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物理
第讲　专题：电磁感应中的电路及图像问题
考点一　电磁感应中的电路问题和电荷量的计算
1．分析电磁感应中电路问题的基本步骤
注：如果在一个电路中产生电动势的部分有几个且相互联系，可视为等效电源的串、并联。
2．电磁感应中电路知识的关系图
注：通过回路的电荷量q仅与n、ΔΦ和回路总电阻R有关，与变化过程所用的时间长短无关，推导过程：q＝Δt＝Δt＝。
例1　(2025·河北省承德市高三上11月月考)如图甲所示，N＝50匝的线圈(图中只画了2匝)，电阻r＝2 Ω，其两端与一个R＝48 Ω的电阻相连。线圈内有垂直纸面向里的磁场，磁通量按图乙所示规律变化。下列选项正确的是(　　)
A．线圈中的感应电流沿顺时针方向
B．A、B之间的电势差为25 V
C．0．1 s时间内非静电力搬运的电荷量为0．05 C
D．电阻R上产生的热功率为12．5 W
例2　(多选)如图所示，水平桌面上水平固定一半径为L的金属细圆环，圆环的电阻为2r，竖直向下的匀强磁场磁感应强度大小为B。一长度为2L、电阻为r的导体棒，由棒中点与圆环重合位置A点沿与棒垂直的直径以恒定加速度a从静止开始向右运动，运动过程中棒与圆环始终接触良好。当棒经过环心时(　　)
A．棒两端的电势差为2BL
B．棒两端的电势差为BL
C．棒所受安培力的大小为
D．棒所受安培力的大小为
例3　如图，导体轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的中点，O为圆心。轨道的电阻忽略不计。OM是有一定电阻、可绕O转动的金属杆，M端位于PQS上，OM与轨道接触良好。空间存在与半圆所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。现使OM从OQ位置以恒定的角速度逆时针转到OS位置并固定(过程Ⅰ)；再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B′(过程Ⅱ)。在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM的电荷量相等，则等于(　　)
A． B．
C． D．2
考点二　电磁感应中的图像问题
1．解题关键
弄清初始条件、物理量的正负对应的变化范围、所研究物理量的函数表达式、进出磁场的转折点等是解决此类问题的关键。
2．解题步骤
(1)明确图像的种类，即是B t图还是Φ t图，或者E t图、I t图等；对切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及E x图像和i x图像。
(2)分析电磁感应的具体过程。
(3)用右手定则或楞次定律确定方向的对应关系。
(4)结合法拉第电磁感应定律、闭合电路的欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出相应的函数关系式。
(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等。
(6)画图像或判断图像。
3．常用方法
(1)排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的正负，增大还是减小，以及变化快慢，来排除错误选项。
(2)函数法：写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像进行分析和判断。
例4　两条平行虚线间存在一匀强磁场，磁感应强度方向与纸面垂直。边长为0．1 m、总电阻为0．005 Ω的正方形导线框abcd位于纸面内，cd边与磁场边界平行，如图甲所示。已知导线框一直向右做匀速直线运动，cd边于t＝0时刻进入磁场。导线框中感应电动势随时间变化的图线如图乙所示(感应电流的方向为顺时针时，感应电动势取正)。下列说法正确的是(　　)
A．磁感应强度的大小为0．5 T
B．导线框运动速度的大小为1 m/s
C．磁感应强度的方向垂直于纸面向里
D．在t＝0．4 s至t＝0．6 s这段时间内，导线框所受的安培力大小为0．04 N
