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四川省成都市第七中学初中学校2024--2025学年下学期一模数学试题
1．（2025·成都模拟）在3，，0，1四个数中，最大的数是（　　）
A．3 B． C．0 D．1
2．（2025·成都模拟）据报道，2024年春节假期全国国内旅游出游合计8.26亿人次.8.26亿用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·成都模拟） 下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·成都模拟）如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的周长是25，则四边形的周长是（　　）
A．4 B．10 C． D．
5．（2025·成都模拟）为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“村BA”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的中位数是（　　）
A．53 B．55 C．58 D．64
6．（2025·成都模拟）如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（　　）
A． B． C．3 D．
7．（2025·成都模拟）古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树.请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·成都模拟）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，其顶点坐标为，下列说法正确的是（　　）．
A． B．当时，随的增大而减小
C．点的坐标为 D．
9．（2025·成都模拟）分解因式：2a3﹣8a=　 　．
10．（2025·成都模拟）在平面直角坐标系中，将点向右平移1个单位，再向下平移2个单位后恰好落在直线上，则的值为　 　．
11．（2025·成都模拟）如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为　 　．
12．（2025·成都模拟）如果抛物线的对称轴是y轴，那么它的顶点坐标为　 　．
13．（2025·成都模拟）如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N； ②作直线，与交于点E，连接，若，直线恰好经过点A，则的长为 　 　．
14．（2025·成都模拟）（1）计算∶ ；
（2）解不等式组：
15．（2025·成都模拟）某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
等级 时长（单位：分种） 人数 所占百分比
A
B 　
C 　
D 　
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为___，表中x的值为___；
（2）该校共有500名学生，请你估计等级为B的学生人数；
（3）本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
16．（2025·成都模拟）某数学兴趣小组在一片空旷安全的地面上，对成绵扩容项目的某段高架桥的高度进行了测量．如图，在面向高架桥的点A 处，测得高架桥顶端C的仰角为，在离A点的点B 处测得高架桥顶端C 的仰角为．求这段高架桥离地面的高度．(结果精确到．参考数据：
17．（2025·成都模拟）如图，ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，AE是⊙O的直径，连接EC
（1）求证：；
（2）若，于点，，，求的值
18．（2025·成都模拟）已知一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，交y轴于点C．
（1）当A点的横坐标为4时，求反比例函数的表达式和点B的坐标；
（2）在（1）的条件下，若点A关于原点的对称点为，求的面积；
（3）探究：点P在y轴上，是否存在一点P，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点P．若存在，求出P点坐标及此时的k值；若不存在，请说明理由．
19．（2025·成都模拟）若，则代数式的值为　 　．
20．（2025·成都模拟）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是　 　．
21．（2025·成都模拟）从，，0，1，2，4这六个数中，任取一个数作为a的值，恰好使得关于x，y的二元一次方程组有整数解，且函数与x轴有公共点的概率是　 　．
22．（2025·成都模拟）若二次函数 满足∶ 当时，，则称这个二次函数是上的“封闭二次函数”．已知是上的“封闭二次函数”，且图象过点和，则　 　 ；若二次函数是上的“封闭二次函数”，其图象过点和，则a的取值范围是　 　．
23．（2025·成都模拟）如图，在等边中，D为内一点，且，连接并延长交于点E，若，，则的长为　 　．
24．（2025·成都模拟）为迎接全市文旅产业发展大会，某景区研发一款纪念品，每件成本30元，投放景区内进行销售，销售一段时间发现，每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)满足一次函数关系，部分图象如图．
（1）直接写出y与x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；
（2）当销售单价为多少元时，每天的获利最大？最大利润是多少？
25．（2025·成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，直线与抛物线交于两点(点在轴左侧，点在轴右侧)，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若与的面积之比是，求的值；
（3）若作点关于轴的对称点，直线与直线相交于点，试探究：的面积是否为定值？若为定值，请求出的面积；若不为定值，请说明理由．
26．（2025·成都模拟）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（)．
【初步感知】
（1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，，求的值；
【深入探究】
（2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长；
【拓展延伸】
（3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求线段的长度；若不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴最大的数是3，
故答案为：A．
【分析】正数大于负数，0大于负数，且小于正数，据此进行判断即可．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：；
故答案为：B．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，n为原数字的整数位减1.其中1万=1 0000，1亿=1 0000 0000.
3．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】
A：不能直接合并，故A选项计算错误，不符合题意；
B：故B选项计算错误，不符合题意；
C：，故A选项计算正确，符合题意；
D：，故D选项计算错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】分别利用合并同类项法则、积的乘方运算法则、完全平方公式、平方差公式进行计算验证即可求解.
4．【答案】B
【知识点】相似多边形；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；位似图形的性质
【解析】【解答】解：四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，
∴AB//EF，四边形∽四边形，
∴.
∵AB//EF，
∴△OEF∽△OAB.
又∵，
，
∴.
∵四边形ABCD的周长为25，
四边形的周长．
故答案为：B．
【分析】先根据位似的性质得AB//EF，四边形∽四边形，由相似得周长比=对应边的比，再有平行得△OEF∽△OAB，即可得的比，代入即可得周长比，继而可得四边形EFGH的周长.
5．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：把这组数据从小到大排列后为50、51、55、55、61、64，
∴这组数据的中位数为（55+55）÷2=55.
故答案为：B.
【分析】将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可.
