资源简介

第三节　导数与函数的极值、最值
1.已知定义在R上的函数f（x），其导函数f'（x）的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（　　）
A.f（b）＞f（a）＞f（c）
B.函数f（x）在x＝c处取得最大值，在x＝e处取得最小值
C.函数f（x）在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值
D.函数f（x）的最小值为f（d）
2.（2024·伊春开学考试）函数f（x）＝（4x－5）e2x的极值点为（　　）
A. B.
C. D.
3.设函数f（x）的定义域为R，若x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，则以下结论中一定正确的是（　　）
A. x∈R，f（x）≤f（x0）
B.－x0是f（－x）的极小值点
C.－x0是－f（x）的极小值点
D.－x0是－f（－x）的极小值点
4.函数f（x）＝x2＋（a－1）x－3ln x在（1，2）内有最小值，则实数a的取值范围为（　　）
A.（－，2） B.［－，2］
C.（－，2） D.（－，1］
5.〔多选〕（2025·辽宁高三开学考试）对于函数f（x）＝－2ln x＋x2－3x，下列说法正确的是（　　）
A.f（x）在区间（2，＋∞）上单调递增
B.2是函数f（x）的极大值点
C.f（x）的单调递减区间是（0，2）
D.函数f（x）的最小值为－2ln 2－2
6.函数f（x）＝的最大值为　　　　.
7.某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大种植量是8万斤，每种植一斤莲藕，成本增加0.5元，销售额函数是f（x）＝－x3＋ax2＋x，x是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，a是常数.若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年应种植莲藕　　　　万斤.
8.已知函数f（x）＝ax3－x，若f（x）有极大值，则a＝　　　　.
9.已知函数f（x）＝－xln x＋2x.
（1）求函数f（x）的单调区间以及极值；
（2）求函数f（x）在[1，3]上的最小值.
10.对任意x∈R，函数f（x）＝ax3＋ax2＋7x不存在极值点的充要条件是（　　）
A.0≤a≤21 B.0＜a≤21
C.a＜0或a＞21 D.a＝0或a＝21
11.（2025·长沙新高考适应性考试）函数g（x）＝在区间[t，＋∞）（t∈N*）上存在极值，则t的最大值为（　　）
A.2　　 　B.3
C.4　　 　D.5
12.〔多选〕已知函数f（x）＝2x3－ax2＋b，若f（x）在区间[0，1]上的最小值为－1，最大值为1，则a的值可以是（　　）
A.0　　 　B.4
C.3　　D.3
13.（2025·八省联考）已知函数f（x）＝aln x＋－x.
（1）设a＝1，b＝－2，求曲线y＝f（x）的斜率为2的切线方程；
（2）若x＝1是f（x）的极小值点，求b的取值范围.
14.已知函数f（x）＝2ax－ln（2x），x∈（0，e]，其中e是自然对数的底数，a∈R.
（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值；
（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
15.（创新设问方式）若方程－x＝ln x有唯一解，则实数a的取值范围是　　　　.
第三节　导数与函数的极值、最值
1.C　由题图可知，当x≤c时，f'（x）≥0，所以函数f（x）在（－∞，c]上单调递增，又a＜b＜c，所以f（a）＜f（b）＜f（c），故A不正确；因为f'（c）＝0，f'（e）＝0，且当x＜c时，f'（x）＞0；当c＜x＜e时，f'（x）＜0；当x＞e时，f'（x）＞0.所以函数f（x）在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，但不一定是最小值，故B不正确，C正确；由题图可知，当d≤x≤e时，f'（x）≤0，所以函数f（x）在[d，e]上单调递减，从而f（d）＞f（e），所以D不正确.故选C.
2.B　f'（x）＝4e2x＋2（4x－5）e2x＝（8x－6）e2x，令f'（x）＜0，得x＜，此时函数单调递减；令f'（x）＞0，得x＞，此时函数单调递增.所以f（x）的极小值点为，无极大值点.故选B.
3.D　极值为函数的局部性质，A错误.因为f（－x）与f（x）的图象关于y轴对称，所以－x0是f（－x）的极大值点，B错误.因为－f（x）与f（x）的图象关于x轴对称，所以x0是－f（x）的极小值点，C错误.因为－f（－x）与f（x）的图象关于原点对称，所以－x0是－f（－x）的极小值点，D正确.
4.A　f'（x）＝2x＋（a－1）－＝，设g（x）＝2x2＋（a－1）x－3，因为Δ＝（a－1）2＋24＞0，因此g（x）＝0有两个不同实根，又g（0）＝－3＜0，因此g（x）＝0的两根一正一负，由题意正根在（1，2）内，所以解得－＜a＜2.故选A.
5.ACD　∵f（x）＝－2ln x＋x2－3x，x∈（0，＋∞），∴f'（x）＝－＋2x－3＝＝，令f'（x）＝0，则x＝2，令f'（x）＜0，解得0＜x＜2，令f'（x）＞0，解得x＞2，∴f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，2是函数f（x）的极小值点，故A、C正确，B错误；又f（x）min＝f（2）＝－2ln 2＋4－6＝－2ln 2－2，故D正确.故选A、C、D.
6.　解析：由题得f'（x）＝＝（x＞0）.令f'（x）＞0，解得0＜x＜；令f'（x）＜0，解得x＞.所以函数f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，＋∞），所以函数f（x）＝的最大值为f（）＝＝.
7.6　解析：设销售利润为g（x），得g（x）＝－x3＋ax2＋x－1－x＝－x3＋ax2－1，当x＝2时，g（2）＝－×23＋a×22－1＝2.5，解得a＝2.所以g（x）＝－x3＋x2－1，g'（x）＝－x2＋x＝－x（x－6），所以函数g（x）在（0，6）上单调递增，在（6，8）上单调递减，所以当x＝6时，函数g（x）取得极大值即最大值.
8.3　解析：f'（x）＝3ax2－1，当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）是减函数，无极大值.当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝±，令f'（x）＞0，得x＜－或x＞，令f'（x）＜0，得－＜x＜，所以f（x）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以f（x）在x＝－处取得极大值，所以f＝，解得a＝3.
9.解：（1）f（x）＝－xln x＋2x的定义域是（0，＋∞），
依题意，f'（x）＝1－ln x，令f'（x）＞0，得0＜x＜e，令f'（x）＜0，得x＞e，
故函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，＋∞），
所以函数f（x）的极大值为f（e）＝e，无极小值.