例5　(2025·安徽省铜陵市高三上期末)如图所示，一边长为L的均质正方形金属线框abcd，以恒定的速率v水平向右依次通过宽度为L的垂直纸面向里的匀强磁场和宽度为2L的垂直纸面向外的匀强磁场，两区域的磁感应强度均为B，则金属线框从磁场左边界处到穿出磁场过程，若以顺时针电流为正方向，则线框中的电流随位移变化的图像是(　　)
例6　(多选)如图甲所示，三角形线圈abc水平放置，在线圈所在区域存在一变化的磁场，其变化规律如图乙所示。线圈在外力作用下处于静止状态，规定垂直于线圈平面向下的磁场方向为正方向，在线圈平面中垂直ab边斜向下的受力方向为正方向，线圈中感应电流沿abca方向为正方向，则线圈内电流及ab边所受安培力随时间变化规律的图像是(　　)
课时作业
[A组　基础巩固练]
1．(2025·江苏省连云港市高三上11月月考)某同学用粗细均匀的金属丝弯成如图所示的图形，两个正方形的边长均为L，A、B两点之间的距离远小于L，在右侧正方形区域存在均匀增强的磁场，磁感应强度随时间的变化率＝k，则A、B两点之间的电势差UAB为(　　)
A．kL2 B．
C．－kL2 D．－
2．(多选)如图所示，有界匀强磁场磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，有一半径为R的线圈，其单位长度上的电阻为r，线圈直径MN垂直磁场边界于M点，现以M点为轴在纸面内将线圈沿顺时针方向匀速旋转90°，角速度为ω，则(　　)
A．感应电流方向为顺时针方向
B．感应电动势的最大值为BR2ω
C．感应电流的最大值为
D．整个过程中，通过线圈任意横截面的电荷量为
3．如图所示，MNQP是边长为L和2L的矩形，在其由对角线划分的两个三角形区域内充满磁感应强度大小相等、方向相反的匀强磁场。边长为L的正方形导线框，在外力作用下水平向左匀速运动，线框左边始终与MN平行。设导线框中感应电流i逆时针流向为正。若t＝0时左边框与PQ重合，则左边框由PQ运动到MN的过程中，下列i t图像正确的是(　　)
4．(多选)一跑步机的原理图如图所示，该跑步机水平底面固定有间距L＝0．8 m的平行金属电极，电极间充满磁感应强度大小B＝0．5 T、方向竖直向下的匀强磁场，且接有理想电压表和阻值为8 Ω的定值电阻R，匀速运动的绝缘橡胶带上镀有电阻均为2 Ω的平行细金属条，金属条间距等于电极长度d且与电极接触良好。某人匀速跑步时，电压表的示数为0．8 V。下列说法正确的是(　　)
A．通过电阻R的电流为0．2 A
B．细金属条的速度大小为2．5 m/s
C．每2 s内通过电阻R的电荷量为0．2 C
D．人克服细金属条所受安培力做功的功率为0．2 W
5．(2025·八省联考内蒙古卷)如图a，两组平行金属导轨在同一水平面固定，间距分别为d和1．5d，分别连接电阻R1、R2，边长为d的正方形区域存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系如图b所示。t＝0时，在距磁场左边界d处，一长为1．5d的均匀导体棒在外力作用下，以恒定速度v0向右运动，直至通过磁场，棒运动至磁场左边界时与两组导轨同时接触。导体棒阻值为3R，R1、R2的阻值分别为2R、R，其他电阻不计，棒与导轨垂直且接触良好。求：
(1)0～时间内，R1中的电流方向及其消耗的电功率P；
(2)～时间内，棒受到的安培力F的大小和方向。
[B组　综合提升练]
6．(多选)如图为带灯的自行车后轮的示意图。金属轮框与轮轴之间均匀地连接四根金属条，每根金属条中间都串接一个阻值为3 Ω的小灯泡，车轮半径为0．3 m，轮轴半径可以忽略。车架上固定一个强磁体，可形成圆心角为60°的扇形匀强磁场区域，磁感应强度大小为2．0 T，方向垂直纸面(车轮平面)向里。若自行车后轮逆时针转动的角速度恒为10 rad/s，不计其他电阻，则(　　)
A．通过每个小灯泡的电流始终相等
B．当金属条ab在磁场中运动时，金属条ab中的电流从b指向a
C．当金属条ab在磁场中运动时，电路的总电阻为4 Ω
D．当金属条ab在磁场中运动时，所受安培力大小为0．135 N
7．(2022·河北高考)(多选)如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，一根导轨位于x轴上，另一根由ab、bc、cd三段直导轨组成，其中bc段与x轴平行，导轨左端接入一电阻R。导轨上一金属棒MN沿x轴正向以速度v0保持匀速运动，t＝0时刻通过坐标原点O，金属棒始终与x轴垂直。设运动过程中通过电阻的电流强度为i，金属棒受到安培力的大小为F，金属棒克服安培力做功的功率为P，电阻两端的电压为U，导轨与金属棒接触良好，忽略导轨与金属棒的电阻。下列图像可能正确的是(　　)
