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物理
第讲　专题：电磁感应中的动力学和能量问题
考点一　电磁感应中的动力学问题
1．概述
电磁感应现象中产生的感应电流在磁场中受到安培力的作用，从而影响导体棒(或线圈)的受力情况和运动情况。涉及安培力大小、方向的分析。
2．两种状态及处理方法
状态 特征 处理方法
平衡态 加速度为零 根据平衡条件列式分析
非平衡态 加速度不为零 根据牛顿第二定律进行分析或结合功能关系进行分析
3．力学对象和电学对象的相互关系
例1　(2025·湖北省高三上10月联考)舰载机返回航母甲板时有多种减速方式，如图所示为一种电磁减速方式的简要模型。固定在水平面上足够长的平行光滑导轨，左端接有定值电阻，整个装置处在匀强磁场中。现有一舰载机可等效为垂直于导轨的导体棒ab，以一定初速度水平向右运动，导体棒和导轨的电阻不计。则导体棒运动过程中，其速度v、加速度a随运动时间t的关系图像可能正确的是(　　)
例2　(多选)如图所示，间距为L的无限长光滑导轨平面倾斜放置，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向下，导轨平面与水平面夹角为θ，一个质量为m、电阻为r的光滑导体棒垂直横跨在两根导轨上，导轨上端的定值电阻阻值为R，导轨电阻不计，当导体棒从静止释放后，沿导轨下滑距离l时达到稳定状态，下滑过程中导体棒与导轨始终垂直且接触良好，以下说法正确的是(　　)
A．导体棒做变加速运动，最大加速度为gsinθ
B．导体棒做匀加速运动，加速度为gsinθ
C．导体棒稳定时的速度为
D．导体棒稳定时的速度为
例3　(2025·河南省驻马店市高三上11月月考)(多选)如图所示，U形光滑金属导轨与水平面成37°角倾斜放置，现将一金属杆垂直放置在导轨上且与两导轨接触良好，在与金属杆垂直且沿着导轨向上的外力F的作用下，金属杆从静止开始做匀加速直线运动。整个装置处于垂直导轨平面向上的匀强磁场中，外力F的最小值为8 N，经过2 s金属杆运动到导轨最上端并离开导轨。已知U形金属导轨两轨道之间的距离为1 m，导轨电阻可忽略不计，金属杆的质量为1 kg、电阻为1 Ω，磁感应强度大小为1 T，重力加速度g＝10 m/s2，sin37°＝0．6，cos37°＝0．8。下列说法正确的是(　　)
A．拉力F是恒力
B．拉力F随时间t均匀增加
C．金属杆运动到导轨最上端时拉力F为12 N
D．金属杆运动的加速度大小为2 m/s2
考点二　电磁感应中的能量问题
1．电磁感应中的能量转化
2．求解电磁感应中的焦耳热Q的三种方法
例4　(人教版选择性必修第二册·第二章[复习与提高]B组T2改编)(多选)如图所示，单匝线圈ABCD在外力作用下以速度v向右匀速进入匀强磁场，第二次又以速度2v匀速进入同一匀强磁场，则下列说法正确的是(　　)
A．第二次与第一次进入时线圈中电流之比为2∶1
B．第二次与第一次进入时外力做功的功率之比为2∶1
C．第二次与第一次进入过程中通过线圈某横截面的电荷量之比为2∶1
D．第二次与第一次进入时线圈中产生热量之比为2∶1
例5　如图，MN和PQ是电阻不计的平行光滑金属导轨，金属棒与导轨间接触良好，其间距为L，右端接一个阻值为R的定值电阻。平直部分导轨左边区域有宽度为d、方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量为m、电阻也为R的金属棒从高度为h处静止释放，到达磁场右边界处恰好停止。则金属棒穿过磁场区域的过程中(　　)
A．通过电阻R的电流方向为从N到Q
B．金属棒刚进入磁场时产生的感应电动势为BL
C．通过金属棒的电荷量为
D．金属棒产生的焦耳热为mgh
例6　(2021·天津高考)如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ间距L＝1 m，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成θ＝30°角，N、Q两端接有R＝1 Ω的电阻。
一金属棒ab垂直导轨放置，ab两端与导轨始终有良好接触，已知ab的质量m＝0．2 kg，电阻r＝1 Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小B＝1 T。ab在平行于导轨向上的拉力作用下，以初速度v1＝0．5 m/s沿导轨向上开始运动，可达到最大速度v＝2 m/s。运动过程中拉力的功率恒定不变，重力加速度g＝10 m/s2。
(1)求拉力的功率P；
(2)ab开始运动后，经t＝0．09 s速度达到v2＝1．5 m/s，此过程中ab克服安培力做功W＝0．06 J，求该过程中ab沿导轨的位移大小x。