（2）由（1）可知，f（x）在[1，e]上单调递增，在（e，3]上单调递减，
所以f（x）在[1，3]上的最小值为min{f（1），f（3）}，而f（1）＝2，f（3）＝－3ln 3＋6，
可知f（3）＞f（1），故函数f（x）在[1，3]上的最小值为2.
10.A　当a＝0时，显然适合题意；当a≠0时，应使f'（x）＝3ax2＋2ax＋7的图象与x轴相离或相切，即4a2－4×3a×7≤0，考虑a≠0，解得0＜a≤21.综上所述，可得0≤a≤21，故选A.
11.B　函数g（x）＝的定义域为（0，＋∞），g'（x）＝＝，令f（x）＝x＋1－xln x，则f'（x）＝1－ln x－1＝－ln x，所以当x∈（0，1）时，f'（x）＞0；当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＜0，所以f（x）＝x＋1－xln x在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，所以f（x）max＝f（1）＝2＞0.又当x∈（0，1）时，ln x＜0，－xln x＞0，则f（x）＝x＋1－xln x＞0.f（3）＝4－3ln 3＝ln e4－ln 27＞0，f（4）＝5－4ln 4＝ln e5－ln 256＜0，所以存在唯一的x0∈（3，4），使得f（x0）＝0，所以当x∈（0，x0）时，f（x）＞0，g'（x）＞0，当x∈（x0，＋∞）时，f（x）＜0，g'（x）＜0，所以函数g（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，＋∞）上单调递减，所以要使函数g（x）＝在区间[t，＋∞）（t∈N*）上存在极值，所以t的最大值为3，故选B.
12.AB　函数f（x）＝2x3－ax2＋b，则f'（x）＝6x2－2ax＝6x（x－），令f'（x）＝0，解得x＝0或x＝.①当a≤0时，若0≤x≤1，则f'（x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增，所以f（x）在[0，1]上的最小值为f（0）＝b，最大值为f（1）＝2－a＋b.因为f（x）在区间[0，1]上的最小值为－1，最大值为1，所以解得故选项A正确.②当a≥3时，若0≤x≤1，则f'（x）≤0，f（x）在[0，1]上单调递减，所以f（x）在[0，1]上的最大值为f（0）＝b，最小值为f（1）＝2－a＋b.因为f（x）在区间[0，1]上的最小值为－1，最大值为1，所以解得故选项B正确.由于选项C、D都是大于3的数，所以当0＜a＜3时，选项C、D不成立.故选A、B.
13.解：（1）当a＝1，b＝－2时，f（x）＝ln x－－x，其中x＞0，
则f'（x）＝＋－1＝，令f'（x）＝2 ＝2，
整理得3x2－x－2＝（x－1）（3x＋2）＝0，解得x＝1（负值舍去），
又f（1）＝－3，则切线过点（1，－3），结合切线斜率为2，
则切线方程为y＋3＝2（x－1），即2x－y－5＝0.
（2）由题可得f（x）定义域为（0，＋∞），f'（x）＝－－1＝，
因为x＝1是f（x）的极小值点，则f'（1）＝－1＋a－b＝0 a＝b＋1，
则f'（x）＝＝－，
若b≤0，令f'（x）＞0 x∈（0，1），令f'（x）＜0 x∈（1，＋∞），
则f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，得x＝1是f（x）的极大值点，不满足题意；
若0＜b＜1，令f'（x）＞0 x∈（b，1），令f'（x）＜0 x∈（0，b）∪（1，＋∞），
则f（x）在（b，1）上单调递增，在（0，b），（1，＋∞）上单调递减，
得x＝1是f（x）的极大值点，不满足题意；
若b＝1，则f'（x）＝－≤0，f（x）在（0，＋∞）上单调递减，无极值，不满足题意；
若b＞1，令f'（x）＞0 x∈（1，b），令f'（x）＜0 x∈（0，1）∪（b，＋∞），
则f（x）在（1，b）上单调递增，在（0，1），（b，＋∞）上单调递减，
得x＝1是f（x）的极小值点，满足题意；
综上，x＝1是f（x）的极小值点时，b的取值范围为（1，＋∞）.
14.解：（1）当a＝1时，f（x）＝2x－ln（2x），f'（x）＝2－＝，x∈（0，e]，
当0＜x＜时，f'（x）＜0，则f（x）单调递减；
当＜x≤e时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增.
所以函数f（x）的极小值为f（）＝1，无极大值.
（2）假设存在实数a，使f（x）＝2ax－ln（2x），x∈（0，e]的最小值是3，
f'（x）＝2a－＝，x∈（0，e].
①当a≤0时，因为x∈（0，e]，所以f'（x）＜0，f（x）在（0，e]上单调递减，
所以f（x）min＝f（e）＝2ae－ln（2e）＝3，解得a＝（舍去）；
②当0＜＜e时，即a＞时，
当0＜x＜时，f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；
当＜x≤e时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增.
所以f（x）min＝f（）＝1－ln＝3，解得a＝e2，满足条件；
③当≥e时，即0＜a≤时，对任意的x∈（0，e]，f'（x）≤0，f（x）在（0，e]上单调递减，
所以f（x）min＝f（e）＝2ae－ln（2e）＝3，解得a＝（舍去）.
综上，存在实数a＝e2，使得当x∈（0，e]时，f（x）的最小值为3.
15.（－∞，0）∪{1}　解析：由－x＝ln x，得a＝，由题意，函数y＝a与f（x）＝的图象只有一个交点.f（x）＝的定义域为（0，x0）∪（x0，＋∞），其中x0∈（0，1），且满足x0＋ln x0＝0.f'（x）＝＝.易知g（x）＝x＋2ln x－1在（0，x0），（x0，＋∞）上单调递增，且g（1）＝0，所以当0＜x＜x0或x0＜x＜1时，g（x）＜g（1）＝0，f'（x）＝＜0；当x＞1时，g（x）＞g（1）＝0，f'（x）＝＞0.所以f（x）在（0，x0），（x0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增.因此，当x＝1时，f（x）有极小值f（1）＝1.当x从右边趋向0时，f（x）→0；当x从左边趋向x0时，f（x）→－∞；当x从右边趋向x0时，f（x）→＋∞；当x→＋∞时，f（x）→＋∞.
画出f（x）的大致图象，如图所示.结合函数y＝a与f（x）＝的图象只有一个交点，可知a＜0或a＝1，故a的取值范围是（－∞，0）∪{1}.
2 / 2第三节　导数与函数的极值、最值
课标要求
1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值，会求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.
3.体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系.
