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第一节　导数的概念、运算及几何意义
1.已知f（x）＝，则f'（）＝（　　）
A.－2－ln 2 B.－2＋ln 2
C.2－ln 2 D.2＋ln 2
2.（2025·邯郸第四次调研）设函数f（x）＝x＋的图象过x轴上一点P，则该曲线在点P处的切线方程为（　　）
A.y＝－x B.y＝－x－1
C.y＝0 D.y＝x－1
3.（2024·上海阶段练习）已知f（x）是定义在R上的可导函数，若＝，则f'（2）＝（　　）
A.－1 B.－
C.1 D.
4.（2024·茂名一模）曲线f（x）＝ex＋ax在点（0，1）处的切线与直线y＝2x平行，则a＝（　　）
A.－2 B.－1
C.1 D.2
5.〔多选〕某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：m3）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系V（t）＝H（10－t）3（H为常数），其图象如图所示.记此堆雪从开始融化到停止融化的平均融化速度为（单位：m3/h），t1，t2，t3，t4时刻的瞬时融化速度分别为v1，v2，v3，v4（单位：m3/h），那么下列各式中正确的是（　　）
A.v1＜ B.v2＞
C.v3＋＞0 D.v4＋＜0
6.〔多选〕若直线y＝3x＋m是曲线y＝x3（x＞0）与曲线y＝－x2＋nx－6（x＞0）的公切线，则（　　）
A.m＝－2 B.m＝－1
C.n＝6 D.n＝7
7.已知y＝f（x）是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，令g（x）＝xf（x），g'（x）是g（x）的导函数，则g'（3）＝　　　　.　
8.曲线y＝ex在x＝0处的切线方程为　　　　　；若该切线也是曲线y＝ln x＋b的切线，则b＝　　　　.
9.已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）＝2xf'（e）＋ln x.
（1）求f'（e）及f（e）的值；
（2）求f（x）在点（e2，f（e2））处的切线方程.
10.过点（2，0）作曲线f（x）＝xex的两条切线，切点分别为（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），则x1x2＝（　　）
A.－2 B.－1
C.1 D.2
11.已知P是曲线y＝－sin x（x∈[0，π]）上的动点，点Q在直线x－2y－6＝0上运动，则当｜PQ｜取最小值时，点P的横坐标为（　　）
A. B.
C. D.
12.（新定义）〔多选〕定义方程f（x）＝f'（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新不动点”，有下列函数：
①f（x）＝x·2x；②g（x）＝－ex－2x；③h（x）＝ln x；④m（x）＝sin x＋2cos x.
其中只有一个“新不动点”的函数为（　　）
A.① B.②
C.③ D.④
13.已知定义在R上的函数f（x），f'（x）为f（x）的导函数，f'（x）定义域也是R，f（x）满足f（x＋1 012）－f（1 013－x）＝4x＋1，则f'（i）＝　　　　.
14.设函数f（x）＝ax－，曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x－4y－12＝0.
（1）求f（x）的解析式；
（2）证明：曲线y＝f（x）上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.
15.（解题路径创新）牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法.若定义xk（k∈N）是函数零点近似解的初始值，在点Pk（xk，f（xk））处的切线方程为y＝f'（xk）（x－xk）＋f（xk），切线与x轴交点的横坐标为xk＋1，即函数零点近似解的下一个初始值，以此类推，满足精确度的初始值即函数零点近似解.设函数f（x）＝x2－5，满足x0＝1.应用上述方法，则x3＝（　　）
A.3　　　　　　　　　　B.　　　　　　　　　　C.　　　　　　　　　　D.
第一节　导数的概念、运算及几何意义
1.D　依题意有f'（x）＝，f'（）＝＝2＋ln 2.故选D.
2.C　令x＋＝0，即x（x＋2）＋1＝0，即（x＋1）2＝0，解得x＝－1，故P（－1，0），f'（x）＝1－，则f'（－1）＝1－＝0，则其切线方程为y－0＝f'（－1）（x＋1），即y＝0.故选C.
3.C　由导数的定义，f'（2）＝＝2＝1.故选C.
4.C　因为曲线f（x）＝ex＋ax在点（0，1）处的切线与直线y＝2x平行，所以曲线f（x）＝ex＋ax在点（0，1）处的切线的斜率为2，因为f'（x）＝ex＋a，所以f'（0）＝e0＋a＝1＋a＝2，所以a＝1，故选C.
5.AD　根据题意，＝，反映的是V（t）图象与坐标轴交点连线的斜率，瞬时融化速度v1，v2，v3，v4分别是函数图象在t1，t2，t3，t4四点处切线的斜率，必有v1＜，v4＋＜0，故选A、D.
6.AD　设直线y＝3x＋m与曲线y＝x3（x＞0）相切于点（a，a3），与曲线y＝－x2＋nx－6（x＞0）相切于点（b，3b＋m），对于函数y＝x3（x＞0），y'＝3x2，则3a2＝3（a＞0），解得a＝1，所以13＝3＋m，即m＝－2.对于函数y＝－x2＋nx－6（x＞0），y'＝－2x＋n，则－2b＋n＝3（b＞0），又－b2＋nb－6＝3b－2，所以－b2＋b（3＋2b）－6＝3b－2，又b＞0，所以b＝2，n＝7.故选A、D.
7.0　解析：由题图可知曲线y＝f（x）在x＝3处切线的斜率等于－，∴f'（3）＝－.∵g（x）＝xf（x），∴g'（x）＝f（x）＋xf'（x），∴g'（3）＝f（3）＋3f'（3），又由题图可知f（3）＝1，∴g'（3）＝1＋3×（－）＝0.
8.y＝x＋1　2　解析：由y＝ex求导得，y'＝ex，则曲线y＝ex在x＝0处的切线斜率k＝y'｜x＝0＝e0＝1，而切点为（0，1），所以所求切线方程为y＝x＋1.设直线y＝x＋1与曲线y＝ln x＋b相切的切点为（x0，y0），由y＝ln x＋b求导得，y'＝，于是得＝1，x0＝1.显然有即ln x0＋b＝x0＋1，ln 1＋b＝1＋1，解得b＝2.