课时作业
[A组　基础巩固练]
1．(2021·北京高考)如图所示，在竖直向下的匀强磁场中，水平U形导体框左端连接一阻值为R的电阻，质量为m、电阻为r的导体棒ab置于导体框上。不计导体框的电阻、导体棒与框间的摩擦。ab以水平向右的初速度v0开始运动，最终停在导体框上。在此过程中(　　)
A．导体棒做匀减速直线运动
B．导体棒中感应电流的方向为a→b
C．电阻R消耗的总电能为
D．导体棒克服安培力做的总功小于mv
2．(2024·湖北省十堰市高三下4月二模)如图甲所示，电阻不计、间距为0．5 m的光滑平行金属导轨竖直放置，上端连接阻值为3 Ω的定值电阻，虚线OO′下方存在垂直于导轨平面向里、磁感应强度大小为2 T的匀强磁场。现将电阻为1 Ω的金属杆ab从OO′上方某处由静止释放，金属杆ab下落过程中始终水平且与导轨接触良好，其速度大小v与下落时间t的关系图像如图乙所示，取重力加速度大小g＝10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A．金属杆进入磁场后a端的电势较高
B．金属杆进入磁场后产生的电功率为8 W
C．金属杆进入磁场后两端的电压为4 V
D．金属杆的质量为0．1 kg
3．(2025·河北省张家口市高三上11月月考)有一边长为L的正方形导线框，质量为m，由高H处自由下落，如图所示，其边ab进入匀强磁场区域后，线框开始做减速运动，直到其边cd刚好穿出磁场时，速度减为ab边刚进入磁场时速度的一半，此匀强磁场的宽度也是L，线框在穿越匀强磁场过程中产生的电热是(　　)
A．2mgL B．2mgL＋mgH
C．2mgL＋mgH D．2mgL＋mgH
4．(2022·上海高考)如图，一个正方形导线框以初速度v0向右穿过一个有界的匀强磁场。线框两次速度发生变化所用时间分别为t1和t2，这两段时间内克服安培力做的功分别为W1和W2，则(　　)
A．t1＜t2，W1＜W2 B．t1＜t2，W1＞W2
C．t1＞t2，W1＜W2 D．t1＞t2，W1＞W2
5．(多选)如图所示，光滑的金属圆形轨道MN、PQ竖直放置，共同圆心为O点，轨道半径分别为l、3l，PM间接有阻值为3r的电阻。两轨道之间ABDC区域内(含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B0，AB水平且与圆心等高，CD竖直且延长线过圆心。一轻质金属杆电阻为r、长为2l，一端套在轨道MN上，另一端连接质量为m的带孔金属球(视为质点)，并套在轨道PQ上，皆接触良好。让金属杆从AB处无初速释放，第一次即将离开磁场时，金属球的速度大小为v。其余电阻不计，忽略一切摩擦，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A．金属球向下运动过程中，P点电势高于M点电势
B．金属杆第一次即将离开磁场时，电阻两端的电压为B0lv
C．金属杆从AB滑动到CD的过程中，通过电阻的电荷量为
D．金属杆从AB滑动到CD的过程中，电阻上产生的焦耳热为mgl－mv2
[B组　综合提升练]
6．如图所示，光滑绝缘水平面上嵌入一无限长通电直导线。一质量为0．02 kg的金属片在该平面内以大小为v0＝2 m/s、方向与电流方向成60°角的初速度滑出。则(　　)
A．圆形金属片最终将静止在水平面上的某处
B．圆形金属片最终沿垂直导线方向做匀速直线运动
C．圆形金属片所受安培力方向始终和运动方向相反
D．圆形金属片中产生的电能最多为0．03 J
7．(2024·辽宁高考)(多选)如图，两条“∧”形的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，间距为L，左、右两导轨面与水平面夹角均为30°，均处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小分别为2B和B。将有一定阻值的导体棒ab、cd放置在导轨上，同时由静止释放，两棒在下滑过程中始终与导轨垂直并接触良好。ab、cd的质量分别为2m和m，长度均为L。导轨足够长且电阻不计，重力加速度大小为g。两棒在下滑过程中(　　)
A．回路中的电流方向为abcda
B．ab中电流趋于
C．ab与cd加速度大小之比始终为2∶1
D．两棒产生的电动势始终相等
8．(2024·全国甲卷)(多选)如图，一绝缘细绳跨过两个在同一竖直面(纸面)内的光滑定滑轮，绳的一端连接一矩形金属线框，另一端连接一物块。线框与左侧滑轮之间的虚线区域内有方向垂直纸面的匀强磁场，磁场上下边界水平，在t＝0时刻线框的上边框以不同的初速度从磁场下方进入磁场。运动过程中，线框始终在纸面内且上下边框保持水平。以向上为速度的正方向，下列线框的速度v随时间t变化的图像中可能正确的是(　　)
