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广东省2025年初中学业水平考试数学名师模拟卷
满分120分 时间120分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．2的相反数是（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
2．我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2025年1至2月，我国新能源汽车完成出口28.2万辆．28.2万用科学记数法表示为2.82×10n，则n的值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．米斗是我国古代粮仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器，如图（1）是一种无盈米斗，其示图（不计厚度）如图所示（2），则其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》与《四元玉鉴》的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，Rt△ABC的直角顶点A在直线a上，斜边BC在直线b上，若a∥b，∠2＝40°，则∠1的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
6．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点上，则该三角形AB边上的高为（　　）
A．2 B． C． D．
7．如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，，AC与BD交于点G，∠BOC＝54°，则∠AGB的度数为（　　）
A．108° B．110° C．99° D．117°
8．在反比例函数的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则k的取值范围是（　　）
A．k＜0 B．k＞0 C．k＜6 D．k＞6
9．我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清，醑酒各几何？”大意是：现有一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒，醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（　　）
A．10x+3（5﹣x）＝30 B．3x+10（5﹣x）＝30
C． D．
10．定义：（1）y是x的函数；（2）对于在自变量取值范围之内的任意x对应的函数值y，始终有y≤a（a为实数）．则y是x的“顶峰”函数．其中所有满足条件a的最小值称为这个函数的“巅峰”值．例如，y＝﹣x2是“顶峰”函数，它的“巅峰”值是0．下列说法正确的序号是（　　）
①函数是“顶峰”函数；
②函数y＝2x﹣3（x≤2）是“顶峰”函数，“巅峰”值为1；
③若函数y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的最小值不超过2a+1，“巅峰”值是b，则﹣1≤a＜1；
④函数y＝x2﹣2ax+2（﹣a≤x≤﹣a+1）的“巅峰”值为3，则a的值为0或．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．因式分解：4a2﹣b2＝　 　 ．
12．方程的解为 　 　 ．
13．如图，要测量塔的高度，在塔前平地上C处，用测角仪测得塔顶B的仰角∠BDG＝37°，沿CA方向走到E处，测得塔顶点B的仰角∠BFG＝45°，且量得CE长为24m，测角仪的高度为1.2m，点C、E、A在同一直线上，则塔AB的高度为 　 　 m（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
14．如图，AB是半圆O的直径，C是半径OB上一点，过点C作DC⊥AB，交半圆O于点D，连接AD．若AD＝2，则图中阴影部分的面积为 　 　 ．（结果保留π）
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，，动点P在矩形ABCD内且∠APB＝120°，连接DP，则DP长度的最小值为 　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（7分）计算：．
17．（7分）（1）解方程：2x2+x﹣2＝0；
（2）解不等式组：．
18．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）利用尺规求作线段AB的垂直平分线，分别交AB，AC于点D，E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）连接CD，BE，若∠AEB＝120°，CD＝3，求AE的长．