9.解：（1）∵f（x）＝2xf'（e）＋ln x，
∴f'（x）＝2f'（e）＋，f'（e）＝2f'（e）＋，
∴f'（e）＝－，f（x）＝－＋ln x，
∴f（e）＝－＋ln e＝－1.
（2）∵f（x）＝－＋ln x，f'（x）＝－＋，
∴f（e2）＝－＋ln e2＝2－2e，f'（e2）＝－＋，
∴f（x）在点（e2，f（e2））处的切线方程为y－（2－2e）＝（－＋）（x－e2），
即（2e－1）x＋e2y－e2＝0.
10.A　由f（x）＝xex，得f'（x）＝（x＋1）ex，设切点坐标为（x0，x0），则f'（x0）＝（x0＋1），∴切线方程为y－x0＝（x0＋1）（x－x0），将（2，0）代入可得－x0＝（x0＋1）（2－x0），即（－＋2x0＋2）＝0，依题意关于x0的方程（－＋2x0＋2）＝0有两个不同的解x1，x2，即关于x0的方程－＋2x0＋2＝0有两个不同的解x1，x2，故x1x2＝－2，故选A.
11.C　如图所示，若使｜PQ｜取得最小值，则曲线y＝－sin x（x∈[0，π]）在点P处的切线与直线x－2y－6＝0平行，对函数y＝－sin x求导得y'＝－cos x，令y'＝，可得cos x＝－，因为0≤x≤π，解得x＝.故选C.
12.ABC　对于选项A，f'（x）＝2x＋x·2x·ln 2，则由x·2x＝2x＋x·2x·ln 2，解得x＝，所以f（x）只有一个“新不动点”，故A正确；对于选项B，g'（x）＝－ex－2，则由－ex－2＝－ex－2x，解得x＝1，所以g（x）只有一个“新不动点”，故B正确；对于选项C，h'（x）＝，根据y＝ln x和y＝的图象可看出ln x＝只有一个实数根，所以h（x）只有一个“新不动点”，故C正确；对于选项D，m'（x）＝cos x－2sin x，则sin x＋2cos x＝cos x－2sin x，即3sin x＝－cos x，所以tan x＝－，根据y＝tan x和y＝－的图象可看出方程tan x＝－有无数个解，所以m（x）有无数个“新不动点”，故D错误.故选A、B、C.
13.4 048　解析：对f（x＋1 012）－f（1 013－x）＝4x＋1两边同时求导得f'（x＋1 012）＋f'（1 013－x）＝4，即f'（x）＋f'（2 025－x）＝4，则f'（1）＋f'（2 024）＝4，f'（2）＋f'（2 023）＝4，…，f'（1 012）＋f'（1 013）＝4，则f'（i）＝4×1 012＝4 048.
14.解：（1）f'（x）＝a＋，
又根据切线方程可知
解得所以f（x）＝x－.
（2）设P（x0，y0）为曲线y＝f（x）上任一点，
由y'＝1＋知曲线在点P（x0，y0）处的切线方程为y－y0＝（1＋）（x－x0），
即y－（x0－）＝（1＋）（x－x0）.
令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为（0，－）.
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为（2x0，2x0）.
所以S＝｜－｜·｜2x0｜＝6.
故曲线y＝f（x）上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
15.C　因为f（x）＝x2－5，所以f'（x）＝2x，因为x0＝1，所以f（x0）＝f（1）＝－4，f'（x0）＝2，则在点（x0，f（x0））处的切线方程为y＋4＝2（x－1）.令y＝0，则x1＝3，则f（x1）＝4，f'（x1）＝6，则在点（x1，f（x1））处的切线方程为y－4＝6（x－3）.令y＝0，则x2＝，则f（x2）＝，f'（x2）＝，则在点（x2，f（x2））处的切线方程为y－＝（x－）.令y＝0，则x3＝.故选C.
2 / 2第一节　导数的概念、运算及几何意义
课标要求
1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景；通过函数图象直观理解导数的几何意义.
2.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数.
3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；能求简单的复合函数（限于形如f（ax＋b））的导数.
1.导数的概念
（1）平均变化率：对于函数y＝f（x），我们把比值，即＝　　　　　　　　叫做函数y＝f（x）从x0到x0＋Δx的平均变化率；
提醒 Δx可以是正值，也可以是负值，但不为0.
（2）函数y＝f（x）在x＝x0处的导数：函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率＝叫做函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f'（x0）或y'，即f'（x0）＝＝；
（3）导函数：当x变化时，y＝f'（x）就是x的函数，我们称它为y＝f（x）的导函数（简称导数），y＝f（x）的导函数有时也记作y'，即f'（x）＝y'＝；
提醒 f'（x0）代表函数f（x）在x＝x0处的导数值；（f（x0））'是函数值f（x0）的导数，而函数值f（x0）是一个常量，其导数一定为0，即（f（x0））'＝0.
（4）复合函数的导数：复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为y'x＝　　　　.
2.导数的几何意义
函数y＝f（x）在x＝x0处的导数就是曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处切线的　　　　，相应的切线方程为y－y0＝k（x－x0），其中k＝＝f'（x0）.
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导数
f（x）＝c（c为常数） f'（x）＝　　　
f（x）＝xα（α∈R，且α≠0） f'（x）＝　　　
f（x）＝sin x f'（x）＝　　　
f（x）＝cos x f'（x）＝　　　
f（x）＝ex f'（x）＝　　　
f（x）＝ax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝　　　
f（x）＝ln x f'（x）＝　　　
f（x）＝logax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝　　　
4.导数的运算法则
（1）[f（x）±g（x）]'＝　　　　　　；
（2）[f（x）g（x）]'＝　　　　　　　　；
（3）［］'＝　　　　　　　　　　　　　（g（x）≠0）.