1.函数的极值与导数
条件 f'（x0）＝0
x0附近的左侧f'（x）　　　0，右侧f'（x）　　　　0 x0附近的左侧f'（x）　　　0，右侧f'（x）　　0
图象 形如山峰 形如山谷
极值 f（x0）为极　　　值 f（x0）为极　　　值
极值点 x0为极　　　值点 x0为极　　　值点
提醒 f'（x0）＝0是x0为可导函数f（x）的极值点的必要不充分条件.如：f（x）＝x3，f'（0）＝0，但x＝0不是极值点.
2.函数的最值与导数
（1）如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条　　　　　　的曲线，那么它必有最大值和最小值；
（2）若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则f（a）为函数的　　　　　　，f（b）为函数的　　　　　　；若函数f（x）在[a，b]上单调递减，则f（a）为函数的　　　　　　，f（b）为函数的　　　　　　.
1.若函数f（x）在（a，b）上是单调函数，则f（x）在（a，b）上无极值.
2.若函数f（x）在[a，b]上是单调函数，则f（x）一定在区间端点处取得最值.
3.若函数f（x）在区间（a，b）内只有一个极值点，则该极值点一定是函数相应的最值点.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数的极大值不一定比极小值大.（　　）
（2）闭区间上的连续函数必有最值.（　　）
（3）函数的极大值一定是函数的最大值.（　　）
（4）开区间上的单调连续函数无最值.（　　）
（5）设函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，那么y＝f（x）在区间（a，b）内不单调.（　　）
2.如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，下列结论正确的是（　　）
A.y＝f（x）在x＝－1处取得极大值
B.1是函数y＝f（x）的极值点
C.－2是函数y＝f（x）的极小值点
D.函数y＝f（x）在区间（－1，1）上单调递减
3.（人A选二P93例6改编）函数f（x）＝ln x－x在区间（0，e]上的最大值为（　　）
A.1－e B.－1
C.－e D.0
4.（苏教选一P215例4改编）函数f（x）＝x3－12x的极小值为　　　　　，极大值为　　　　　.
5.（人A选二P104复习参考题9题改编）若函数f（x）＝ex＋ax在x＝2处取得极值，则a＝　　　　.
　　
函数的极值
（定向精析突破）
考向1　由图象判断函数的极值
〔多选〕（2025·玉溪阶段练习）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且函数y＝（1－x）f'（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　）
A.函数f（x）有极大值f（－2）
B.函数f（x）有极大值f（2）
C.函数f（x）有极小值f（1）
D.函数f（x）有极小值f（2）
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
由图象判断函数y＝f（x）的极值要抓住两点
（1）由y＝f'（x）的图象与x轴的交点，可得函数y＝f（x）的可能极值点；
（2）由导函数y＝f'（x）的图象可以看出y＝f'（x）的值的正负，从而可得函数y＝f（x）的单调性.两者结合可得极值点.
考向2　求函数的极值（极值点）
已知函数f（x）＝ln x－ax（a∈R）.
（1）当a＝时，求f（x）的极值；
（2）讨论函数f（x）在定义域内极值点的个数.
解题技法
求函数的极值或极值点的步骤
（1）确定函数f（x）的定义域；
（2）求导数f'（x），求方程f'（x）＝0的根；
（3）检查在方程的根的左右两侧f'（x）的符号，确定极值点和函数的极值.
考向3　已知函数的极值求参数
若函数f（x）＝2e2x＋（a－2）ex＋x有两个极值点，则a的取值范围是（　　）
A.（－∞，－2） B.（－∞，－1）
C.（－∞，1） D.（－∞，2）
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
　　已知函数极值点或极值求参数的2个要领
（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
（2）验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
提醒 若函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，那么y＝f（x）在（a，b）内不是单调函数.
1.函数f（x）＝－3x＋2ln x的极大值与极小值之和为（　　）
A.2ln 2－6 B.ln 2－
C.ln 2－6 D.2ln 2－
2.（2024·邢台高三开学考试）已知函数f（x）＝（x－a）（x2－x）在x＝a处取得极小值，则a＝（　　）
A.－1 B.0 C.1 D.0或1
3.若函数f（x）＝ln（2x）＋ax有大于零的极值，则实数a的取值范围是（　　）
A.（－∞，－） B.（－，0）
C.（0，） D.（，＋∞）
函数的最值
（定向精析突破）
考向1　不含参函数的最值
（1）函数f（x）＝x＋sin x在x∈[0，2π]上的最大值是　　　　，最小值是　　　　；
（2）函数f（x）＝－2ln x＋2x的最小值为　　　　.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解题技法
利用导数求给定区间上的最值的步骤
（1）求函数f（x）的导数f'（x）；
（2）利用f'（x）＝0求f（x）在给定区间上所有可能极值点的函数值；
（3）求f（x）在给定区间上的端点值；
（4）将f（x）的各极值与f（x）的端点值进行比较，确定f（x）的最大值与最小值.
提醒 若最值在端点处取得，且所给区间为开区间，则f（x）的最值不存在.
考向2　含参函数的最值
若函数f（x）＝x3＋x2－在区间（a，a＋5）内存在最小值，则实数a的取值范围是（　　）
A.[－5，0）　　　　　　B.（－5，0）
C.[－3，0） D.（－3，0）
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
　　已知函数的最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决.
1.（2024·东北三省四市联合体模拟）在同一平面直角坐标系内，函数y＝f（x）及其导函数y＝f'（x）的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为（0，1），则（　　）
A.函数y＝f（x）·ex的最大值为1
B.函数y＝f（x）·ex的最小值为1
C.函数y＝的最大值为1
D.函数y＝的最小值为1
2.已知函数f（x）＝mln x＋的最小值为－m，则m＝　　　　.
第三节　导数与函数的极值、最值
【知识·逐点夯实】
知识梳理夯基
1.＞　＜　＜　＞　大　小　大　小　
2.（1）连续不断　（2）最小值　最大值　最大值　最小值
对点自测诊断
1.（1）√　（2）√　（3）×　（4）√　（5）√
2.C　3.B　4.－16　16　5.－e2
【考点·分类突破】
考点1
【例1】 AD　由图可知，x∈（－∞，－2）时，1－x＞0，且（1－x）f'（x）＞0，则f'（x）＞0，f（x）在区间（－∞，－2）上单调递增，当x∈（－2，1）时，1－x＞0，且（1－x）f'（x）＜0，则f'（x）＜0，f（x）在区间（－2，1）上单调递减，当x∈（1，2）时，1－x＜0，且（1－x）·f'（x）＞0，则f'（x）＜0，f（x）在区间（1，2）上单调递减，当x∈（2，＋∞）时，1－x＜0，且（1－x）f'（x）＜0，则f'（x）＞0，f（x）在区间（2，＋∞）上单调递增，所以函数f（x）的极大值为f（－2），函数f（x）的极小值为f（2）.故选A、D.