19．（9分）随着自然语言处理、机器学习、深度学习等技术的不断进步，AI聊天机器人的智能化水平显著提高，能够更准确地理解用户意图并给出相应回答．预计2025年，我国对话机器人行业市场规模将达到98.5亿元．有关人员开展了对A，B两款AI聊天机器人的使用满意度的评分调查，并从中各随机抽取20份数据，进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，满分100分，分为四个等级：不满意x＜70、比较满意70≤x＜80、满意80≤x＜90、非常满意x≥90），下面给出了部分信息．
抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89．
抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
抽取的对A，B两款AI聊天机器人的评分统计表
AI聊天机器人 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
A 88 b 96 45%
B 88 87.5 c 40%
根据以上信息，解答下列问题．
（1）上述图表中，a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，c＝ 　 　 ．
（2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）．
（3）在此次调查中，有400人对A款AI聊天机器人进行评分，300人对B款AI聊天机器人进行评分．请通过计算，估计此次调查中对AI聊天机器人不满意的共有多少人．
20．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、点C，与反比例函数的图象交于点B（2，3）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点D（4，n）是反比例函数图象上一点，连接BD、CD，求△BCD的面积．
21．（9分）五一假期，徐师傅一家驾驶一辆新能源汽车自驾游．该汽车在满电状态下电池能量为80kwh，当汽车电池剩余10%的电量时，电量灯变为红色，提示汽车需要充电．徐师傅在满电状态下出发，汽车的剩余电量y（%）与行驶路程x（km）之间的关系如图所示．
（1）当电量灯变为红色时，汽车行驶路程为　 　 km；
（2）若行驶一段时间后，徐师傅发现电量还有56kwh，离景区有280km，徐师傅能到达景区吗？请说明理由．
（3）已知汽车快速充电功率为120kw．徐师傅驾驶满电汽车前往距离600km的景区，在行驶了240km后，发现路边有一快速充电站，停车充电一段时间后继续行驶，当到达景区时电量灯恰好变为红色，求在充电站充电的时长．【充电量（kwh）＝充电功率（kw）×充电时间（h）】
22．（13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A（﹣1，0），B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点，连接AC．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点F在线段OB上，直线CF交第一象限的抛物线于点E，连接AE．当时，求△ACE的面积；
（3）在（2）的条件下，第二象限的抛物线上是否存在点M，使得∠AEM＝∠AFC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（14分）【发现问题】如图1，△ABC是等边三角形，点E在边AC上，连接BE，以BE为边向下作等边三角形BEF，连接CF．
（1）判断AB和CF的位置关系，并说明理由．
（2）探究CF，CE和BC的数量关系．
【问题拓展】
（3）如图2，△ABC是等边三角形，点E在边AC上，点D在边BC上，连接DE，以DE为边向下作等边三角形DEF（点F在线段BC下方），连接CF．探究CF，CE和CD的数量关系．
（4）如图3，在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，点P为AB的中点，点E为线段BC延长线上一点，连接EP交AC于点F，以EF为边向上作等边三角形EFG，连接CG．若CF＝1时，请直接写出CG的长．中小学教育资源及组卷应用平台
广东省2025年初中学业水平考试数学名师模拟卷
解析卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．2的相反数是（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：2的相反数是﹣2，
故选：D．
2．我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2025年1至2月，我国新能源汽车完成出口28.2万辆．28.2万用科学记数法表示为2.82×10n，则n的值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：∵28.2万＝282000＝2.82×105，
∴n等于5．
故选：B．
3．米斗是我国古代粮仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器，如图（1）是一种无盈米斗，其示图（不计厚度）如图所示（2），则其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图，在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到由左向右观察物体的视图，叫做左视图．理解看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线是解题关键．仔细观察图中几何体摆放的位置，根据三种视角观察到的图形判定则可．