6．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OB，OC，如图所示：
∵⊙O的周长等于6π，即2πr=6π，
∴r=3，
∵六边形ABCDEF为圆内接正六边形，
∴∠BOC360°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝3.
故答案为：C．
【分析】连接OB，OC，由⊙O的周长等于6π，可得⊙O的半径，又由圆的内接多边形的性质，得△BOC为的等边三角形，根据等边三角形的性质即可求得答案．
7．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设乌鸦有x只，树有y棵，
依题意，得： .
故答案为：D.
【分析】设乌鸦有x只，树有y棵，根据三个坐一棵，五个地上落可得：；根据五个坐一棵，闲了一棵树可得：，联立就可得到方程组.
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与轴交于点和点，其顶点坐标为，
可设二次函数的解析式为：，
把代入可得：，
∴，
故选项A错误，不符合题意；
∵顶点坐标为，
∴对称轴为直线，且开口向上，
∴ 当时，随的增大而增大，故选项B错误，不符合题意；
由，可得x=5或x=-1，
∴点B坐标为：（5，0）故选项C错误，不符合题意；
∵二次函数的图象与轴交于点和点，，其顶点坐标为，
∴抛物线开口向上，
∴-1＜x＜5时，y<0，即时，，
∴，故选项D正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】由题意可设顶点时，把点A坐标代入可求出a的值，继而可判断选项A；再根据开口方向和对称轴，以及二次函数的性质即可判断选项B；令y=0，求出点B的坐标，即可判断选项C；根据图象开口向上，与轴交于点和点，即得出当时，，代入，即得出，可判断D．
9．【答案】2a（a+2）（a﹣2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=2a（a2﹣4）=2a（a+2）（a﹣2），
故答案为：2a（a+2）（a﹣2）
【分析】原式提取2a，再利用平方差公式分解即可．
10．【答案】
【知识点】用坐标表示平移；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得点，
根据题意，点在直线上，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】根据点的坐标平移规律可得点平移后的点坐标，再根据一次函数图象上点的坐标特征，即可求得a的值．
11．【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴，
故答案为：3．
【分析】利用全等三角形的对应边相等可得，由CF=EF-CE即可求解．
12．【答案】(0，1)
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵的的对称轴是y轴，
∴，
解得：
∴抛物线为：，
将代入得：，
∴顶点坐标为．
故答案为：．
【分析】先根据的的对称轴是y轴求出b的值，再根据抛物线解析式求出顶点坐标。
13．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：∵菱形中，，
.
根据作图可知直线是线段的垂直平分线，
∴，，
∴在中，
，
故答案为：．
【分析】根据菱形的性质可得，根据作图可知直线是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得DE的长以及，再根据勾股定理即可求得AE的长．
14．【答案】解：（1）
；
（2），
解不等式，得：，
解不等式，得：，
原不等式组的解集是．
【知识点】负整数指数幂；解一元一次不等式组；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、并且去绝对值，然后进行加减乘除运算即可；
（2）先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．求不等式组的解集时，同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解.
15．【答案】（1），
（2）解：（人），
答：等级为B的学生人数大约有200人．
（3）画树状图，如图所示：
共有12种等可能结果，其中符合题意的有8种，
∴抽到一名男生和一名女生的概率为．
【知识点】频数（率）分布表；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由图标可得：本次调查的学生总人数为（人）
，
故答案为：，．
【分析】（1）根据等级的人数除以D等级所占的百分比求得总人数，根据的人数除以总人数乘以得到A组的占比，即可求得的值；
（2）根据样本估计总体，用乘以等级人数的占比即可求解；
（3）根据画树状图的方法求得所有可能，根据概率公式即可求解．
（1）解：本次调查的学生总人数为（人）
，
故答案为：，．
（2）（人），
答：等级为B的学生人数为200人．
（3）画树状图，如图所示：
共有12种等可能结果，其中符合题意的有8种，
抽到一名男生和一名女生的概率为．
16．【答案】解：由题意可知，，△ACD和△BCD都是直角三角形，
在中，，设CD=x m，
∵，即，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∵，即．
解得．
经检验，x=1.32是原方程的解，且符合题意.
∴这段高架桥离地面的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；母子模型
【解析】【分析】由题意可知，，△ACD和△BCD都是直角三角形，设CD=x m，分别在Rt△ACD和Rt△BCD中解直角三角形，可得关于x的方程，求解即可得到答案．
17．【答案】证明：（1）连接，如图所示：
∵是⊙O的切线，AE是⊙O的直径，
∴，
∴，
∴.
∵，，
∴，
∴，即；
（2）由（1）可知，
∵，
∴
∴，即，
∴，
∴，
∴.
∴.
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ACE=90°，∠ABC=∠AEC，
∴.
∴，
∴．
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接，根据是⊙O的切线，AE是⊙O的直径，可得，再利用等腰三角形的性质和同弧所对的圆周角相等可得，等量代换即可得到结论.
（2）由（1）可知，易得，则有，代入数据可得，继而可得AC的长，再证明，可得，代入数据即可得AD·AE的值．
18．【答案】（1）解：一次函数图象过点A，点A的横坐标为4，
∴，即A(4，4).
把点A的坐标代入 可得：
，
反比例函数的表达式为，
由得：x=4（舍）或x=-8，
∴点B的坐标为.
（2）解：，
点A关于原点的对称点为的坐标为，
∴线段A'A所在直线的解析式为：y=x.