1.可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数.
2.函数y＝f（x）的导数f'（x）反映了函数f（x）的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，｜f'（x）｜的大小反映了f（x）图象变化的快慢，｜f'（x）｜越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
3.[af（x）±bg（x）]'＝af'（x）±bg'（x）.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）f'（x0）是函数y＝f（x）在x＝x0附近的平均变化率.（　　）
（2）求f'（x0）时，可先求f（x0），再求f'（x0）.（　　）
（3）函数y＝sin 的导数为y'＝cos .（　　）
（4）曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.（　　）
2.下列函数的求导正确的是（　　）
A.（x－2）'＝－2x
B.（xcos x）'＝cos x－xsin x
C.（ln 10）'＝
D.（e2x）'＝2ex
3.（人A选二P71习题10题改编）函数y＝f（x）的图象如图，则导函数f'（x）的大致图象为（　　）
4.（人A选二P81习题3题改编）已知函数f（x）＝x（19＋ln x），若f'（x0）＝20，则x0＝　　　　.
5.（人A选二P81习题5题改编）曲线y＝在点P（，0）处的切线方程为　　　　.
导数的基本概念
（基础自学过关）
1.设f（x）在x＝x0处可导，下列式子与f'（x0）相等的是（　　）
A.
B.
C.
D.
2.若函数f（x）在x＝1处的导数为2，则＝（　　）
A.2　　　B.1　　　C.　　 　D.6
3.已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是（　　）
A.a＜f'（2）＜f'（4） B.f'（2）＜a＜f'（4）
C.f'（4）＜f'（2）＜a D.f'（2）＜f'（4）＜a
练后悟通
求函数f（x）在x＝x0处的导数的步骤
（1）求平均变化率＝；
（2）求瞬时变化率，即取极限，得到f'（x0）.
导数的运算
（基础自学过关）
1.〔多选〕下列求导运算正确的是（　　）
A.若f（x）＝sin（2x＋3），则f'（x）＝2cos（2x＋3）
B.若f（x）＝e－2x＋1，则f'（x）＝e－2x＋1
C.若f（x）＝，则f'（x）＝
D.若f（x）＝xln x，则f'（x）＝ln x＋1
2.（人A选二P81习题6题改编）已知函数f（x）＝2f'（3）x－x2＋ln x（f'（x）是f（x）的导函数），则f（1）＝（　　）
A.－ B.－ C. D.
3.设函数f（x）＝，若f'（1）＝，则a＝　　　　.
练后悟通
函数求导应遵循的原则
（1）求导之前，应利用代数、三角恒等变换等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；
（2）进行导数运算时，要牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混；
（3）复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导.
提醒 当函数解析式中含有待定系数（如f'（x0），a，b等），求导时把待定系数看成常数，再根据题意求解即可.
导数的几何意义及应用
（定向精析突破）
考向1　求切线方程
（1）（2024·全国甲卷理6题）设函数f（x）＝，则曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（　　）
A. B.
C. D.
（2）过点（0，3）且与曲线y＝x3－2x＋1相切的直线方程为（　　）
A.x－y－3＝0 B.x－y＋3＝0
C.x＋y＋3＝0 D.x＋y－3＝0
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
1.求在切点P（x0，f（x0））处曲线的切线方程
（1）求出函数y＝f（x）在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的斜率；
（2）由点斜式方程求得切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）·（x－x0）.
2.求过点P（x0，y0）的曲线y＝f（x）的切线方程
（1）设切点坐标P'（x1，f（x1））；
（2）写出在点P'（x1，f（x1））处的切线方程y－f（x1）＝f'（x1）（x－x1）；
（3）将点P（x0，y0）代入求x1的值，再代入得所求切线方程.
提醒 注意“过”与“在”的区别，前者不一定为切点，而后者一定为切点.
考向2　求切点坐标
在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点（－e，－1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是　　　　.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解题技法
求切点坐标的一般步骤
考向3　求参数的值（范围）
（人A选二P82习题11题改编）若曲线y＝e2ax在点（0，1）处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝（　　）
A.－2 B.－1
C.1 D.2
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
利用导数的几何意义求参数的基本方法
　　利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围.
提醒 （1）注意曲线上横坐标的取值范围；（2）谨记切点既在切线上又在曲线上.
1.已知直线y＝kx是曲线y＝ln x的切线，则切点坐标为（　　）
A.（，－1） B.（e，1）
C.（，） D.（0，1）
2.若曲线y＝（x－a）ex有两条过点（1，0）的切线，则a的取值范围是　　　　.
第一节　导数的概念、运算及几何意义
【知识·逐点夯实】
知识梳理夯基
1.（1）　（4）y'u·u'x
2.斜率
3.0　αxα－1　cos x　－sin x　ex　axln a　　　
4.（1）f'（x）±g'（x）　（2）f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）　（3）
对点自测诊断
1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）√
2.B　3.B　4.1　5.y＝－x＋1
【考点·分类突破】
考点1
1.B　对于A，＝－＝－f'（x0），A错误；对于B，＝f'（x0），B正确；对于C，＝2＝2f'（x0），C错误；对于D，＝－＝－f'（x0），D错误.故选B.
2.B　由函数f（x）在x＝1处的导数为2，得f'（1）＝2，所以＝＝f'（1）＝1.
3.B　从函数的图象可知，函数值在[2，4]上的增长越来越快，故函数在[2，4]上各点处的斜率也越来越大.因为＝a，所以f'（2）＜a＜f'（4），故选B.
考点2
1.ACD　f（x）＝sin（2x＋3），f'（x）＝cos（2x＋3）·（2x＋3）'＝2cos（2x＋3），故A正确；f（x）＝e－2x＋1，则f'（x）＝－2e－2x＋1，故B错误；f（x）＝，f'（x）＝＝，故C正确；f（x）＝xln x，f'（x）＝x'ln x＋x（ln x）'＝ln x＋1，故D正确.