[C组　拔尖培优练]
8．(2024·浙江6月选考)某小组探究“法拉第圆盘发电机与电动机的功用”，设计了如图所示装置。飞轮由三根长a＝0．8 m的辐条和金属圆环组成，可绕过其中心的水平固定轴转动，不可伸长细绳绕在圆环上，系着质量m＝1 kg的物块，细绳与圆环无相对滑动。飞轮处在方向垂直环面的匀强磁场中，左侧电路通过电刷与转轴和圆环边缘良好接触，开关S可分别与图示中的电路连接。已知电源电动势E0＝12 V、内阻r＝0．1 Ω，限流电阻R1＝0．3 Ω，飞轮每根辐条的电阻R＝0．9 Ω，电路中还有可调电阻R2(待求)和电感L，不计其他电阻和阻力损耗，不计飞轮转轴大小，重力加速度g＝10 m/s2。
(1)开关S掷1，“电动机”提升物块匀速上升时，理想电压表示数U＝8 V，
①判断磁场方向，并求流过电阻R1的电流I；
②求物块匀速上升的速度v。
(2)开关S掷2，物块从静止开始下落，经过一段时间后，物块匀速下降的速度与“电动机”匀速提升物块的速度大小相等，
①求可调电阻R2的阻值；
②求磁感应强度B的大小。
（答案及解析）
例1　(2025·河北省承德市高三上11月月考)如图甲所示，N＝50匝的线圈(图中只画了2匝)，电阻r＝2 Ω，其两端与一个R＝48 Ω的电阻相连。线圈内有垂直纸面向里的磁场，磁通量按图乙所示规律变化。下列选项正确的是(　　)
A．线圈中的感应电流沿顺时针方向
B．A、B之间的电势差为25 V
C．0．1 s时间内非静电力搬运的电荷量为0．05 C
D．电阻R上产生的热功率为12．5 W
[答案]　C
[解析]　由题图结合楞次定律和安培定则可知，线圈中产生的感应电流沿逆时针方向，A错误；根据法拉第电磁感应定律得线圈中的感应电动势E＝N＝50× V＝25 V，闭合回路的感应电流为I＝＝0．5 A，结合A项分析知，A、B之间的电势差为U＝IR＝24 V，B错误；0．1 s时间内非静电力搬运的电荷量为q＝It＝0．5×0．1 C＝0．05 C，C正确；电阻R上产生的热功率为P＝I2R＝12 W，D错误。
例2　(多选)如图所示，水平桌面上水平固定一半径为L的金属细圆环，圆环的电阻为2r，竖直向下的匀强磁场磁感应强度大小为B。一长度为2L、电阻为r的导体棒，由棒中点与圆环重合位置A点沿与棒垂直的直径以恒定加速度a从静止开始向右运动，运动过程中棒与圆环始终接触良好。当棒经过环心时(　　)
A．棒两端的电势差为2BL
B．棒两端的电势差为BL
C．棒所受安培力的大小为
D．棒所受安培力的大小为
[答案]　BC
[解析]　设棒经过环心时速度为v，有v2＝2aL，则v＝，此时导体棒相当于电源，外电阻为r外＝＝r，通过导体棒的电流为I＝＝＝，棒两端的电势差为U＝Ir外＝×r＝BL，故A错误，B正确；棒经过环心时受到的安培力为FA＝BI·2L＝2BL×＝，故C正确，D错误。
例3　如图，导体轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的中点，O为圆心。轨道的电阻忽略不计。OM是有一定电阻、可绕O转动的金属杆，M端位于PQS上，OM与轨道接触良好。空间存在与半圆所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。现使OM从OQ位置以恒定的角速度逆时针转到OS位置并固定(过程Ⅰ)；再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B′(过程Ⅱ)。在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM的电荷量相等，则等于(　　)
A． B．
C． D．2
[答案]　B
[解析]　通过导体横截面的电荷量为：q＝·Δt＝·Δt＝n，过程Ⅰ流过OM的电荷量为：q1＝；过程Ⅱ流过OM的电荷量为：q2＝，依题意有：q1＝q2，即：B·πr2＝(B′－B)·πr2，解得：＝，正确答案为B。
例4　两条平行虚线间存在一匀强磁场，磁感应强度方向与纸面垂直。边长为0．1 m、总电阻为0．005 Ω的正方形导线框abcd位于纸面内，cd边与磁场边界平行，如图甲所示。已知导线框一直向右做匀速直线运动，cd边于t＝0时刻进入磁场。导线框中感应电动势随时间变化的图线如图乙所示(感应电流的方向为顺时针时，感应电动势取正)。下列说法正确的是(　　)