过点B作BD//x轴交A'A于点D，如图所示：
又，
∴当y=-2时，x=-2，即D(﹣2，﹣2).
∴BD=-2－（-8）=6.
.
（3）解：假设存在满足条件的点P使△APB为等腰直角三角形如图所示，连接AP，BP，过点A作轴于E，轴于D，，AP=BP，
∴∠EAP+∠EPA=90°=∠EPA+∠BPD，
∴∠EAP=∠BPD，
∴△AEP≌△PDB(AAS)
∴AE=DP，EP=BD.
设点，，
，，
∵DP+OD+OE=EP，
∴AE+OD+OE=BD，
∴
整理得：，
∴.
把点A，B的坐标代入反比例函数解析式可得∴，
把代入可得解得：或（舍），
．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）将点的坐标代入一次函数解析式可求出A的坐标，再代入反比例函数解析式，即可求出k的值，联立方程组即可得到结论．
（2）求出点的坐标，计算得线段A'A所在直线的解析式为：y=x.过点B作BD//x轴交A'A于点D，求出BD长，再由三角形的面积公式即可得到答案．
（3）过点A作轴于E，轴于D，利用AAS证明△AEP≌△PDB，可得AE=DP，EP=BD.设点，，于是可得AE，OE，BD和OD的长，根据AE+OD+OE=BD，可得关于a，b的方程，计算可得b=-3a，点A，B坐标代入反比例函数解析式可得，计算即可求得a和k的值.
（1）解：设点，
一次函数图象过点A，
，
，
反比例函数的图象过点，
，
反比例函数的表达式为，
由，
解得或，
点的坐标为；
（2）解：如图，过点作轴，交与Q，：
，
点A关于原点的对称点为的坐标为，
当时，，
∴，，
又，
，
即的面积是24；
（3）解：如图，过点A作轴于E，轴于D，
，
设点，
，，
联立方程组可得：
∴，
解得：(点A的横坐标)，
当时，，
点，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
19．【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据等式得到，再把括号内分式通分，并把除法化为乘法，然后因式分解进行化简，最后再整体代入进行计算即可．
20．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，
由公式法解一元二次方程可得，
根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是，
故答案为：．
【分析】利用公式法求出方程的解，即得三角形的两直角边长，再利用勾股定理求出斜边长即可.
21．【答案】
【知识点】解二元一次方程组；二次函数图象与坐标轴的交点问题；概率公式
【解析】【解答】解：解方程组得：
，
∵方程组有整数解，
∴为，，，
∴可以为，，，，，；
∴可以选择的a值有：-2，0，1；
当a≠0时，二次函数与x轴有交点，
∴，
∴且，
∵当时，函数为，
此时函数与x轴也有公共点，
∴符合条件的a的值为，，，
∴满足两个条件的概率是，
故答案为：．
【分析】先解方程组求出，根据整数解得到a的值，并确定满足题干条件的a值；然后分a≠0，利用抛物线与x轴有交点得到，和a=0两种情况进行讨论，确定满足条件a的值，最后利用概率公式计算即可．
22．【答案】；或
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的图象；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：∵是上的“封闭二次函数”，且图象过点和，
代入得：
，
两式相减得，
即，
∵，
∴，即；
∵二次函数是上的“封闭二次函数”，其图象过点和，
代入得
，
解得：，
∴，
∴抛物线的对称轴是直线：，顶点坐标为.
当时，抛物线开口向下，且，
①当，即时，在范围内，y随x的增大而减小，
∴可以满足在范围内，，满足“封闭二次函数”的定义；
②当，即时，二次函数在对称轴上取得最大值，
∵x=-2时，y=2；x=2时，y=﹣2，
故二次函数的最大值大于2，不满足“封闭二次函数”的定义；
当时，抛物线开口向上，且，
①若，即，在范围内，y随x的增大而减小，
∴可以满足在范围内，，满足“封闭二次函数”的定义；
②当，即时，二次函数在对称轴上取得最小，
x=-2时，y=2；x=2时，y=﹣2，
∴二次函数的最小值小于﹣2，不满足“封闭二次函数”的定义；
综上所述，a的取值范围为或．
故答案为：4；或．
【分析】根据题意把和代入并相减得到，由s≠t，即可得s+t的值；
把和代入，可得解析式，计算得对称轴为，再分为和两种情况分别讨论：当a<0时，分和两种情况讨论二次函数的增减性和最值；当a>0时，分和两种情况讨论二次函数的增减性和最值；即可确定满足条件的a的取值范围．
23．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程；等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，作的外接圆，连接并延长分别交于点，作于点，作交延长线于点，连接、、、，
，，
，
等边，
，，
是的外接圆，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
在中，，，
，
，
∴∠BCM=90°－∠ABC=30°，
∴OB=BC=2BM=2BH，即BM=BH.
设，，
，，，，
在中，，
在中，，
，
整理得：；
∵，
∴∠CGF=∠CDF，
∴∠ECG+∠CEG=∠F+∠CEG，即，
又∵，
，
，
，
整理得：；
得，，
整理得：，
令，
可得，
∴，（舍）
∴，
把代入②，得，
解得：或（舍去），
．
的长为．
故答案为：．
【分析】作的外接圆，连接并延长分别交于点，作于点，作交延长线于点，连接、、、，利用三角形外接圆的性质得到是等边三角形，则有，，通过证明得到，，设，，在中利用勾股定理整理得到，再通过证明，得到，代入数据整理得到，联立方程解出的值，即可求出的长．
24．【答案】（1）
（2）解：设每天获利w元，根据题意得
∴
∵，
∴当时，w取最大值，为1250，
故当销售单价55元/件时，每天获利最大，且最大利润为1250元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）由题意，可设一次函数的解析式为，
根据图象可知，x=30时，y=100；当x=50时，y=60，
代入得：，
解得，
∴y与x的函数关系式为；
故答案为：.