2.D　由题意得f'（x）＝2f'（3）－x＋，∴f'（3）＝2f'（3）－＋，得f'（3）＝1，∴f（x）＝2x－x2＋ln x，∴f（1）＝2－＝，故选D.
3.1　解析：∵函数f（x）＝，∴f'（x）＝，∴f'（1）＝.又∵f'（1）＝，∴＝，解得a＝1.
考点3
【例1】 （1）A　（2）B　解析：（1）f'（x）＝，所以f'（0）＝3，所以曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程为y－1＝3（x－0），即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为（0，1），（－，0），所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×＝，故选A.
（2）由y＝x3－2x＋1，得y'＝3x2－2，设切点坐标为（x0，－2x0＋1），则切线的斜率k＝3－2，切线方程为y－（－2x0＋1）＝（3－2）（x－x0），由切线过点（0，3），代入切线方程解得x0＝－1，则切线方程为y－2＝x＋1，即x－y＋3＝0.
【例2】 （e，1）　解析：设A（m，n），则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－n＝（x－m）.又切线过点（－e，－1），所以有n＋1＝（m＋e）.再由n＝ln m，解得m＝e，n＝1.故点A的坐标为（e，1）.
【例3】 C　直线x＋2y＋1＝0的斜率k＝－，则y＝e2ax在点（0，1）处切线的斜率为2.又y'＝2a·e2ax，所以当x＝0时，y'＝2a＝2，可得a＝1.故选C.
跟踪训练
1.B　直线y＝kx过原点，设曲线y＝ln x上切点为（t，ln t），（ln x）'＝，所以曲线y＝ln x在点（t，ln t）处的切线斜率为，所以曲线y＝ln x在点（t，ln t）处的切线方程为y－ln t＝（x－t），即y－ln t＝x－1，又因切线过原点，即将（0，0）代入上式得－ln t＝－1 t＝e，所以切点为（e，1）.故选B.
2.（－∞，1）∪（5，＋∞）　解析：由y＝（x－a）ex得y'＝（x－a＋1）ex，设切点坐标为（x0，（x0－a）），则切线斜率k＝（x0－a＋1），切线方程为y－（x0－a）＝（x0－a＋1）（x－x0），又因为切线过（1，0），所以0－（x0－a）＝（x0－a＋1）（1－x0），整理得－（a＋1）x0＋2a－1＝0，又曲线有两条过点（1，0）的切线，所以该方程有两个实数解，所以Δ＝（a＋1）2－4（2a－1）＞0，解得a＜1或a＞5，所以a的取值范围是（－∞，1）∪（5，＋∞）.
5 / 5(共73张PPT)
第一节　导数的概念、运算及几何意义
高中总复习·数学
课标要求
1. 通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数
概念的实际背景；通过函数图象直观理解导数的几何意义.
2. 能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝
的导数.
3. 能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导
数；能求简单的复合函数（限于形如f（ax＋b））的导数.
目 录
CONTENTS
知识·逐点夯实
01.
考点·分类突破
02.
课时·跟踪检测
04.
微突破　两曲线的公切线问题
03.
PART 01
知识·逐点夯实
必备知识 | 课前自修
1. 导数的概念
（1）平均变化率：对于函数y＝f（x），我们把比值 ，即
＝ 叫做函数y＝f（x）从x0到x0＋Δx的平均变化
率；
提醒 Δx可以是正值，也可以是负值，但不为0.
　
（2）函数y＝f（x）在x＝x0处的导数：函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬
时变化率 ＝ 叫做函数y＝f（x）在x＝x0
处的导数，记作f'（x0）或y' ，即f'（x0）＝ ＝
；
（3）导函数：当x变化时，y＝f'（x）就是x的函数，我们称它为y＝f
（x）的导函数（简称导数），y＝f（x）的导函数有时也记作y'，即f'
（x）＝y'＝ ；
提醒 f'（x0）代表函数f（x）在x＝x0处的导数值；（f（x0））'是函数值
f（x0）的导数，而函数值f（x0）是一个常量，其导数一定为0，即（f
（x0））'＝0.
（4）复合函数的导数：复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f
（u），u＝g（x）的导数间的关系为y'x＝ .
y'u·u'x　
2. 导数的几何意义
函数y＝f（x）在x＝x0处的导数就是曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处
切线的 ，相应的切线方程为y－y0＝k（x－x0），其中k＝
＝f'（x0）.
3. 基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导数
f（x）＝c（c为常数） f'（x）＝
f（x）＝xα（α∈R，且α≠0） f'（x）＝
f（x）＝ sin x f'（x）＝
f（x）＝ cos x f'（x）＝
斜率　
0　
αxα－1　
cos x　
－ sin x　
基本初等函数 导数
f（x）＝ex f'（x）＝
f（x）＝ax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝
f（x）＝ln x f'（x）＝
f（x）＝logax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝
ex　
axln a　
　
　
4. 导数的运算法则
（1）[f（x）±g（x）]'＝ ；
（2）[f（x）g（x）]'＝ ；
（3）［ ］'＝ 　 　（g（x）≠0）.
f'（x）±g'（x）　
f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）　
　
1. 可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函
数的导数还是周期函数.
2. 函数y＝f（x）的导数f'（x）反映了函数f（x）的瞬时变化趋势，其
正负号反映了变化的方向，｜f'（x）｜的大小反映了f（x）图象变化的快
慢，｜f'（x）｜越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
3. [af（x）±bg（x）]'＝af'（x）±bg'（x）.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）f'（x0）是函数y＝f（x）在x＝x0附近的平均变化率. （　×　）
（2）求f'（x0）时，可先求f（x0），再求f'（x0）. （　×　）
（3）函数y＝ sin 的导数为y'＝ cos . （　×　）
（4）曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点. （　√　）
×
×
×
√
2. 下列函数的求导正确的是（　　）
A. （x－2）'＝－2x B. （x cos x）'＝ cos x－x sin x
D. （e2x）'＝2ex
解析： 　∵（x－2）'＝－2x－3，∴A错误；（x cos x）'＝ cos x－x sin x，
∴B正确；（ln 10）'＝0，∴C错误；（e2x）'＝2e2x，∴D错误.故选B.