A．磁感应强度的大小为0．5 T
B．导线框运动速度的大小为1 m/s
C．磁感应强度的方向垂直于纸面向里
D．在t＝0．4 s至t＝0．6 s这段时间内，导线框所受的安培力大小为0．04 N
[答案]　D
[解析]　由题图乙可知，导线框在t＝0．2 s时刻刚好完全进入磁场，运动距离为导线框的边长L，导线框运动的速度大小为v＝＝ m/s＝0．5 m/s，根据法拉第电磁感应定律和题图乙可知感应电动势为E＝BLv＝0．01 V，代入数据解得磁感应强度的大小为B＝0．2 T，故A、B错误；在t＝0至t＝0．2 s这段时间内，导线框中的感应电动势为正，根据楞次定律和安培定则可知，磁感应强度的方向垂直于纸面向外，故C错误；在t＝0．4 s至t＝0．6 s这段时间内，导线框中的感应电流为I＝＝ A＝2 A，导线框所受的安培力大小为F＝BIL＝0．2×2×0．1 N＝0．04 N，故D正确。
例5　(2025·安徽省铜陵市高三上期末)如图所示，一边长为L的均质正方形金属线框abcd，以恒定的速率v水平向右依次通过宽度为L的垂直纸面向里的匀强磁场和宽度为2L的垂直纸面向外的匀强磁场，两区域的磁感应强度均为B，则金属线框从磁场左边界处到穿出磁场过程，若以顺时针电流为正方向，则线框中的电流随位移变化的图像是(　　)
[答案]　B
[解析]　线框位移在0～L内时，线框进入左侧磁场，ab边切割磁感线，相当于电源，感应电动势大小为E1＝BLv，根据右手定则可知线框中电流方向为逆时针，大小为I1＝＝I0；线框位移在L～2L内时，线框进入右侧磁场，ab、cd两边均切割磁感线，感应电动势大小均为E1＝BLv，根据右手定则可知两边产生的感应电流方向均为顺时针方向，大小为I2＝＝2I0；线框位移在2L～3L内时，线框完全在右侧磁场中，穿过线框的磁通量不改变，则线框产生的感应电动势为0，线框中无感应电流；线框位移在3L～4L内时，线框出右侧磁场，cd边切割磁感线，产生的感应电动势大小为E1，由右手定则可知线框中电流方向为逆时针，大小为I4＝＝I0。故选B。
例6　(多选)如图甲所示，三角形线圈abc水平放置，在线圈所在区域存在一变化的磁场，其变化规律如图乙所示。线圈在外力作用下处于静止状态，规定垂直于线圈平面向下的磁场方向为正方向，在线圈平面中垂直ab边斜向下的受力方向为正方向，线圈中感应电流沿abca方向为正方向，则线圈内电流及ab边所受安培力随时间变化规律的图像是(　　)
[答案]　AD
[解析]　根据法拉第电磁感应定律可得线圈产生的感应电动势E＝＝S，根据楞次定律和安培定则可判断线圈中感应电流的方向，又线圈中感应电流沿abca方向为正方向，结合题图乙可得，1～2 s内通过线圈的电流为零，0～1 s、2～3 s、3～5 s内通过线圈的电流大小恒定，且0～1 s、2～3 s内通过线圈的电流方向为正，3～5 s内通过线圈的电流方向为负，且大小之比为1∶1∶2，A正确，B错误；根据安培力F＝BIL，结合前面分析可知，1～2 s内ab边所受安培力为零，0～1 s、2～3 s、3～4 s通过线圈的电流大小恒定，磁感应强度均匀变化，可得安培力也是均匀变化，计算出t＝0、1 s、2 s、3 s、4 s时刻ab边所受安培力的大小，且根据左手定则可判断出ab边所受安培力的方向，可知C错误，D正确。
课时作业
[A组　基础巩固练]
1．(2025·江苏省连云港市高三上11月月考)某同学用粗细均匀的金属丝弯成如图所示的图形，两个正方形的边长均为L，A、B两点之间的距离远小于L，在右侧正方形区域存在均匀增强的磁场，磁感应强度随时间的变化率＝k，则A、B两点之间的电势差UAB为(　　)
A．kL2 B．
C．－kL2 D．－
答案：B
解析：根据楞次定律和安培定则可知，金属丝中产生的感应电流沿逆时针方向，且右侧部分相当于电源，A点为电源正极，则A点电势高于B点。根据法拉第电磁感应定律可知，右侧金属丝中感应电动势E＝＝＝kL2，由于金属丝粗细均匀，A、B两点间的电势差为电动势的一半，即UAB＝＝，故选B。
2．(多选)如图所示，有界匀强磁场磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，有一半径为R的线圈，其单位长度上的电阻为r，线圈直径MN垂直磁场边界于M点，现以M点为轴在纸面内将线圈沿顺时针方向匀速旋转90°，角速度为ω，则(　　)