【解答】解：俯视图是在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，其图形为：
故选：B．
4．中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》与《四元玉鉴》的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】画树状图表示出所有可能的情况和恰好选中《算学启蒙》和《四元玉鉴》的情况，然后利用概率公式求解即可．
【解答】解：将四部数学名著《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》和《四元玉鉴》分别记为A，B，C，D．
从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，作树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中《算学启蒙》和《四元玉鉴》的结果有2种．
∴P（恰好选中《算学启蒙》和《四元玉鉴》）．
故选：D．
5．如图，Rt△ABC的直角顶点A在直线a上，斜边BC在直线b上，若a∥b，∠2＝40°，则∠1的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据两直线平行，内错角相等得出∠3＝∠2＝40°，即可求出∠1的度数．
【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠3＝∠2＝40°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠1＝180°﹣90°﹣40°＝50°，
故选：C．
6．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点上，则该三角形AB边上的高为（　　）
A．2 B． C． D．
【分析】根据勾股定理求出AB的长，再根据等面积法求出AB边上的高即可．
【解答】解：由勾股定理得，AB，
设AB边上的高为h，
则S△ABC，
∴h，
故选：B．
7．如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，，AC与BD交于点G，∠BOC＝54°，则∠AGB的度数为（　　）
A．108° B．110° C．99° D．117°
【分析】先根据直径所对的圆周角是直角可得：∠DAB＝90°，再根据等弧所对的圆周角定理可得：∠ADB＝∠ABD＝45°，然后利用圆周角定理可得：∠BAC＝27°，从而利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
【解答】解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠DAB＝90°，
∵，
∴∠ADB＝∠ABD＝45°，
∵∠BOC＝54°，
∴∠BAC∠BOC＝27°，
∴∠AGB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABD＝108°，
故选：A．
8．在反比例函数的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则k的取值范围是（　　）
A．k＜0 B．k＞0 C．k＜6 D．k＞6
【分析】首先根据当x1＜0＜x2时，有y1＜y2则判断函数图象所在象限，再根据所在象限判断6﹣k的取值范围．
【解答】解：由条件可知反比例函数图象在第一，三象限，
∴6﹣k＞0，
解得：k＜6．
故选：C．
9．我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清，醑酒各几何？”大意是：现有一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒，醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（　　）
A．10x+3（5﹣x）＝30 B．3x+10（5﹣x）＝30
C． D．
【分析】根据共换了5斗酒，其中清酒x斗，则可得到醑酒（5﹣x）斗，再根据拿30斗谷子，共换了5斗酒，即可列出相应的方程．
【解答】解：设清酒x斗，则醑酒（5﹣x）斗，
由题意可得：10x+3（5﹣x）＝30，
故选：A．
10．定义：（1）y是x的函数；（2）对于在自变量取值范围之内的任意x对应的函数值y，始终有y≤a（a为实数）．则y是x的“顶峰”函数．其中所有满足条件a的最小值称为这个函数的“巅峰”值．例如，y＝﹣x2是“顶峰”函数，它的“巅峰”值是0．下列说法正确的序号是（　　）
①函数是“顶峰”函数；
②函数y＝2x﹣3（x≤2）是“顶峰”函数，“巅峰”值为1；
③若函数y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的最小值不超过2a+1，“巅峰”值是b，则﹣1≤a＜1；
