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第四节　函数中的构造问题
1.已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）＝1，且f'（x）＜，则f（x）＜＋的解集为（　　）
A.{x｜－1＜x＜1} B.{x｜x＜－1}
C.{x｜x＜－1或x＞1} D.{x｜x＞1}
2.已知a＝，b＝，c＝，则（　　）
A.a＜b＜c B.c＜a＜b
C.b＜a＜c D.c＜b＜a
3.已知α，β∈［－，］，且αsin α－βsin β＞0，则下列结论正确的是（　　）
A.α＞β B.α2＞β2
C.α＜β D.α＋β＞0
4.若对任意的x1，x2∈（1，3]，当x1＜x2时，x1－x2＞ln x1－ln x2恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A.[3，＋∞） B.（3，＋∞）
C.[6，＋∞） D.（6，＋∞）
5.定义在R上的函数f（x）满足：f（x）＋f'（x）＞1，f（0）＝4，则不等式exf（x）＞ex＋3（其中e为自然对数的底数）的解集为（　　）
A.（0，＋∞） B.（－∞，0）∪（3，＋∞）
C.（－∞，0）∪（0，＋∞） D.（3，＋∞）
6.已知定义在R上的函数f（x），其导函数为f'（x），当x＞0时，xf'（x）－f（x）＜0，若a＝2f（1），b＝f（2），c＝4f（），则a，b，c的大小关系是（　　）
A.c＜b＜a B.c＜a＜b
C.a＜b＜c D.b＜a＜c
7.设函数f（x）的定义域为R，f'（x）是其导函数，若f（x）＋f'（x）＞0，f（1）＝1，则不等式f（x）＞e1－x的解集是（　　）
A.（0，＋∞） B.（1，＋∞）
C.（－∞，0） D.（0，1）
8.（2024·杭州期末）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）sin x＋f'（x）cos x＞0，则（　　）
A.f（）＜f（） B.f（）＜f（）
C.f（）＞f（） D.f（）＞f（）
9.已知x，y为正实数，ln x＋ln y＝－x，则（　　）
A.x＞y B.x＜y
C.x＋y＞1 D.x＋y＜1
10.已知a，b，c∈（，＋∞），且＝－5ln a，＝－3ln b，＝－2ln c，则（　　）
A.b＜c＜a B.c＜b＜a
C.a＜c＜b D.a＜b＜c
11.已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f'（x）是f（x）的导函数，若对于任意的x∈（0，＋∞），都有2f（x）＋xf'（x）＞0成立，且f（2）＝，则不等式f（x）－＞0的解集为　　　　.
12.已知函数f（x）的定义域是（0，＋∞），其导函数为f'（x），且满足ln x·f'（x）＋·f（x）＞0，则f（e）　　　　0（填“＞”或“＜”）.
13.已知函数f（x）＝3ln x＋，a∈R，若对任意两个不相等正数x1，x2，都有≤2，则a的取值范围是（　　）
A.［，＋∞） B.（，＋∞）
C.（，＋∞） D.［，＋∞）
14.（2025·湖北十一名校第二次联考）若对于任意正数x，y，不等式x（1＋ln x）≥xln y－ay恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A.（0，］ B.［，］
C.［，＋∞） D.［，＋∞）
15.（2024·成都开学考试）已知1≤x≤2，不等式ex－ln a≥ln ax恒成立，则a的最大值为（　　）
A.e B.1
C.e－1 D.e2
第四节　函数中的构造问题
1.D　构造函数h（x）＝f（x）－－，所以h'（x）＝f'（x）－＜0，故h（x）在R上是减函数，且h（1）＝f（1）－－＝0，故h（x）＜0的解集为{x｜x＞1}.
2.B　设f（x）＝，则a＝f（e），b＝f（2），c＝f（3），又f'（x）＝，于是当x∈（，＋∞）时，f'（x）＜0，故f（x）＝在（，＋∞）上单调递减，注意到＜＝2＜e＜3，则有f（3）＜f（e）＜f（2），即c＜a＜b.
3.B　构造函数f（x）＝xsin x，则f'（x）＝sin x＋xcos x.当x∈［0，］时，f'（x）≥0，f（x）单调递增；当x∈［－，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减.又易知f（x）为偶函数，所以αsin α－βsin β＞0 αsin α＞βsin β f（α）＞f（β） f（｜α｜）＞f（｜β｜） ｜α｜＞｜β｜ α2＞β2.故选B.
4.C　当x1＜x2时，x1－x2＞ln x1－ln x2恒成立，即当x1＜x2时，x1－ln x1＞x2－ln x2恒成立，设f（x）＝x－ln x，x∈（1，3]，则f（x）单调递减，故f'（x）＝1－≤0在（1，3]上恒成立，即a≥2x在（1，3]上恒成立，所以a≥6.故选C.