9．(2024·河北高考)如图，边长为2L的正方形金属细框固定放置在绝缘水平面上，细框中心O处固定一竖直细导体轴OO′。间距为L、与水平面成θ角的平行导轨通过导线分别与细框及导体轴相连。导轨和细框分别处在与各自所在平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小均为B。足够长的细导体棒OA在水平面内绕O点以角速度ω匀速转动，水平放置在导轨上的导体棒CD始终静止。OA棒在转动过程中，CD棒在所受安培力达到最大和最小时均恰好能静止。已知CD棒在导轨间的电阻值为R，电路中其余部分的电阻均不计，CD棒始终与导轨垂直，各部分始终接触良好，不计空气阻力，重力加速度大小为g。
(1)求CD棒所受安培力的最大值和最小值。
(2)锁定OA棒，推动CD棒下滑，撤去推力瞬间，CD棒的加速度大小为a，所受安培力大小等于(1)问中安培力的最大值，求CD棒与导轨间的动摩擦因数。
[C组　拔尖培优练]
10．如图所示，两平行金属导轨水平放入磁感应强度为B、方向竖直向上的匀强磁场中，导轨间距为L，导轨左端接有一电容为C的平行板电容器。一质量为m的金属棒ab垂直放在导轨上，在水平恒力F的作用下从静止开始运动。棒与导轨接触良好，不计金属棒和导轨的电阻以及金属棒和导轨间的摩擦。求金属棒的加速度并分析金属棒的运动性质。
（答案及解析）
例1　(2025·湖北省高三上10月联考)舰载机返回航母甲板时有多种减速方式，如图所示为一种电磁减速方式的简要模型。固定在水平面上足够长的平行光滑导轨，左端接有定值电阻，整个装置处在匀强磁场中。现有一舰载机可等效为垂直于导轨的导体棒ab，以一定初速度水平向右运动，导体棒和导轨的电阻不计。则导体棒运动过程中，其速度v、加速度a随运动时间t的关系图像可能正确的是(　　)
[答案]　B
[解析]　导体棒以速度v向右切割磁感线时，根据右手定则可得导体棒产生的感应电动势E＝BLv，由闭合电路欧姆定律可得通过导体棒的感应电流I＝，由右手定则可得通过导体棒中感应电流方向从b指向a，由左手定则可得导体棒受到的安培力F安方向向左，大小为F安＝BIL，所以导体棒做减速运动，由牛顿第二定律，有F安＝ma，解得导体棒的加速度大小a＝，由于导体棒速度减小，则导体棒的加速度减小，所以导体棒做的是加速度越来越小的减速运动，直至停止运动，故A错误，B正确；根据a＝可知，a t图像的形状与v t图像类似，故C、D错误。
例2　(多选)如图所示，间距为L的无限长光滑导轨平面倾斜放置，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向下，导轨平面与水平面夹角为θ，一个质量为m、电阻为r的光滑导体棒垂直横跨在两根导轨上，导轨上端的定值电阻阻值为R，导轨电阻不计，当导体棒从静止释放后，沿导轨下滑距离l时达到稳定状态，下滑过程中导体棒与导轨始终垂直且接触良好，以下说法正确的是(　　)
A．导体棒做变加速运动，最大加速度为gsinθ
B．导体棒做匀加速运动，加速度为gsinθ
C．导体棒稳定时的速度为
D．导体棒稳定时的速度为
[答案]　AC
[解析]　当导体棒沿导轨下滑的速度大小为v时，导体棒产生的感应电动势E＝BLv，由右手定则可得通过导体棒的感应电流方向由a指向b，由闭合电路欧姆定律可得感应电流大小I＝，导体棒所受安培力FA＝BIL，由牛顿第二定律可得mgsinθ－FA＝ma，解得导体棒的加速度大小a＝gsinθ－，所以随着导体棒的速度增大，其加速度减小，即导体棒做加速度减小的加速运动，当v＝0时，导体棒加速度最大，为amax＝gsinθ，故A正确，B错误；当a＝0时，导体棒达到稳定状态，开始做匀速运动，速度最大，为vm＝，故C正确，D错误。
例3　(2025·河南省驻马店市高三上11月月考)(多选)如图所示，U形光滑金属导轨与水平面成37°角倾斜放置，现将一金属杆垂直放置在导轨上且与两导轨接触良好，在与金属杆垂直且沿着导轨向上的外力F的作用下，金属杆从静止开始做匀加速直线运动。整个装置处于垂直导轨平面向上的匀强磁场中，外力F的最小值为8 N，经过2 s金属杆运动到导轨最上端并离开导轨。已知U形金属导轨两轨道之间的距离为1 m，导轨电阻可忽略不计，金属杆的质量为1 kg、电阻为1 Ω，磁感应强度大小为1 T，重力加速度g＝10 m/s2，sin37°＝0．6，cos37°＝0．8。下列说法正确的是(　　)
A．拉力F是恒力
B．拉力F随时间t均匀增加
C．金属杆运动到导轨最上端时拉力F为12 N
D．金属杆运动的加速度大小为2 m/s2
[答案]　BCD