④函数y＝x2﹣2ax+2（﹣a≤x≤﹣a+1）的“巅峰”值为3，则a的值为0或．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【分析】根据反比例函数的性质即可判断①，根据一次函数的性质求出函数的最大值即可判断②；由题意可知：﹣b+2≤y≤﹣a+2，再由﹣a+2＝b，﹣b+2≤2a+1，b＞a，即可求a的取值范围，即可判断③；根据对称轴方程x＝a和“顶峰”值为3，分类讨论a≤﹣a+1时和a＞﹣a时，列方程求解，即可判断④．
【解答】解：函数y＝（x＞0）无最大值，不是“顶峰”函数，故①错误；
在y＝2x﹣3（x≤2）中，
∵2＞0，
∴y随x值的增大而增大，
当x＝2时，有最大值y＝2x﹣3＝1，
即函数y＝2x﹣3（x≤2）是“顶峰”函数，“巅峰”值为1，故②正确；
∵y＝﹣x+2，y随x值的增大而减小，
∴当a≤x≤b时，﹣b+2≤y≤﹣a+2，
∵“巅峰”值是b，
∴﹣a+2＝b，
∵函数的最小值不超过2a+1，
∴﹣b+2≤2a+1，
∴a≥﹣1，
∵b＞a，
∴﹣a+2＞a，
∴a＜1，
∴a的取值范围为：﹣1≤a＜1，故③正确；
∵y＝x2﹣2ax+2的对称轴是直线x＝a，
当a≤﹣a+1，即时，
函数的“巅峰”值是（﹣a+1）2﹣2a（﹣a+1）+2＝3a2﹣4a+3，
∴3a2﹣4a+3＝3，
解得：（舍去）或a＝0；
当a＞﹣a，即a＞0时，
函数的“巅峰”值是（﹣a）2+2a2+2＝3a2+2，
∴3a2+2＝3，
解得：，符合题意．
综上所述：a的值为或0，故④错误．
∴正确的是②③，
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．因式分解：4a2﹣b2＝　（2a+b）（2a﹣b）　 ．
【分析】根据平方差公式分解因式即可；
【解答】解：4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b）；
故答案为：（2a+b）（2a﹣b）．
12．方程的解为 　x＝9　 ．
【分析】方程两边都乘x（x﹣3）得出2x＝3（x﹣3），求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：，
方程两边都乘x（x﹣3），得2x＝3（x﹣3），
解得：x＝9，
检验：当x＝9时，x（x﹣3）≠0，
所以x＝9是原分式方程的解，
即原方程的解是x＝9，
故答案为：x＝9．
13．如图，要测量塔的高度，在塔前平地上C处，用测角仪测得塔顶B的仰角∠BDG＝37°，沿CA方向走到E处，测得塔顶点B的仰角∠BFG＝45°，且量得CE长为24m，测角仪的高度为1.2m，点C、E、A在同一直线上，则塔AB的高度为 　73.2　 m（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
【分析】设DG⊥AB于G点，如图，易得四边形CEFD和四边形ACDG都为矩形，则AG＝CD＝1.2m，DF＝CE＝24m，利用正切的定义，在Rt△BDG中表示出DGBG，在Rt△BFG中表示出FG＝BG，接着利用DF＝DG﹣FG得到BG﹣BG＝24，解方程求出BG＝72m，然后计算AG+BG即可．
【解答】解：设DG⊥AB于G点，如图，
∵∠GAE＝∠ACD＝∠CDG＝∠CEF＝90°，
∴四边形CEFD和四边形ACDG都为矩形，
∴AG＝CD＝1.2m，DF＝CE＝24m，
在Rt△BDG中，∵tan∠BDG，
∴DGBG，
在Rt△BFG中，∵tan∠BFG，
∴FGBG，
∵DF＝DG﹣FG，
∴BG﹣BG＝24，
解得BG＝72（m），
∴AB＝AG+BG＝72+1.2＝73.2．
答：塔AB的高度为73.2m．
故答案为：73.2m．
14．如图，AB是半圆O的直径，C是半径OB上一点，过点C作DC⊥AB，交半圆O于点D，连接AD．若AD＝2，则图中阴影部分的面积为 　　 ．（结果保留π）
【分析】在Rt△ACD中，由，，可得，进而可得∠DAC＝30°，由圆周角定理可得∠DOC＝60°，再根据三角函数的定义可求出DO、OC的长，最后根据S阴影＝S扇形DOB﹣S△DOC即可得解．
【解答】解：如图，连接OD，
∵∠ACD＝90°，，，
∴，
∴∠DOC＝2∠DAC＝60°，
∵，
∴，
∴，
∴S阴影＝S扇形DOB﹣S△DOC，
．
故答案为：．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，，动点P在矩形ABCD内且∠APB＝120°，连接DP，则DP长度的最小值为 　　 ．
【分析】作△ABP的外接圆⊙O，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥DA交DA的延长线于F，连接OA、OB、OD，当B、P、D共线时，DP的长度最小，根据垂径定理求出⊙O的半径为，OE，证明四边形AEOF是矩形，则OF＝AE＝1，AF＝OE，利用勾股定理求出OD，即可得DP长度的最小值．
【解答】解：作△ABP的外接圆⊙O，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥DA交DA的延长线于F，连接OA、OB、OD，OD交⊙O于点P′，
∵∠AP′B＝∠APB＝120°，
∴当O、P、D共线时，DP的长度最小，为DP′的长，∠AOB＝120°，
∵OE⊥AB，AB＝2，
∴AEAB＝1，∠AOE＝60°，
∴∠OAE＝30°，
