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第九章 一次方程
第九章 一次方程
知识点 5 二元一次方程组常见题型（一）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2025春 冠县校级月考）方程组的解也是方程二元一次方程3x+2y＝14的解，求m的值
2．（2024秋 安宁区校级期末）在解方程组时，甲看错了方程组中的a，得到的解为，乙看错了方程组中的b，得到的解是．
（1）求原方程组中a、b的值各是多少？
（2）求出原方程组中的错误解．
3．（2025 长安区校级开学）已知方程组的解和方程组的解相同，求（2a+b）2024的值．
4．（2024 徐汇区校级自主招生）已知关于x和y的方程组有正整数解，求整数a的值．
第九章 一次方程
二元一次方程组常见题型（二）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024秋 威宁县期末）（1）解方程组；
（2）对于任意实数a，b，c，d，我们规定ad﹣bc．已知x，y满足2，4，求x，y的值．
2．（2025 朝阳区校级开学）甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为；乙看错了方程组中的b，而得解为．
请你根据以上两种结果，求出原方程组的错误解．
3．（2024春 船营区校级期末）已知关于x、y的方程组与的解相同．
（1）求这个相同的解；
（2）求m，n的值．
（2024春 西城区校级期中）已知关于x，y的方程组
（1）请直接写出方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值．
第九章 一次方程
二元一次方程组常见题型（三）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024春 云溪区期中）甲、乙两人共同解方程组，因甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组解为，试计算a2022+（b）2023的值．
2．（2024春 沙坪坝区校级月考）已知关于x，y的方程组和方程组的解相同．
（1）求m，n的值．
（2）求3m﹣2mn+m2﹣1的值．
3．（2024春 襄都区月考）（1）已知关于x，y的方程组与有相同的解，求方程组的解及a，b的值．
（2）已知是一个被墨水污染的方程组．这个方程组的解与方程组的解相同；因为看错了第二个方程中的x的系数■，求出的解是，请你根据以上信息，把方程组复原出来．
4．（2023秋 锦江区校级期末）已知关于x，y的方程组．
（1）请写出方程x+2y＝6的所有正整数解．
（2）如果方程组有整数解，求整数m的解．
第九章 一次方程
二元一次方程组常见题型（三）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024春 凤台县期中）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．
（1）求a、b的值；
（2）乙看错了②中的b，他把b看成了哪个数？
2．（2024春 彭阳县期末）已知关于x，y的方程组．
（1）请写出方程x+2y＝5的所有正整数解．
（2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值．
（3）无论实数m取何值，方程x﹣2y+mx+9＝0总有一个公共解，你能求出这个方程的公共解吗？
3．（2024秋 平南县期末）在解方程组时，某同学发现：如果直接用代入消元法或减减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的2x+3y、4x﹣3y分别看作一个整体，通过换元：设m＝2x+3y、n＝4x﹣3y，可以将原方程组化为，解得，把代入m＝2x+3y、n＝4x﹣3y，得，解得，所以原方程组解为．
（1）若方程组的解为，则方程组的解为　 　；
（2）若方程组的解为，其中k为常数．求方程组的解．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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第九章 一次方程
第九章 一次方程
知识点 5 二元一次方程组常见题型（一）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2025春 冠县校级月考）方程组的解也是方程二元一次方程3x+2y＝14的解，求m的值
2．（2024秋 安宁区校级期末）在解方程组时，甲看错了方程组中的a，得到的解为，乙看错了方程组中的b，得到的解是．
（1）求原方程组中a、b的值各是多少？
（2）求出原方程组中的错误解．
3．（2025 长安区校级开学）已知方程组的解和方程组的解相同，求（2a+b）2024的值．
4．（2024 徐汇区校级自主招生）已知关于x和y的方程组有正整数解，求整数a的值．
第九章 一次方程