[解析]　设金属杆从静止开始做匀加速直线运动的加速度大小为a，t时刻，金属杆的速度大小为v＝at，产生的感应电动势为E＝Blv，回路中的感应电流为I＝，金属杆所受的安培力大小为F安＝BIl，由牛顿第二定律得F－mgsin37°－F安＝ma，联立解得F＝ma＋mgsin37°＋，所以拉力F随时间t均匀增加，故当t＝0时，F最小，即ma＋mgsin37°＝8 N，代入数据解得a＝2 m/s2，当t＝2 s时，代入数据解得金属杆运动到导轨最上端时拉力F＝12 N，故B、C、D正确，A错误。
例4　(人教版选择性必修第二册·第二章[复习与提高]B组T2改编)(多选)如图所示，单匝线圈ABCD在外力作用下以速度v向右匀速进入匀强磁场，第二次又以速度2v匀速进入同一匀强磁场，则下列说法正确的是(　　)
A．第二次与第一次进入时线圈中电流之比为2∶1
B．第二次与第一次进入时外力做功的功率之比为2∶1
C．第二次与第一次进入过程中通过线圈某横截面的电荷量之比为2∶1
D．第二次与第一次进入时线圈中产生热量之比为2∶1
[答案]　AD
[解析]　由E＝Blv知，第二次与第一次进入时线圈中感应电动势之比为＝，由I＝得，第二次与第一次进入时线圈中感应电流之比为＝，故A正确。匀速进入，外力做功的功率与克服安培力做功的功率相等，由P＝I2R得，第二次与第一次进入时外力做功的功率之比为＝，故B错误。由电荷量q＝得，第二次与第一次进入过程中通过线圈某横截面的电荷量之比为＝，故C错误。产生热量Q＝Pt＝P·，得第二次与第一次进入时线圈中产生热量之比为＝×＝，故D正确。
例5　如图，MN和PQ是电阻不计的平行光滑金属导轨，金属棒与导轨间接触良好，其间距为L，右端接一个阻值为R的定值电阻。平直部分导轨左边区域有宽度为d、方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量为m、电阻也为R的金属棒从高度为h处静止释放，到达磁场右边界处恰好停止。则金属棒穿过磁场区域的过程中(　　)
A．通过电阻R的电流方向为从N到Q
B．金属棒刚进入磁场时产生的感应电动势为BL
C．通过金属棒的电荷量为
D．金属棒产生的焦耳热为mgh
[答案]　B
[解析]　金属棒穿过磁场的过程中，回路的磁通量变小，根据楞次定律和安培定则，可知通过电阻R的电流方向为从Q到N，故A错误；设金属棒刚进入磁场时速度大小为v，金属棒从静止释放到刚进入磁场的过程中，机械能守恒，有mgh＝mv2，根据法拉第电磁感应定律，可得金属棒刚进入磁场时产生的感应电动势E＝BLv，联立解得E＝BL，故B正确；金属棒穿过磁场过程中产生的平均感应电动势＝＝，该过程金属棒中平均感应电流＝，则通过金属棒的电荷量q＝·Δt，联立解得q＝，故C错误；根据能量守恒定律，可知电路中产生的总焦耳热Q总＝mgh，金属棒产生的焦耳热Q＝Q总＝mgh，故D错误。
例6　(2021·天津高考)如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ间距L＝1 m，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成θ＝30°角，N、Q两端接有R＝1 Ω的电阻。
一金属棒ab垂直导轨放置，ab两端与导轨始终有良好接触，已知ab的质量m＝0．2 kg，电阻r＝1 Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小B＝1 T。ab在平行于导轨向上的拉力作用下，以初速度v1＝0．5 m/s沿导轨向上开始运动，可达到最大速度v＝2 m/s。运动过程中拉力的功率恒定不变，重力加速度g＝10 m/s2。
(1)求拉力的功率P；
(2)ab开始运动后，经t＝0．09 s速度达到v2＝1．5 m/s，此过程中ab克服安培力做功W＝0．06 J，求该过程中ab沿导轨的位移大小x。
[答案]　(1)4 W　(2)0．1 m
[解析]　(1)在ab运动过程中，由于拉力功率恒定，ab做加速度逐渐减小的加速运动，速度达到最大时，加速度为零，设此时拉力的大小为F，安培力大小为FA，有F－mgsinθ－FA＝0
由法拉第电磁感应定律，此时回路中的感应电动势E＝BLv
由闭合电路欧姆定律，回路中的感应电流
I＝
ab受到的安培力FA＝ILB
由功率表达式，有P＝Fv
联立上述各式，代入数据解得P＝4 W。
(2)ab从速度v1到v2的过程中，由动能定理，有Pt－W－mgxsinθ＝mv－mv
代入数据解得x＝0．1 m。
课时作业
[A组　基础巩固练]
1．(2021·北京高考)如图所示，在竖直向下的匀强磁场中，水平U形导体框左端连接一阻值为R的电阻，质量为m、电阻为r的导体棒ab置于导体框上。不计导体框的电阻、导体棒与框间的摩擦。ab以水平向右的初速度v0开始运动，最终停在导体框上。在此过程中(　　)
A．导体棒做匀减速直线运动
B．导体棒中感应电流的方向为a→b
