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　三次函数的图象与性质
1.定义
定义1：形如f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的函数，称为“三次函数”；
定义2：三次函数的导数f'（x）＝3ax2＋2bx＋c（a≠0），把Δ＝4b2－12ac叫做三次函数导函数的判别式.
2.三次函数的图象及性质
a＞0 a＜0
f（x）的 图象
f'（x）的 图象 Δ＞0 Δ≤0 Δ＞0 Δ≤0
f（x） 的单 调性、 极值 增区间为（－∞，x1），（x2，＋∞）， 减区间为（x1，x2）， f（x）有两个极值点， 极大值为f（x1）， 极小值为 f（x2） f'（x）≥0恒成立， f（x）在 R上单调 递增， f（x）无极值点 增区间为（x1，x2）， 减区间为（－∞，x1），（x2，＋∞）， f（x）有两个极值点， 极大值为f（x2）， 极小值为 f（x1） f'（x）≤0恒成立， f（x）在R上单调递减， f（x）无极值点
f（x）的 对称 中心 三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的对称中心为点（－，f（－））
（1）〔多选〕（2024·新高考Ⅱ卷11题）设函数f（x）＝2x3－3ax2＋1，则（　　）
A.当a＞1时，f（x）有三个零点
B.当a＜0时，x＝0是f（x）的极大值点
C.存在a，b，使得x＝b为曲线y＝f（x）的对称轴
D.存在a，使得点（1，f（1））为曲线y＝f（x）的对称中心
（2）若函数f（x）＝－x3＋2x2－3x＋t有且仅有一个零点，则实数t的取值范围为　　　　.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.（2022·新高考Ⅰ卷10题改编）函数f（x）＝x3－x＋1的图象的对称中心是　　　　.
2.已知f（x）＝x3＋3x2＋6x＋14，且f（m）＝1，f（n）＝19，则m＋n＝　　　　.
3.已知函数f（x）＝ax3－6ax2＋bx＋1（a≠0），且f（4）－f（2）＝1，则f（2）＝　　　　.
4.已知函数f（x）＝x3－x2＋ax＋1.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）在[2，4]上单调递增，求实数a的取值范围.
微突破　三次函数的图象与性质
【例】 （1）AD　（2）（－∞，0）∪（，＋∞）
解析：（1）因为f（x）＝2x3－3ax2＋1，所以f'（x）＝6x2－6ax＝6x（x－a）.对于选项A，令f'（x）＞0，则x＞a或x＜0；令f'（x）＜0，则0＜x＜a.所以f（x）在（－∞，0）和（a，＋∞）上单调递增，在（0，a）上单调递减.又因为f（0）＝1，f（a）＝2a3－3a3＋1＝1－a3＜0，当x→－∞时，f（x）→－∞，当x→＋∞时，f（x）→＋∞，所以f（x）的大致图象如图，所以f（x）有三个零点，故选项A正确；
对于选项B，令f'（x）＞0，则x＜a或x＞0；令f'（x）＜0，则a＜x＜0.所以x＝0是f（x）的极小值点，故选项B错误；
对于选项C，法一 三次函数为中心对称函数，其图象无对称轴，故选项C错误；
法二 当x→＋∞时，f（x）→＋∞，当x→－∞时，f（x）→－∞，故曲线y＝f（x）必不存在对称轴，C错误；
对于选项D，法一（排除法） 由于是多项选择题A正确，B、C错误，则D一定正确.
法二（利用对称中心的二级结论） f（1）＝3－3a，若存在a，使得（1，3－3a）为f（x）的对称中心，则f（x）＋f（2－x）＝6－6a，事实上，f（x）＋f（2－x）＝2x3－3ax2＋1＋2（2－x）3－3a（2－x）2＋1＝（12－6a）x2＋（12a－24）x＋18－12a，于是6－6a＝（12－6a）x2＋（12a－24）x＋18－12a，即解得a＝2，即存在a＝2使得（1，f（1））是f（x）的对称中心，D选项正确.