√
3. （人A选二P71习题10题改编）函数y＝f（x）的图象如图，则导函数f'（x）的大致图象为（　　）
√
解析： 　由导数的几何意义可知，f'（x）为常数，且f'（x）＜0.
4. （人A选二P81习题3题改编）已知函数f（x）＝x（19＋ln x），若f'
（x0）＝20，则x0＝ .
解析：f'（x）＝19＋ln x＋x· ＝20＋ln x，由f'（x0）＝20，得20＋ln x0＝
20，则ln x0＝0，解得x0＝1.
1　
5. （人A选二P81习题5题改编）曲线y＝ 在点P（ ，0）处的切线方
程为 .
解析：因为y'＝ ，所以曲线y＝ 在点P（ ，0）处的
切线斜率为－ .即所求的切线方程为y－0＝－ （x－ ），即y＝－ x
＋1.
y＝－ x＋1　
PART 02
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
导数的基本概念（基础自学过关）
1. 设f（x）在x＝x0处可导，下列式子与f'（x0）相等的是（　　）
√
解析： 　对于A， ＝－
＝－f'（x0），A错误；对于B， ＝f'（x0），B
正确；对于C， ＝2 ＝2f'
（x0），C错误；对于D， ＝－
＝－f'（x0），D错误.故选B.
2. 若函数f（x）在x＝1处的导数为2，则 ＝
（　　）
A. 2 B. 1
D. 6
解析： 　由函数f（x）在x＝1处的导数为2，得f'（1）＝2，所以
＝ ＝ f'（1）＝1.
√
3. 已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设 ＝
a，则下列不等式正确的是（　　）
A. a＜f'（2）＜f'（4） B. f'（2）＜a＜f'（4）
C. f'（4）＜f'（2）＜a D. f'（2）＜f'（4）＜a
√
解析： 　从函数的图象可知，函数值在[2，4]上的增长越来越快，故函
数在[2，4]上各点处的斜率也越来越大.因为 ＝a，所以f'
（2）＜a＜f'（4），故选B.
练后悟通
求函数f（x）在x＝x0处的导数的步骤
（1）求平均变化率 ＝ ；
（2）求瞬时变化率，即取极限 ，得到f'（x0）.
导数的运算（基础自学过关）
1. 〔多选〕下列求导运算正确的是（　　）
A. 若f（x）＝ sin （2x＋3），则f'（x）＝2 cos （2x＋3）
B. 若f（x）＝e－2x＋1，则f'（x）＝e－2x＋1
D. 若f（x）＝xln x，则f'（x）＝ln x＋1
√
√
√
解析： 　f（x）＝ sin （2x＋3），f'（x）＝ cos （2x＋3）·（2x＋
3）'＝2 cos （2x＋3），故A正确；f（x）＝e－2x＋1，则f'（x）＝－2e－2x
＋1，故B错误；f（x）＝ ，f'（x）＝ ＝ ，故C正确；f（x）
＝xln x，f'（x）＝x'ln x＋x（ln x）'＝ln x＋1，故D正确.
2. （人A选二P81习题6题改编）已知函数f（x）＝2f'（3）x－ x2＋ln x
（f'（x）是f（x）的导函数），则f（1）＝（　　）
解析： 　由题意得f'（x）＝2f'（3）－ x＋ ，∴f'（3）＝2f'（3）－
＋ ，得f'（3）＝1，∴f（x）＝2x－ x2＋ln x，∴f（1）＝2－ ＝ ，
故选D.
√
3. 设函数f（x）＝ ，若f'（1）＝ ，则a＝ .
解析：∵函数f（x）＝ ，∴f'（x）＝ ，∴f'（1）＝
.又∵f'（1）＝ ，∴ ＝ ，解得a＝1.
1　
练后悟通
函数求导应遵循的原则
（1）求导之前，应利用代数、三角恒等变换等对函数进行化简，然后求
导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；
（2）进行导数运算时，要牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记
错记混；
（3）复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，
确定复合过程，然后求导.
提醒 当函数解析式中含有待定系数（如f'（x0），a，b等），求导时把待
定系数看成常数，再根据题意求解即可.
导数的几何意义及应用（定向精析突破）
考向1　求切线方程
（1）（2024·全国甲卷理6题）设函数f（x）＝ ，则曲线y
＝f（x）在点（0，1）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为
（　A　）
A
解析： f'（x）＝ ，所以f'（0）＝3，
所以曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程为y－1＝3（x－0），即
3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为（0，1），（－ ，0），所
以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ×1× ＝ ，故选A.
（2）过点（0，3）且与曲线y＝x3－2x＋1相切的直线方程为（　B　）
A. x－y－3＝0 B. x－y＋3＝0
C. x＋y＋3＝0 D. x＋y－3＝0
B
解析：由y＝x3－2x＋1，得y'＝3x2－2，设切点坐标为（x0， －2x0＋
1），则切线的斜率k＝3 －2，切线方程为y－（ －2x0＋1）＝（3
－2）（x－x0），由切线过点（0，3），代入切线方程解得x0＝－1，则
切线方程为y－2＝x＋1，即x－y＋3＝0.
解题技法
1. 求在切点P（x0，f（x0））处曲线的切线方程
（1）求出函数y＝f（x）在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f（x）在点P
（x0，f（x0））处切线的斜率；
（2）由点斜式方程求得切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）·（x－x0）.
2. 求过点P（x0，y0）的曲线y＝f（x）的切线方程
（1）设切点坐标P'（x1，f（x1））；
（2）写出在点P'（x1，f（x1））处的切线方程y－f（x1）＝f'（x1）（x
－x1）；
（3）将点P（x0，y0）代入求x1的值，再代入得所求切线方程.