C．电阻R消耗的总电能为
D．导体棒克服安培力做的总功小于mv
答案：C
解析：导体棒向右运动时，根据右手定则可知，导体棒中感应电流方向为b→a，再根据左手定则可知，导体棒受到水平向左的安培力，开始时，根据法拉第电磁感应定律，导体棒中产生的感应电动势为E＝BLv0，根据闭合电路欧姆定律，知感应电流为I＝＝，故导体棒所受安培力为F＝BIL＝，根据牛顿第二定律有F＝ma，可得a＝v0，随着速度减小，加速度不断减小，故导体棒做加速度减小的减速直线运动，故A、B错误；根据能量守恒定律可知，回路中消耗的总电能为Q＝mv，则R产生的总电能为QR＝Q＝，故C正确；整个过程只有安培力做负功，根据动能定理可知，导体棒克服安培力做的总功等于mv，故D错误。
2．(2024·湖北省十堰市高三下4月二模)如图甲所示，电阻不计、间距为0．5 m的光滑平行金属导轨竖直放置，上端连接阻值为3 Ω的定值电阻，虚线OO′下方存在垂直于导轨平面向里、磁感应强度大小为2 T的匀强磁场。现将电阻为1 Ω的金属杆ab从OO′上方某处由静止释放，金属杆ab下落过程中始终水平且与导轨接触良好，其速度大小v与下落时间t的关系图像如图乙所示，取重力加速度大小g＝10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A．金属杆进入磁场后a端的电势较高
B．金属杆进入磁场后产生的电功率为8 W
C．金属杆进入磁场后两端的电压为4 V
D．金属杆的质量为0．1 kg
答案：D
解析：金属杆进入磁场后切割磁感线，由右手定则可知，金属杆中的感应电流方向由a指向b，金属杆相当于电源，因此b端为正极，其电势较高，A错误；进入磁场前，金属杆做自由落体运动，由题图乙可知，金属杆在t＝0．4 s时进入磁场，且开始做匀速直线运动，此时金属杆重力大小等于安培力，则有E＝BLv，I＝，F安＝BIL，mg＝F安，联立解得F安＝1 N，金属杆的质量m＝0．1 kg，D正确；由能量守恒定律可知，进入磁场后金属杆产生的电功率等于其克服安培力做功的功率，为P＝F安v＝4 W，B错误；由法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律可得，金属杆进入磁场后两端的电压为路端电压，即U＝IR＝3 V，C错误。
3．(2025·河北省张家口市高三上11月月考)有一边长为L的正方形导线框，质量为m，由高H处自由下落，如图所示，其边ab进入匀强磁场区域后，线框开始做减速运动，直到其边cd刚好穿出磁场时，速度减为ab边刚进入磁场时速度的一半，此匀强磁场的宽度也是L，线框在穿越匀强磁场过程中产生的电热是(　　)
A．2mgL B．2mgL＋mgH
C．2mgL＋mgH D．2mgL＋mgH
答案：C
解析：设线框ab边进入磁场时的速度大小为v1，cd边离开磁场时的速度大小为v2，线框在穿越匀强磁场过程中产生的电热为Q，线框从开始下落到离开磁场的过程，根据能量守恒定律，有mg(H＋2L)＝Q＋mv，线框从开始下落到ab边刚进入磁场过程，由动能定理有mgH＝mv－0，由题意知v1＝2v2，解得Q＝2mgL＋mgH，故C正确。
4．(2022·上海高考)如图，一个正方形导线框以初速度v0向右穿过一个有界的匀强磁场。线框两次速度发生变化所用时间分别为t1和t2，这两段时间内克服安培力做的功分别为W1和W2，则(　　)
A．t1＜t2，W1＜W2 B．t1＜t2，W1＞W2
C．t1＞t2，W1＜W2 D．t1＞t2，W1＞W2
答案：B
解析：设线框的边长为L，质量为m，电阻为R，磁场的磁感应强度大小为B。由楞次定律和左手定则可知，线框进入磁场的过程和离开磁场的过程，都受到向左的安培力作用而向右做减速运动，因此线框进入磁场过程对时间的平均速度v1平大于线框离开磁场过程对时间的平均速度v2平，由L＝v1平t1和L＝v2平t2可得，t1＜t2。对线框进入磁场或离开磁场的过程，由感应电动势E＝BLv，感应电流I＝，安培力大小F安＝BIL，联立得F安＝，因为线框进入磁场过程对位移的平均速度v1平′大于线框离开磁场过程对位移的平均速度v2平′，则安培力大小对位移的平均值安1>安2，由W1＝安1L和W2＝安2L可得，W1>W2。B正确。
5．(多选)如图所示，光滑的金属圆形轨道MN、PQ竖直放置，共同圆心为O点，轨道半径分别为l、3l，PM间接有阻值为3r的电阻。两轨道之间ABDC区域内(含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B0，AB水平且与圆心等高，CD竖直且延长线过圆心。一轻质金属杆电阻为r、长为2l，一端套在轨道MN上，另一端连接质量为m的带孔金属球(视为质点)，并套在轨道PQ上，皆接触良好。让金属杆从AB处无初速释放，第一次即将离开磁场时，金属球的速度大小为v。其余电阻不计，忽略一切摩擦，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A．金属球向下运动过程中，P点电势高于M点电势