二元一次方程组常见题型（二）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024秋 威宁县期末）（1）解方程组；
（2）对于任意实数a，b，c，d，我们规定ad﹣bc．已知x，y满足2，4，求x，y的值．
2．（2025 朝阳区校级开学）甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为；乙看错了方程组中的b，而得解为．
请你根据以上两种结果，求出原方程组的错误解．
3．（2024春 船营区校级期末）已知关于x、y的方程组与的解相同．
（1）求这个相同的解；
（2）求m，n的值．
4．（2024春 西城区校级期中）已知关于x，y的方程组
（1）请直接写出方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值．
第九章 一次方程
二元一次方程组常见题型（三）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024春 云溪区期中）甲、乙两人共同解方程组，因甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组解为，试计算a2022+（b）2023的值．
2．（2024春 沙坪坝区校级月考）已知关于x，y的方程组和方程组的解相同．
（1）求m，n的值．
（2）求3m﹣2mn+m2﹣1的值．
3．（2024春 襄都区月考）（1）已知关于x，y的方程组与有相同的解，求方程组的解及a，b的值．
（2）已知是一个被墨水污染的方程组．这个方程组的解与方程组的解相同；因为看错了第二个方程中的x的系数■，求出的解是，请你根据以上信息，把方程组复原出来．
4．（2023秋 锦江区校级期末）已知关于x，y的方程组．
（1）请写出方程x+2y＝6的所有正整数解．
（2）如果方程组有整数解，求整数m的解．
第九章 一次方程
二元一次方程组常见题型（三）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024春 凤台县期中）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．
（1）求a、b的值；
（2）乙看错了②中的b，他把b看成了哪个数？
2．（2024春 彭阳县期末）已知关于x，y的方程组．
（1）请写出方程x+2y＝5的所有正整数解．
（2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值．
（3）无论实数m取何值，方程x﹣2y+mx+9＝0总有一个公共解，你能求出这个方程的公共解吗？
3．（2024秋 平南县期末）在解方程组时，某同学发现：如果直接用代入消元法或减减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的2x+3y、4x﹣3y分别看作一个整体，通过换元：设m＝2x+3y、n＝4x﹣3y，可以将原方程组化为，解得，把代入m＝2x+3y、n＝4x﹣3y，得，解得，所以原方程组解为．
（1）若方程组的解为，则方程组的解为　 　；
（2）若方程组的解为，其中k为常数．求方程组的解．
二元一次方程组常见题型（一）参考答案
1．（2025春 冠县校级月考）方程组的解也是方程二元一次方程3x+2y＝14的解，求m的值
【考点】二元一次方程组的解；二元一次方程的解．版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】m＝2．
【分析】把解代入3x+2y＝14中，求出m的值即可．
【解答】解：解方程组得：，
把代入3x+2y＝14，得：9m﹣2m＝14，
解得：m＝2．
故m＝2．
【点评】本题考查根据方程组的解的情况，求参数，求出方程组的解，熟练掌握以上知识点是关键．
2．（2024秋 安宁区校级期末）在解方程组时，甲看错了方程组中的a，得到的解为，乙看错了方程组中的b，得到的解是．
（1）求原方程组中a、b的值各是多少？
（2）求出原方程组中的错误解．
【考点】二元一次方程组的解．版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）甲由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为，那么他的解对②还是错误的，所以把他的解代入②中得一方程．乙看错了②中的b得到方程组的解为，那么他的解对①也是正解的，所以把他的解代入①中，也得一方程．即可求出a、b的值；
（2）两方程组成一个方程组，求出方程组的解即可．
【解答】解：（1）将代入②得b＝﹣10，
将代入①得a＝﹣1；
（2）原方程组为，
①×2﹣②得：﹣6x＝32，
解得：x，
①×4+②得：30y＝58，
解得：y，
即原方程组的解为：．
【点评】本题主要考查了学生方程组的解的定义，解二元一次方程组的应用．方程组的解是能使方程两边相等的数，所以把它们的解代入错误的那个式子即可．
3．（2025 长安区校级开学）已知方程组的解和方程组的解相同，求（2a+b）2024的值．