∴OE，OA，
∴⊙O的半径为，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠FAE＝90°，
∵OE⊥AB，OF⊥DA，
∴四边形AEOF是矩形，
∴OF＝AE＝1，AF＝OE，
∴DF＝AD+AF，
∴OD，
∴DP′＝OD﹣OP′，
即DP长度的最小值为．
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（7分）计算：．
【分析】分别计算零指数幂、负整数指数幂、化简绝对值和二次根式，再进行相加减即可．
【解答】解：
．
17．（7分）（1）解方程：2x2+x﹣2＝0；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）利用公式法求出一元二次方程的解即可；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：（1）2x2+x﹣2＝0，
∵a＝2，b＝1，c＝﹣2，
∴Δ＝12﹣4×2×（﹣2）＝1+16＝17，
∴x，
∴x1，x2；
（2），
由①得，x＜2，
由②得，x，
故不等式组的解集为：x＜2．
18．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）利用尺规求作线段AB的垂直平分线，分别交AB，AC于点D，E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）连接CD，BE，若∠AEB＝120°，CD＝3，求AE的长．
【分析】（1）利用基本作图，作AB的垂直平分线即可；
（2）连接BE，如图，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，ED⊥AB，则∠EBD＝∠A＝30°，所以可判断BE平分∠ABC，然后根据三角函数的定义得到结论．
【解答】解：（1）如图，DE为所作；
（2）连接BE，如图，
∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，ED⊥AB，
∴∠EBD＝∠A，
∵∠AEB＝120°，
∴∠A＝∠ABE＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝AD＝CD＝3，
∴AE2．
19．（9分）随着自然语言处理、机器学习、深度学习等技术的不断进步，AI聊天机器人的智能化水平显著提高，能够更准确地理解用户意图并给出相应回答．预计2025年，我国对话机器人行业市场规模将达到98.5亿元．有关人员开展了对A，B两款AI聊天机器人的使用满意度的评分调查，并从中各随机抽取20份数据，进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，满分100分，分为四个等级：不满意x＜70、比较满意70≤x＜80、满意80≤x＜90、非常满意x≥90），下面给出了部分信息．
抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89．
抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
抽取的对A，B两款AI聊天机器人的评分统计表
AI聊天机器人 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
A 88 b 96 45%
B 88 87.5 c 40%
根据以上信息，解答下列问题．
（1）上述图表中，a＝ 　10　 ，b＝ 　88.5　 ，c＝ 　98　 ．
（2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）．
（3）在此次调查中，有400人对A款AI聊天机器人进行评分，300人对B款AI聊天机器人进行评分．请通过计算，估计此次调查中对AI聊天机器人不满意的共有多少人．
【分析】（1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，根据众数的定义可得c的值；
（2）通过比较A，B款的评分统计表的数据解答即可；
（3）由A、B两款的不满意的人数之和即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得：A款“满意”所占百分比为，
∴“不满意”所占百分比为1﹣30%﹣45%﹣15%＝10%，
∴a＝10；
∵“满意”的数据：84，86，86，87，88，89；
∴把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89，
∴，
在B款的评分数据中，98出现的次数最多，
∴c＝98；
故答案为：10，88.5，98；
（2）A款AI聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：
因为A款评分数据的中位数比B款高，所以A款AI聊天机器人更受用户喜爱（理由不唯一）；
（3）B款中“不满意”的有3人，所占百分比为，
∴估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有300×15%+400×10%＝85（人）．