B．金属杆第一次即将离开磁场时，电阻两端的电压为B0lv
C．金属杆从AB滑动到CD的过程中，通过电阻的电荷量为
D．金属杆从AB滑动到CD的过程中，电阻上产生的焦耳热为mgl－mv2
答案：BC
解析：金属球向下运动过程中，由右手定则知感应电流从M经定值电阻R到P，则M点电势高于P点电势，故A错误；金属杆第一次即将离开磁场时，金属球的速度大小为v，因为杆上所有点的角速度相等，则金属杆上端的速度为，则此时感应电动势为E＝B0·2l·＝B0·2l·＝B0lv，则电阻两端的电压为U＝·E＝B0lv，故B正确；金属杆从AB滑动到CD的过程中，通过电阻的电荷量为q＝＝，其中ΔS＝·π·(3l)2－·π·l2＝2πl2，所以q＝，故C正确；金属杆从AB滑动到CD的过程中，由能量守恒定律得mg·3l＝mv2＋Q，电阻上产生的焦耳热为QR＝·Q＝Q，解得QR＝mgl－mv2，故D错误。
[B组　综合提升练]
6．如图所示，光滑绝缘水平面上嵌入一无限长通电直导线。一质量为0．02 kg的金属片在该平面内以大小为v0＝2 m/s、方向与电流方向成60°角的初速度滑出。则(　　)
A．圆形金属片最终将静止在水平面上的某处
B．圆形金属片最终沿垂直导线方向做匀速直线运动
C．圆形金属片所受安培力方向始终和运动方向相反
D．圆形金属片中产生的电能最多为0．03 J
答案：D
解析：直导线周围有环形磁场，且离导线越远磁场越弱，圆形金属片向右运动，磁通量减小，会产生涡流，根据“来拒去留”(电磁阻尼)可知，所受的安培力将阻碍圆形金属片远离通电直导线，即安培力垂直直导线向左，与运动方向并非相反，安培力使圆形金属片在垂直导线方向做减速运动，当垂直导线方向的速度减为零时，只剩沿导线方向的速度，之后穿过圆形金属片的磁通量不变，无感应电流产生，水平方向合力为零，故圆形金属片最终沿导线方向做匀速直线运动，故A、B、C错误；由题意知，沿导线方向的分速度v1＝v0·cos60°＝1 m/s，根据能量守恒定律，得圆形金属片中产生的电能最多为Q＝mv－mv＝0．03 J，D正确。
7．(2024·辽宁高考)(多选)如图，两条“∧”形的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，间距为L，左、右两导轨面与水平面夹角均为30°，均处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小分别为2B和B。将有一定阻值的导体棒ab、cd放置在导轨上，同时由静止释放，两棒在下滑过程中始终与导轨垂直并接触良好。ab、cd的质量分别为2m和m，长度均为L。导轨足够长且电阻不计，重力加速度大小为g。两棒在下滑过程中(　　)
A．回路中的电流方向为abcda
B．ab中电流趋于
C．ab与cd加速度大小之比始终为2∶1
D．两棒产生的电动势始终相等
答案：AB
解析：两导体棒均沿导轨向下滑动，根据右手定则可知，ab中产生的感应电动势从a到b，cd中产生的感应电动势从c到d，则回路中的电流方向为abcda，故A正确；设回路中的总电阻为R，电流为i，ab的加速度大小为aab，cd的加速度大小为acd，对ab、cd进行受力分析，并沿导轨方向和垂直导轨方向进行正交分解，在沿导轨方向，根据牛顿第二定律，对ab有2mgsin30°－2BiLcos30°＝2maab，对cd有mgsin30°－BiLcos30°＝macd，故aab＝acd，即ab与cd加速度大小之比始终为1∶1，故C错误；由C项分析可知，两导体棒的速度大小始终相等，设为v，则由法拉第电磁感应定律可知，ab产生的感应电动势大小为Eab＝2BL·vcos30°＝BLv，cd产生的感应电动势大小为Ecd＝BLvcos30°＝BLv，则Eab≠Ecd，D错误；由A、D项分析可知，回路中的总感应电动势大小为E＝Eab＋Ecd＝BLv，随着导体棒速度v的增大，回路中的总感应电动势E增大，回路中的电流i＝增大，导体棒受到的安培力在增大，当ab所受安培力沿导轨向上的分力与ab所受重力沿导轨向下的分力平衡时，设闭合回路中的电流为I，对ab有2mgsin30°＝2BILcos30°，则mgsin30°＝BILcos30°，即此时cd也受力平衡，则此后导体棒ab、cd将匀速运动，此时电路中的电流达到稳定值且最大，解得I＝，即ab中电流趋于，故B正确。