法三（利用拐点）　任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，f（x）＝2x3－3ax2＋1，f'（x）＝6x2－6ax，f″（x）＝12x－6a，由f″（x）＝0 x＝，于是该三次函数的对称中心为（，f（）），由题意（1，f（1））也是对称中心，故＝1 a＝2，即存在a＝2使得（1，f（1））是f（x）的对称中心，D选项正确.
法四（三次函数对称中心的二级结论）　任意三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的图象均关于点（－，f（－））成中心对称，又f（x）＝2x3－3ax2＋1，对比系数可得－＝，由题意（1，f（1））也是对称中心，故＝1，得a＝2，即存在a＝2使得（1，f（1））是f（x）的对称中心，D正确，故选A、D.
（2）由f（x）＝－x3＋2x2－3x＋t，得f'（x）＝－x2＋4x－3，当x＞3或x＜1时，f'（x）＜0，当1＜x＜3时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（－∞，1），（3，＋∞）上单调递减，在（1，3）上单调递增，所以f（x）极大值＝f（3）＝t，f（x）极小值＝f（1）＝t－，又x→＋∞时，f（x）＜0，x→－∞时，f（x）＞0，因此，为使曲线y＝f（x）与x轴有一个交点，结合f（x）的单调性，得f（x）极大值＝t＜0或f（x）极小值＝t－＞0，所以t＜0或t＞，即当t＜0或t＞时，使得曲线y＝f（x）与x轴有且仅有一个交点.
跟踪训练
1.（0，1）　解析：法一 由三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的对称中心为（－，f（－）），得f（x）图象的对称中心为（0，1）.
法二 令g（x）＝x3－x.因为g（x）是奇函数，图象关于点（0，0）对称，所以函数f（x）＝x3－x＋1的图象关于点（0，1）对称.
2.－2　解析：因为三次函数的对称中心为（－，f（－）），－＝－1，f（－1）＝10.故函数f（x）的对称中心为（－1，10）.因为f（m）＋f（n）＝2×10，所以m＋n＝2×（－1）＝－2.
3.2　解析：法一 ∵f（x）＝ax3－6ax2＋bx＋1（a≠0），∴f（x）的对称中心为（－，f（－）），即f（x）关于（2，f（2））中心对称.∴f（4）＋f（0）＝2f（2），又∵f（0）＝1，∴f（4）＋1＝2f（2），由解得∴f（2）＝2.
法二（整体思想） ∵f（4）＝－32a＋4b＋1，f（2）＝－16a＋2b＋1，∴f（4）－f（2）＝－16a＋2b＝f（2）－1＝1，∴f（2）＝2.
4.解：（1）由题意知f（x）的定义域为R，f'（x）＝3x2－2x＋a，对于f'（x）＝0，Δ＝（－2）2－4×3a＝4（1－3a）.
①当a≥时，f'（x）≥0，f（x）在R上单调递增；
②当a＜时，令f'（x）＝0，即3x2－2x＋a＝0，解得x1＝，x2＝，
令f'（x）＞0，则x＜x1或x＞x2；令f'（x）＜0，则x1＜x＜x2.
所以f（x）在（－∞，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，＋∞）上单调递增.
综上，当a≥时，f（x）在R上单调递增；
当a＜时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
（2）因为f'（x）＝3x2－2x＋a，f（x）在[2，4]上单调递增，所以3x2－2x＋a≥0，即a≥－3x2＋2x在[2，4]上恒成立，
令g（x）＝－3x2＋2x，x∈[2，4]，则a≥g（x）max，
易知函数g（x）在[2，4]上单调递减，所以g（x）max＝g（2）＝－8，所以a≥－8，
所以实数a的取值范围是[－8，＋∞）.
1 / 1(共16张PPT)
微突破　三次函数的图象与性质
高中总复习·数学
1. 定义
定义1：形如f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的函数，称为“三次函
数”；
定义2：三次函数的导数f'（x）＝3ax2＋2bx＋c（a≠0），把Δ＝4b2－
12ac叫做三次函数导函数的判别式.