【分析】（1）根据题意设，再利用待定系数法得关系式．
（2）每件的利润乘以销售量＝总利润，设每天获利w元，可得关于x的二次函数，再利用二次函数的性质求最值即可．
（1）解：设解析式为
根据图像可知，点在上
∴，解得，
∴y与x的函数关系式为；
（2）解：设每天获利w元，根据题意得
∵，
∴当时，w取最大值为1250，
答：当销售单价55元/件时，每天获利最大，最大利润为1250元．
25．【答案】（1）解：已知抛物线经过点，
将点代入抛物线方程可得：
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：∵与的面积之比是，且△AMP和△BMP是同高的三角形，
∴，
过点B作BE⊥y轴于点E，过点A作AF⊥y轴于点F，如图所示：
∴BE//AF，
∴△AFM∽△BEM.
∴.
∵点都在直线 上，
∴M(0，1)，
设AF=a，MF=b，则BE=4a，ME=4b.
∴A(﹣a，1－b)，B(4a，1+4b).
把点A，B坐标代入可得：
∴或(舍).
∴，
把点A坐标代入 可得：
∴，
∴．
（3）解：的面积为定值，的面积为4，理由如图：
点关于轴的对称点，作图如下：
设点的坐标分别为：、，
把点的坐标代入 可得：
∴，
∴.整理得：mn=﹣4.
∵直线的表达式为：
直线的表达式为：，
联立得：，
解得：.
代入得：
.
∴点的纵坐标为，
∵
∴的面积是定值，.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数的实际应用-几何问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）把点代入抛物线解析式，求解即可；
（2）根据与的面积之比是，过点B作BE⊥y轴于点E，过点A作AF⊥y轴于点F，证明△AFM∽△BEM，，设AF=a，MF=b，则BE=4a，ME=4b，可表示出点A和B的坐标，代入反比例函数解析式，可求得点A坐标，再反代入一次函数解析式，即可求得k的值；
（3）设、，代入一次函数解析式可得：mn=﹣4.通过点关于轴的对称点和直线的方程，联立求解交点的坐标，可验证纵坐标为定值，即的面积为定值，再求出面积即可．
（1）解：已知抛物线经过点，
将点代入抛物线方程可得：，解得，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：若与的面积之比是，
则，
∵点在同一直线上，
则，即①，
联立直线与抛物线的方程得：，
整理得，
∴，②，
由①②得：，解得：，
∵点在轴左侧，
∴，
∴，即，
∴，即．
（3）解：点关于轴的对称点，
直线与轴交于点，则点，
设点的坐标分别为：、，
由点的坐标得，直线的表达式为：
，
将点的坐标代入上式得：
，
整理得：，
由点的坐标得，直线的表达式为：
，
同理可得，的表达式为：
，
联立上述两式得：
，
解得：，
，
则，
，
，
∴点的纵坐标为为定值，即的面积为定值，
∵，到的距离为，
∴．
26．【答案】解：（1）
∴，
∵△ABC旋转得△EBD，
∴，
∴
又，
，
∴；
（2）如图2， 延长交于，连接交于，如图所示：
由（1）知：，
∴，
∵是中线，，
∴，
∴，
∴AH//BC，
∴，
∴FH=FA=CF=BF，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是矩形，
∴，，
∵，
∴，
设，
∵，，
∴，
，
，
，，
∴，
，
在Rt△EHM中，
解得，
；
（3）∵△ADE是以AE为直角边的直角三角形，
∴①AD为另外一条直角边，即∠EAD=90°，过点作于，过点作于，如图所示：
，
∴四边形是矩形，
，
∵AB=BE，BQ⊥AE，
∴EQ=AQ=PQ，设AQ=m，
∴，
∵，
∴，
又∵∠EAD=∠BPD，
∴，
，即，
∴
∴Rt△ADE中，，
解得：(负值舍)，
；
②DE为为另外一条直角边，即∠AED=90°，过点B作BG⊥AE于点Q，如图所示：
∵∠BDE=∠AED=∠BQE=90°，
∴四边形BDEQ是矩形，
∴QE=BD=6.
∵BE=BA，BQ⊥AE，
∴AQ=QE=6.
∴AE=12.
∴在Rt△EHM中，.
综上，的长是或．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）勾股定理计算得BE的长，再证明，即可解答；
（2）延长交于点，连接交于，证明四边形为矩形，设，先根据相似得，再利用AAS证明，可得，最后在Rt△EHM中利用勾股定理列方程，求出x的值，即可解答；
（3）分①AD为另外一条直角边，即∠EAD=90°，②DE为为另外一条直角边，即∠AED=90°两种情况进行讨论；①AD为另外一条直角边，即∠EAD=90°，过点作于，过点作于，证明，得，设PD=m，证明EQ=AQ，表示出AD，再利用勾股定理，即可解答；②DE为为另外一条直角边，即∠AED=90°，过点B作BG⊥AE于点Q，证明AQ=QE=BD，再利用勾股定理即可解答.