20．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、点C，与反比例函数的图象交于点B（2，3）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点D（4，n）是反比例函数图象上一点，连接BD、CD，求△BCD的面积．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）利用一次函数y求得A、C的坐标，利用反比例函数y求得点D的坐标，然后利用三角形面积公式求得即可．
【解答】解：（1）∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点B（2，3），
∴3＝2k，3，
∴k，m＝6，
∴一次函数为y，反比例函数为y；
（2）∵一次函数y的图象分别与x轴、y轴交于点A、点C，
∴A（﹣2，0），C（0，），
∵点D（4，n）是反比例函数y图象上一点，
∴n，
∴D（4，），
∴CD∥x轴，CD＝4，
∴△BCD的面积CD （3）3．
21．（9分）五一假期，徐师傅一家驾驶一辆新能源汽车自驾游．该汽车在满电状态下电池能量为80kwh，当汽车电池剩余10%的电量时，电量灯变为红色，提示汽车需要充电．徐师傅在满电状态下出发，汽车的剩余电量y（%）与行驶路程x（km）之间的关系如图所示．
（1）当电量灯变为红色时，汽车行驶路程为　450　 km；
（2）若行驶一段时间后，徐师傅发现电量还有56kwh，离景区有280km，徐师傅能到达景区吗？请说明理由．
（3）已知汽车快速充电功率为120kw．徐师傅驾驶满电汽车前往距离600km的景区，在行驶了240km后，发现路边有一快速充电站，停车充电一段时间后继续行驶，当到达景区时电量灯恰好变为红色，求在充电站充电的时长．【充电量（kwh）＝充电功率（kw）×充电时间（h）】
【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先计算出电池剩余电量为56kWh，即汽车的剩余电量为70%，把y＝70代入（1）中所求解析式，求出x的值，加上还要行驶的路程，然后与满电状态可以行驶的总路程比较即可得答案；（3）根据行程600km需要的电量求出需要停车充电电量，再根据快速充电功率计算充电的时长即可．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0），
将（0，100），（500，0）代入解析式得：，
解得：，
∴y与x之间的函数解析式为y＝﹣0.2x+100，
当y＝10时，﹣0.2x+100＝10，
解得：x＝450，
当电量灯变为红色时，汽车行驶路程为450km，
故答案为：450；
（2）∵电池剩余量为56kwh，相当于电量56÷80×100%＝70%，
∴﹣0.2x+100＝70，
解得x＝150，
∵150+280＝430＜450，
∴徐师傅能到达景区并且汽车电池剩余的电量大于10%；
（3）当x＝600时，y＝﹣0.2×600+10＝﹣20，
徐师傅驾驶满电汽车前往距离600km的景区，当到达景区时电量灯恰好变为红色，需要停车充电电量为10%﹣（﹣20%）＝30%，
∴充电电量为80kwh×30%＝24kwh，
∴充电时间为：24÷120＝0.2（h），
答：在充电站充电的时长为0.2h．
22．（13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A（﹣1，0），B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点，连接AC．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点F在线段OB上，直线CF交第一象限的抛物线于点E，连接AE．当时，求△ACE的面积；
（3）在（2）的条件下，第二象限的抛物线上是否存在点M，使得∠AEM＝∠AFC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）过点E作EH⊥x轴，垂足为H，证明△OFC∽△HFE，得出，设E（x，y），根据，得出，求出，得出OH＝4，求出，根据S△ACE＝S△AFC+S△AFE，求出结果即可；
（3）过点A作AE的垂线交线段EM的延长线于点N，证明△EAN为等腰直角三角形，得出AE＝AN，过点N作NP⊥x轴，垂足为P．证明△BAN≌△HEA，得出，求出直线EM的函数表达式为，设，得出，解方程，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵，
∴，
解得
∴该抛物线的函数表达式为．
（2）过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图1，
∴∠COF＝∠EHF＝90°，
∵∠OFC＝∠HFE
∴△OFC∽△HFE，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
设E（x，y），
∴，
∴，
解得：x1＝4，x2＝﹣2（不合题意，舍去），
∴，
∴OH＝4，
∵，
∴，，
∴，
∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵S△ACE＝S△AFC+S△AFE，
∴
＝5；
（3）第二象限的抛物线上存在点M，使得∠AEM＝∠AFC；理由如下：
过点A作AE的垂线交线段EM的延长线于点N，如图2，
