋ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＋…， ①所以e－x＝1－x＋ － ＋ － ＋…＋（－1）n· ＋…， ②由①②得f（x）＝ ＝x＋ ＋ ＋…＋ ＋…，g（x）＝ ＝1＋ ＋ ＋…＋ ＋…，所以 ＝1＋ ＋ ＋…＋ ＋…＜1＋ ＋ ＋…＋＋…＝g（x），即 ＜g（x）.PART 02课时·跟踪检测关键能力 | 课后练习1. （2024·临沂一模）已知函数sgn（x）＝ 则“sgn（ex－1）＋sgn（－x＋1）＝0”是“x＞1”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件√12345678910111213141516171819202022232425解析： 当sgn（ex－1）＋sgn（－x＋1）＝0时，取x＝－ ，则ex－1＜0，－x＋1＞0，此时sgn（ex－1）＋sgn（－x＋1）＝－1＋1＝0，则x＞1不成立，即充分性不成立；当x＞1时，ex－1＞0，－x＋1＜0，所以sgn（ex－1）＋sgn（－x＋1）＝1－1＝0，即必要性成立.所以“sgn（ex－1）＋sgn（－x＋1）＝0”是“x＞1”的必要不充分条件.2. 对于三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），给出定义：设f'（x）是函数y＝f（x）的导数，f″（x）是f'（x）的导数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”，则下列命题中不正确的是（ ）A. 任何一个三次函数都有“拐点”B. 任何一个三次函数的图象都有对称中心C. 任何一个三次函数都有极值D. 三次函数的“拐点”就是对称中心√解析： f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），f'（x）＝3ax2＋2bx＋c，f″（x）＝6ax＋2b，令f″（x）＝0，则此方程为一元一次方程，解得x＝－ ，而f（－ －x）＝－f（－ ＋x），所以A、B、D正确，但C不正确，比如，f（x）＝x3没有极值.3. 〔多选〕已知△ABC的面积为1，AB的平行线分别交AC，BC于点D，E，连接BD，△DCE，△DBE，△DBA的面积分别记为S1，S2，S3，则（ ）√√解析： 如图1，设 ＝ ＝x，x∈（0，1），则S1（x）＝x2，S2（x）＝x－x2，S3（x）＝1－x，如图2，P点为函数S1（x）与函数S3（x）图象的公共点，Q点为函数S1（x）与函数S2（x）图象的公共点，它们的坐标分别为P（ ， ），Q（ ， ），故选B、D.4. 〔多选〕在直角坐标系xOy中，对于点（x，y），定义变换σ：将点（x，y）变换为点（a，b），使得 其中a，b∈（－ ， ），这样变换σ将坐标系xOy内的曲线变换为坐标系aOb内的曲线，如图，则下列说法中正确的是（ ）A. 函数y1＝2x（x＞0）在坐标系xOy内的图象变换为坐标系aOb内的曲线是②B. 函数y2＝x2（x＞0）在坐标系xOy内的图象变换为坐标系aOb内的曲线是①C. 函数y3＝ex（x＞0）在坐标系xOy内的图象变换为坐标系aOb内的曲线是③D. 函数y4＝ln x（x＞0）在坐标系xOy内的图象变换为坐标系aOb内的曲线是④√√解析： 对于函数y1＝2x（x＞0）变换后为tan b＝2tan a，当a＝0时，tan b＝0，即b＝0，排除①④；当a＝ 时，tan b＝2＞tan ，所以b＞ ，排除③，y1＝2x变换后是②，A正确；对于函数y2＝x2（x＞0）变换后为tan b＝tan2a，当a＝0时，tan b＝0，即b＝0，排除①④，y2＝x2变换后是③，B错误；对于函数y3＝ex（x＞0）变换后为tan b＝etan a，当a＝0时，tan b＝1，即b＝ ，排除④，y3＝ex变换后是①，C错误；对于y4＝ln x（x＞0）变换后为④，D正确.所以A、D正确.5. 设定义在（0，＋∞）上的函数f（x）的导函数为f'（x），若存在m，n∈N*（m＜n），使得mf（x）＜xf'（x）＜nf（x）恒成立，则称f（x）具有“可构造性”.