1 / 1四川省成都市第七中学初中学校2024--2025学年下学期一模数学试题
1．（2025·成都模拟）在3，，0，1四个数中，最大的数是（　　）
A．3 B． C．0 D．1
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴最大的数是3，
故答案为：A．
【分析】正数大于负数，0大于负数，且小于正数，据此进行判断即可．
2．（2025·成都模拟）据报道，2024年春节假期全国国内旅游出游合计8.26亿人次.8.26亿用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：；
故答案为：B．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，n为原数字的整数位减1.其中1万=1 0000，1亿=1 0000 0000.
3．（2025·成都模拟） 下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】
A：不能直接合并，故A选项计算错误，不符合题意；
B：故B选项计算错误，不符合题意；
C：，故A选项计算正确，符合题意；
D：，故D选项计算错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】分别利用合并同类项法则、积的乘方运算法则、完全平方公式、平方差公式进行计算验证即可求解.
4．（2025·成都模拟）如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的周长是25，则四边形的周长是（　　）
A．4 B．10 C． D．
【答案】B
【知识点】相似多边形；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；位似图形的性质
【解析】【解答】解：四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，
∴AB//EF，四边形∽四边形，
∴.
∵AB//EF，
∴△OEF∽△OAB.
又∵，
，
∴.
∵四边形ABCD的周长为25，
四边形的周长．
故答案为：B．
【分析】先根据位似的性质得AB//EF，四边形∽四边形，由相似得周长比=对应边的比，再有平行得△OEF∽△OAB，即可得的比，代入即可得周长比，继而可得四边形EFGH的周长.
5．（2025·成都模拟）为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“村BA”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的中位数是（　　）
A．53 B．55 C．58 D．64
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：把这组数据从小到大排列后为50、51、55、55、61、64，
∴这组数据的中位数为（55+55）÷2=55.
故答案为：B.
【分析】将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可.
6．（2025·成都模拟）如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（　　）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OB，OC，如图所示：
∵⊙O的周长等于6π，即2πr=6π，
∴r=3，
∵六边形ABCDEF为圆内接正六边形，
∴∠BOC360°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝3.
故答案为：C．
【分析】连接OB，OC，由⊙O的周长等于6π，可得⊙O的半径，又由圆的内接多边形的性质，得△BOC为的等边三角形，根据等边三角形的性质即可求得答案．
7．（2025·成都模拟）古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树.请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设乌鸦有x只，树有y棵，
依题意，得： .
故答案为：D.
【分析】设乌鸦有x只，树有y棵，根据三个坐一棵，五个地上落可得：；根据五个坐一棵，闲了一棵树可得：，联立就可得到方程组.
8．（2025·成都模拟）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，其顶点坐标为，下列说法正确的是（　　）．
A． B．当时，随的增大而减小
C．点的坐标为 D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与轴交于点和点，其顶点坐标为，
可设二次函数的解析式为：，
把代入可得：，
∴，
故选项A错误，不符合题意；
∵顶点坐标为，
∴对称轴为直线，且开口向上，
∴ 当时，随的增大而增大，故选项B错误，不符合题意；
由，可得x=5或x=-1，
∴点B坐标为：（5，0）故选项C错误，不符合题意；
∵二次函数的图象与轴交于点和点，，其顶点坐标为，
∴抛物线开口向上，
∴-1＜x＜5时，y<0，即时，，
∴，故选项D正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】由题意可设顶点时，把点A坐标代入可求出a的值，继而可判断选项A；再根据开口方向和对称轴，以及二次函数的性质即可判断选项B；令y=0，求出点B的坐标，即可判断选项C；根据图象开口向上，与轴交于点和点，即得出当时，，代入，即得出，可判断D．
9．（2025·成都模拟）分解因式：2a3﹣8a=　 　．
【答案】2a（a+2）（a﹣2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=2a（a2﹣4）=2a（a+2）（a﹣2），
故答案为：2a（a+2）（a﹣2）
【分析】原式提取2a，再利用平方差公式分解即可．
10．（2025·成都模拟）在平面直角坐标系中，将点向右平移1个单位，再向下平移2个单位后恰好落在直线上，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】用坐标表示平移；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得点，
根据题意，点在直线上，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】根据点的坐标平移规律可得点平移后的点坐标，再根据一次函数图象上点的坐标特征，即可求得a的值．
11．（2025·成都模拟）如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为　 　．
【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴，
故答案为：3．
【分析】利用全等三角形的对应边相等可得，由CF=EF-CE即可求解．
12．（2025·成都模拟）如果抛物线的对称轴是y轴，那么它的顶点坐标为　 　．
【答案】(0，1)
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵的的对称轴是y轴，
∴，
解得：
∴抛物线为：，
将代入得：，
∴顶点坐标为．
故答案为：．
【分析】先根据的的对称轴是y轴求出b的值，再根据抛物线解析式求出顶点坐标。
13．（2025·成都模拟）如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N； ②作直线，与交于点E，连接，若，直线恰好经过点A，则的长为 　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：∵菱形中，，
.