∴∠EAN＝90°，
根据解析（2）可知：，，，
∴∠AFC＝45°，AH＝5，
∵∠AEM＝∠AFC，
∴∠AEM＝45°，
∵∠NAE＝90°，
∴△EAN为等腰直角三角形，
∴AE＝AN，
过点N作NP⊥x轴，垂足为P．
∴∠APN＝∠EHA＝90°，
∴∠BAN+∠PNA＝90°，
∵∠EAN＝90°，
∴∠PAN+∠EAH＝90°，
∴∠PNA＝∠HAE，
在△PAN和△HEA中，
，
∴△PAN≌△HEA（AAS），
∴，
∴，
设直线EM的函数表达式为y＝kx+b1（k≠0），将分别代入得：
，
解得，
∴直线EM的函数表达式为，
设，
∴，
解得m1＝4（不合题意，舍去），，
∴，
∴，
∴第二象限的抛物线上存在点M，使得∠AEM＝∠AFC；点．
23．（14分）【发现问题】如图1，△ABC是等边三角形，点E在边AC上，连接BE，以BE为边向下作等边三角形BEF，连接CF．
（1）判断AB和CF的位置关系，并说明理由．
（2）探究CF，CE和BC的数量关系．
【问题拓展】
（3）如图2，△ABC是等边三角形，点E在边AC上，点D在边BC上，连接DE，以DE为边向下作等边三角形DEF（点F在线段BC下方），连接CF．探究CF，CE和CD的数量关系．
（4）如图3，在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，点P为AB的中点，点E为线段BC延长线上一点，连接EP交AC于点F，以EF为边向上作等边三角形EFG，连接CG．若CF＝1时，请直接写出CG的长．
【分析】（1）由等边三角形的性质得AB＝CB，EB＝FB，∠A＝∠ACB＝∠ABC＝∠EBF＝60°，推导出∠ABE＝∠CBF，可根据“SAS”证明△ABE≌△CBF，得∠A＝∠BCF＝60°，则∠ACF＝∠ACB+∠BCF＝120°，所以∠A+∠ACF＝180°，则AB∥CF；
（2）由全等三角形的性质得AE＝CF，因为AE+CE＝AC＝BC，所以CF+CE＝BC；
（3）作DH∥AB交AC于点H，由∠CDH＝∠B＝60°，∠CHD＝∠A＝60°，∠HCD＝60°，DF＝DE，∠FDE＝60°，证明△HDC是等边三角形，∠FDC＝∠EDH＝60°﹣∠CDE，则CD＝HD＝CH，可根据“SAS”证明△FDC≌△EDH，得CF＝HE，则CF+CE＝HE+CE＝CH，所以CF+CE＝CD；
（4）作FR∥AB交BC于点R，PQ∥BC交AC于点Q，则∠FPQ＝∠FEC，由菱形的性质得AB＝CB＝4，因为∠ABC＝60°，点P为AB的中点，所以△ABC是等边三角形，AP＝BP＝2，可证明△APQ是等边三角形，则AQ＝PQ＝AP＝2，推导出QF＝CF＝1，再证明△PFQ≌△EFC，得PQ＝EC＝2，再证明△FRC是等边三角形，则CF＝CR＝RF＝1，再证明△CFG≌△RFE，得CG＝RE＝3．
【解答】解：（1）AB∥CF，
理由：∵△ABC和△BEF都是等边三角形，
∴AB＝CB，EB＝FB，∠A＝∠ACB＝∠ABC＝∠EBF＝60°，
∴∠ABE＝∠CBF＝60°﹣∠CBE，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠A＝∠BCF＝60°，
∴∠ACF＝∠ACB+∠BCF＝60°+60°＝120°，
∵∠A+∠ACF＝60°+120°＝180°，
∴AB∥CF．
（2）CF+CE＝BC，
理由：由（1）得△ABE≌△CBF，
∴AE＝CF，
∵AE+CE＝AC，AC＝BC，
∴CF+CE＝BC．
（3）CF+CE＝CD，
理由：如图2，作DH∥AB交AC于点H，
∵△ABC和△DEF都是等边三角形，
∴∠CDH＝∠B＝60°，∠CHD＝∠A＝60°，∠HCD＝60°，DF＝DE，∠FDE＝60°，
∴△HDC是等边三角形，∠FDC＝∠EDH＝60°﹣∠CDE，
∴CD＝HD＝CH，
在△FDC和△EDH中，
，
∴△FDC≌△EDH（SAS），
∴CF＝HE，
∴CF+CE＝HE+CE＝CH，
∴CF+CE＝CD．
（4）CG的长为3，
理由：如图3，作FR∥AB交BC于点R，PQ∥BC交AC于点Q，
∵点E为线段BC延长线上一点，
∴∠FPQ＝∠FEC，
∵四边边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，点P为AB的中点，
∴AB＝CB，AP＝BPAB＝2，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝4，∠APQ＝∠ABC＝60°，∠AQP＝∠ACB＝60°，∠PAQ＝60°，
∴△APQ是等边三角形，
∴AQ＝PQ＝AP＝2，
∴CQ＝AC﹣AQ＝4﹣2＝2，
∵CF＝1，
∴QF＝CQ﹣CF＝2﹣1＝1，
∴QF＝CF，
在△PFQ和△EFC中，
，
∴△PFQ≌△EFC（AAS），
∴PQ＝EC＝2，
∵∠RFC＝∠BAC＝60°，∠FRC＝∠ABC＝60°，∠FCR＝60°，
∴△FRC是等边三角形，
∴CF＝CR＝RF＝1，
∴RE＝EC+CR＝2+1＝3，
∵△EFG是等边三角形，
∴FG＝FE，∠EFG＝60°，
∴∠CFG＝∠RFE＝60°+∠CFE，
在△CFG和△RFE中，
，
∴△CFG≌△RFE（SAS），
∴CG＝RE＝3，
∴CG的长为3．

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