A．感应电流方向为顺时针方向
B．感应电动势的最大值为BR2ω
C．感应电流的最大值为
D．整个过程中，通过线圈任意横截面的电荷量为
答案：AD
解析：在线圈转动的过程中，穿过线圈的磁通量垂直于纸面向里减小，根据楞次定律可知，线圈中的感应电流方向为顺时针方向，故A正确；当线圈恰好旋转90°时，线圈切割磁感线的有效长度最长，长度为其直径，此时线圈中感应电动势的瞬时值最大，为Em＝B(2R)2ω＝2BR2ω，根据闭合电路欧姆定律可知，感应电流的最大值为Im＝，其中r总＝2πRr，解得Im＝，故B、C错误；由法拉第电磁感应定律知，整个过程中，通过线圈任意横截面的电荷量为q＝Δt，而＝，＝，ΔΦ＝B·ΔS，ΔS＝πR2，联立解得q＝，故D正确。
3．如图所示，MNQP是边长为L和2L的矩形，在其由对角线划分的两个三角形区域内充满磁感应强度大小相等、方向相反的匀强磁场。边长为L的正方形导线框，在外力作用下水平向左匀速运动，线框左边始终与MN平行。设导线框中感应电流i逆时针流向为正。若t＝0时左边框与PQ重合，则左边框由PQ运动到MN的过程中，下列i t图像正确的是(　　)
答案：D
解析：设导线框的电阻为R，运动速度大小为v，则t＝0时，e1＝BLv，i1＝，线框的左边框由PQ向左进入磁场运动到G点，用时t1＝，则在0～t1时间内，根据右手定则知感应电流方向为顺时针(负)，而切割磁感线的有效长度l随时间由L均匀减小到0，根据e＝Blv和i＝可知，感应电流的大小随时间由i1均匀减小到0；t1～2t1内，线框的左边框由G点运动到MN，线框的左右两边同向同速切割方向相反的磁场，根据右手定则和电路知识可知，总感应电动势为线框左右两边产生的感应电动势之和，且电流方向为逆时针(正)，线框两边切割磁感线的有效长度之和恒等于L，则感应电流大小恒为，故D正确。
4．(多选)一跑步机的原理图如图所示，该跑步机水平底面固定有间距L＝0．8 m的平行金属电极，电极间充满磁感应强度大小B＝0．5 T、方向竖直向下的匀强磁场，且接有理想电压表和阻值为8 Ω的定值电阻R，匀速运动的绝缘橡胶带上镀有电阻均为2 Ω的平行细金属条，金属条间距等于电极长度d且与电极接触良好。某人匀速跑步时，电压表的示数为0．8 V。下列说法正确的是(　　)
A．通过电阻R的电流为0．2 A
B．细金属条的速度大小为2．5 m/s
C．每2 s内通过电阻R的电荷量为0．2 C
D．人克服细金属条所受安培力做功的功率为0．2 W
答案：BC
解析：由题知，通过电阻R的电流为I＝＝ A＝0．1 A，故A错误；单根细金属条电阻为R1＝2 Ω，匀速跑步时，始终只有一根细金属条在切割磁感线，其产生的电动势为E＝BLv，由闭合电路欧姆定律得E＝I(R＋R1)，解得E＝1 V，v＝2．5 m/s，B正确；每2 s内通过电阻R的电荷量为q＝It＝0．1×2 C＝0．2 C，故C正确；人克服细金属条所受安培力做功的功率为P＝FAv＝BILv＝0．1 W，故D错误。
5．(2025·八省联考内蒙古卷)如图a，两组平行金属导轨在同一水平面固定，间距分别为d和1．5d，分别连接电阻R1、R2，边长为d的正方形区域存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系如图b所示。t＝0时，在距磁场左边界d处，一长为1．5d的均匀导体棒在外力作用下，以恒定速度v0向右运动，直至通过磁场，棒运动至磁场左边界时与两组导轨同时接触。导体棒阻值为3R，R1、R2的阻值分别为2R、R，其他电阻不计，棒与导轨垂直且接触良好。求：
(1)0～时间内，R1中的电流方向及其消耗的电功率P；
(2)～时间内，棒受到的安培力F的大小和方向。
答案：(1)N到M　
(2)　水平向左
解析：(1)由题图b可知，在0～时间内，磁感应强度均匀增加，根据楞次定律和安培定则可知，R1中的电流方向为N到M
根据法拉第电磁感应定律可知，这段时间内导体棒、导轨、R1组成的闭合回路中产生的感应电动势E＝
由题图b可知＝
0～时间内，导体棒在MN之间的电阻为
RMN＝·3R＝2R
由闭合电路欧姆定律可知，流过R1的电流为I1＝
R1的功率为P＝I·R1
解得P＝。