根据作图可知直线是线段的垂直平分线，
∴，，
∴在中，
，
故答案为：．
【分析】根据菱形的性质可得，根据作图可知直线是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得DE的长以及，再根据勾股定理即可求得AE的长．
14．（2025·成都模拟）（1）计算∶ ；
（2）解不等式组：
【答案】解：（1）
；
（2），
解不等式，得：，
解不等式，得：，
原不等式组的解集是．
【知识点】负整数指数幂；解一元一次不等式组；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、并且去绝对值，然后进行加减乘除运算即可；
（2）先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．求不等式组的解集时，同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解.
15．（2025·成都模拟）某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
等级 时长（单位：分种） 人数 所占百分比
A
B 　
C 　
D 　
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为___，表中x的值为___；
（2）该校共有500名学生，请你估计等级为B的学生人数；
（3）本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1），
（2）解：（人），
答：等级为B的学生人数大约有200人．
（3）画树状图，如图所示：
共有12种等可能结果，其中符合题意的有8种，
∴抽到一名男生和一名女生的概率为．
【知识点】频数（率）分布表；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由图标可得：本次调查的学生总人数为（人）
，
故答案为：，．
【分析】（1）根据等级的人数除以D等级所占的百分比求得总人数，根据的人数除以总人数乘以得到A组的占比，即可求得的值；
（2）根据样本估计总体，用乘以等级人数的占比即可求解；
（3）根据画树状图的方法求得所有可能，根据概率公式即可求解．
（1）解：本次调查的学生总人数为（人）
，
故答案为：，．
（2）（人），
答：等级为B的学生人数为200人．
（3）画树状图，如图所示：
共有12种等可能结果，其中符合题意的有8种，
抽到一名男生和一名女生的概率为．
16．（2025·成都模拟）某数学兴趣小组在一片空旷安全的地面上，对成绵扩容项目的某段高架桥的高度进行了测量．如图，在面向高架桥的点A 处，测得高架桥顶端C的仰角为，在离A点的点B 处测得高架桥顶端C 的仰角为．求这段高架桥离地面的高度．(结果精确到．参考数据：
【答案】解：由题意可知，，△ACD和△BCD都是直角三角形，
在中，，设CD=x m，
∵，即，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∵，即．
解得．
经检验，x=1.32是原方程的解，且符合题意.
∴这段高架桥离地面的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；母子模型
【解析】【分析】由题意可知，，△ACD和△BCD都是直角三角形，设CD=x m，分别在Rt△ACD和Rt△BCD中解直角三角形，可得关于x的方程，求解即可得到答案．
17．（2025·成都模拟）如图，ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，AE是⊙O的直径，连接EC
（1）求证：；
（2）若，于点，，，求的值
【答案】证明：（1）连接，如图所示：
∵是⊙O的切线，AE是⊙O的直径，
∴，
∴，
∴.
∵，，
∴，
∴，即；
（2）由（1）可知，
∵，
∴
∴，即，
∴，
∴，
∴.
∴.
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ACE=90°，∠ABC=∠AEC，
∴.
∴，
∴．
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接，根据是⊙O的切线，AE是⊙O的直径，可得，再利用等腰三角形的性质和同弧所对的圆周角相等可得，等量代换即可得到结论.
（2）由（1）可知，易得，则有，代入数据可得，继而可得AC的长，再证明，可得，代入数据即可得AD·AE的值．
18．（2025·成都模拟）已知一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，交y轴于点C．
（1）当A点的横坐标为4时，求反比例函数的表达式和点B的坐标；
（2）在（1）的条件下，若点A关于原点的对称点为，求的面积；
（3）探究：点P在y轴上，是否存在一点P，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点P．若存在，求出P点坐标及此时的k值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：一次函数图象过点A，点A的横坐标为4，
∴，即A(4，4).
把点A的坐标代入 可得：
，
反比例函数的表达式为，
由得：x=4（舍）或x=-8，
∴点B的坐标为.
（2）解：，
点A关于原点的对称点为的坐标为，
∴线段A'A所在直线的解析式为：y=x.
过点B作BD//x轴交A'A于点D，如图所示：
又，
∴当y=-2时，x=-2，即D(﹣2，﹣2).
∴BD=-2－（-8）=6.
.
（3）解：假设存在满足条件的点P使△APB为等腰直角三角形如图所示，连接AP，BP，过点A作轴于E，轴于D，，AP=BP，
∴∠EAP+∠EPA=90°=∠EPA+∠BPD，
∴∠EAP=∠BPD，
∴△AEP≌△PDB(AAS)
∴AE=DP，EP=BD.
设点，，
，，
∵DP+OD+OE=EP，
∴AE+OD+OE=BD，
∴
整理得：，
∴.
把点A，B的坐标代入反比例函数解析式可得∴，
把代入可得解得：或（舍），
．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）将点的坐标代入一次函数解析式可求出A的坐标，再代入反比例函数解析式，即可求出k的值，联立方程组即可得到结论．
（2）求出点的坐标，计算得线段A'A所在直线的解析式为：y=x.过点B作BD//x轴交A'A于点D，求出BD长，再由三角形的面积公式即可得到答案．
（3）过点A作轴于E，轴于D，利用AAS证明△AEP≌△PDB，可得AE=DP，EP=BD.设点，，于是可得AE，OE，BD和OD的长，根据AE+OD+OE=BD，可得关于a，b的方程，计算可得b=-3a，点A，B坐标代入反比例函数解析式可得，计算即可求得a和k的值.