【考点】二元一次方程组的解．版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】1．
【分析】联立两方程组中不含a与b的方程组成新的方程组，求出新方程组的解得到x与y的值，代入剩下的方程求出a与b的值，即可求出原式的值．
【解答】解：联立得：，
①+②得：5x＝10，即x＝2，
把x＝2代入①得：y＝﹣2，
，
解得：a＝1，b＝﹣3，
则原式＝（2﹣3）2024＝1．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，结合已知条件得到是解题的关键．
4．（2024 徐汇区校级自主招生）已知关于x和y的方程组有正整数解，求整数a的值．
【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组．版权所有
【专题】方程与不等式；运算能力．
【答案】1或2或4或10．
【分析】利用减减法求出方程组的解，利用已知条件得到关于a的关系式，利用有理数的整除的性质解答即可得出结论．
【解答】解：，
由①×2﹣②得：（2+a）y＝12，
∴当a≠﹣2时，，
∵有正整数解，
∴，且a+2＝1或2或3或4或6或12，
∴a＜﹣2，
当a+2＝1，则a＝﹣1，此时y＝12，x＝6﹣12＝﹣6（舍）；
当a+2＝2，则a＝0，此时y＝6，x＝6﹣6＝0（舍）；
当a+2＝3，则a＝1，此时y＝4，x＝6﹣4＝2；
当a+2＝4，则a＝2，此时y＝3，x＝6﹣3＝3；
当a+2＝6，则a＝4，此时y＝2，x＝6﹣2＝4；
当a+2＝12，则a＝10，此时y＝1，x＝6﹣1＝5，
∴整数a的值为1或2或4或10．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，利用有理数的整除的性质解答是解题的关键．
二元一次方程组常见题型（二）参考答案
1．（2024秋 威宁县期末）（1）解方程组；
（2）对于任意实数a，b，c，d，我们规定ad﹣bc．已知x，y满足2，4，求x，y的值．
【考点】解二元一次方程组．版权所有
【专题】新定义；一次方程（组）及应用；运算能力；创新意识．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据解二元一次方程组的方法，利用减减消元法解方程组即可；
（2）先根据新定义运算，得出，再根据解二元一次方程组的方法，利用减减消元法解方程组即可．
【解答】解：（1），
①+②，得4x＝4，
解得：x＝1，
把x＝1代入①，得1+y＝6，
解得：y＝5，
∴方程组的解为；
（2）由新定义，可得，
①×5，得5x+10y＝10③，
②+③，得7y＝14，
解得：y＝2，
把y＝2代入①，得x+2×2＝2，
解得：x＝﹣2，
∴方程组的解为．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，新定义，理解新定义，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
2．（2025 朝阳区校级开学）甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为；乙看错了方程组中的b，而得解为．
请你根据以上两种结果，求出原方程组的错误解．
【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组．版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】把代入4x﹣by＝﹣4得关于b的方程，解方程求出b，再把代入ax+5y＝10得关于a的方程，解方程求出a，然后再把a，b的值代入原方程，解方程组即可．
【解答】解：把代入4x﹣by＝﹣4得：12+b＝﹣4，
解得：b＝﹣16，
把代入ax+5y＝10得：5a+20＝10，
解得：a＝﹣2，
∴原方程组为：，
①×2得：﹣4x+10y＝20③，
②+③得：，
把代入①得：，
∴原方程组的解为：．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤和二元一次方程组解的定义．
3．（2024春 船营区校级期末）已知关于x、y的方程组与的解相同．
（1）求这个相同的解；
（2）求m，n的值．
【考点】二元一次方程组的解．版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据题意得出相同的解是方程组的解即可；
（2）将（1）中求出的x、y的值代入关于m、n的方程，解方程组即可．
【解答】解：（1）由题意得，
，
解得，
即这个相同的解是；
（2）将代入方程mx+2ny＝4和nx+（m﹣1）y＝3中，得
，
解得．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，根据题意组成新的方程组是解题的关键．
4.（2024春 西城区校级期中）已知关于x，y的方程组
（1）请直接写出方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值．