【例2】 解：（1）当a＝时，f（x）＝ln x－x，函数的定义域为（0，＋∞），且f'（x）＝－＝，
令f'（x）＝0，得x＝2，
于是当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表：
x （0，2） 2 （2，＋∞）
f'（x） ＋ 0 －
f（x） ↗ ln 2－1 ↘
故f（x）在定义域上的极大值为f（2）＝ln 2－1，无极小值.
（2）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），
f'（x）＝－a＝（x＞0）.
当a≤0时，f'（x）＞0在（0，＋∞）上恒成立，
则函数在（0，＋∞）上是增函数，此时函数在定义域上无极值点；
当a＞0时，若x∈，则f'（x）＞0，
若x∈，则f'（x）＜0，
故函数在x＝处有极大值.
综上可知，当a≤0时，函数f（x）无极值点；
当a＞0时，函数y＝f（x）有一个极大值点，且为.
【例3】 A　f（x）的定义域为R，f'（x）＝4e2x＋（a－2）ex＋1，要使f（x）有两个极值点，则f'（x）有两个变号零点，即方程f'（x）＝4e2x＋（a－2）ex＋1＝0有两个不同的实根，令ex＝t，则t＞0，因为函数y＝ex在R上是增函数，所以对任意λ＞0，存在唯一x0∈R使得＝λ，故只需方程4t2＋（a－2）t＋1＝0在（0，＋∞）有两个不同的实根，即2－a＝4t＋，由4t＋≥2＝4及“对勾”函数的图象可知，2－a＞4，即a＜－2.
跟踪训练
1.D　由题意知：f'（x）＝x－3＋＝＝（x＞0），当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（1，2）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（2，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）的极大值为f（1）＝－，极小值为f（2）＝2ln 2－4，故f（1）＋f（2）＝2ln 2－.故选D.
2.C　由已知f'（x）＝（x2－x）＋（x－a）（2x－1），因此f'（a）＝a2－a＝0，a＝0或a＝1，若a＝0，则f'（x）＝x2－x＋x（2x－1）＝x（3x－2），x＜0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，0＜x＜时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，0是极大值点，不合题意，若a＝1，则f'（x）＝x2－x＋（x－1）（2x－1）＝（x－1）·（3x－1），＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，1是极小值点，符合题意，因此a＝1.故选C.
3.B　函数f（x）＝ln（2x）＋ax的定义域为（0，＋∞），求导得f'（x）＝＋a，当a≥0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，＋∞）上是增函数，无极值，不符合题意；当a＜0时，当0＜x＜－时，f'（x）＞0，当x＞－时，f'（x）＜0，则当x＝－时，函数f（x）取得极大值f（－），因此f（－）＝ln（－）－1＞0，即ln（－）＞1，解得－＜a＜0.
考点2
【例4】 （1）π　0　（2）e＋2
解析：（1）f'（x）＝＋cos x，令f'（x）＝0，又x∈[0，2π]，解得x＝或x＝，计算得f（0）＝0，f（2π）＝π，f＝＋，f＝－.所以当x＝0时，f（x）有最小值f（0）＝0；当x＝2π时，f（x）有最大值f（2π）＝π.
（2）f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝ex－＋2＝，所以当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）的最小值为f（1）＝e＋2.
【例5】 C　由题意，f'（x）＝x2＋2x＝x（x＋2），当x＜－2或x＞0时，f'（x）＞0；当－2＜x＜0时，f'（x）＜0.故f（x）在（－∞，－2），（0，＋∞）上单调递增，在（－2，0）上单调递减，所以函数f（x）的极小值为f（0）＝－.
令x3＋x2－＝－得x3＋3x2＝0，解得x＝0或x＝－3，作其图象如图，结合图象可知解得a∈[－3，0）.
跟踪训练
1.C　若虚线是函数f（x）的图象，实线是函数f'（x）的图象，则函数f（x）有增有减，则f'（x）有正有负，与题图不符，所以实线是函数f（x）的图象，虚线是函数f'（x）的图象.由题图可知，f（0）＝1，f'（0）＝1，f'（x）≥0恒成立，所以函数f（x）在R上是增函数，且f（x）≥0恒成立.因为y＝f（x）·ex，所以y'＝ex（f（x）＋f'（x））≥0恒成立，所以函数y＝f（x）·ex在R上是增函数，所以函数y＝f（x）·ex无最值.因为y＝，所以y'＝.当x＞0时，由题图可知f（x）＞f'（x），所以y'＜0；当x＜0时，由题图可知，f'（x）＞f（x），所以y'＞0.所以函数y＝在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，所以当x＝0时，函数y＝取最大值，且最大值为＝1.故选C.
2.e2　解析：由f（x）＝mln x＋，得f'（x）＝－＝，x＞0，当m≤0时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，＋∞）上为减函数，函数无最小值，不合题意；当m＞0，且0＜x＜时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，所以当x＝时，函数f（x）取得最小值，且最小值mln ＋m＝－m，解得m＝e2.
4 / 4(共73张PPT)
第三节　导数与函数的极值、最值
高中总复习·数学
课标要求
1. 借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
2. 能利用导数求某些函数的极大值、极小值，会求给定闭区间上不超过三
次的多项式函数的最大值、最小值.
3. 体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系.
目 录
CONTENTS
知识·逐点夯实
01.
考点·分类突破
02.
课时·跟踪检测
03.
PART 01
知识·逐点夯实
必备知识 | 课前自修
1. 函数的极值与导数
条件 f'（x0）＝0 x0附近的左侧f'
（x） 0，右侧f'
（x） 0 x0附近的左侧f'（x） 0，右
侧f'（x） 0
图象 形如山峰
形如山谷
极值 f（x0）为极 值 f（x0）为极 值
极值点 x0为极 值点 x0为极 值点
＞　
＜　
＜　
＞　
大　
小　
大　
小　
提醒 f'（x0）＝0是x0为可导函数f（x）的极值点的必要不充分条件.如：f
（x）＝x3，f'（0）＝0，但x＝0不是极值点.