（1）解：设点，
一次函数图象过点A，
，
，
反比例函数的图象过点，
，
反比例函数的表达式为，
由，
解得或，
点的坐标为；
（2）解：如图，过点作轴，交与Q，：
，
点A关于原点的对称点为的坐标为，
当时，，
∴，，
又，
，
即的面积是24；
（3）解：如图，过点A作轴于E，轴于D，
，
设点，
，，
联立方程组可得：
∴，
解得：(点A的横坐标)，
当时，，
点，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
19．（2025·成都模拟）若，则代数式的值为　 　．
【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据等式得到，再把括号内分式通分，并把除法化为乘法，然后因式分解进行化简，最后再整体代入进行计算即可．
20．（2025·成都模拟）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是　 　．
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，
由公式法解一元二次方程可得，
根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是，
故答案为：．
【分析】利用公式法求出方程的解，即得三角形的两直角边长，再利用勾股定理求出斜边长即可.
21．（2025·成都模拟）从，，0，1，2，4这六个数中，任取一个数作为a的值，恰好使得关于x，y的二元一次方程组有整数解，且函数与x轴有公共点的概率是　 　．
【答案】
【知识点】解二元一次方程组；二次函数图象与坐标轴的交点问题；概率公式
【解析】【解答】解：解方程组得：
，
∵方程组有整数解，
∴为，，，
∴可以为，，，，，；
∴可以选择的a值有：-2，0，1；
当a≠0时，二次函数与x轴有交点，
∴，
∴且，
∵当时，函数为，
此时函数与x轴也有公共点，
∴符合条件的a的值为，，，
∴满足两个条件的概率是，
故答案为：．
【分析】先解方程组求出，根据整数解得到a的值，并确定满足题干条件的a值；然后分a≠0，利用抛物线与x轴有交点得到，和a=0两种情况进行讨论，确定满足条件a的值，最后利用概率公式计算即可．
22．（2025·成都模拟）若二次函数 满足∶ 当时，，则称这个二次函数是上的“封闭二次函数”．已知是上的“封闭二次函数”，且图象过点和，则　 　 ；若二次函数是上的“封闭二次函数”，其图象过点和，则a的取值范围是　 　．
【答案】；或
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的图象；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：∵是上的“封闭二次函数”，且图象过点和，
代入得：
，
两式相减得，
即，
∵，
∴，即；
∵二次函数是上的“封闭二次函数”，其图象过点和，
代入得
，
解得：，
∴，
∴抛物线的对称轴是直线：，顶点坐标为.
当时，抛物线开口向下，且，
①当，即时，在范围内，y随x的增大而减小，
∴可以满足在范围内，，满足“封闭二次函数”的定义；
②当，即时，二次函数在对称轴上取得最大值，
∵x=-2时，y=2；x=2时，y=﹣2，
故二次函数的最大值大于2，不满足“封闭二次函数”的定义；
当时，抛物线开口向上，且，
①若，即，在范围内，y随x的增大而减小，
∴可以满足在范围内，，满足“封闭二次函数”的定义；
②当，即时，二次函数在对称轴上取得最小，
x=-2时，y=2；x=2时，y=﹣2，
∴二次函数的最小值小于﹣2，不满足“封闭二次函数”的定义；
综上所述，a的取值范围为或．
故答案为：4；或．
【分析】根据题意把和代入并相减得到，由s≠t，即可得s+t的值；
把和代入，可得解析式，计算得对称轴为，再分为和两种情况分别讨论：当a<0时，分和两种情况讨论二次函数的增减性和最值；当a>0时，分和两种情况讨论二次函数的增减性和最值；即可确定满足条件的a的取值范围．
23．（2025·成都模拟）如图，在等边中，D为内一点，且，连接并延长交于点E，若，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程；等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，作的外接圆，连接并延长分别交于点，作于点，作交延长线于点，连接、、、，
，，
，
等边，
，，
是的外接圆，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
在中，，，
，
，
∴∠BCM=90°－∠ABC=30°，
∴OB=BC=2BM=2BH，即BM=BH.
设，，
，，，，
在中，，
在中，，
，
整理得：；
∵，
∴∠CGF=∠CDF，
∴∠ECG+∠CEG=∠F+∠CEG，即，
又∵，
，
，
，
整理得：；
得，，
整理得：，
令，
可得，
∴，（舍）
∴，
把代入②，得，
解得：或（舍去），
．
的长为．
故答案为：．
【分析】作的外接圆，连接并延长分别交于点，作于点，作交延长线于点，连接、、、，利用三角形外接圆的性质得到是等边三角形，则有，，通过证明得到，，设，，在中利用勾股定理整理得到，再通过证明，得到，代入数据整理得到，联立方程解出的值，即可求出的长．
24．（2025·成都模拟）为迎接全市文旅产业发展大会，某景区研发一款纪念品，每件成本30元，投放景区内进行销售，销售一段时间发现，每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)满足一次函数关系，部分图象如图．
（1）直接写出y与x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；
（2）当销售单价为多少元时，每天的获利最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）解：设每天获利w元，根据题意得
∴
∵，
∴当时，w取最大值，为1250，
故当销售单价55元/件时，每天获利最大，且最大利润为1250元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）由题意，可设一次函数的解析式为，
根据图象可知，x=30时，y=100；当x=50时，y=60，
代入得：，
解得，
∴y与x的函数关系式为；
故答案为：.