5.A　不等式f（x）＋f'（x）＞1可化为（ex）'f（x）＋exf'（x）＞ex，即[exf（x）]'－ex＞0，所以函数g（x）＝exf（x）－ex是增函数.不等式exf（x）＞ex＋3，即exf（x）－ex＞3，即g（x）＞3＝g（0），所以x＞0，故不等式exf（x）＞ex＋3的解集为（0，＋∞）.故选A.
6.D　令g（x）＝，x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），则g'（x）＝，∵当x＞0时，xf'（x）－f（x）＜0，即g'（x）＜0，g（x）在（0，＋∞）上单调递减，∴g（2）＜g（1）＜g（），∴＜＜2f（），即f（2）＜2f（1）＜4f（），∴b＜a＜c.故选D.
7.B　构造函数g（x）＝f（x）·ex，则g'（x）＝[f'（x）＋f（x）]·ex＞0，故g（x）在R上是增函数，g（1）＝e，f（x）＞e1－x可化为g（x）＞e＝g（1），故原不等式的解集为（1，＋∞），故选B.
8.B　令F（x）＝，x≠＋kπ，k∈Z，则F'（x）＝＞0恒成立，所以F（x）＝在（－＋kπ，＋kπ），k∈Z上单调递增.所以F（）＜F（），即＜，即＜，即f（）＜f（）.故选B.
9.C　由ln x＋ln y＝－x得：ln x＋x＝－ln y＋＝ln＋，构造函数f（x）＝ln x＋x（x＞0），则f'（x）＝＋1＞0，可知f（x）＝ln x＋x在（0，＋∞）上为增函数，结合ln x＋x＝ln＋，得x＝，即xy＝1，由基本不等式可知：x＋y≥2＝2，当且仅当x＝y＝1时等号成立，所以x＋y＞1.故选C.
10.A　设函数f（x）＝xln x（x＞0），f'（x）＝1＋ln x，当x∈（，＋∞）时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增，当x∈（0，）时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减，由题意＝－5ln a，＝－3ln b，＝－2ln c，得aln a＝ln ，bln b＝ln ，cln c＝ln ＝ln ，因为＜＜＜，所以ln ＞ln ＞ln ，则aln a＞cln c＞bln b，且a，b，c∈（，＋∞），所以a＞c＞b.故选A.
11.（2，＋∞）　解析：令g（x）＝x2f（x），可得g'（x）＝2xf（x）＋x2f'（x），因为对于任意的x∈（0，＋∞），都有2f（x）＋xf'（x）＞0成立，可得g'（x）＞0，所以函数g（x）在（0，＋∞）上单调递增，又因为f（x）是定义在R上的奇函数，可得g（－x）＝（－x）2f（－x）＝－x2f（x）＝－g（x），所以g（x）是定义在R上的奇函数，可得g（x）在（－∞，0）上单调递增，因为f（x）在R上连续不断，则g（x）在R上连续不断，所以函数g（x）在R上为增函数，由不等式f（x）－＞0，可化为x2f（x）－2＞0，即g（x）＞2，因为f（2）＝，可得g（2）＝22f（2）＝2，所以g（x）＞g（2），可得x＞2，所以不等式f（x）－＞0的解集为（2，＋∞）.
12.＞　解析：令g（x）＝f（x）·ln x，可得g'（x）＝ln x·f'（x）＋·f（x），因为ln x·f'（x）＋·f（x）＞0，可得g'（x）＞0，g（x）在（0，＋∞）上是增函数，所以g（e）＞g（1），又由g（1）＝0，即f（e）·ln e＞0，即f（e）＞0.
13.D　不妨设0＜x1＜x2，由≤2，得f（x1）－2x1≥f（x2）－2x2，令g（x）＝f（x）－2x，所以g（x）在区间（0，＋∞）上单调递减，所以g'（x）＝－－2≤0在（0，＋∞）上恒成立，即a≥－2x2＋3x＝－2（x－）2＋，所以a≥，即a的取值范围是［，＋∞）.故选D.
14.C　由题知ay≥xln y－x－xln x，即a≥ln y－－ln x＝ln－，令t＝，t∈（0，＋∞），则a≥－＝，设g（x）＝，则g'（x）＝＝，令g'（x）＜0，则x＞e2，令g'（x）＞0，则0＜x＜e2，所以g（x）在（e2，＋∞）上单调递减，在（0，e2）上单调递增，当x＝e2时，g（x）有最大值，所以a≥，故选C.
15.A　ex－ln a≥ln a＋ln x ex－ln a－ln a≥ln x ex－ln a＋x－ln a≥x＋ln x ex－ln a＋x－ln a≥eln x＋ln x.令f（x）＝ex＋x，则易知f（x）在R上是增函数，f（x－ln a）≥f（ln x） x－ln a≥ln x x－ln x≥ln a，令g（x）＝x－ln x，问题转化为求g（x）＝x－ln x在[1，2]的最小值.因为g'（x）＝1－＝，当x∈[1，2]时，g'（x）≥0（当且仅当x＝1时取“＝”）.所以g（x）在[1，2]上单调递增，g（x）min＝g（1）＝1≥ln a 0＜a≤e.所以a的最大值为e.故选A.