【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组；二元一次方程的解．版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）将方程x+2y﹣6＝0化为y＝3﹣二分之一x，再由x，y为正整数，即可得出结论；
（2）将x+y＝0与x+2y﹣6＝0组成新的方程组解出x，y的值，代入第二个方程：x﹣2y+mx+5＝0中，可得m的值．
【解答】解：（1）∵x+2y﹣6＝0，∴y＝3x
又因为x，y为正整数，
∴3x＜0，
即：x只能取2或4；
∴方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解：，；
（2）由题意得：，解得，
把代入x﹣2y+mx+5＝0，解得m．
【点评】此题考查了解二元一次方程的整数解和二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键．
二元一次方程组常见题型（三）参考答案
1．（2024春 云溪区期中）甲、乙两人共同解方程组，因甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组解为，试计算a2022+（b）2023的值．
【考点】二元一次方程组的解．版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】2．
【分析】根据二元一次方程组的解求得a，b的值，然后计算a2022+（b）2023的值即可．
【解答】解：由题意可得﹣12+b＝﹣2，5a+20＝15，
解得：a＝﹣1，b＝10，
则a2022+（b）2023
＝（﹣1）2022+（10）2023
＝1+1
＝2．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，理解其解的意义是解题的关键．
2．（2024春 沙坪坝区校级月考）已知关于x，y的方程组和方程组的解相同．
（1）求m，n的值．
（2）求3m﹣2mn+m2﹣1的值．
【考点】解二元一次方程组．版权所有
【专题】一次方程（组）及应用．
【答案】（1）；
（2）﹣3．
【分析】（1）把方程组中的两个已知方程组合可得，解方程组可得：，再代入另外两个方程，求解m，n，从而可得答案．
（2）把m，n的值代入求出代数式的值即可．
【解答】解：（1）根据题意得：，
①×2+②×3：19x＝38，
∴x＝2，
把x＝2代入①：y＝1，
∴
把代入得，
解得：；
（2）把代入3m﹣2mn+m2﹣1得：
原式＝3﹣2×3+1﹣1＝3﹣6+1﹣1＝﹣3．
【点评】本题主要考查了同解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组一般方法，准确计算．
3．（2024春 襄都区月考）（1）已知关于x，y的方程组与有相同的解，求方程组的解及a，b的值．
（2）已知是一个被墨水污染的方程组．这个方程组的解与方程组的解相同；因为看错了第二个方程中的x的系数■，求出的解是，请你根据以上信息，把方程组复原出来．
【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组．版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由题中两个方程组同解，得到新的二元一次方程组，解方程后，将代入含参数的方程，构成参数方程组求解即可得到答案；
（2）解，设被墨水污染的▲为m，●点为n，■为c，将方程组的解代入同解方程组解得c＝﹣2，再结合题意构造新的二元一次方程组求解即可得到答案．
【解答】解：（1）∵方程组与有相同的解．
∴联立得方程组，解得，代入得，解得；
（2），
由②﹣①，得y＝﹣1．
把y＝﹣1代入②，得x+3×（﹣1）＝0，解得x＝3，
∴方程组的解为，
设被墨水污染的▲为m，●点为n，■为c．
∵这个方程组的解是，
∴，
∴c＝﹣2．
∵看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是，
∴﹣2m+n＝1，
∴，解得，
∴原方程组为．
【点评】本题考查二元一次方程组综合，涉及同解二元一次方程组求参数问题，读懂题意，由所给方程组得到系数确定的二元一次方程组求解即可得到答案，熟练掌握同解方程问题的解法是解决问题的关键．
4．（2023秋 锦江区校级期末）已知关于x，y的方程组．
（1）请写出方程x+2y＝6的所有正整数解．
（2）如果方程组有整数解，求整数m的解．
【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组；二元一次方程的解．版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1），；（2）整数m的值为﹣2或﹣4或﹣10或4．
【分析】（1）确定出方程的正整数解即可；
（2）根据方程组有整数解，确定出整数m的值即可．
【解答】解：（1）∵x+2y＝6，
∴x＝6﹣2y，
∴方程x+2y＝6的正整数解有：，；
（2），
①+②得，3x+mx＝14，