2. 函数的最值与导数
（1）如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条 的
曲线，那么它必有最大值和最小值；
（2）若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则f（a）为函数的
，f（b）为函数的 ；若函数f（x）在[a，b]上单调递
减，则f（a）为函数的 ，f（b）为函数的 .
连续不断　
最小
值　
最大值　
最大值　
最小值　
1. 若函数f（x）在（a，b）上是单调函数，则f（x）在（a，b）上无
极值.
2. 若函数f（x）在[a，b]上是单调函数，则f（x）一定在区间端点处取
得最值.
3. 若函数f（x）在区间（a，b）内只有一个极值点，则该极值点一定是
函数相应的最值点.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数的极大值不一定比极小值大. （　√　）
（2）闭区间上的连续函数必有最值. （　√　）
（3）函数的极大值一定是函数的最大值. （　×　）
（4）开区间上的单调连续函数无最值. （　√　）
（5）设函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，那么y＝f（x）在区
间（a，b）内不单调. （　√　）
√
√
×
√
√
2. 如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，下列结论正确的是
（　　）
A. y＝f（x）在x＝－1处取得极大值
B. 1是函数y＝f（x）的极值点
C. －2是函数y＝f（x）的极小值点
D. 函数y＝f（x）在区间（－1，1）上单调递减
解析：C　由题图可知当x＜－2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当
x≥－2时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，故－2是函数y＝f（x）的极
小值点，y＝f（x）无极大值.故选C.
3. （人A选二P93例6改编）函数f（x）＝ln x－x在区间（0，e]上的最大
值为（　　）
A. 1－e B. －1
C. －e D. 0
解析：B　因为f'（x）＝ －1＝ ，当x∈（0，1）时，f'（x）＞0；当
x∈（1，e]时，f'（x）＜0，所以当x＝1时，f（x）取得最大值ln 1－1＝
－1.故选B.
4. （苏教选一P215例4改编）函数f（x）＝x3－12x的极小值为
，极大值为 .
解析：由题意可得f'（x）＝3x2－12＝3（x－2）（x＋2），令f'（x）＝
0，得x＝－2或x＝2.则f'（x），f（x）随x的变化情况如表所示.
x （－∞，－2） －2 （－2，2） 2 （2，＋∞）
f'
（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
－
16　
16　
所以函数f（x）在x＝－2处取得极大值16，函数f（x）在x＝2处取得极
小值－16.
5. （人A选二P104复习参考题9题改编）若函数f（x）＝ex＋ax在x＝2处
取得极值，则a＝ .
解析：∵f（x）＝ex＋ax在x＝2处取得极值，∴f'（2）＝e2＋a＝0，解
得a＝－e2，经检验，符合题意.
－e2　
PART 02
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
函数的极值（定向精析突破）
考向1　由图象判断函数的极值
〔多选〕（2025·玉溪阶段练习）设函数f（x）在R上可导，其导函
数为f'（x），且函数y＝（1－x）f'（x）的图象如图所示，则下列结论中
一定成立的是（　　）
A. 函数f（x）有极大值f（－2）
B. 函数f（x）有极大值f（2）
C. 函数f（x）有极小值f（1）
D. 函数f（x）有极小值f（2）
解析：AD　由图可知，x∈（－∞，－2）时，1－x＞0，且（1－x）f'
（x）＞0，则f'（x）＞0，f（x）在区间（－∞，－2）上单调递增，当
x∈（－2，1）时，1－x＞0，且（1－x）f'（x）＜0，则f'（x）＜0，f
（x）在区间（－2，1）上单调递减，当x∈（1，2）时，1－x＜0，且
（1－x）·f'（x）＞0，则f'（x）＜0，f（x）在区间（1，2）上单调递
减，当x∈（2，＋∞）时，1－x＜0，且（1－x）f'（x）＜0，则f'（x）
＞0，f（x）在区间（2，＋∞）上单调递增，所以函数f（x）的极大值
为f（－2），函数f（x）的极小值为f（2）.故选A、D.
解题技法
由图象判断函数y＝f（x）的极值要抓住两点
（1）由y＝f'（x）的图象与x轴的交点，可得函数y＝f（x）的可能极值
点；
（2）由导函数y＝f'（x）的图象可以看出y＝f'（x）的值的正负，从而可
得函数y＝f（x）的单调性.两者结合可得极值点.
考向2　求函数的极值（极值点）
已知函数f（x）＝ln x－ax（a∈R）.
（1）当a＝ 时，求f（x）的极值；
解：（1）当a＝ 时，f（x）＝ln x－ x，函数的定义域为（0，＋
∞），且f'（x）＝ － ＝ ，
令f'（x）＝0，得x＝2，
于是当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表：
x （0，2） 2 （2，＋∞）
f'（x） ＋ 0 －
f（x） ↗ ln 2－1 ↘
故f（x）在定义域上的极大值为f（2）＝ln 2－1，无极小值.
（2）讨论函数f（x）在定义域内极值点的个数.
解：（2）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），
f'（x）＝ －a＝ （x＞0）.
当a≤0时，f'（x）＞0在（0，＋∞）上恒成立，
则函数在（0，＋∞）上是增函数，此时函数在定义域上无极值点；
当a＞0时，若x∈ ，则f'（x）＞0，
若x∈ ，则f'（x）＜0，
故函数在x＝ 处有极大值.
综上可知，当a≤0时，函数f（x）无极值点；
当a＞0时，函数y＝f（x）有一个极大值点，且为 .
解题技法
求函数的极值或极值点的步骤
（1）确定函数f（x）的定义域；
（2）求导数f'（x），求方程f'（x）＝0的根；
（3）检查在方程的根的左右两侧f'（x）的符号，确定极值点和函数的
极值.
考向3　已知函数的极值求参数
若函数f（x）＝2e2x＋（a－2）ex＋x有两个极值点，则a的取值范
围是（　　）
A. （－∞，－2） B. （－∞，－1）
C. （－∞，1） D. （－∞，2）
解析：A　f（x）的定义域为R，f'（x）＝4e2x＋（a－2）ex＋1，要使f
（x）有两个极值点，则f'（x）有两个变号零点，即方程f'（x）＝4e2x＋
（a－2）ex＋1＝0有两个不同的实根，令ex＝t，则t＞0，因为函数y＝ex
在R上是增函数，所以对任意λ＞0，存在唯一x0∈R使得 ＝λ，故只
需方程4t2＋（a－2）t＋1＝0在（0，＋∞）有两个不同的实根，即2－a
＝4t＋ ，由4t＋ ≥2 ＝4及“对勾”函数的图象可知，2－a＞4，
即a＜－2.