（1）当m＝2，n＝3时，f（x）具有“可构造性”，求 的取值范围；解： 令g（x）＝ ，则g'（x）＝ ，由题设知恒有2f（x）＜xf'（x），所以g'（x）＞0，g（2）＝ ＞ ＝g（1） ＞4.令h（x）＝ ，则h'（x）＝ ，由题设知恒有3f（x）＞xf'（x），所以h'（x）＜0，h（2）＝ ＜ ＝h（1） ＜8.所以4＜ ＜8.故 的取值范围为（4，8）.（2）对于常数m，n∈N*（m＜n），f（x）具有“可构造性”，求的取值范围.解： 令g（x）＝ ，则g'（x）＝ ，由题设知恒有mf（x）＜xf'（x），所以g'（x）＞0，g（2）＝ ＞ ＝g（1） ＞2m.令h（x）＝ ，则h'（x）＝ ，由题设知恒有nf（x）＞xf'（x），所以h'（x）＜0，h（2）＝ ＜ ＝h（1） ＜2n.所以2m＜ ＜2n.故 的取值范围为（2m，2n）.6. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f'（x）是f（x）的导函数，f″（x）是f'（x）的导函数，则曲线y＝f（x）在点（x，f（x））处的曲率K＝ .（1）求曲线f（x）＝ln x在（1，0）处的曲率；解： 因为f（x）＝ln x，则f'（x）＝ ，f″（x）＝－ ，所以K＝＝ ＝ .（2）已知函数g（x）＝ cos x＋1（x∈R），求g（x）曲率的平方的最大值.解： 因为g（x）＝ cos x＋1（x∈R），则g'（x）＝－ sin x，g″（x）＝－ cos x，所以K＝ ＝ ，则K2＝ ＝ ，令t＝2－ cos 2x，则t∈[1，2]，K2＝ ，设p（t）＝ ，则p'（t）＝ ＝ ，显然当t∈[1，2]时，p'（t）＜0，p（t）单调递减，所以p（t）max＝p（1）＝1，所以K2的最大值为1.7. （2025·湖北七市州联合测试）微积分的创立是数学发展中的里程碑，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数f（x）＝ （x＞0），f（x）在区间[a，b]上的图象连续不断，如图，从几何上看，定积分 dx便是由直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f（x）＝ （x＞0）所围成的区域（称为曲边梯形ABQP）的面积，根据微积分基本定理可得dx＝ln b－ln a，易知曲边梯形ABQP的面积小于梯形ABQP的面积，即S曲边梯形ABQP＜S梯形ABQP，代入数据，进一步可以推导出不等式：＞ .（1）请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明： ＜ ；证明： 在曲线y＝f（x）＝ （x＞0）上取一点M（ ， ），过点M（ ， ）作曲线y＝f（x）＝ （x＞0）的切线（图略），分别交AP，BQ于M1，M2，因为S曲边梯形ABQP＞ ，所以ln b－ln a＞ ·（｜AM1｜＋｜BM2｜）·｜AB｜＝ ·2· ·（b－a），即 ＜ .（2）已知函数F（x）＝mx2＋nx＋xln x，其中m，n∈R. 证明：对任意两个不相等的正数x1，x2，曲线y＝F（x）在点（x1，F（x1））和点（x2，F（x2））处的切线均不重合.证明： 由题意得F'（x）＝2mx＋ln x＋n＋1，不妨设0＜x1＜x2，则曲线y＝F（x）在点（x1，F（x1））处的切线l1：y－F（x1）＝F'（x1）（x－x1），即y＝F'（x1）x＋F（x1）－x1F'（x1），同理可得，曲线y＝F（x）在点（x2，F（x2））处的切线l2：y＝F'（x2）x＋F（x2）－x2F'（x2）.假设l1与l2重合，则化简可得两式消去m可得ln x2－ln x1－2 ＝0，得 ＝ .由（1）的结论知 ＜ ，与上式矛盾，所以对任意两个不相等的正数x1，x2，曲线y＝F（x）在点（x1，F（x1））和点（x2，F（x2））处的切线均不重合.THANKS演示完毕 感谢观看 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第九节 函数与导数中的创新性问题.docx 第九节 函数与导数中的创新性问题.pptx 第九节 函数与导数中的创新性问题（练习，含解析）.docx
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