(2)在～时间内，根据右手定则可知，流过导体棒的电流方向为从下到上，根据左手定则可知，导体棒受到的安培力方向水平向左
分析电路可知，导体棒在MN之间的部分相当于电源，MN之外的部分的电阻
RMN′＝3R－RMN
RMN′和R2串联后再和R1并联，并联电路的总电阻为R并＝
回路中的总电阻为R总＝RMN＋R并
根据法拉第电磁感应定律，可知导体棒切割磁感线产生的感应电动势E′＝B0dv0
由闭合电路的欧姆定律可知，流过导体棒MN之间的部分的电流I2＝
导体棒受到的安培力F安＝B0I2d
联立解得F安＝。
[B组　综合提升练]
6．(多选)如图为带灯的自行车后轮的示意图。金属轮框与轮轴之间均匀地连接四根金属条，每根金属条中间都串接一个阻值为3 Ω的小灯泡，车轮半径为0．3 m，轮轴半径可以忽略。车架上固定一个强磁体，可形成圆心角为60°的扇形匀强磁场区域，磁感应强度大小为2．0 T，方向垂直纸面(车轮平面)向里。若自行车后轮逆时针转动的角速度恒为10 rad/s，不计其他电阻，则(　　)
A．通过每个小灯泡的电流始终相等
B．当金属条ab在磁场中运动时，金属条ab中的电流从b指向a
C．当金属条ab在磁场中运动时，电路的总电阻为4 Ω
D．当金属条ab在磁场中运动时，所受安培力大小为0．135 N
答案：BCD
解析：当其中一根金属条在磁场中切割磁感线时，该金属条相当于电源，其他三根金属条相当于外电路且并联，根据电路特点可知，通过磁场中的那根金属条上灯泡的电流是通过其他三根金属条上灯泡电流的三倍，故A错误；当金属条ab在磁场中运动时，根据右手定则可知通过金属条ab中的电流从b指向a，故B正确；金属条ab在匀强磁场中运动时充当电源，其余为外电路，且并联，电路的总电阻为R总＝R＋R＝3 Ω＋×3 Ω＝4 Ω，产生的感应电动势为E＝Br2ω＝×2．0×0．32×10 V＝0．9 V，通过ab的电流为I＝＝ A＝0．225 A，所以金属条ab所受安培力大小为FA＝BIr＝2．0×0．225×0．3 N＝0．135 N，故C、D正确。
7．(2022·河北高考)(多选)如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，一根导轨位于x轴上，另一根由ab、bc、cd三段直导轨组成，其中bc段与x轴平行，导轨左端接入一电阻R。导轨上一金属棒MN沿x轴正向以速度v0保持匀速运动，t＝0时刻通过坐标原点O，金属棒始终与x轴垂直。设运动过程中通过电阻的电流强度为i，金属棒受到安培力的大小为F，金属棒克服安培力做功的功率为P，电阻两端的电压为U，导轨与金属棒接触良好，忽略导轨与金属棒的电阻。下列图像可能正确的是(　　)
答案：AC
解析：设ab与x轴夹角为θ，x＝0时金属棒MN切割磁感线的有效长度为L0，则在0≤x＜L时，即0≤t＜时，金属棒MN切割磁感线的有效长度为L1＝L0＋v0ttanθ，产生的感应电动势为E＝BL1v0，则电阻两端电压为U＝E＝BL0v0＋Bvtanθ·t，电流强度为i＝＝＋t，金属棒受到安培力的大小为F＝BiL1＝，金属棒克服安培力做功的功率为P＝Fv0＝，由以上表达式可知，B、D图像在0≤t＜时不正确；在L≤x＜2L时，即≤t＜时，金属棒切割磁感线的有效长度恒定，设为Lm，则U＝BLmv0，i＝，F＝BiLm＝，P＝Fv0＝，均保持不变；由图可知ab与cd对称，由对称性可知，在2L≤x≤3L时，即≤t≤时，各图像可分别看作在0≤t＜时的逆过程。综上所述，A、C可能正确。
[C组　拔尖培优练]
8．(2024·浙江6月选考)某小组探究“法拉第圆盘发电机与电动机的功用”，设计了如图所示装置。飞轮由三根长a＝0．8 m的辐条和金属圆环组成，可绕过其中心的水平固定轴转动，不可伸长细绳绕在圆环上，系着质量m＝1 kg的物块，细绳与圆环无相对滑动。飞轮处在方向垂直环面的匀强磁场中，左侧电路通过电刷与转轴和圆环边缘良好接触，开关S可分别与图示中的电路连接。已知电源电动势E0＝12 V、内阻r＝0．1 Ω，限流电阻R1＝0．3 Ω，飞轮每根辐条的电阻R＝0．9 Ω，电路中还有可调电阻R2(待求)和电感L，不计其他电阻和阻力损耗，不计飞轮转轴大小，重力加速度g＝10 m/s2。
(1)开关S掷1，“电动机”提升物块匀速上升时，理想电压表示数U＝8 V，
①判断磁场方向，并求流过电阻R1的电流I；
②求物块匀速上升的速度v。