2 / 2第四节　函数中的构造问题
重点解读
　　高考中有这样一类题型，题目中不是给出具体的函数解析式，而是给出函数f（x）及其导数满足的条件，这就需要根据条件构造函数，利用所构造函数的单调性、奇偶性、极值、最值等性质解决问题.
由导数运算构造函数
（定向精析突破）
考向1　利用f（x）与xn构造
已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f'（x），且满足f（－1）＝0，当x＞0时，2f（x）＞xf'（x），则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）
A.（－1，0）∪（0，1）　　B.（－1，0）
C.（0，1） D.（－1，1）
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
利用f（x）与xn构造函数
（1）如果题目中出现nf（x）＋xf'（x）形式，构造函数F（x）＝xnf（x）；
（2）如果题目中出现xf'（x）－nf（x）形式，构造函数F（x）＝.
考向2　利用f（x）与ex构造
〔多选〕已知f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的函数，导函数f'（x）满足f'（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（　　）
A.f（2）＜e2f（0） B.f（2）＞e2f（0）
C.e2f（－1）＞f（1） D.e2f（－1）＜f（1）
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
利用f（x）与ex构造函数
（1）对于f'（x）＋nf（x）＞0（或＜0），构造函数F（x）＝enxf（x）；
（2）对于f'（x）－nf（x）＞0（或＜0），构造函数F（x）＝.
考向3　利用f（x）与sin x，cos x构造
已知函数f（x）的定义域为（－，），其导函数是f'（x）.有f'（x）cos x＋f（x）sin x＜0，则关于x的不等式f（x）＜2f（）cos x的解集为（　　）
A.（，） B.（，）
C.（－，－） D.（－，－）
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解题技法
利用f（x）与sin x，cos x构造函数的常见类型
（1）F（x）＝f（x）sin x，F'（x）＝f'（x）sin x＋f（x）cos x；
（2）F（x）＝，F'（x）＝；
（3）F（x）＝f（x）cos x，F'（x）＝f'（x）cos x－f（x）sin x；
（4）F（x）＝，F'（x）＝.
1.函数f（x）的定义域为R，f（－1）＝2，对任意x∈R，f'（x）＞2，则f（x）＞2x＋4的解集为（　　）
A.（－1，1） B.（－1，＋∞）
C.（－∞，－1） D.（－∞，＋∞）
2.设函数f'（x）是定义在（0，π）上的函数f（x）的导函数，有f'（x）cos x－f（x）sin x＞0，若a＝f（），b＝0，c＝－f（），则a，b，c的大小关系是（　　）
A.a＜b＜c B.b＜c＜a
C.c＜b＜a D.c＜a＜b
3.已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋f'（x）＞0，且有f（3）＝3，则f（x）＞3e3－x的解集为　　　　.
同构法构造函数
（定向精析突破）
考向1　同结构构造函数
（1）（2025·温州高三统一测试）已知x，y∈R，则“x＞y＞1”是“x－ln x＞y－ln y”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
（2）（2024·新乡第三次模拟）设a＝，b＝ln ，c＝，其中e是自然对数的底数，则（　　）
A.b＜a＜c B.a＜c＜b
C.b＜c＜a D.c＜b＜a
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
　　根据所给代数式（等式、不等式）中数学运算的相同点或者结构形式的相同点，构造具体的函数解析式，利用导数研究该函数的性质从而解决问题.
考向2　指对互化构造函数
（2025·烟台期末）已知函数f（x）＝ex＋x－2，g（x）＝ln x＋x－2，若 x1∈R，x2＞0，使得f（x1）＝g（x2），则x1x2的最小值为　　　　.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解题技法
　　利用恒等式x＝ln ex和x＝eln x，通过幂转指或幂转对进行等价变形，构造函数，然后由构造的函数的单调性进行研究.
1.已知a＝＋ln，b＝1＋，c＝＋ln 2，则（　　）
A.c＜b＜a B.b＜c＜a
C.c＜a＜b D.a＜c＜b
2.设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea＜bln b，则（　　）
A.ab＞e B.b＞ea
C.ab＜e D.b＜ea
第四节　函数中的构造问题
【考点·分类突破】
考点1
【例1】 A　构造F（x）＝，则F'（x）＝，当x＞0时，xf'（x）－2f（x）＜0，可以推出当x＞0时，F'（x）＜0，F（x）在（0，＋∞）上单调递减.∵f（x）为偶函数，y＝x2为偶函数，∴F（x）为偶函数，∴F（x）在（－∞，0）上单调递增.根据f（－1）＝0可得F（－1）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数F（x）的大致图象如图所示，根据图象可知f（x）＞0的解集为（－1，0）∪（0，1）.