2. 三次函数的图象及性质
a＞0 a＜0
f（x）的 图象
f'（x）的 图象 Δ＞0 Δ≤0 Δ＞0 Δ≤0
a＞0 a＜0
f（x） 的单 调性、 极值 增区间为（－∞，x1），（x2，＋∞），减区间为
（x1，x2），f（x）有两个极值点，极大值为f（x1），极小值为f（x2） f'（x）≥0恒
成立，f（x）在R上单调 递增，f（x）无极值点 增区间为（x1，x2），减区间为（－∞，x1），
（x2，＋∞）， f（x）有两个
极值点，极大值为f（x2），极小值为f（x1） f'（x）≤0恒
成立，f（x）在R上单调递
减，f（x）无极值点
f（x）的对称中心 三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的对称中心为
点（－ ，f（－ ））
（1）〔多选〕（2024·新高考Ⅱ卷11题）设函数f（x）＝2x3－3ax2＋
1，则（　 　）
A. 当a＞1时，f（x）有三个零点
B. 当a＜0时，x＝0是f（x）的极大值点
C. 存在a，b，使得x＝b为曲线y＝f（x）的对称轴
D. 存在a，使得点（1，f（1））为曲线y＝f（x）的对称中心
AD
解析： 因为f（x）＝2x3－3ax2＋1，所以f'（x）＝
6x2－6ax＝6x（x－a）.对于选项A，令f'（x）＞0，则
x＞a或x＜0；令f'（x）＜0，则0＜x＜a.所以f（x）在
（－∞，0）和（a，＋∞）上单调递增，在（0，a）上
单调递减.又因为f（0）＝1，f（a）＝2a3－3a3＋1＝1－a3＜0，当x→－∞时，f（x）→－∞，当x→＋∞时，f（x）→＋∞，所以f（x）的大致图象如图，所以f（x）有三个零点，故选项A正确；对于选项B，令f'（x）＞0，则x＜a或x＞0；令f'（x）＜0，则a＜x＜0.所以x＝0是f（x）的极小值点，故选项B错误；
对于选项C，法一 三次函数为中心对称函数，其图象无对称轴，故选项C错误；
法二 当x→＋∞时，f（x）→＋∞，当x→－∞时，f（x）→－∞，故曲线y＝f（x）必不存在对称轴，C错误；
对于选项D，法一（排除法） 由于是多项选择题A正确，B、C错误，则D一定正确.
法二（利用对称中心的二级结论） f（1）＝3－3a，若存在a，使得（1，3－3a）为f（x）的对称中心，则f（x）＋f（2－x）＝6－6a，事实上，f（x）＋f（2－x）＝2x3－3ax2＋1＋2（2－x）3－3a（2－x）2＋1＝（12－6a）x2＋（12a－24）x＋18－12a，于是6－6a＝（12－6a）x2＋（12a－24）x＋18－12a，即 解得a＝2，即存在a＝2使得（1，f（1））是f（x）的对称中心，D选项正确.
法三（利用拐点）　任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，f（x）＝2x3－3ax2＋1，f'（x）＝6x2－6ax，f″（x）＝12x－6a，由f″（x）＝0 x＝ ，于是该三次函数的对称中心为（ ，f
（ ）），由题意（1，f（1））也是对称中心，故 ＝1 a＝2，即存在a＝2使得（1，f（1））是f（x）的对称中心，D选项正确.
法四（三次函数对称中心的二级结论）　任意三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的图象均关于点（－ ，f（－ ））成中心对称，又f（x）＝2x3－3ax2＋1，对比系数可得－ ＝ ，由题意（1，f（1））也是对称中心，故 ＝1，得a＝2，即存在a＝2使得（1，f（1））是f（x）的对称中心，D正确，故选A、D.