解题技法
　　已知函数极值点或极值求参数的2个要领
（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定
系数法求解；
（2）验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用
待定系数法求解后必须验证根的合理性.
提醒 若函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，那么y＝f（x）在
（a，b）内不是单调函数.
1. 函数f（x）＝ －3x＋2ln x的极大值与极小值之和为（　　）
A. 2ln 2－6
C. ln 2－6
解析：D　由题意知：f'（x）＝x－3＋ ＝ ＝ （x＞
0），当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（1，2）
时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（2，＋∞）时，f'（x）＞0，f
（x）单调递增，所以f（x）的极大值为f（1）＝－ ，极小值为f（2）
＝2ln 2－4，故f（1）＋f（2）＝2ln 2－ .故选D.
2. （2024·邢台高三开学考试）已知函数f（x）＝（x－a）（x2－x）在
x＝a处取得极小值，则a＝（　　）
A. －1 B. 0
C. 1 D. 0或1
解析：C　由已知f'（x）＝（x2－x）＋（x－a）（2x－1），因此f'
（a）＝a2－a＝0，a＝0或a＝1，若a＝0，则f'（x）＝x2－x＋x（2x
－1）＝x（3x－2），x＜0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，0＜x＜
时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，0是极大值点，不合题意，若a＝1，
则f'（x）＝x2－x＋（x－1）（2x－1）＝（x－1）·（3x－1）， ＜x＜
1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调
递增，1是极小值点，符合题意，因此a＝1.故选C.
3. 若函数f（x）＝ln（2x）＋ax有大于零的极值，则实数a的取值范围
是（　　）
解析：B　函数f（x）＝ln（2x）＋ax的定义域为（0，＋∞），求导得f'
（x）＝ ＋a，当a≥0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，＋∞）上是
增函数，无极值，不符合题意；当a＜0时，当0＜x＜－ 时，f'（x）＞
0，当x＞－ 时，f'（x）＜0，则当x＝－ 时，函数f（x）取得极大值f
（－ ），因此f（－ ）＝ln（－ ）－1＞0，即ln（－ ）＞1，解得－
＜a＜0.
函数的最值（定向精析突破）
考向1　不含参函数的最值
（1）函数f（x）＝ x＋ sin x在x∈[0，2π]上的最大值是 ，最
小值是 ；
解析：（1）f'（x）＝ ＋ cos x，令f'（x）＝0，又x∈[0，2π]，解得x＝
或x＝ ，计算得f（0）＝0，f（2π）＝π，f ＝ ＋ ，f ＝
－ .所以当x＝0时，f（x）有最小值f（0）＝0；当x＝2π时，f
（x）有最大值f（2π）＝π.
π　
0　
（2）函数f（x）＝ －2ln x＋2x的最小值为 .
解析：（2）f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝ ex－ ＋2＝
，所以当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）的最小
值为f（1）＝e＋2.
e＋2　
解题技法
利用导数求给定区间上的最值的步骤
（1）求函数f（x）的导数f'（x）；
（2）利用f'（x）＝0求f（x）在给定区间上所有可能极值点的函数值；
（3）求f（x）在给定区间上的端点值；
（4）将f（x）的各极值与f（x）的端点值进行比较，确定f（x）的最大
值与最小值.
提醒 若最值在端点处取得，且所给区间为开区间，则f（x）的最值不
存在.
考向2　含参函数的最值
若函数f（x）＝ x3＋x2－ 在区间（a，a＋5）内存在最小值，则
实数a的取值范围是（　　）
A. [－5，0） B. （－5，0）
C. [－3，0） D. （－3，0）
解析：C　由题意，f'（x）＝x2＋2x＝x（x＋2），当x
＜－2或x＞0时，f'（x）＞0；当－2＜x＜0时，f'（x）
＜0.故f（x）在（－∞，－2），（0，＋∞）上单调递
增，在（－2，0）上单调递减，所以函数f（x）的极小
值为f（0）＝－ .令 x3＋x2－ ＝－ 得x3＋3x2＝0，
解得x＝0或x＝－3，作其图象如图，结合图象可知
解得a∈[－3，0）.
解题技法
　　已知函数的最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在
区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个
是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决.
1. （2024·东北三省四市联合体模拟）在同一平面直角坐标系内，函数y＝
f（x）及其导函数y＝f'（x）的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个
公共点，其坐标为（0，1），则（　　）
A. 函数y＝f（x）·ex的最大值为1
B. 函数y＝f（x）·ex的最小值为1
解析：C　若虚线是函数f（x）的图象，实线是函数f'（x）的图象，则函
数f（x）有增有减，则f'（x）有正有负，与题图不符，所以实线是函数f
（x）的图象，虚线是函数f'（x）的图象.由题图可知，f（0）＝1，f'
（0）＝1，f'（x）≥0恒成立，所以函数f（x）在R上是增函数，且f
（x）≥0恒成立.因为y＝f（x）·ex，所以y'＝ex（f（x）＋f'（x））≥0
恒成立，所以函数y＝f（x）·ex在R上是增函数，所以函数y＝f（x）·ex
无最值.因为y＝ ，所以y'＝ .当x＞0时，由题图可知f
（x）＞f'（x），所以y'＜0；
当x＜0时，由题图可知，f'（x）＞f（x），所以y'＞0.所以函数y＝
在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，所以当x
＝0时，函数y＝ 取最大值，且最大值为 ＝1.故选C.
2. 已知函数f（x）＝mln x＋ 的最小值为－m，则m＝ .
解析：由f（x）＝mln x＋ ，得f'（x）＝ － ＝ ，x＞0，当
m≤0时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，＋∞）上为减函数，函数无最
小值，不合题意；当m＞0，且0＜x＜ 时，f'（x）＜0，函数f（x）单
调递减，当x＞ 时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，所以当x＝
时，函数f（x）取得最小值，且最小值mln ＋m＝－m，解得m＝e2.
e2　
PART 03
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. 已知定义在R上的函数f（x），其导函数f'（x）的大致图象如图所示，
则下列叙述正确的是（　　）
A. f（b）＞f（a）＞f（c）
B. 函数f（x）在x＝c处取得最大值，在x＝e处取得最小
值
C. 函数f（x）在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值
D. 函数f（x）的最小值为f（d）
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
20
22
23
24
25
解析： 　由题图可知，当x≤c时，f'（x）≥0，所以函数f（x）在（－
∞，c]上单调递增，又a＜b＜c，所以f（a）＜f（b）＜f（c），故A
不正确；因为f'（c）＝0，f'（e）＝0，且当x＜c时，f'（x）＞0；当c＜
x＜e时，f'（x）＜0；当x＞e时，f'（x）＞0.所以函数f（x）在x＝c处
取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，但不一定是最
小值，故B不正确，C正确；由题图可知，当d≤x≤e时，f'（x）≤0，所
以函数f（x）在[d，e]上单调递减，从而f（d）＞f（e），所以D不正
确.故选C.