提醒 注意“过”与“在”的区别，前者不一定为切点，而后者一定为
切点.
考向2　求切点坐标
在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处
的切线经过点（－e，－1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标
是 .
解析：设A（m，n），则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－n＝
（x－m）.又切线过点（－e，－1），所以有n＋1＝ （m＋e）.再由n
＝ln m，解得m＝e，n＝1.故点A的坐标为（e，1）.
（e，1）　
解题技法
求切点坐标的一般步骤
考向3　求参数的值（范围）
（人A选二P82习题11题改编）若曲线y＝e2ax在点（0，1）处的切线
与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝（　　）
A. －2 B. －1
C. 1 D. 2
解析： 　直线x＋2y＋1＝0的斜率k＝－ ，则y＝e2ax在点（0，1）处
切线的斜率为2.又y'＝2a·e2ax，所以当x＝0时，y'＝2a＝2，可得a＝1.
故选C.
√
解题技法
利用导数的几何意义求参数的基本方法
　　利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程
（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围.
提醒 （1）注意曲线上横坐标的取值范围；（2）谨记切点既在切线上又在
曲线上.
1. 已知直线y＝kx是曲线y＝ln x的切线，则切点坐标为（　　）
B. （e，1）
D. （0，1）
解析： 　直线y＝kx过原点，设曲线y＝ln x上切点为（t，ln t），（ln
x）'＝ ，所以曲线y＝ln x在点（t，ln t）处的切线斜率为 ，所以曲线y
＝ln x在点（t，ln t）处的切线方程为y－ln t＝ （x－t），即y－ln t＝
x－1，又因切线过原点，即将（0，0）代入上式得－ln t＝－1 t＝e，所
以切点为（e，1）.故选B.
√
2. 若曲线y＝（x－a）ex有两条过点（1，0）的切线，则a的取值范围
是 .
解析：由y＝（x－a）ex得y'＝（x－a＋1）ex，设切点坐标为（x0，
（x0－a） ），则切线斜率k＝（x0－a＋1） ，切线方程为y－
（x0－a） ＝（x0－a＋1） （x－x0），又因为切线过（1，0），
所以0－（x0－a） ＝（x0－a＋1） （1－x0），整理得 －（a＋
1）x0＋2a－1＝0，又曲线有两条过点（1，0）的切线，所以该方程有两
个实数解，所以Δ＝（a＋1）2－4（2a－1）＞0，解得a＜1或a＞5，所
以a的取值范围是（－∞，1）∪（5，＋∞）.
（－∞，1）∪（5，＋∞）　
PART 03
微突破　两曲线的公切线问题
　　两曲线的公切线问题是高考的热点题型之一.其中单一曲线的切线问
题相对简单，但两曲线的公切线问题相对较复杂，其解题关键是“公切
线”这一条件的转化，即f'（x1）＝g'（x2）＝ .
共切点的公切线问题
（2025·济南质量监测）已知曲线y＝ln x与曲线y＝a（x－ ）在交
点（1，0）处有相同的切线，则a＝（　　）
A. 1 D. －1
√
解析： 　由题知曲线y＝ln x和曲线y＝a（x－ ）在交点（1，0）处有
相同的切线，即斜率k相等.对曲线y＝ln x，求导得y'＝ ，所以该曲线在
点（1，0）处的切线斜率k＝1，对曲线y＝a（x－ ），求导得y'＝a（1
＋ ），所以a（1＋ ）＝1，得a＝ ，故B正确.
点评 求共切点的公切线的一般思路：①设两曲线的公共切点P0（x0，
y0）；②列关系式 ③求公共切点P0的横坐标x0，再代入
y＝f（x）或y＝h（x），求y0；④所求公切线方程为y－y0＝f'（x0）
（x－x0）或y－y0＝h'（x0）（x－x0）.
不同切点的公切线问题
（1）（2024·新高考Ⅰ卷13题）若曲线y＝ex＋x在点（0，1）处的切
线也是曲线y＝ln（x＋1）＋a的切线，则a＝ ；
ln 2　
解析： 由y＝ex＋x得y'＝ex＋1，y'｜x＝0＝e0＋1＝2，故曲线y＝ex
＋x在点（0，1）处的切线方程为y＝2x＋1，由y＝ln（x＋1）＋a得y'
＝ ，设切线与曲线y＝ln（x＋1）＋a相切的切点为（x0，ln（x0＋
1）＋a），由两曲线有公切线得y' ＝ ＝2，解得x0＝－ ，
则切点为（－ ，a＋ln ），由切点在直线y＝2x＋1上得，a＋ln ＝
0，故a＝ln 2.
（2）若直线x＋y＋m＝0是曲线f（x）＝x3＋nx－52与曲线g（x）＝x2
－3ln x的公切线，则m－n＝ .
解析： 设直线x＋y＋m＝0与曲线f（x）＝x3＋nx－52相切于点
（a，－a－m），与曲线g（x）＝x2－3ln x相切于点（b，－b－
m），b＞0.由g（x）＝x2－3ln x知g'（x）＝2x－ ，又两曲线的公切线
斜率为－1，则2b－ ＝－1，解得b＝1或b＝－ （舍去）.所以1－3ln 1
＝－1－m，解得m＝－2.由f（x）＝x3＋nx－52知f'（x）＝3x2＋n，又
两曲线的公切线斜率为－1，则3a2＋n＝－1，即n＝－3a2－1，故a3－
（3a2＋1）a－52＝－a＋2，整理得a3＝－27，故a＝－3，所以n＝－
3a2－1＝－28，故m－n＝26.
26　
点评 求两曲线不同切点的公切线的一般思路：①分别设出两曲线的切点P1
（x1，y1），P2（x2，y2）；②分别求两曲线在切点处的方程y＝h1
（x），y＝h2（x）；③由公切线转化为两切线方程对应项系数相同，列
方程组消元求解x1或x2，再求公切线方程.