（2）若函数f（x）＝－ x3＋2x2－3x＋t有且仅有一个零点，则实数t的
取值范围为 .
解析：由f（x）＝－ x3＋2x2－3x＋t，得f'（x）＝－x2＋4x－3，当x＞
3或x＜1时，f'（x）＜0，当1＜x＜3时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在
（－∞，1），（3，＋∞）上单调递减，在（1，3）上单调递增，所以f
（x）极大值＝f（3）＝t，f（x）极小值＝f（1）＝t－ ，又x→＋∞时，f
（x）＜0，x→－∞时，f（x）＞0，因此，为使曲线y＝f（x）与x轴有
一个交点，结合f（x）的单调性，得f（x）极大值＝t＜0或f（x）极小值＝t
－ ＞0，所以t＜0或t＞ ，即当t＜0或t＞ 时，使得曲线y＝f（x）与x
轴有且仅有一个交点.
（－∞，0）∪（ ，＋∞）　
1. （2022·新高考Ⅰ卷10题改编）函数f（x）＝x3－x＋1的图象的对称中心
是 .
解析：法一 由三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的对称中心
为（－ ，f（－ ）），得f（x）图象的对称中心为（0，1）.
法二 令g（x）＝x3－x.因为g（x）是奇函数，图象关于点（0，0）对
称，所以函数f（x）＝x3－x＋1的图象关于点（0，1）对称.
（0，1）　
2. 已知f（x）＝x3＋3x2＋6x＋14，且f（m）＝1，f（n）＝19，则m
＋n＝ .
解析：因为三次函数的对称中心为（－ ，f（－ ）），－ ＝－1，f
（－1）＝10.故函数f（x）的对称中心为（－1，10）.因为f（m）＋f
（n）＝2×10，所以m＋n＝2×（－1）＝－2.
－2　
3. 已知函数f（x）＝ax3－6ax2＋bx＋1（a≠0），且f（4）－f（2）＝
1，则f（2）＝ .
解析：法一 ∵f（x）＝ax3－6ax2＋bx＋1（a≠0），∴f（x）的对称中
心为（－ ，f（－ ）），即f（x）关于（2，f（2））中心对
称.∴f（4）＋f（0）＝2f（2），又∵f（0）＝1，∴f（4）＋1＝2f
（2），由 解得 ∴f（2）＝2.
法二（整体思想） ∵f（4）＝－32a＋4b＋1，f（2）＝－16a＋2b＋1，
∴f（4）－f（2）＝－16a＋2b＝f（2）－1＝1，∴f（2）＝2.
2　
4. 已知函数f（x）＝x3－x2＋ax＋1.
（1）讨论f（x）的单调性；
解： 由题意知f（x）的定义域为R，f'（x）＝3x2－2x＋a，对于f'
（x）＝0，Δ＝（－2）2－4×3a＝4（1－3a）.
①当a≥ 时，f'（x）≥0，f（x）在R上单调递增；
②当a＜ 时，令f'（x）＝0，即3x2－2x＋a＝0，解得x1＝ ，x2
＝ ，
令f'（x）＞0，则x＜x1或x＞x2；令f'（x）＜0，则x1＜x＜x2.
所以f（x）在（－∞，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在
（x2，＋∞）上单调递增.
综上，当a≥ 时，f（x）在R上单调递增；
当a＜ 时，f（x）在 上单调递增，在
上单调递减，在 上单调递增.
（2）若函数f（x）在[2，4]上单调递增，求实数a的取值范围.
解： 因为f'（x）＝3x2－2x＋a，f（x）在[2，4]上单调递增，所以
3x2－2x＋a≥0，即a≥－3x2＋2x在[2，4]上恒成立，
令g（x）＝－3x2＋2x，x∈[2，4]，则a≥g（x）max，
易知函数g（x）在[2，4]上单调递减，所以g（x）max＝g（2）＝－8，
所以a≥－8，
所以实数a的取值范围是[－8，＋∞）.
THANKS
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