8．(2024·全国甲卷)(多选)如图，一绝缘细绳跨过两个在同一竖直面(纸面)内的光滑定滑轮，绳的一端连接一矩形金属线框，另一端连接一物块。线框与左侧滑轮之间的虚线区域内有方向垂直纸面的匀强磁场，磁场上下边界水平，在t＝0时刻线框的上边框以不同的初速度从磁场下方进入磁场。运动过程中，线框始终在纸面内且上下边框保持水平。以向上为速度的正方向，下列线框的速度v随时间t变化的图像中可能正确的是(　　)
答案：AC
解析：设虚线区域内磁场的磁感应强度大小为B，线框的质量为M，电阻为R，上下边框长度为L，物块的质量为m，细绳上的拉力大小为T，以初速度的反方向为加速度的正方向，设线框与物块的加速度均为a。线框穿过磁场的过程中，由牛顿第二定律，对线框有Mg＋F安－T＝Ma，对物块有T－mg＝ma，其中线框所受安培力大小F安＝BIL，线框中电流大小I＝，线框产生的感应电动势大小E＝BLv，联立解得a＝＋g。根据四个选项中的v t图，只考虑t＝0时线框速度开始减小的情况。根据表达式a＝＋g可知，可以分三种情况分析v的变化的可能性：(1)M>m，线框进入磁场的过程，随着v的减小，a逐渐减小且趋于某个非零值，线框完全进入磁场运动时，a>0且恒定，线框做匀减速直线运动，分析四个选项的图，可知没有与这种情况对应的图。(2)M9．(2024·河北高考)如图，边长为2L的正方形金属细框固定放置在绝缘水平面上，细框中心O处固定一竖直细导体轴OO′。间距为L、与水平面成θ角的平行导轨通过导线分别与细框及导体轴相连。导轨和细框分别处在与各自所在平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小均为B。足够长的细导体棒OA在水平面内绕O点以角速度ω匀速转动，水平放置在导轨上的导体棒CD始终静止。OA棒在转动过程中，CD棒在所受安培力达到最大和最小时均恰好能静止。已知CD棒在导轨间的电阻值为R，电路中其余部分的电阻均不计，CD棒始终与导轨垂直，各部分始终接触良好，不计空气阻力，重力加速度大小为g。
(1)求CD棒所受安培力的最大值和最小值。
(2)锁定OA棒，推动CD棒下滑，撤去推力瞬间，CD棒的加速度大小为a，所受安培力大小等于(1)问中安培力的最大值，求CD棒与导轨间的动摩擦因数。
答案：(1)　　(2)－tanθ
解析：(1)设OA棒接入电路的长度为l，则OA棒切割磁感线的平均速度＝ωl
根据法拉第电磁感应定律，此时回路的感应电动势大小E＝Bl
根据闭合电路欧姆定律，此时通过CD棒的电流大小I＝
则CD棒所受安培力大小F＝ILB
联立得F＝
当OA棒运动到细框对角线位置时，l最大，为lmax＝L，此时CD棒所受的安培力最大
可解得CD棒所受安培力的最大值为
Fmax＝
当OA棒运动到与细框一边平行时，l最小，为lmin＝L，此时CD棒所受的安培力最小
可解得CD棒所受安培力的最小值为
Fmin＝。
(2)设CD棒的质量为m，CD棒与导轨间的最大静摩擦力为fm，CD棒与导轨间的动摩擦因数为μ。CD棒在导轨上静止时，根据题意，当CD棒受到的安培力最小时，根据平衡条件有
mgsinθ＝fm＋Fmin
当CD棒受到的安培力最大时，根据平衡条件有Fmax＝mgsinθ＋fm
撤去推力瞬间，对CD棒，沿导轨方向，根据牛顿第二定律有Fmax＋f－mgsinθ＝ma
其中滑动摩擦力大小f＝μN
垂直导轨方向，根据平衡条件有N＝mgcosθ
联立解得μ＝－tanθ。
[C组　拔尖培优练]
10．如图所示，两平行金属导轨水平放入磁感应强度为B、方向竖直向上的匀强磁场中，导轨间距为L，导轨左端接有一电容为C的平行板电容器。一质量为m的金属棒ab垂直放在导轨上，在水平恒力F的作用下从静止开始运动。棒与导轨接触良好，不计金属棒和导轨的电阻以及金属棒和导轨间的摩擦。求金属棒的加速度并分析金属棒的运动性质。
答案：　匀加速直线运动
解析：设金属棒速度大小为v时，其加速度大小为a，根据法拉第电磁感应定律，可知金属棒切割磁感线产生的感应电动势E＝BLv
电容器两端电压U等于金属棒产生的感应电动势E，则电容器上的电荷量Q＝CE
在极短时间Δt内，金属棒增加的速度大小Δv＝a·Δt
电容器两端电压的改变量ΔU＝BL·Δv
电容器上电荷量的变化量ΔQ＝C·ΔU
由电流的定义式，有ΔQ＝I·Δt
联立可得I＝CBLa
对金属棒，根据牛顿第二定律，有F－BIL＝ma
联立解得a＝
与速度v无关，且为定值，所以金属棒做匀加速直线运动。
14(共51张PPT)
第十一章　电磁感应
第4讲　专题：电磁感应中的
动力学和能量问题
目录
1
2
考点一　电磁感应中的动力学问题
考点二　电磁感应中的能量问题
课时作业
3
考点一　电磁感应中的动力学问题
1．概述
电磁感应现象中产生的感应电流在磁场中受到安培力的作用，从而影响导体棒(或线圈)的受力情况和运动情况。涉及安培力大小、方向的分析。
2．两种状态及处理方法
状态 特征 处理方法
平衡态 加速度为零 根据平衡条件列式分析