(2)开关S掷2，物块从静止开始下落，经过一段时间后，物块匀速下降的速度与“电动机”匀速提升物块的速度大小相等，
①求可调电阻R2的阻值；
②求磁感应强度B的大小。
答案：(1)①垂直纸面向外　10 A　②5 m/s　
(2)①0．2 Ω　②2．5 T
解析：(1)①物块上升，飞轮沿逆时针方向转动，辐条受到的安培力指向逆时针方向，又由题图知，辐条中电流方向从圆环指向圆心，由左手定则可知，磁场方向垂直纸面向外；
在闭合电路中，限流电阻R1两端电压与电源内阻两端电压之和U′＝E0－U
根据欧姆定律知，I＝
联立并代入数据，解得I＝10 A。
②飞轮提升物块，相当于电动机，则飞轮的输入功率P入＝UI
飞轮的输出功率即克服物块重力做功的功率，为P出＝mgv
根据电阻的串并联规律，可知飞轮的电阻r0＝
则飞轮消耗的热功率P热＝I2r0
根据能量守恒定律有P入＝P出＋P热
联立并代入数据，解得v＝5 m/s。
(2)①物块以相同的速率匀速下降与匀速上升时，飞轮转动的角速度相等，而细绳的拉力均等于物块的重力，则磁场对飞轮辐条的安培力相同，结合(1)问可知，经过R2的电流I2＝I
物块匀速下降时，由能量守恒定律可知
mgv＝I(R2＋r0)
联立并代入数据，解得R2＝0．2 Ω。
②物块匀速下降时，飞轮以线速度v匀速转动，根据法拉第电磁感应定律，每根辐条产生的感应电动势E2＝Bav
根据闭合电路欧姆定律有E2＝I2(R2＋r0)
联立并代入数据，解得B＝2．5 T。
13(共50张PPT)
第十一章　电磁感应
第3讲　专题：电磁感应中的
电路及图像问题
目录
1
2
考点一　电磁感应中的电路问题和电荷量的计算
考点二　电磁感应中的图像问题
课时作业
3
考点一　电磁感应中的电路问题和电荷量的计算
1．分析电磁感应中电路问题的基本步骤
注：如果在一个电路中产生电动势的部分有几个且相互联系，可视为等效电源的串、并联。
例1　(2025·河北省承德市高三上11月月考)如图甲所示，N＝50匝的线圈(图中只画了2匝)，电阻r＝2 Ω，其两端与一个R＝48 Ω的电阻相连。线圈内有垂直纸面向里的磁场，磁通量按图乙所示规律变化。下列选项正确的是(　　)
A．线圈中的感应电流沿顺时针方向
B．A、B之间的电势差为25 V
C．0．1 s时间内非静电力搬运的电荷量为0．05 C
D．电阻R上产生的热功率为12．5 W
考点二　电磁感应中的图像问题
1．解题关键
弄清初始条件、物理量的正负对应的变化范围、所研究物理量的函数表达式、进出磁场的转折点等是解决此类问题的关键。
2．解题步骤
(1)明确图像的种类，即是B t图还是Φ t图，或者E t图、I t图等；对切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及E x图像和i x图像。
(2)分析电磁感应的具体过程。
(3)用右手定则或楞次定律确定方向的对应关系。
(4)结合法拉第电磁感应定律、闭合电路的欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出相应的函数关系式。
(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等。
(6)画图像或判断图像。
3．常用方法
(1)排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的正负，增大还是减小，以及变化快慢，来排除错误选项。
(2)函数法：写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像进行分析和判断。
例4　两条平行虚线间存在一匀强磁场，磁感应强度方向与纸面垂直。边长为0．1 m、总电阻为0．005 Ω的正方形导线框abcd位于纸面内，cd边与磁场边界平行，如图甲所示。已知导线框一直向右做匀速直线运动，cd边于t＝0时刻进入磁场。导线框中感应电动势随时间变化的图线如图乙所示(感应电流的方向为顺时针时，感应电动势取正)。下列说法正确的是(　　)
A．磁感应强度的大小为0．5 T
B．导线框运动速度的大小为1 m/s
C．磁感应强度的方向垂直于纸面向里
D．在t＝0．4 s至t＝0．6 s这段时间内，导线框所受的安培力大小为0．04 N