1. （2025·福建适应性练习卷）已知直线y＝kx＋b既是曲线y＝ln x的切
线，也是曲线y＝－ln（－x）的切线，则（　　）
B. k＝1，b＝0
D. k＝1，b＝－1
√
解析： 　设直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x的切点坐标为（x1，y1），直
线y＝kx＋b与曲线y＝－ln（－x）的切点坐标为（x2，y2），对y＝ln x
求导得y'＝ ，对y＝－ln（－x）求导得y'＝－ ·（－1）＝－ ，所以有
得 解得
所以k＝ ＝ .故选A.
2. 已知定义在（0，＋∞）上的函数f（x）＝x2－m，h（x）＝6ln x－
4x，设两曲线y＝f（x）与y＝h（x）在公共点处的切线相同，则m
＝ .
解析：依题意，设曲线y＝f（x）与y＝h（x）在公共点（x0，y0）处的
切线相同.∵f（x）＝x2－m，h（x）＝6ln x－4x，∴f'（x）＝2x，h'
（x）＝ －4，∴ 即 ∵x0＞
0，∴x0＝1，m＝5.
5　
PART 04
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. 已知f（x）＝ ，则f'（ ）＝（　　）
A. －2－ln 2 B. －2＋ln 2
C. 2－ln 2 D. 2＋ln 2
解析： 　依题意有f'（x）＝ ，f'（ ）＝ ＝2＋ln 2.
故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
20
22
23
24
25
√
2. （2025·邯郸第四次调研）设函数f（x）＝x＋ 的图象过x轴上一点
P，则该曲线在点P处的切线方程为（　　）
A. y＝－x B. y＝－x－1
C. y＝0 D. y＝x－1
解析： 　令x＋ ＝0，即x（x＋2）＋1＝0，即（x＋1）2＝0，解得
x＝－1，故P（－1，0），f'（x）＝1－ ，则f'（－1）＝1－
＝0，则其切线方程为y－0＝f'（－1）（x＋1），即y＝0.故
选C.
√
3. （2024·上海阶段练习）已知f（x）是定义在R上的可导函数，若
＝ ，则f'（2）＝（　　）
A. －1
解析： 　由导数的定义，f'（2）＝ ＝
2 ＝1.故选C.
√
C. 1
4. （2024·茂名一模）曲线f（x）＝ex＋ax在点（0，1）处的切线与直线
y＝2x平行，则a＝（　　）
A. －2 B. －1
C. 1 D. 2
解析： 　因为曲线f（x）＝ex＋ax在点（0，1）处的切线与直线y＝2x
平行，所以曲线f（x）＝ex＋ax在点（0，1）处的切线的斜率为2，因为f'
（x）＝ex＋a，所以f'（0）＝e0＋a＝1＋a＝2，所以a＝1，故选C.
√
5. 〔多选〕某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：
m3）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系
V（t）＝H（10－ t）3（H为常数），其图象如
图所示.记此堆雪从开始融化到停止融化的平均融化
速度为 （单位：m3/h），t1，t2，t3，t4时刻的瞬时融化速度分别为v1，v2，v3，v4（单位：m3/h），那么下列各式中正确的是（　　）
√
√
解析： 　根据题意， ＝ ，反映的是V（t）图象与坐
标轴交点连线的斜率，瞬时融化速度v1，v2，v3，v4分别是函数图象在
t1，t2，t3，t4四点处切线的斜率，必有v1＜ ，v4＋ ＜0，故选A、D.
6. 〔多选〕若直线y＝3x＋m是曲线y＝x3（x＞0）与曲线y＝－x2＋nx
－6（x＞0）的公切线，则（　　）
A. m＝－2 B. m＝－1
C. n＝6 D. n＝7
解析： 　设直线y＝3x＋m与曲线y＝x3（x＞0）相切于点（a，
a3），与曲线y＝－x2＋nx－6（x＞0）相切于点（b，3b＋m），对于函
数y＝x3（x＞0），y'＝3x2，则3a2＝3（a＞0），解得a＝1，所以13＝3
＋m，即m＝－2.对于函数y＝－x2＋nx－6（x＞0），y'＝－2x＋n，则
－2b＋n＝3（b＞0），又－b2＋nb－6＝3b－2，所以－b2＋b（3＋
2b）－6＝3b－2，又b＞0，所以b＝2，n＝7.故选A、D.
√
√
7. 已知y＝f（x）是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f（x）
在x＝3处的切线，令g（x）＝xf（x），g'（x）是g（x）的导函数，则
g'（3）＝ .　
0　
解析：由题图可知曲线y＝f（x）在x＝3处切线的斜率等于－ ，∴f'
（3）＝－ .∵g（x）＝xf（x），∴g'（x）＝f（x）＋xf'（x），∴g'
（3）＝f（3）＋3f'（3），又由题图可知f（3）＝1，∴g'（3）＝1＋3×
（－ ）＝0.
8. 曲线y＝ex在x＝0处的切线方程为 ；若该切线也是曲线y
＝ln x＋b的切线，则b＝ .
解析：由y＝ex求导得，y'＝ex，则曲线y＝ex在x＝0处的切线斜率k＝
y'｜x＝0＝e0＝1，而切点为（0，1），所以所求切线方程为y＝x＋1.设直
线y＝x＋1与曲线y＝ln x＋b相切的切点为（x0，y0），由y＝ln x＋b求
导得，y'＝ ，于是得 ＝1，x0＝1.显然有 即ln x0＋b＝
x0＋1，ln 1＋b＝1＋1，解得b＝2.
y＝x＋1　
2　
9. 已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）＝2xf'（e）＋ln x.
（1）求f'（e）及f（e）的值；
解： ∵f（x）＝2xf'（e）＋ln x，
∴f'（x）＝2f'（e）＋ ，f'（e）＝2f'（e）＋ ，
∴f'（e）＝－ ，f（x）＝－ ＋ln x，
∴f（e）＝－ ＋ln e＝－1.
