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第九章 一次方程
第九章 一次方程
知识点 7 二元一次方程组应用题（一）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024 徐州）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题．
2．（2024 安徽）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植A，B两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表：
农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元）
A 4 8
B 3 9
已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共90万元，问A，B这两种农作物的种植面积各多少公顷？
3．（2024 淮安）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题．
第九章 一次方程
二元一次方程组应用题（二）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2023 张家界）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的90座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 45 90
租金（元/辆） 200 300
（1）参减此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？
2．（2024 山西）当下电子产品更新换代速度减快，废旧智能手机数量不断增减．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多790克．已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克．
3．（2024 吉林）钢琴素有“乐器之王”的美称．键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．
第九章 一次方程
二元一次方程组应用题（三）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2023 山西）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．
（1）求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；
（2）该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，一次最多可运输多少套这种设备．
2．（2023 宜昌）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍．
豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额
小欢妈妈 20 30 270
小乐妈妈 30 20 230
（1）求豆沙粽和肉粽的单价；
（2）超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）；
①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；
②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为（80﹣4m）包，（4m+8）包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值．
第九章 一次方程
二元一次方程组应用题（四）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2023 西藏）列方程（组）解应用题
如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由10块形状大小相同的长方形墙砖砌成．
（1）求一块长方形墙砖的长和宽；
（2）求电视背景墙的面积．
2．（2025 沈丘县校级一模）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船成功点火发射，将3名航天员送入太空．某航天模型商店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型的商品．已知商店老板购进1个“神舟”模型和3个“天宫”模型一共需要195元；购进2个“神舟”模型和1个“天宫”模型一共需要150元．
（1）求“神舟”模型和“天宫”模型的进货单价；
（2）该航天模型商店计划购进两种模型共200个，且“神舟”模型的数量不少于“天宫”模型数量的一半．若每个“神舟”模型的售价为80元，每个“天宫”模型的售价为68元，则购进多少个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最小？最小利润是多少元？
3．（2025 慈利县一模）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
（3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最小？最小利润是多少元？
第九章 一次方程
二元一次方程组应用题（五）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2025 雁塔区校级一模）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行．问：人与车各多少？
2．（2024 齐河县模拟）某校组织初二年级380名学生到广东南路革命化州纪念馆研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生130人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
（2）若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满：
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆租金200元，大客车每辆租金300元．请选出最省钱的租车方案、并求出最少租金．
3．（2024 金昌三模）一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：
第一次 第二次
甲种货车辆数（单位：辆） 2 5
乙种货车辆数（单位：辆） 3 6
累计送货吨数（单位：吨） 31 70
（1）问甲、乙两种货车的载质量分别为多少吨？
（2）现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货物，如果按每吨付运费30元计算，问货主这次应付运费多少元？21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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第九章 一次方程
第九章 一次方程
知识点 7 二元一次方程组应用题（一）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024 徐州）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题．
2．（2024 安徽）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植A，B两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表：
农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元）
A 4 8
B 3 9
已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共90万元，问A，B这两种农作物的种植面积各多少公顷？
3．（2024 淮安）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题．
第九章 一次方程
二元一次方程组应用题（二）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2023 张家界）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的90座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 45 90
租金（元/辆） 200 300
（1）参减此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？