非平衡态 加速度不为零 根据牛顿第二定律进行分析或结合功能关系进行分析
3．力学对象和电学对象的相互关系
例1　(2025·湖北省高三上10月联考)舰载机返回航母甲板时有多种减速方式，如图所示为一种电磁减速方式的简要模型。固定在水平面上足够长的平行光滑导轨，左端接有定值电阻，整个装置处在匀强磁场中。现有一舰载机可等效为垂直于导轨的导体棒ab，以一定初速度水平向右运动，导体棒和导轨的电阻不计。则导体棒运动过程中，其速度v、加速度a随运动时间t的关系图像可能正确的是(　　)
考点二　电磁感应中的能量问题
1．电磁感应中的能量转化
2．求解电磁感应中的焦耳热Q的三种方法
例4　(人教版选择性必修第二册·第二章[复习与提高]B组T2改编)(多选)如图所示，单匝线圈ABCD在外力作用下以速度v向右匀速进入匀强磁场，第二次又以速度2v匀速进入同一匀强磁场，则下列说法正确的是(　　)
A．第二次与第一次进入时线圈中电流之比为2∶1
B．第二次与第一次进入时外力做功的功率之比为2∶1
C．第二次与第一次进入过程中通过线圈某横截面的电荷量之比为2∶1
D．第二次与第一次进入时线圈中产生热量之比为2∶1
答案　(1)4 W　(2)0．1 m
课时作业
［A组　基础巩固练］
2．(2024·湖北省十堰市高三下4月二模)如图甲所示，电阻不计、间距为0．5 m的光滑平行金属导轨竖直放置，上端连接阻值为3 Ω的定值电阻，虚线OO′下方存在垂直于导轨平面向里、磁感应强度大小为2 T的匀强磁场。现将电阻为1 Ω的金属杆ab从OO′上方某处由静止释放，金属杆ab下落过程中始终水平且与导轨接触良好，其速度大小v与下落时间t的关系图像如图乙所示，取重力加速度大小g＝10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A．金属杆进入磁场后a端的电势较高
B．金属杆进入磁场后产生的电功率为8 W
C．金属杆进入磁场后两端的电压为4 V
D．金属杆的质量为0．1 kg
4．(2022·上海高考)如图，一个正方形导线框以初速度v0向右穿过一个有界的匀强磁场。线框两次速度发生变化所用时间分别为t1和t2，这两段时间内克服安培力做的功分别为W1和W2，则(　　)
A．t1＜t2，W1＜W2
B．t1＜t2，W1＞W2
C．t1＞t2，W1＜W2
D．t1＞t2，W1＞W2
6．如图所示，光滑绝缘水平面上嵌入一无限长通电直导线。一质量为0．02 kg的金属片在该平面内以大小为v0＝2 m/s、方向与电流方向成60°角的初速度滑出。则(　　)
A．圆形金属片最终将静止在水平面上的某处
B．圆形金属片最终沿垂直导线方向做匀速直线运动
C．圆形金属片所受安培力方向始终和运动方向相反
D．圆形金属片中产生的电能最多为0．03 J
［B组　综合提升练］
8．(2024·全国甲卷)(多选)如图，一绝缘细绳跨过两个在同一竖直面(纸面)内的光滑定滑轮，绳的一端连接一矩形金属线框，另一端连接一物块。线框与左侧滑轮之间的虚线区域内有方向垂直纸面的匀强磁场，磁场上下边界水平，在t＝0时刻线框的上边框以不同的初速度从磁场下方进入磁场。运动过程中，线框始终在纸面内且上下边框保持水平。以向上为速度的正方向，下列线框的速度v随时间t变化的图像中可能正确的是(　　)
9．(2024·河北高考)如图，边长为2L的正方形金属细框固定放置在绝缘水平面上，细框中心O处固定一竖直细导体轴OO′。间距为L、与水平面成θ角的平行导轨通过导线分别与细框及导体轴相连。导轨和细框分别处在与各自所在平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小均为B。足够长的细导体棒OA在水平面内绕O点以角速度ω匀速转动，水平放置在导轨上的导体棒CD始终静止。OA棒在转动过程中，CD棒在所受安培力达到最大和最小时均恰好能静止。已知CD棒在导轨间的电阻值为R，电路中其余部分的电阻均不计，CD棒始终与导轨垂直，各部分始终接触良好，不计空气阻力，重力加速度大小为g。
(1)求CD棒所受安培力的最大值和最小值。
(2)锁定OA棒，推动CD棒下滑，撤去推力瞬间，CD棒的加速度大小为a，所受安培力大小等于(1)问中安培力的最大值，求CD棒与导轨间的动摩擦因数。
10．如图所示，两平行金属导轨水平放入磁感应强度为B、方向竖直向上的匀强磁场中，导轨间距为L，导轨左端接有一电容为C的平行板电容器。一质量为m的金属棒ab垂直放在导轨上，在水平恒力F的作用下从静止开始运动。棒与导轨接触良好，不计金属棒和导轨的电阻以及金属棒和导轨间的摩擦。求金属棒的加速度并分析金属棒的运动性质。
［C组　拔尖培优练］

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