2. （2024·伊春开学考试）函数f（x）＝（4x－5）e2x的极值点为
（　　）
解析： 　f'（x）＝4e2x＋2（4x－5）e2x＝（8x－6）e2x，令f'（x）＜
0，得x＜ ，此时函数单调递减；令f'（x）＞0，得x＞ ，此时函数单调
递增.所以f（x）的极小值点为 ，无极大值点.故选B.
√
3. 设函数f（x）的定义域为R，若x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，则
以下结论中一定正确的是（　　）
A. x∈R，f（x）≤f（x0） B. －x0是f（－x）的极小值点
C. －x0是－f（x）的极小值点 D. －x0是－f（－x）的极小值点
解析： 　极值为函数的局部性质，A错误.因为f（－x）与f（x）的图象
关于y轴对称，所以－x0是f（－x）的极大值点，B错误.因为－f（x）与
f（x）的图象关于x轴对称，所以x0是－f（x）的极小值点，C错误.因为
－f（－x）与f（x）的图象关于原点对称，所以－x0是－f（－x）的极
小值点，D正确.
√
4. 函数f（x）＝x2＋（a－1）x－3ln x在（1，2）内有最小值，则实数a
的取值范围为（　　）
解析： 　f'（x）＝2x＋（a－1）－ ＝ ，设g（x）＝
2x2＋（a－1）x－3，因为Δ＝（a－1）2＋24＞0，因此g（x）＝0有两
个不同实根，又g（0）＝－3＜0，因此g（x）＝0的两根一正一负，由题
意正根在（1，2）内，所以 解得－
＜a＜2.故选A.
√
5. 〔多选〕（2025·辽宁高三开学考试）对于函数f（x）＝－2ln x＋x2－
3x，下列说法正确的是（　　）
A. f（x）在区间（2，＋∞）上单调递增
B. 2是函数f（x）的极大值点
C. f（x）的单调递减区间是（0，2）
D. 函数f（x）的最小值为－2ln 2－2
√
√
√
解析： 　∵f（x）＝－2ln x＋x2－3x，x∈（0，＋∞），∴f'（x）
＝－ ＋2x－3＝ ＝ ，令f'（x）＝0，则x＝2，令f'
（x）＜0，解得0＜x＜2，令f'（x）＞0，解得x＞2，∴f（x）在（0，
2）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，2是函数f（x）的极小值
点，故A、C正确，B错误；又f（x）min＝f（2）＝－2ln 2＋4－6＝－2ln 2
－2，故D正确.故选A、C、D.
6. 函数f（x）＝ 的最大值为 　 　.
解析：由题得f'（x）＝ ＝ （x＞0）.令f'（x）＞0，解得
0＜x＜ ；令f'（x）＜0，解得x＞ .所以函数f（x）的单调递增区间
为（0， ），单调递减区间为（ ，＋∞），所以函数f（x）＝ 的
最大值为f（ ）＝ ＝ .
　
7. 某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大种植量是8万斤，每种
植一斤莲藕，成本增加0.5元，销售额函数是f（x）＝－ x3＋ ax2＋
x，x是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，a是常数.若种
植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年应种植莲藕 万斤.
6　
解析：设销售利润为g（x），得g（x）＝－ x3＋ ax2＋ x－1－ x＝
－ x3＋ ax2－1，当x＝2时，g（2）＝－ ×23＋ a×22－1＝2.5，解
得a＝2.所以g（x）＝－ x3＋ x2－1，g'（x）＝－ x2＋ x＝－ x（x
－6），所以函数g（x）在（0，6）上单调递增，在（6，8）上单调递
减，所以当x＝6时，函数g（x）取得极大值即最大值.
8. 已知函数f（x）＝ax3－x，若f（x）有极大值 ，则a＝ .
解析：f'（x）＝3ax2－1，当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）是减函数，无
极大值.当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝± ，令f'（x）＞0，得x＜
－ 或x＞ ，令f'（x）＜0，得－ ＜x＜ ，所以f（x）在
上单调递增，在 上单调递减，在
上单调递增，所以f（x）在x＝－ 处取得极大值，所以f ＝
，解得a＝3.
3　
9. 已知函数f（x）＝－xln x＋2x.
（1）求函数f（x）的单调区间以及极值；
解： f（x）＝－xln x＋2x的定义域是（0，＋∞），
依题意，f'（x）＝1－ln x，令f'（x）＞0，得0＜x＜e，令f'（x）＜0，得
x＞e，
故函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，＋
∞），
所以函数f（x）的极大值为f（e）＝e，无极小值.
（2）求函数f（x）在[1，3]上的最小值.
解： 由（1）可知，f（x）在[1，e]上单调递增，在（e，3]上单调
递减，
所以f（x）在[1，3]上的最小值为min{f（1），f（3）}，而f（1）＝
2，f（3）＝－3ln 3＋6，
可知f（3）＞f（1），故函数f（x）在[1，3]上的最小值为2.
10. 对任意x∈R，函数f（x）＝ax3＋ax2＋7x不存在极值点的充要条件
是（　　）
A. 0≤a≤21 B. 0＜a≤21
C. a＜0或a＞21 D. a＝0或a＝21
解析： 　当a＝0时，显然适合题意；当a≠0时，应使f'（x）＝3ax2＋
2ax＋7的图象与x轴相离或相切，即4a2－4×3a×7≤0，考虑a≠0，解得
0＜a≤21.综上所述，可得0≤a≤21，故选A.
√
11. （2025·长沙新高考适应性考试）函数g（x）＝ 在区间[t，＋∞）
（t∈N*）上存在极值，则t的最大值为（　　）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
解析： 　函数g（x）＝ 的定义域为（0，＋∞），g'（x）＝
＝ ，令f（x）＝x＋1－xln x，则f'（x）＝1－ln x
－1＝－ln x，所以当x∈（0，1）时，f'（x）＞0；
√
当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＜0，所以f（x）＝x＋1－xln x在（0，1）
上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，所以f（x）max＝f（1）＝2＞0.