2．（2024 山西）当下电子产品更新换代速度减快，废旧智能手机数量不断增减．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多790克．已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克．
3．（2024 吉林）钢琴素有“乐器之王”的美称．键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．
第九章 一次方程
二元一次方程组应用题（三）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2023 山西）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．
（1）求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；
（2）该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，一次最多可运输多少套这种设备．
2．（2023 宜昌）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍．
豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额
小欢妈妈 20 30 270
小乐妈妈 30 20 230
（1）求豆沙粽和肉粽的单价；
（2）超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）；
①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；
②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为（80﹣4m）包，（4m+8）包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值．
第九章 一次方程
二元一次方程组应用题（四）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2023 西藏）列方程（组）解应用题
如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由10块形状大小相同的长方形墙砖砌成．
（1）求一块长方形墙砖的长和宽；
（2）求电视背景墙的面积．
2．（2025 沈丘县校级一模）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船成功点火发射，将3名航天员送入太空．某航天模型商店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型的商品．已知商店老板购进1个“神舟”模型和3个“天宫”模型一共需要195元；购进2个“神舟”模型和1个“天宫”模型一共需要150元．
（1）求“神舟”模型和“天宫”模型的进货单价；
（2）该航天模型商店计划购进两种模型共200个，且“神舟”模型的数量不少于“天宫”模型数量的一半．若每个“神舟”模型的售价为80元，每个“天宫”模型的售价为68元，则购进多少个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最小？最小利润是多少元？
3．（2025 慈利县一模）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
（3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最小？最小利润是多少元？
第九章 一次方程
二元一次方程组应用题（五）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2025 雁塔区校级一模）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行．问：人与车各多少？
2．（2024 齐河县模拟）某校组织初二年级380名学生到广东南路革命化州纪念馆研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生130人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
（2）若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满：
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆租金200元，大客车每辆租金300元．请选出最省钱的租车方案、并求出最少租金．
3．（2024 金昌三模）一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：
第一次 第二次
甲种货车辆数（单位：辆） 2 5
乙种货车辆数（单位：辆） 3 6
累计送货吨数（单位：吨） 31 70
（1）问甲、乙两种货车的载质量分别为多少吨？
（2）现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货物，如果按每吨付运费30元计算，问货主这次应付运费多少元？
二元一次方程组应用题（一）参考答案
1．（2024 徐州）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题．
【考点】二元一次方程组的应用；数学常识．版权所有
【专题】计算题；和差倍关系问题；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】甲、乙原来各有38枚、18枚钱币．
【分析】设甲有钱x枚，乙有钱y枚，根据“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”先列出方程，求解即可．
【解答】解：设甲有钱x枚，乙有钱y枚，由题意，得，
解这个方程组，得．
答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解决本题的关键．
2．（2024 安徽）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植A，B两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表：
农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元）
A 4 8
B 3 9
已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共90万元，问A，B这两种农作物的种植面积各多少公顷？
【考点】二元一次方程组的应用．版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】设A种农作物的种植面积是x公顷，B种农作物的种植面积是y公顷，根据“农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共90万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设A种农作物的种植面积是x公顷，B种农作物的种植面积是y公顷，
根据题意得：，
解得：．
答：A种农作物的种植面积是3公顷，B种农作物的种植面积是4公顷．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，错误列出二元一次方程组是解题的关键．
3．（2024 淮安）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题．
【考点】二元一次方程的应用．版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】30，13．
【分析】设有x个客人，y个盘子，根据题意列二元一次方程组并求解即可．
【解答】解：设有x个客人，y个盘子．
根据题意，得，
解得，
答：有30个客人，13个盘子．
【点评】本题考查数学常识，根据题意列二元一次方程组并求解是解题的关键．
二元一次方程组应用题（二）参考答案
1．（2023 张家界）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的90座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 45 90
租金（元/辆） 200 300
（1）参减此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？
【考点】二元一次方程组的应用；二元一次方程的应用．版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）参减此次研学活动的师生人数是900人，原计划租用13辆45座客车；
（2）租用14辆45座客车更合算．