【例2】 AC　构造F（x）＝，则F'（x）＝＝，又导函数f'（x）满足f'（x）＜f（x），则F'（x）＜0，F（x）在R上是减函数，故＞＞＞，所以f（2）＜e2f（0），e2f（－1）＞f（1）.故选A、C.
【例3】 A　构造函数g（x）＝，其中x∈（－，），则g'（x）＝＜0，所以函数g（x）在（－，）上单调递减，因为x∈（－，），则cos x＞0，由f（x）＜2f（）cos x可得＜，即g（x）＜g（），所以解得＜x＜，因此不等式f（x）＜2f（）cos x的解集为（，）.故选A.
跟踪训练
1.B　令g（x）＝f（x）－2x－4，则g'（x）＝f'（x）－2＞0，∴g（x）为R上的增函数，又∵g（－1）＝f（－1）－2×（－1）－4＝0.∴f（x）＞2x＋4等价于g（x）＞g（－1），解得x＞－1.
2.A　根据题意，设g（x）＝f（x）cos x，则g'（x）＝f'（x）cos x＋f（x）（cos x）'＝f'（x）cos x－f（x）sin x，又由f'（x）cos x－f（x）sin x＞0，则g'（x）＞0，函数g（x）在（0，π）上单调递增，a＝f（）＝cosf（）＝g（），b＝0＝cos·f（）＝g（），c＝－f（）＝cosf（）＝g（），则a＜b＜c.故选A.
3.（3，＋∞）　解析：设F（x）＝f（x）·ex，则F'（x）＝f'（x）·ex＋f（x）·ex＝ex[f（x）＋f'（x）]＞0，∴F（x）在R上为增函数.又f（3）＝3，则F（3）＝f（3）·e3＝3e3.∵f（x）＞3e3－x等价于f（x）·ex＞3e3，即F（x）＞F（3），∴x＞3，即所求不等式的解集为（3，＋∞）.
考点2
【例4】 （1）A　（2）B　解析：（1）设f（t）＝t－ln t，t＞0，则f'（t）＝1－＝，由f'（t）＞0得t＞1，由f'（t）＜0得0＜t＜1，∴f（t）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增.∴当x＞y＞1时，f（x）＞f（y），即x－ln x＞y－ln y成立，故充分性成立.但x－ln x＞y－ln y成立时，可能有x＝，y＝1，此时x＜y，故必要性不成立.综上，“x＞y＞1”是“x－ln x＞y－ln y”的充分不必要条件.故选A.
（2）因为a＝＝，b＝，c＝＝，令函数f（x）＝，x＞e，求导得f'（x）＝＜0，即函数f（x）在（e，＋∞）上单调递减，又3＜＜4，因此f（3）＞f（）＞f（4），所以a＜c＜b.故选B.
【例5】 －　解析：∵ x1∈R，x2＞0，使得f（x1）＝g（x2），∴＋x1－2＝ln x2＋x2－2，即＋x1＝ln x2＋x2＝＋ln x2.令h（x）＝ex＋x，x∈R，则h'（x）＝ex＋1＞0，∴函数h（x）在R上是增函数，∴x1＝ln x2，即x2＝，∴x1x2＝x1·.令u（x）＝xex，x∈R，则u'（x）＝（x＋1）ex，当x＜－1时，u（x）单调递减，当x＞－1时，u（x）单调递增，可得x＝－1时，函数u（x）取得极小值即最小值，u（－1）＝－.
跟踪训练
1.D　构造函数f（x）＝＋ln x，因为f'（x）＝－＋＝（x＞0）.所以当x＞1时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（1，＋∞）上单调递增.因为1＜＜2＜e，所以f（）＜f（2）＜f（e），即＋ln＜＋ln 2＜1＋，所以a＜c＜b.故选D.
2.B　由aea＜bln b，得ealn ea＜bln b.设f（x）＝xln x（x＞0），因为a＞0，则ea＞1，因为b＞0，且bln b＞aea＞0，则b＞1.当x＞1时，f'（x）＝ln x＋1＞0，则f（x）在（1，＋∞）上单调递增，ealn ea＜bln b，即f（ea）＜f（b），所以ea＜b.
3 / 3(共50张PPT)
第四节　函数中的构造问题
高中总复习·数学
重点解读
　　高考中有这样一类题型，题目中不是给出具体的函数解析式，而是给
出函数f（x）及其导数满足的条件，这就需要根据条件构造函数，利用所
构造函数的单调性、奇偶性、极值、最值等性质解决问题.
目 录
CONTENTS
考点·分类突破
01.
课时·跟踪检测
02.
