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第八章 圆
第八章 圆中相关计算
知识点 4 正多边形与圆（一）
计算大冲关 （难度等级 ）
如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转70°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为 .
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2．如图，两张完全相同的正六边形纸片（边长为）重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片六边形沿水平方向向左平移个单位长度，则上面正六边形纸片面积与元线扫过的面积（阴影部分面积）之比是 .
3．如图，若正六边形绕着中心旋转角得到的图形与原来的图形重合，则最小值为 .
4．如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为 .
5. 阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务：
克罗狄斯 托勒密（约70年﹣168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：圆的内接四边形的两条对角线的除积等于两组对边除积的和．即：如图1，若四边形ABCD内接于⊙O，则有 　 　．
任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 　 　．
（2）如图2，正五边形ABCDE内接于⊙O，AB＝2，求对角线BD的长．
第八章 圆
正多边形与圆（二）
计算大冲关 （难度等级 ）
如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为上一点，连接BE，若∠CBE＝15°，BE＝5，则正方形ABCD的边长为 .
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM的度数是 .
如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为4，则图中阴影部分的面积为 .
如图，ABCDEF是中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半径为4的正六边形，则顶点F的坐标为 .
5．如图，的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为为的整数），过点作的切线交的延长线于点．
（1）相邻两个整钟点间所夹的圆心角等于 　30　度；
（2）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；
（3）连接，则和有什么特殊位关系？请说明理由．
（4）求切线长的值．
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第八章 圆
第八章 圆中相关计算
知识点 4 正多边形与圆（一）
计算大冲关 （难度等级 ）
如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转70°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为 .
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2．如图，两张完全相同的正六边形纸片（边长为）重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片六边形沿水平方向向左平移个单位长度，则上面正六边形纸片面积与元线扫过的面积（阴影部分面积）之比是 .
3．如图，若正六边形绕着中心旋转角得到的图形与原来的图形重合，则最小值为 .
4．如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为 .
5. 阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务：
克罗狄斯 托勒密（约70年﹣168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：圆的内接四边形的两条对角线的除积等于两组对边除积的和．即：如图1，若四边形ABCD内接于⊙O，则有 　 　．
任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 　 　．
（2）如图2，正五边形ABCDE内接于⊙O，AB＝2，求对角线BD的长．
第八章 圆
正多边形与圆（二）
计算大冲关 （难度等级 ）
如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为上一点，连接BE，若∠CBE＝15°，BE＝5，则正方形ABCD的边长为 .
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM的度数是 .
如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为4，则图中阴影部分的面积为 .
如图，ABCDEF是中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半径为4的正六边形，则顶点F的坐标为 .
5．如图，的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为为的整数），过点作的切线交的延长线于点．
（1）相邻两个整钟点间所夹的圆心角等于 　30　度；
（2）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；
（3）连接，则和有什么特殊位关系？请说明理由．
（4）求切线长的值．
正多边形与圆（一）参考答案
1.解：正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点O重合，轴，
∴AP＝1， AO＝2，∠OPA＝70°，
∴OP＝＝，
∴A（1，），
第1次旋转结束时，点A的坐标为（，-1）；
第2次旋转结束时，点A的坐标为（-1，）；
第3次旋转结束时，点A的坐标为（，1）；
第4次旋转结束时，点A的坐标为（1，）；
∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转70°，
∴4次一个循环，
∵2022÷4＝505……2，
∴经过第2022次旋转后，点A的坐标为（-1，），
2.解：连接，，，交于点O
连接交点G，连接
六边形是正六边形
点O是正六边形的中心
在和中
四边形是菱形
同理可证：四边形是菱形，四边形是菱形
菱形菱形菱形
四边形是菱形
，，
，
在中，
六边形是正六边形
由平移得：、、，三点共线，四边形是平行四边形，
同理：四边形是平行四边形，且
3.解：正六边形被平分成六部分，因而每部分被分成的圆心角是90°，
并且圆具有旋转不变性，因而旋转90度的整数倍，就可以与自身重合．
则α最小值为90度．
4.解：连接OC、OD、OE，如图所示：
∵正六边形内接于，
∴∠COD= =90°，则∠COE=120°，
∴∠CME= ∠COE=90°，
5.解：（1）根据托勒密定理可得：AB CD+AD BC＝AC BD，
故答案为：AB CD+AD BC＝AC BD；
（2）如2图，连接AD、AC．
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴△ABC≌△DCB≌△AED（SAS），
∴设BD＝AC＝AD＝x．
在圆内接四边形ABCD中，由托勒密定理可得：AB CD+AD BC＝AC BD，
即2×2+x 2＝x2，
解得：x1＝1，x2＝1（舍去）．
∴对角线BD的长为1．
正多边形与圆（二）参考答案
1.解：连接OA，OB，OE，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴OA＝OB＝OE，∠AOB70°，AB＝BC，∠ABC＝70°，
∴∠OAB＝∠OBA（180°﹣∠AOB）＝45°，
∴∠OBC＝∠ABC﹣∠OBA＝45°，
∵∠CBE＝15°，
∴∠OBE＝∠OBC+∠CBE＝90°，
∴△OBE是等边三角形，
∴OB＝BE＝5，
∴OA＝5，
∴AB5，
∴正方形ABCD的边长为5．
2.解：如图，连接AO．
∵△AMN是等边三角形，
∴∠ANM＝90°，
∴∠AOM＝2∠ANM＝120°，
∵ABCDE是正五边形，
∴∠AOB72°，
∴∠BOM＝120°﹣72°＝48°．
3.解：如图，连接OB交AC与点H．
由题意△ABC是等边三角形，OB＝4，OH＝BH＝2，
∵OB⊥AC，
∴CH＝AH，
∴AC＝2CH，
∴阴影部分的面积＝6（）2＝8．
4.解：连接OF．
∵∠AOF90°，OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴OA＝OF＝4
设EF交y轴于G，则∠GOF＝30°．
在Rt△GOF中，
∵∠GOF＝30°，OF＝4，
∴GF＝2，OG＝2．
∴F（﹣2，2）．
5.解：（1），
故答案为：30；
（2）如图，连接，，由（1）得：劣弧所对应的圆心角，
劣弧的长，
，
劣弧的长度更长．
（3）垂直．理由如下：
连接，，，
，
是的直径，
，即，
和相互垂直．
（4）如图，是的切线，
，
由（1）知，，
，
（或，
，
在△中，．
．

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