【分析】（1）本题中的等量关系为：45×45座客车辆数+15＝师生总数，90×（45座客车辆数﹣3）＝师生总数，据此可列方程组求出第一小题的解；
（2）需要分别计算45座客车和90座客车各自的租金，比较后再取舍．
【解答】解：（1）设参减此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆45座客车．
根据题意，得，
解得．
答：参减此次研学活动的师生人数是900人，原计划租用13辆45座客车；
（2）租45座客车：900÷45≈14（辆），所以需租14辆，租金为200×14＝2800（元），
租90座客车：900÷90＝10（辆），所以需租10辆，租金为300×10＝3000（元），
∵2800＜3000，
∴租用14辆45座客车更合算．
【点评】本题考查二元一次方程的应用，注意租车时最后一辆不管几个人都要用一辆，所以在计算车的辆数时用“收尾法”，而不是“四舍五入”．
2．（2024 山西）当下电子产品更新换代速度减快，废旧智能手机数量不断增减．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多790克．已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克．
【考点】二元一次方程的应用．版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1000克．
【分析】设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克，白银y克，根据从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多790克．从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克，白银y克，
根据题意得：，
解得：，
即从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1000克．
答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1000克．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，错误列出二元一次方程组是解题的关键．
3．（2024 吉林）钢琴素有“乐器之王”的美称．键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．
【考点】二元一次方程组的应用．版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】白色琴键的个数为52个，黑色琴键的个数为36个．
【分析】设白色琴键的个数为x个，黑色琴键的个数为y个，根据键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设白色琴键的个数为x个，黑色琴键的个数为y个，
由题意得：，
解得：，
答：白色琴键的个数为52个，黑色琴键的个数为36个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，错误列出二元一次方程组是解题的关键．
二元一次方程组应用题（三）参考答案
1．（2023 山西）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．
（1）求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；
（2）该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，一次最多可运输多少套这种设备．
【考点】二元一次方程组的应用；二元一次方程的应用．版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）1个A部件的质量为1.2吨，1个B部件的质量为0.8吨．
（2）该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥．
【分析】设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨，根据1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：（1）设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨，
由题意得：，
解得：，
答：1个A部件的质量为1.2吨，1个B部件的质量为0.8吨．
（2）解：设该卡车一次可运输m套这种设备通过此大桥．
根据题意得：（1.2+0.8×3） m+8≥30，
解得：m．
∵m为整数，
∴m取最小值，
∴m＝6．
答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，错误列出二元一次方程组是解题的关键．
2．（2023 宜昌）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍．
豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额
小欢妈妈 20 30 270
小乐妈妈 30 20 230
（1）求豆沙粽和肉粽的单价；
（2）超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）；
①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；
②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为（80﹣4m）包，（4m+8）包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值．
【考点】二元一次方程组的应用；二元一次方程的应用．版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元；
（2）①豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；
②m＝10．
【分析】（1）设豆沙粽的单价为x元，肉粽的单价为2x元，由购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，列出方程可求解；
（2）①设豆沙粽优惠后的单价为a元，肉粽优惠后的单价为b元，由题意列出方程组，即可求解；
②由A，B两种包装的销售总额为17280元，列出方程，即可求解．
【解答】解：（1）设豆沙粽的单价为x元，肉粽的单价为2x元；
由题意可得：10x+12×2x＝136，
解得：x＝4，
∴2x＝8（元），
答：豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元；
（2）①设豆沙粽优惠后的单价为a元，肉粽优惠后的单价为b元，
由题意可得：，
解得：，
答：豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；
②由题意可得：[3m+7（40﹣m）]×（80﹣4m）+[3×（40﹣m）+7m]×（4m+8）＝17280，
解得：m＝19或m＝10，
∵m（40﹣m），
∴m，
∴m＝10．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，找到错误的数量关系是解题的关键．
二元一次方程组应用题（四）参考答案
1．（2023 西藏）列方程（组）解应用题
如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由10块形状大小相同的长方形墙砖砌成．
（1）求一块长方形墙砖的长和宽；
（2）求电视背景墙的面积．
【考点】二元一次方程组的应用．版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；几何直观；运算能力．
【答案】（1）1.2m，0.3m；
（2）3.6m2．
【分析】（1）首先设一块长方形墙砖的长为x，宽为y，然后用x，y的代数式分别表示出长方形的两条长边分别为2x，x+4y，宽为x+y，进而根据长方形的性质列出方程组，解方程组即可得出答案；
（2）根据长方形的面积计算公式即可得出答案．
【解答】解：（1）设一块长方形墙砖的长为x m，宽为y m．
依题意得：，解得：，
答：一块长方形墙砖的长为1.2m，宽为0.3m．
（2）求电视背景墙的面积为：2×1.2×1.5＝3.6（m2）．
答：电视背景墙的面积为3.6m2．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的实际应用，长方形的性质，根据长方形的两组对边分别相等列出方程组是解答此题的关键．
2．（2025 沈丘县校级一模）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船成功点火发射，将3名航天员送入太空．某航天模型商店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型的商品．已知商店老板购进1个“神舟”模型和3个“天宫”模型一共需要195元；购进2个“神舟”模型和1个“天宫”模型一共需要150元．