PART 01
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
由导数运算构造函数（定向精析突破）
考向1　利用f（x）与xn构造
已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f'（x），且满足f（－1）＝
0，当x＞0时，2f（x）＞xf'（x），则使得f（x）＞0成立的x的取值范
围是（　　）
A. （－1，0）∪（0，1） B. （－1，0）
C. （0，1） D. （－1，1）
√
解析： 　构造F（x）＝ ，则F'（x）＝
，当x＞0时，xf'（x）－2f（x）＜0，可
以推出当x＞0时，F'（x）＜0，F（x）在（0，＋∞）上单调递减.∵f（x）为偶函数，y＝x2为偶函数，∴F（x）为偶函数，∴F（x）在（－∞，0）上单调递增.根据f（－1）＝0可得F（－1）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数F（x）的大致图象如图所示，根据图象可知f（x）＞0的解集为（－1，0）∪（0，1）.
解题技法
利用f（x）与xn构造函数
（1）如果题目中出现nf（x）＋xf'（x）形式，构造函数F（x）＝xnf
（x）；
（2）如果题目中出现xf'（x）－nf（x）形式，构造函数F（x）＝
.
考向2　利用f（x）与ex构造
〔多选〕已知f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的函数，导函数f'
（x）满足f'（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（　　）
A. f（2）＜e2f（0） B. f（2）＞e2f（0）
C. e2f（－1）＞f（1） D. e2f（－1）＜f（1）
√
√
解析： 　构造F（x）＝ ，则F'（x）＝ ＝
，又导函数f'（x）满足f'（x）＜f（x），则F'（x）＜0，F
（x）在R上是减函数，故 ＞ ＞ ＞ ，所以f
（2）＜e2f（0），e2f（－1）＞f（1）.故选A、C.
解题技法
利用f（x）与ex构造函数
（1）对于f'（x）＋nf（x）＞0（或＜0），构造函数F（x）＝enxf
（x）；
（2）对于f'（x）－nf（x）＞0（或＜0），构造函数F（x）＝ .
考向3　利用f（x）与 sin x， cos x构造
已知函数f（x）的定义域为（－ ， ），其导函数是f'（x）.有f'
（x） cos x＋f（x） sin x＜0，则关于x的不等式f（x）＜2f（ ） cos x
的解集为（　　）
√
解析： 　构造函数g（x）＝ ，其中x∈（－ ， ），则g'（x）
＝ ＜0，所以函数g（x）在（－ ， ）上单调递
减，因为x∈（－ ， ），则 cos x＞0，由f（x）＜2f（ ） cos x可得
＜ ，即g（x）＜g（ ），所以 解得 ＜x
＜ ，因此不等式f（x）＜2f（ ） cos x的解集为（ ， ）.故选A.
解题技法
利用f（x）与 sin x， cos x构造函数的常见类型
（1）F（x）＝f（x） sin x，F'（x）＝f'（x） sin x＋f（x） cos x；
（2）F（x）＝ ，F'（x）＝ ；
（3）F（x）＝f（x） cos x，F'（x）＝f'（x） cos x－f（x） sin x；
（4）F（x）＝ ，F'（x）＝ .
1. 函数f（x）的定义域为R，f（－1）＝2，对任意x∈R，f'（x）＞2，
则f（x）＞2x＋4的解集为（　　）
A. （－1，1） B. （－1，＋∞）
C. （－∞，－1） D. （－∞，＋∞）
解析： 　令g（x）＝f（x）－2x－4，则g'（x）＝f'（x）－2＞0，
∴g（x）为R上的增函数，又∵g（－1）＝f（－1）－2×（－1）－4＝
0.∴f（x）＞2x＋4等价于g（x）＞g（－1），解得x＞－1.
√
2. 设函数f'（x）是定义在（0，π）上的函数f（x）的导函数，有f'（x）
cos x－f（x） sin x＞0，若a＝ f（ ），b＝0，c＝－ f（ ），则
a，b，c的大小关系是（　　）
A. a＜b＜c B. b＜c＜a
C. c＜b＜a D. c＜a＜b
√
解析： 　根据题意，设g（x）＝f（x） cos x，则g'（x）＝f'（x） cos
x＋f（x）（ cos x）'＝f'（x） cos x－f（x） sin x，又由f'（x） cos x－f
（x） sin x＞0，则g'（x）＞0，函数g（x）在（0，π）上单调递增，a
＝ f（ ）＝ cos f（ ）＝g（ ），b＝0＝ cos ·f（ ）＝g（ ），c
＝－ f（ ）＝ cos f（ ）＝g（ ），则a＜b＜c.故选A.
3. 已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋f'（x）＞0，且有f（3）＝
3，则f（x）＞3e3－x的解集为 .
解析：设F（x）＝f（x）·ex，则F'（x）＝f'（x）·ex＋f（x）·ex＝ex[f
（x）＋f'（x）]＞0，∴F（x）在R上为增函数.又f（3）＝3，则F
（3）＝f（3）·e3＝3e3.∵f（x）＞3e3－x等价于f（x）·ex＞3e3，即F
（x）＞F（3），∴x＞3，即所求不等式的解集为（3，＋∞）.