【分析】（1）根据题意设，再利用待定系数法得关系式．
（2）每件的利润乘以销售量＝总利润，设每天获利w元，可得关于x的二次函数，再利用二次函数的性质求最值即可．
（1）解：设解析式为
根据图像可知，点在上
∴，解得，
∴y与x的函数关系式为；
（2）解：设每天获利w元，根据题意得
∵，
∴当时，w取最大值为1250，
答：当销售单价55元/件时，每天获利最大，最大利润为1250元．
25．（2025·成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，直线与抛物线交于两点(点在轴左侧，点在轴右侧)，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若与的面积之比是，求的值；
（3）若作点关于轴的对称点，直线与直线相交于点，试探究：的面积是否为定值？若为定值，请求出的面积；若不为定值，请说明理由．
【答案】（1）解：已知抛物线经过点，
将点代入抛物线方程可得：
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：∵与的面积之比是，且△AMP和△BMP是同高的三角形，
∴，
过点B作BE⊥y轴于点E，过点A作AF⊥y轴于点F，如图所示：
∴BE//AF，
∴△AFM∽△BEM.
∴.
∵点都在直线 上，
∴M(0，1)，
设AF=a，MF=b，则BE=4a，ME=4b.
∴A(﹣a，1－b)，B(4a，1+4b).
把点A，B坐标代入可得：
∴或(舍).
∴，
把点A坐标代入 可得：
∴，
∴．
（3）解：的面积为定值，的面积为4，理由如图：
点关于轴的对称点，作图如下：
设点的坐标分别为：、，
把点的坐标代入 可得：
∴，
∴.整理得：mn=﹣4.
∵直线的表达式为：
直线的表达式为：，
联立得：，
解得：.
代入得：
.
∴点的纵坐标为，
∵
∴的面积是定值，.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数的实际应用-几何问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）把点代入抛物线解析式，求解即可；
（2）根据与的面积之比是，过点B作BE⊥y轴于点E，过点A作AF⊥y轴于点F，证明△AFM∽△BEM，，设AF=a，MF=b，则BE=4a，ME=4b，可表示出点A和B的坐标，代入反比例函数解析式，可求得点A坐标，再反代入一次函数解析式，即可求得k的值；
（3）设、，代入一次函数解析式可得：mn=﹣4.通过点关于轴的对称点和直线的方程，联立求解交点的坐标，可验证纵坐标为定值，即的面积为定值，再求出面积即可．
（1）解：已知抛物线经过点，
将点代入抛物线方程可得：，解得，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：若与的面积之比是，
则，
∵点在同一直线上，
则，即①，
联立直线与抛物线的方程得：，
整理得，
∴，②，
由①②得：，解得：，
∵点在轴左侧，
∴，
∴，即，
∴，即．
（3）解：点关于轴的对称点，
直线与轴交于点，则点，
设点的坐标分别为：、，
由点的坐标得，直线的表达式为：
，
将点的坐标代入上式得：
，
整理得：，
由点的坐标得，直线的表达式为：
，
同理可得，的表达式为：
，
联立上述两式得：
，
解得：，
，
则，
，
，
∴点的纵坐标为为定值，即的面积为定值，
∵，到的距离为，
∴．
26．（2025·成都模拟）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（)．
【初步感知】
（1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，，求的值；
【深入探究】
（2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长；
【拓展延伸】
（3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求线段的长度；若不能，请说明理由．
【答案】解：（1）
∴，
∵△ABC旋转得△EBD，
∴，
∴
又，
，
∴；
（2）如图2， 延长交于，连接交于，如图所示：
由（1）知：，
∴，
∵是中线，，
∴，
∴，
∴AH//BC，
∴，
∴FH=FA=CF=BF，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是矩形，
∴，，
∵，
∴，
设，
∵，，
∴，
，
，
，，
∴，
，
在Rt△EHM中，
解得，
；
（3）∵△ADE是以AE为直角边的直角三角形，
∴①AD为另外一条直角边，即∠EAD=90°，过点作于，过点作于，如图所示：
，
∴四边形是矩形，
，
∵AB=BE，BQ⊥AE，
∴EQ=AQ=PQ，设AQ=m，
∴，
∵，
∴，
又∵∠EAD=∠BPD，
∴，
，即，
∴
∴Rt△ADE中，，
解得：(负值舍)，
；
②DE为为另外一条直角边，即∠AED=90°，过点B作BG⊥AE于点Q，如图所示：
∵∠BDE=∠AED=∠BQE=90°，
∴四边形BDEQ是矩形，
∴QE=BD=6.
∵BE=BA，BQ⊥AE，
∴AQ=QE=6.
∴AE=12.
∴在Rt△EHM中，.
综上，的长是或．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）勾股定理计算得BE的长，再证明，即可解答；
（2）延长交于点，连接交于，证明四边形为矩形，设，先根据相似得，再利用AAS证明，可得，最后在Rt△EHM中利用勾股定理列方程，求出x的值，即可解答；
（3）分①AD为另外一条直角边，即∠EAD=90°，②DE为为另外一条直角边，即∠AED=90°两种情况进行讨论；①AD为另外一条直角边，即∠EAD=90°，过点作于，过点作于，证明，得，设PD=m，证明EQ=AQ，表示出AD，再利用勾股定理，即可解答；②DE为为另外一条直角边，即∠AED=90°，过点B作BG⊥AE于点Q，证明AQ=QE=BD，再利用勾股定理即可解答.
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