（2）求f（x）在点（e2，f（e2））处的切线方程.
解： ∵f（x）＝－ ＋ln x，f'（x）＝－ ＋ ，
∴f（e2）＝－ ＋ln e2＝2－2e，f'（e2）＝－ ＋ ，
∴f（x）在点（e2，f（e2））处的切线方程为y－（2－2e）＝（－ ＋
）（x－e2），
即（2e－1）x＋e2y－e2＝0.
10. 过点（2，0）作曲线f（x）＝xex的两条切线，切点分别为（x1，f
（x1）），（x2，f（x2）），则x1x2＝（　　）
A. －2 B. －1
解析： 　由f（x）＝xex，得f'（x）＝（x＋1）ex，设切点坐标为
（x0，x0 ），则f'（x0）＝（x0＋1） ，∴切线方程为y－x0 ＝
（x0＋1） （x－x0），将（2，0）代入可得－x0 ＝（x0＋1）
（2－x0），即（－ ＋2x0＋2） ＝0，依题意关于x0的方程（－ ＋
2x0＋2） ＝0有两个不同的解x1，x2，即关于x0的方程－ ＋2x0＋2＝
0有两个不同的解x1，x2，故x1x2＝－2，故选A.
√
C. 1 D. 2
11. 已知P是曲线y＝－ sin x（x∈[0，π]）上的动点，点Q在直线x－2y
－6＝0上运动，则当｜PQ｜取最小值时，点P的横坐标为（　　）
解析： 　如图所示，若使｜PQ｜取得最小值，则曲
线y＝－ sin x（x∈[0，π]）在点P处的切线与直线x
－2y－6＝0平行，对函数y＝－ sin x求导得y'＝－ cos
x，令y'＝ ，可得 cos x＝－ ，因为0≤x≤π，解得x＝ .故选C.
√
12. （新定义）〔多选〕定义方程f（x）＝f'（x）的实数根x0叫做函数f
（x）的“新不动点”，有下列函数：
①f（x）＝x·2x；②g（x）＝－ex－2x；③h（x）＝ln x；④m（x）
＝ sin x＋2 cos x.
其中只有一个“新不动点”的函数为（　　）
A. ① B. ②
C. ③ D. ④
√
√
√
解析： 　对于选项A，f'（x）＝2x＋x·2x·ln 2，则由x·2x＝2x＋
x·2x·ln 2，解得x＝ ，所以f（x）只有一个“新不动点”，故A正
确；对于选项B，g'（x）＝－ex－2，则由－ex－2＝－ex－2x，解得x＝
1，所以g（x）只有一个“新不动点”，故B正确；对于选项C，h'（x）
＝ ，根据y＝ln x和y＝ 的图象可看出ln x＝ 只有一个实数根，所以h
（x）只有一个“新不动点”，故C正确；对于选项D，m'（x）＝ cos x－
2 sin x，则 sin x＋2 cos x＝ cos x－2 sin x，即3 sin x＝－ cos x，所以tan x＝
－ ，根据y＝tan x和y＝－ 的图象可看出方程tan x＝－ 有无数个解，所
以m（x）有无数个“新不动点”，故D错误.故选A、B、C.
13. 已知定义在R上的函数f（x），f'（x）为f（x）的导函数，f'（x）定
义域也是R，f（x）满足f（x＋1 012）－f（1 013－x）＝4x＋1，则
f'（i）＝ .
解析：对f（x＋1 012）－f（1 013－x）＝4x＋1两边同时求导得f'（x＋1
012）＋f'（1 013－x）＝4，即f'（x）＋f'（2 025－x）＝4，则f'（1）＋f'
（2 024）＝4，f'（2）＋f'（2 023）＝4，…，f'（1 012）＋f'（1 013）＝
4，则 f'（i）＝4×1 012＝4 048.
4 048　
14. 设函数f（x）＝ax－ ，曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线
方程为7x－4y－12＝0.
（1）求f（x）的解析式；
解： f'（x）＝a＋ ，
又根据切线方程可知
解得 所以f（x）＝x－ .
（2）证明：曲线y＝f（x）上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所
围成的三角形的面积为定值，并求此定值.
解： 设P（x0，y0）为曲线y＝f（x）上任一点，
由y'＝1＋ 知曲线在点P（x0，y0）处的切线方程为y－y0＝（1＋ ）
（x－x0），即y－（x0－ ）＝（1＋ ）（x－x0）.
令x＝0得y＝－ ，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为（0，－ ）.
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为（2x0，
2x0）.
所以S＝ ｜－ ｜·｜2x0｜＝6.
故曲线y＝f（x）上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形
的面积为定值，此定值为6.
15. （解题路径创新）牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的
另一种方法.若定义xk（k∈N）是函数零点近似解的初始值，在点Pk
（xk，f（xk））处的切线方程为y＝f'（xk）（x－xk）＋f（xk），切线
与x轴交点的横坐标为xk＋1，即函数零点近似解的下一个初始值，以此类
推，满足精确度的初始值即函数零点近似解.设函数f（x）＝x2－5，满足
x0＝1.应用上述方法，则x3＝（　　）
A. 3
√
解析： 　因为f（x）＝x2－5，所以f'（x）＝2x，因为x0＝1，所以f
（x0）＝f（1）＝－4，f'（x0）＝2，则在点（x0，f（x0））处的切线方
程为y＋4＝2（x－1）.令y＝0，则x1＝3，则f（x1）＝4，f'（x1）＝6，
则在点（x1，f（x1））处的切线方程为y－4＝6（x－3）.令y＝0，则x2
＝ ，则f（x2）＝ ，f'（x2）＝ ，则在点（x2，f（x2））处的切线方
程为y－ ＝ （x－ ）.令y＝0，则x3＝ .故选C.
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