（3，＋∞）　
同构法构造函数（定向精析突破）
考向1　同结构构造函数
（1）（2025·温州高三统一测试）已知x，y∈R，则“x＞y＞1”是
“x－ln x＞y－ln y”的（　A　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
A
解析： 设f（t）＝t－ln t，t＞0，则f'（t）＝1－ ＝ ，由f'（t）
＞0得t＞1，由f'（t）＜0得0＜t＜1，∴f（t）在（0，1）上单调递减，
在（1，＋∞）上单调递增.∴当x＞y＞1时，f（x）＞f（y），即x－ln
x＞y－ln y成立，故充分性成立.但x－ln x＞y－ln y成立时，可能有x＝
，y＝1，此时x＜y，故必要性不成立.综上，“x＞y＞1”是“x－ln x
＞y－ln y”的充分不必要条件.故选A.
（2）（2024·新乡第三次模拟）设a＝ ，b＝ln ，c＝ ，其中e
是自然对数的底数，则（　B　）
A. b＜a＜c B. a＜c＜b
C. b＜c＜a D. c＜b＜a
B
解析： 因为a＝ ＝ ，b＝ ，c＝ ＝ ，令函数f
（x）＝ ，x＞e，求导得f'（x）＝ ＜0，即函数f（x）在（e，＋
∞）上单调递减，又3＜ ＜4，因此f（3）＞f（ ）＞f（4），所以a
＜c＜b.故选B.
解题技法
　　根据所给代数式（等式、不等式）中数学运算的相同点或者结构形式
的相同点，构造具体的函数解析式，利用导数研究该函数的性质从而解决
问题.
考向2　指对互化构造函数
（2025·烟台期末）已知函数f（x）＝ex＋x－2，g（x）＝ln x＋x
－2，若 x1∈R，x2＞0，使得f（x1）＝g（x2），则x1x2的最小值为 .
－
解析：∵ x1∈R，x2＞0，使得f（x1）＝g（x2），∴ ＋x1－2＝ln x2
＋x2－2，即 ＋x1＝ln x2＋x2＝ ＋ln x2.令h（x）＝ex＋x，
x∈R，则h'（x）＝ex＋1＞0，∴函数h（x）在R上是增函数，∴x1＝ln
x2，即x2＝ ，∴x1x2＝x1· .令u（x）＝xex，x∈R，则u'（x）＝
（x＋1）ex，当x＜－1时，u（x）单调递减，当x＞－1时，u（x）单
调递增，可得x＝－1时，函数u（x）取得极小值即最小值，u（－1）＝
－ .
解题技法
　　利用恒等式x＝ln ex和x＝eln x，通过幂转指或幂转对进行等价变形，
构造函数，然后由构造的函数的单调性进行研究.
1. 已知a＝ ＋ln ，b＝1＋ ，c＝ ＋ln 2，则（　　）
A. c＜b＜a B. b＜c＜a
C. c＜a＜b D. a＜c＜b
解析： 　构造函数f（x）＝ ＋ln x，因为f'（x）＝－ ＋ ＝ （x
＞0）.所以当x＞1时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（1，＋∞）上单
调递增.因为1＜ ＜2＜e，所以f（ ）＜f（2）＜f（e），即 ＋ln ＜
＋ln 2＜1＋ ，所以a＜c＜b.故选D.
√
2. 设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea＜bln b，则（　　）
A. ab＞e B. b＞ea
C. ab＜e D. b＜ea
解析： 　由aea＜bln b，得ealn ea＜bln b.设f（x）＝xln x（x＞0），
因为a＞0，则ea＞1，因为b＞0，且bln b＞aea＞0，则b＞1.当x＞1
时，f'（x）＝ln x＋1＞0，则f（x）在（1，＋∞）上单调递增，ealn ea
＜bln b，即f（ea）＜f（b），所以ea＜b.
√
PART 02
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. 已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）＝1，且f'（x）＜ ，则f（x）
＜ ＋ 的解集为（　　）
A. {x｜－1＜x＜1} B. {x｜x＜－1}
C. {x｜x＜－1或x＞1} D. {x｜x＞1}
解析： 　构造函数h（x）＝f（x）－ － ，所以h'（x）＝f'（x）－
＜0，故h（x）在R上是减函数，且h（1）＝f（1）－ － ＝0，故h
（x）＜0的解集为{x｜x＞1}.
√
1
2
3
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20
20
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24
25
2. 已知a＝ ，b＝ ，c＝ ，则（　　）
A. a＜b＜c B. c＜a＜b
C. b＜a＜c D. c＜b＜a
解析： 　设f（x）＝ ，则a＝f（e），b＝f（2），c＝f（3），又f'
（x）＝ ，于是当x∈（ ，＋∞）时，f'（x）＜0，故f（x）＝
在（ ，＋∞）上单调递减，注意到 ＜ ＝2＜e＜3，则有f（3）
＜f（e）＜f（2），即c＜a＜b.