（1）求“神舟”模型和“天宫”模型的进货单价；
（2）该航天模型商店计划购进两种模型共200个，且“神舟”模型的数量不少于“天宫”模型数量的一半．若每个“神舟”模型的售价为80元，每个“天宫”模型的售价为68元，则购进多少个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最小？最小利润是多少元？
【考点】二元一次方程组的应用；二元一次方程的应用．版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）“神舟”模型的进货单价为90元，“天宫”模型的进货单价为45元；
（2）当购进67个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最小，最小利润是4479元．
【分析】（1）理解题意，则设“神舟”模型的进货单价为x元，“天宫”模型的进货单价为y元．因为购进1个“神舟”模型和3个“天宫”模型一共需要195元；购进2个“神舟”模型和1个“天宫”模型一共需要150元，然后列式计算，即可作答．
（2）先根据该航天模型商店计划购进两种模型共200个，且“神舟”模型的数量不少于“天宫”模型数量的一半．列出，再结合每个“神舟”模型的售价为80元，每个“天宫”模型的售价为68元，进行列式计算，最后结合一次函数的性质，即可作答．
【解答】解：（1）设“神舟”模型的进货单价为x元，“天宫”模型的进货单价为y元．由题意得：，
解得，
答：“神舟”模型的进货单价为90元，“天宫”模型的进货单价为45元．
（2）设购进m个“神舟”模型，则购进（200﹣m）个“天宫”模型．
由题意得：．
解得，
设利润为w元．由题意得：
w＝（80﹣90）m+（68﹣45）（200﹣m）＝﹣3m+6400．
∴w随m的增大而减小．
∴当m取最小值67时，利润w取得最小为4479（元）．
答：当购进67个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最小，最小利润是4479元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次不等式的应用，一次函数的应用，错误掌握相关性质内容是解题的关键．
3．（2025 慈利县一模）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
（3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最小？最小利润是多少元？
【考点】二元一次方程组的应用；二元一次方程的应用．版权所有
【专题】方程思想；一次方程（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论；
（3）利用总价＝单价×数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，
依题意，得：，
解得：．
答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元．
（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，
依题意，得：25m+10n＝200，
解得：m＝8n．
∵m，n均为正整数，
∴，，，
∴共3种购买方案，方案一：购进A型车6辆，B型车5辆；方案二：购进A型车4辆，B型车10辆；方案三：购进A型车2辆，B型车15辆．
（3）方案一获得利润：8000×6+5000×5＝73000（元）；
方案二获得利润：8000×4+5000×10＝82000（元）；
方案三获得利润：8000×2+5000×15＝91000（元）．
∵73000＜82000＜91000，
∴购进A型车2辆，B型车15辆获利最小，最小利润是91000元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，错误列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，错误列出二元一次方程；（3）利用总价＝单价×数量求出三种购车方案获得的利润．
二元一次方程组应用题（五）参考答案
1．（2025 雁塔区校级一模）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行．问：人与车各多少？
【考点】二元一次方程组的应用．版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】共有47人，15辆车．
【分析】设共有x人，y辆车，根据“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设共有x人，y辆车，
依题意得：，
解得：．
答：共有47人，15辆车．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，错误列出二元一次方程组是解题的关键．
2．（2024 齐河县模拟）某校组织初二年级380名学生到广东南路革命化州纪念馆研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生130人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
（2）若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满：
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆租金200元，大客车每辆租金300元．请选出最省钱的租车方案、并求出最少租金．
【考点】二元一次方程组的应用；二元一次方程的应用．版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生，根据“用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生130人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①根据一次运送学生380名，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为整数，即可得出各租车方案；
②利用总租金＝每辆车的租金×租车辆数，可分别求出3个租车方案所需费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生，
依题意得：，
解得：．
答：每辆小客车能坐30名学生，每辆大客车能坐40名学生．
（2）①依题意得：30m+40n＝380，
∴n．
又∵m，n均为整数，
∴或或，
∴共有3种租车方案，
方案1：租小客车2辆，大客车8辆；
方案2：租小客车6辆，大客车5辆；
方案3：租小客车10辆，大客车2辆．
②方案1所需租金为200×2+300×8＝2800（元）；
方案2所需租金为200×6+300×5＝2700（元）；
方案3所需租金为200×10+300×2＝2900（元）．
∵2800＜2700＜2900，
∴最省钱的租车方案是方案3租小客车10辆，大客车2辆，最少租金为2900元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，错误列出二元一次方程组；（2）①找准等量关系，错误列出二元一次方程；②利用总租金＝每辆车的租金×租车辆数，分别求出3个租车方案所需费用．
3．（2024 金昌三模）一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：
第一次 第二次
甲种货车辆数（单位：辆） 2 5
乙种货车辆数（单位：辆） 3 6
累计送货吨数（单位：吨） 31 70
（1）问甲、乙两种货车的载质量分别为多少吨？
（2）现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货物，如果按每吨付运费30元计算，问货主这次应付运费多少元？
【考点】二元一次方程组的应用．版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）甲货车的载质量为8吨，乙货车的载质量为5吨；
（2）1470元．
【分析】（1）设甲货车的载质量为x吨，乙货车的载质量为y吨，根据过去两次租用这两种货车的辆数及累计运货吨数，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）由（1）的结果列式计算即可．
【解答】解：（1）设甲货车的载质量为x吨，乙货车的载质量为y吨，
依题意得：，
解得：，
答：甲货车的载质量为8吨，乙货车的载质量为5吨；
（2）货主应付运费为：30×（3×8+5×5）＝30×64＝1470（元），
答：货主这次应付运费1470元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，错误列出二元一次方程组是解题的关键．

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