例5　(2025·安徽省铜陵市高三上期末)如图所示，一边长为L的均质正方形金属线框abcd，以恒定的速率v水平向右依次通过宽度为L的垂直纸面向里的匀强磁场和宽度为2L的垂直纸面向外的匀强磁场，两区域的磁感应强度均为B，则金属线框从磁场左边界处到穿出磁场过程，若以顺时针电流为正方向，则线框中的电流随位移变化的图像是(　　)
例6　(多选)如图甲所示，三角形线圈abc水平放置，在线圈所在区域存在一变化的磁场，其变化规律如图乙所示。线圈在外力作用下处于静止状态，规定垂直于线圈平面向下的磁场方向为正方向，在线圈平面中垂直ab边斜向下的受力方向为正方向，线圈中感应电流沿abca方向为正方向，则线圈内电流及ab边所受安培力随时间变化规律的图像是(　　)
课时作业
［A组　基础巩固练］
3．如图所示，MNQP是边长为L和2L的矩形，在其由对角线划分的两个三角形区域内充满磁感应强度大小相等、方向相反的匀强磁场。边长为L的正方形导线框，在外力作用下水平向左匀速运动，线框左边始终与MN平行。设导线框中感应电流i逆时针流向为正。若t＝0时左边框与PQ重合，则左边框由PQ运动到MN的过程中，下列i t图像正确的是(　　)
4．(多选)一跑步机的原理图如图所示，该跑步机水平底面固定有间距L＝0．8 m的平行金属电极，电极间充满磁感应强度大小B＝0．5 T、方向竖直向下的匀强磁场，且接有理想电压表和阻值为8 Ω的定值电阻R，匀速运动的绝缘橡胶带上镀有电阻均为2 Ω的平行细金属条，金属条间距等于电极长度d且与电极接触良好。某人匀速跑步时，电压表的示数为0．8 V。下列说法正确的是(　　)
A．通过电阻R的电流为0．2 A
B．细金属条的速度大小为2．5 m/s
C．每2 s内通过电阻R的电荷量为0．2 C
D．人克服细金属条所受安培力做功的功率为0．2 W
6．(多选)如图为带灯的自行车后轮的示意图。金属轮框
与轮轴之间均匀地连接四根金属条，每根金属条中间都串接一
个阻值为3 Ω的小灯泡，车轮半径为0．3 m，轮轴半径可以忽略。
车架上固定一个强磁体，可形成圆心角为60°的扇形匀强磁场区
域，磁感应强度大小为2．0 T，方向垂直纸面(车轮平面)向里。若自行车后轮逆时针转动的角速度恒为10 rad/s，不计其他电阻，则(　　)
A．通过每个小灯泡的电流始终相等
B．当金属条ab在磁场中运动时，金属条ab中的电流从b指向a
C．当金属条ab在磁场中运动时，电路的总电阻为4 Ω
D．当金属条ab在磁场中运动时，所受安培力大小为0．135 N
［B组　综合提升练］
7．(2022·河北高考)(多选)如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，一根导轨位于x轴上，另一根由ab、bc、cd三段直导轨组成，其中bc段与x轴平行，导轨左端接入一电阻R。导轨上一金属棒MN沿x轴正向以速度v0保持匀速运动，t＝0时刻通过坐标原点O，金属棒始终与x轴垂直。设运动过程中通过电阻的电流强度为i，金属棒受到安培力的大小为F，金属棒克服安培力做功的功率为P，电阻两端的电压为U，导轨与金属棒接触良好，忽略导轨与金属棒的电阻。下列图像可能正确的是(　　)
8．(2024·浙江6月选考)某小组探究“法拉第圆盘发电
机与电动机的功用”，设计了如图所示装置。飞轮由三根长
a＝0．8 m的辐条和金属圆环组成，可绕过其中心的水平固
定轴转动，不可伸长细绳绕在圆环上，系着质量m＝1 kg的
物块，细绳与圆环无相对滑动。飞轮处在方向垂直环面的匀强磁场中，左侧电路通过电刷与转轴和圆环边缘良好接触，开关S可分别与图示中的电路连接。已知电源电动势E0＝12 V、内阻r＝0．1 Ω，限流电阻R1＝0．3 Ω，飞轮每根辐条的电阻R＝0．9 Ω，电路中还有可调电阻R2(待求)和电感L，不计其他电阻和阻力损耗，不计飞轮转轴大小，重力加速度g＝10 m/s2。
［C组　拔尖培优练］
(1)开关S掷1，“电动机”提升物块匀速上升时，理想电压表示数U＝8 V，
①判断磁场方向，并求流过电阻R1的电流I；
②求物块匀速上升的速度v。
(2)开关S掷2，物块从静止开始下落，经过一段时间后，物块匀速下降的速度与“电动机”匀速提升物块的速度大小相等，
①求可调电阻R2的阻值；
②求磁感应强度B的大小。
答案：(1)①垂直纸面向外　10 A　②5 m/s　
(2)①0．2 Ω　②2．5 T

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