√
3. 已知α，β∈［－ ， ］，且α sin α－β sin β＞0，则下列结论正
确的是（　　）
A. α＞β B. α2＞β2
C. α＜β D. α＋β＞0
解析： 　构造函数f（x）＝x sin x，则f'（x）＝ sin x＋x cos x.当x∈
［0， ］时，f'（x）≥0，f（x）单调递增；当x∈［－ ，0）时，f'
（x）＜0，f（x）单调递减.又易知f（x）为偶函数，所以α sin α－β
sin β＞0 α sin α＞β sin β f（α）＞f（β） f（｜α｜）＞f
（｜β｜） ｜α｜＞｜β｜ α2＞β2.故选B.
√
4. 若对任意的x1，x2∈（1，3]，当x1＜x2时，x1－x2＞ ln x1－ ln x2恒成
立，则实数a的取值范围是（　　）
A. [3，＋∞） B. （3，＋∞）
C. [6，＋∞） D. （6，＋∞）
解析： 　当x1＜x2时，x1－x2＞ ln x1－ ln x2恒成立，即当x1＜x2时，x1
－ ln x1＞x2－ ln x2恒成立，设f（x）＝x－ ln x，x∈（1，3]，则f
（x）单调递减，故f'（x）＝1－ ≤0在（1，3]上恒成立，即a≥2x在
（1，3]上恒成立，所以a≥6.故选C.
√
5. 定义在R上的函数f（x）满足：f（x）＋f'（x）＞1，f（0）＝4，则
不等式exf（x）＞ex＋3（其中e为自然对数的底数）的解集为（　　）
A. （0，＋∞）
B. （－∞，0）∪（3，＋∞）
C. （－∞，0）∪（0，＋∞）
D. （3，＋∞）
解析： 　不等式f（x）＋f'（x）＞1可化为（ex）'f（x）＋exf'（x）＞
ex，即[exf（x）]'－ex＞0，所以函数g（x）＝exf（x）－ex是增函数.
不等式exf（x）＞ex＋3，即exf（x）－ex＞3，即g（x）＞3＝g（0），
所以x＞0，故不等式exf（x）＞ex＋3的解集为（0，＋∞）.故选A.
√
6. 已知定义在R上的函数f（x），其导函数为f'（x），当x＞0时，xf'
（x）－f（x）＜0，若a＝2f（1），b＝f（2），c＝4f（ ），则a，
b，c的大小关系是（　　）
A. c＜b＜a B. c＜a＜b
C. a＜b＜c D. b＜a＜c
√
解析： 　令g（x）＝ ，x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），则g'
（x）＝ ，∵当x＞0时，xf'（x）－f（x）＜0，即g'（x）
＜0，g（x）在（0，＋∞）上单调递减，∴g（2）＜g（1）＜g
（ ），∴ ＜ ＜2f（ ），即f（2）＜2f（1）＜4f（ ），
∴b＜a＜c.故选D.
7. 设函数f（x）的定义域为R，f'（x）是其导函数，若f（x）＋f'（x）
＞0，f（1）＝1，则不等式f（x）＞e1－x的解集是（　　）
A. （0，＋∞） B. （1，＋∞）
C. （－∞，0） D. （0，1）
解析： 　构造函数g（x）＝f（x）·ex，则g'（x）＝[f'（x）＋f
（x）]·ex＞0，故g（x）在R上是增函数，g（1）＝e，f（x）＞e1－x可
化为g（x）＞e＝g（1），故原不等式的解集为（1，＋∞），故选B.
√
8. （2024·杭州期末）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x） sin x＋f'
（x） cos x＞0，则（　　）
√
解析： 　令F（x）＝ ，x≠ ＋kπ，k∈Z，则F'（x）＝
＞0恒成立，所以F（x）＝ 在（－ ＋kπ，
＋kπ），k∈Z上单调递增.所以F（ ）＜F（ ），即 ＜
，即 ＜ ，即f（ ）＜ f（ ）.故选B.
9. 已知x，y为正实数，ln x＋ln y＝ －x，则（　　）
A. x＞y B. x＜y
C. x＋y＞1 D. x＋y＜1
解析： 　由ln x＋ln y＝ －x得：ln x＋x＝－ln y＋ ＝ln ＋ ，构造函
数f（x）＝ln x＋x（x＞0），则f'（x）＝ ＋1＞0，可知f（x）＝ln x＋
x在（0，＋∞）上为增函数，结合ln x＋x＝ln ＋ ，得x＝ ，即xy＝
1，由基本不等式可知：x＋y≥2 ＝2，当且仅当x＝y＝1时等号成
立，所以x＋y＞1.故选C.