∴，
∵方程组有整数解，且m是整数，
∴3+m＝±1，3+m＝±2，3+m＝±7，3+m＝±14，
∴m＝﹣2或﹣4；m＝﹣1或﹣5；m＝4或﹣10；m＝11或﹣17．
此时m＝﹣1，﹣2，﹣4，﹣5，﹣10，﹣17，4，11．
当m＝﹣1时，x＝7，，不不符合题意；
当m＝﹣2时，x＝14，y＝﹣4，不符合题意；
当m＝﹣4时，x＝﹣14，y＝10，不符合题意；
当m＝﹣5时，x＝﹣7，，不不符合题意，
当m＝﹣10时，x＝﹣2，y＝4，不符合题意，
当m＝﹣17时，x＝﹣1，，不不符合题意；
当m＝4时，x＝2，y＝2，不符合题意，
当m＝11时，x＝1，，不不符合题意，
综上，整数m的值为﹣2或﹣4或﹣10或4．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，二元一次方程，解二元一次方程组，解题的关键是熟练应用减减消元法．
二元一次方程组常见题型（四）参考答案
1．（2024春 凤台县期中）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．
（1）求a、b的值；
（2）乙看错了②中的b，他把b看成了哪个数？
【考点】二元一次方程组的解．版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）m＝﹣6．
【分析】（1）将甲得到的方程组的解代入第二个方程，将乙得到方程组的解代入第一个方程，联立两个方程求出a，b；
（2）设把b看成了m，代入②，求出方程的解即可得到b．
【解答】解：（1）将x＝1，y＝﹣2代入方程组中的第二个方程得：a+2b＝﹣5③，
将x＝1，y＝﹣1代入方程组中的第一个方程得：a﹣b＝4④，
联立③④，
解得：；
（2）设把b看成了m，
把x＝1，y＝﹣1，a＝1代入方程ax﹣my＝﹣5，
得m＝﹣6．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
2．（2024春 彭阳县期末）已知关于x，y的方程组．
（1）请写出方程x+2y＝5的所有正整数解．
（2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值．
（3）无论实数m取何值，方程x﹣2y+mx+9＝0总有一个公共解，你能求出这个方程的公共解吗？
【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组；二元一次方程的解．版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1），；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据方程的正整数解的定义列举解答即可；
（2）联立x+2y＝5与x+y＝0组成新的方程组即可求出x、y的值，再代入原方程组中的第二个方程即可求出m的值；
（3）先把方程变形为（1+m）x﹣2y+9＝0，根据题意得出x＝0，即可求出y的值，从而得出这个方程的公共解．
【解答】解：（1）方程x+2y＝5的正整数解，；
（2）联立x+2y＝5与x+y＝0得，
，
解得，
把代入方程x﹣2y+mx+9＝0中，得﹣5﹣10﹣5m+9＝0，
解得m；
（3）方程x﹣2y+mx+9＝0变形为（1+m）x﹣2y+9＝0，
∵无论实数m取何值，方程x﹣2y+mx+9＝0总有一个公共解，
∴x＝0，
此时﹣2y+9＝0，
解得y＝4.5，
∴这个方程的公共解．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解二元一次方程组，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
3．（2024秋 平南县期末）在解方程组时，某同学发现：如果直接用代入消元法或减减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的2x+3y、4x﹣3y分别看作一个整体，通过换元：设m＝2x+3y、n＝4x﹣3y，可以将原方程组化为，解得，把代入m＝2x+3y、n＝4x﹣3y，得，解得，所以原方程组解为．
（1）若方程组的解为，则方程组的解为　　；
（2）若方程组的解为，其中k为常数．求方程组的解．
【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组．版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）设x﹣2＝m，y+2＝n，则方程组可化为，再进一步解方程组即可；
（2）设，，则方程组可化为，再进一步求解即可．
【解答】解：（1）∵的解为，
∴的解为，
设x﹣2＝m，y+2＝n，
则方程组可变为：，
∴，
解得：．
故答案为：．
（2）设，，
则原方程组可变为：，
∵的解为，
∴的解为，
即，
解得：．
【点评】本题考查的是利用整体法解二元一次方程组，熟练掌握该知识点是关键．

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