又当x∈（0，1）时，ln x＜0，－xln x＞0，则f（x）＝x＋1－xln x＞
0.f（3）＝4－3ln 3＝ln e4－ln 27＞0，f（4）＝5－4ln 4＝ln e5－ln 256＜0，
所以存在唯一的x0∈（3，4），使得f（x0）＝0，所以当x∈（0，x0）时，
f（x）＞0，g'（x）＞0，当x∈（x0，＋∞）时，f（x）＜0，g'（x）＜
0，所以函数g（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，＋∞）上单调递减，
所以要使函数g（x）＝ 在区间[t，＋∞）（t∈N*）上存在极值，所
以t的最大值为3，故选B.
12. 〔多选〕已知函数f（x）＝2x3－ax2＋b，若f（x）在区间[0，1]上
的最小值为－1，最大值为1，则a的值可以是（　　）
A. 0 B. 4
√
√
解析： 　函数f（x）＝2x3－ax2＋b，则f'（x）＝6x2－2ax＝6x（x
－ ），令f'（x）＝0，解得x＝0或x＝ .①当a≤0时，若0≤x≤1，则f'
（x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增，所以f（x）在[0，1]上的最小
值为f（0）＝b，最大值为f（1）＝2－a＋b.因为f（x）在区间[0，1]
上的最小值为－1，最大值为1，所以 解得 故
选项A正确.②当a≥3时，若0≤x≤1，则f'（x）≤0，f（x）在[0，1]上
单调递减，所以f（x）在[0，1]上的最大值为f（0）＝b，最小值为f
（1）＝2－a＋b.因为f（x）在区间[0，1]上的最小值为－1，最大值为
1，所以 解得 故选项B正确.由于选项C、D都
是大于3的数，所以当0＜a＜3时，选项C、D不成立.故选A、B.
13. （2025·八省联考）已知函数f（x）＝aln x＋ －x.
（1）设a＝1，b＝－2，求曲线y＝f（x）的斜率为2的切线方程；
解： 当a＝1，b＝－2时，f（x）＝ln x－ －x，其中x＞0，
则f'（x）＝ ＋ －1＝ ，令f'（x）＝2 ＝2，
整理得3x2－x－2＝（x－1）（3x＋2）＝0，解得x＝1（负值舍去），
又f（1）＝－3，则切线过点（1，－3），结合切线斜率为2，
则切线方程为y＋3＝2（x－1），即2x－y－5＝0.
（2）若x＝1是f（x）的极小值点，求b的取值范围.
解： 由题可得f（x）定义域为（0，＋∞），f'（x）＝ － －1
＝ ，
因为x＝1是f（x）的极小值点，则f'（1）＝－1＋a－b＝0 a＝b＋1，
则f'（x）＝ ＝－ ，
若b≤0，令f'（x）＞0 x∈（0，1），令f'（x）＜0 x∈（1，＋∞），
则f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，得x＝1
是f（x）的极大值点，不满足题意；
若0＜b＜1，令f'（x）＞0 x∈（b，1），令f'（x）＜0 x∈（0，b）
∪（1，＋∞），
则f（x）在（b，1）上单调递增，在（0，b），（1，＋∞）上单调递
减，
得x＝1是f（x）的极大值点，不满足题意；
若b＝1，则f'（x）＝－ ≤0，f（x）在（0，＋∞）上单调递
减，无极值，不满足题意；
若b＞1，令f'（x）＞0 x∈（1，b），令f'（x）＜0 x∈（0，1）∪
（b，＋∞），
则f（x）在（1，b）上单调递增，在（0，1），（b，＋∞）上单调递
减，
得x＝1是f（x）的极小值点，满足题意；
综上，x＝1是f（x）的极小值点时，b的取值范围为（1，＋∞）.
14. 已知函数f（x）＝2ax－ln（2x），x∈（0，e]，其中e是自然对数的
底数，a∈R.
（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值；
解： 当a＝1时，f（x）＝2x－ln（2x），f'（x）＝2－ ＝ ，
x∈（0，e]，
当0＜x＜ 时，f'（x）＜0，则f（x）单调递减；
当 ＜x≤e时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增.
所以函数f（x）的极小值为f（ ）＝1，无极大值.
（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若
不存在，请说明理由.
解： 假设存在实数a，使f（x）＝2ax－ln（2x），x∈（0，e]的最
小值是3，
f'（x）＝2a－ ＝ ，x∈（0，e].
①当a≤0时，因为x∈（0，e]，所以f'（x）＜0，f（x）在（0，e]上单
调递减，
所以f（x）min＝f（e）＝2ae－ln（2e）＝3，解得a＝ （舍去）；
②当0＜ ＜e时，即a＞ 时，
当0＜x＜ 时，f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；
当 ＜x≤e时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增.
所以f（x）min＝f（ ）＝1－ln ＝3，解得a＝e2，满足条件；
③当 ≥e时，即0＜a≤ 时，对任意的x∈（0，e]，f'（x）≤0，f
（x）在（0，e]上单调递减，
所以f（x）min＝f（e）＝2ae－ln（2e）＝3，解得a＝ （舍去）.
综上，存在实数a＝e2，使得当x∈（0，e]时，f（x）的最小值为3.
15. （创新设问方式）若方程 －x＝ln x有唯一解，则实数a的取值范围
是 .
（－∞，0）∪{1}　
解析：由 －x＝ln x，得a＝ ，由题意，函数y
＝a与f（x）＝ 的图象只有一个交点.f（x）＝
的定义域为（0，x0）∪（x0，＋∞），其中x0∈
（0，1），且满足x0＋ln x0＝0.f'（x）＝ ＝ .易知g（x）＝x＋2ln x－1在（0，x0），（x0，＋∞）上单调递增，且g（1）＝0，所以当0＜x＜x0或x0＜x＜1时，g（x）＜g（1）＝0，f'（x）＝ ＜0；
当x＞1时，g（x）＞g（1）＝0，f'（x）＝
＞0.所以f（x）在（0，x0），（x0，1）上
单调递减，在（1，＋∞）上单调递增.因此，当x＝1时，
f（x）有极小值f（1）＝1.当x从右边趋向0时，f（x）→0；当x从左边趋向x0时，f（x）→－∞；当x从右边趋向x0时，f（x）→＋∞；当x→＋∞时，f（x）→＋∞.画出f（x）的大致图象，如图所示.结合函数y＝a与f（x）＝ 的图象只有一个交点，可知a＜0或a＝1，故a的取值范围是（－∞，0）∪{1}.
THANKS
演示完毕 感谢观看

展开更多......

收起↑