√
10. 已知a，b，c∈（ ，＋∞），且 ＝－5ln a， ＝－3ln b， ＝
－2ln c，则（　　）
A. b＜c＜a B. c＜b＜a
C. a＜c＜b D. a＜b＜c
√
解析： 　设函数f（x）＝xln x（x＞0），f'（x）＝1＋ln x，当x∈
（ ，＋∞）时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增，当x∈（0， ）
时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减，由题意 ＝－5ln a， ＝－3ln
b， ＝－2ln c，得aln a＝ ln ，bln b＝ ln ，cln c＝ ln ＝ ln ，
因为 ＜ ＜ ＜ ，所以 ln ＞ ln ＞ ln ，则aln a＞cln c＞bln b，且
a，b，c∈（ ，＋∞），所以a＞c＞b.故选A.
11. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f'（x）是f（x）的导函数，若
对于任意的x∈（0，＋∞），都有2f（x）＋xf'（x）＞0成立，且f（2）
＝ ，则不等式f（x）－ ＞0的解集为 .
（2，＋∞）　
解析：令g（x）＝x2f（x），可得g'（x）＝2xf（x）＋x2f'（x），因为
对于任意的x∈（0，＋∞），都有2f（x）＋xf'（x）＞0成立，可得g'
（x）＞0，所以函数g（x）在（0，＋∞）上单调递增，又因为f（x）是
定义在R上的奇函数，可得g（－x）＝（－x）2f（－x）＝－x2f（x）
＝－g（x），所以g（x）是定义在R上的奇函数，可得g（x）在（－
∞，0）上单调递增，因为f（x）在R上连续不断，则g（x）在R上连续
不断，所以函数g（x）在R上为增函数，由不等式f（x）－ ＞0，可化
为x2f（x）－2＞0，即g（x）＞2，因为f（2）＝ ，可得g（2）＝22f
（2）＝2，所以g（x）＞g（2），可得x＞2，所以不等式f（x）－ ＞
0的解集为（2，＋∞）.
12. 已知函数f（x）的定义域是（0，＋∞），其导函数为f'（x），且满
足ln x·f'（x）＋ ·f（x）＞0，则f（e） 0（填“＞”或“＜”）.
解析：令g（x）＝f（x）·ln x，可得g'（x）＝ln x·f'（x）＋ ·f（x），
因为ln x·f'（x）＋ ·f（x）＞0，可得g'（x）＞0，g（x）在（0，＋
∞）上是增函数，所以g（e）＞g（1），又由g（1）＝0，即f（e）·ln e
＞0，即f（e）＞0.
＞　
13. 已知函数f（x）＝3ln x＋ ，a∈R，若对任意两个不相等正数x1，
x2，都有 ≤2，则a的取值范围是（　　）
√
解析： 　不妨设0＜x1＜x2，由 ≤2，得f（x1）－2x1≥f
（x2）－2x2，令g（x）＝f（x）－2x，所以g（x）在区间（0，＋∞）
上单调递减，所以g'（x）＝ － －2≤0在（0，＋∞）上恒成立，即
a≥－2x2＋3x＝－2（x－ ）2＋ ，所以a≥ ，即a的取值范围是［ ，
＋∞）.故选D.
14. （2025·湖北十一名校第二次联考）若对于任意正数x，y，不等式x
（1＋ln x）≥xln y－ay恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
√
解析： 　由题知ay≥xln y－x－xln x，即a≥ ln y－ － ln x＝ ln －
，令t＝ ，t∈（0，＋∞），则a≥ － ＝ ，设g（x）＝
，则g'（x）＝ ＝ ，令g'（x）＜0，则x＞e2，令g'
（x）＞0，则0＜x＜e2，所以g（x）在（e2，＋∞）上单调递减，在
（0，e2）上单调递增，当x＝e2时，g（x）有最大值 ，所以a≥ ，故
选C.
15. （2024·成都开学考试）已知1≤x≤2，不等式ex－ln a≥ln ax恒成立，
则a的最大值为（　　）
A. e B. 1
C. e－1 D. e2
√
解析： 　ex－ln a≥ln a＋ln x ex－ln a－ln a≥ln x ex－ln a＋x－ln a≥x＋ln
x ex－ln a＋x－ln a≥eln x＋ln x.令f（x）＝ex＋x，则易知f（x）在R上
是增函数，f（x－ln a）≥f（ln x） x－ln a≥ln x x－ln x≥ln a，令g
（x）＝x－ln x，问题转化为求g（x）＝x－ln x在[1，2]的最小值.因为
g'（x）＝1－ ＝ ，当x∈[1，2]时，g'（x）≥0（当且仅当x＝1时取
“＝”）.所以g（x）在[1，2]上单调递增，g（x）min＝g（1）＝1≥ln
a 0＜a≤e.所以a的最大值为e.故选A.
THANKS
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