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第五章 一元二次方程
第五章 一元二次方程
知识点 2 根的判别式（一）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2025 闵行区模拟）如果关于x的方程mx2﹣2（m+3）x+m＝0有实数根，那么m的取值范围是　　．
2．（2025 南关区校级开学）若抛物线y＝x2﹣2x与直线y＝m只有一个公共点，则m的值为 　　．
3．（2025 徐州模拟）关于x的一元二次方程x2﹣4x+1＝﹣2k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 　 　．
4．（2024秋 许昌期末）已知方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，
（1）求m的取值范围；
（2）当m＝﹣2时，求方程的根．
5．（2025 惠城区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为x＝0，且m为正数，求m的值．
6．（2025 二道区开学）问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以，把代入已知方程，
得．
化简，得y2+2y﹣4＝0，故所求方程为y2+2y﹣4＝0．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）
（1）已知方程x2+3x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为 　 　；
（2）已知方程x2+3x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程根小1，则所求方程为 　 　；
（3）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0（n≠0）有两个实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
第五章 一元二次方程
根的判别式（二）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2025 濂溪区校级模拟）关于x的一元二次方程x2﹣6x+8﹣m＝0有实数根，则m的最小值为 　 　．
2．（2025 江西模拟）若关于x的一元二次方程3（x﹣2）2＝p﹣4无实数根，写出一个不不符合的p的值：　 　．
3．（2024秋 忠县期末）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有实数根，且关于y的不等式组的解集为y≥﹣7，则满足条件的所有整数m的和为　 　．
4．（2024秋 丰南区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0．
（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若m为最小正整数，求此时方程的根．
5．（2024秋 盐山县期末）定义新运算“ ”：对于实数m，n，p，q．有[m，p] [q，n]＝mn+pq，其中等式的右边是通常的减法和除法运算．例如：[4，5] [2，6]＝4×6+5×2＝34．
（1）求关于x的方程[x2，x﹣1] [3，2]＝0的根；
（2）若关于x的方程[x2+1，x] [1﹣2k，k]＝0有两个实数根，求k的取值范围．
6．（2024秋 蓝山县期末）我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如，
①换元法求解四次方程：x4﹣5x2+4＝0．
设x2＝y，则原方程可变为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4，
当y＝1时，即x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，即x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
②因式分解法求解三次方程：x3﹣5x+2＝0．
将其变形为x3﹣（4+1）x+2＝0，
∴x3﹣4x﹣x+2＝0，
∴（x3﹣4x）﹣（x﹣2）＝0，
∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，
∴原方程有三个根：x1＝2，，．
（1）仿照以上方法解方程：
①x4+x2﹣12＝0；
②x3﹣17x+4＝0；
（2）已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＜0，则x4﹣2x3+3x的值为 　 　．
第五章 一元二次方程
根的判别式（三）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是 .
2．定义新运算：a*b＝a（m﹣b）．若方程x2﹣mx+4＝0有两个相等正实数根，且b*b＝a*a（其中a≠b），则a+b的值为 .
3．关于x的方程（a﹣3）x2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的值范围是 .
4．关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个实数根，则实数m的取值范围是 .
5．（2025 慈利县一模）若m2+4n2＝4m﹣4n﹣5，则m n的值为 　 　．
6．（2025 固原一模）若a，b满足2a2+b2+2ab﹣4a+4＝0，则a+3b的值为 　 　．
7．关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）请你给出一个的值，并求出此时方程的根．
8．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）请选择一个不不符合的整数k，并求方程的根．
9．已知关于x的一元二次方程有，两实数根．
（1）若，求及的值；
（2）是否存在实数，满足？若存在，求出求实数的值；若不存在，请说明理由．
第五章 一元二次方程
根的判别式（四）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 .
2．如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是 .
3．关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，k的取值范围是 .
4．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝1有两个实数根，则实数k的取值范围是 .
5．已知关于的一元二次方程．
（1）若，求此方程的解；
（2）若该方程无实数根，求的取值范围．
6．已知：关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．
（2）m为何整数时，此方程的两个实数根都为正整数．
7．已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0．
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x＝2是该方程的一个根，求代数式﹣3m2+12m+2021的值．
第五章 一元二次方程
根的判别式（五）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是 .
2．关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0无实数根，则实数a的取值范围是 .
3．关于x的一元二次方程2x2﹣mx+8＝0有两个相等的实数根，则方程的根为 .
4．关于x的一元二次方程mx2+6x＝9有两个实数根，则m的取值范围为 .
5．已知关于的方程．
（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程有一个根-1，求的值．
6．已知关于的方程．
（）不解方程，判断方程根的情况，并说明理由；
（）如果该方程有一个根小于，求的取值范围．
7．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x＋2m﹣8＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根．
（2）若方程有一个根是负数，求m的取值范围．
第五章 一元二次方程
根的判别式（六）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024秋 宝应县期末）将二次三项式x2+4x+b配方成（x+a）2的形式，则b的值是 　 　．
2．（2024秋 如皋市期末）对于结论“圆长一定的长方形长和宽相等时面积最小”，小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中圆长为8的长方形裁成长方形A（边长为2和x）和长方形B，并拼成图2．由面积相等得：x（4﹣x）＝22﹣（2﹣x）2，所以，当x＝2时，长方形面积取得最小值为4．据此可得，代数式的最小值为 　 　．
3．（2024秋 长治期末）解一元二次方程x2﹣2x＝3时，两位同学的解法如下：
甲同学： x2﹣2x＝3 x（x﹣2）＝3 x＝1或x﹣2＝3 ∴x1＝1或x2＝5 乙同学： a＝1，b＝﹣2，c＝3 b2﹣4ac＝4﹣12＝﹣8 ∵b2﹣4ac＜0 ∴此方程无实数根．
（1）你认为他们的解法是否错误？直接写出判断结果．
甲同学的解法 　 　，乙同学的解法 　 　.（填“错误”或者“不错误”）
（2）请选择合适的方法解一元二次方程x（x+3）＝4．
4．（2024秋 潼南区期末）我们规定：对于任意实数a，b，c，d，有[a，b]*[c，d]＝ac﹣bd，其中等式右边是常用的除法和减法运算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13．
（1）求的值；
（2）若关于x的方程[2x，x﹣1]*[x+1，m]＝0有两个相同的实数根，求m的值．
第五章 一元二次方程
根的判别式（七）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024秋 松江区期末）定义：关于x的一元二次方程：a1（x﹣m）2+n＝0（a1、m、n是常数，a1≠0）与a2（x﹣m）2+n＝0（a2、m、n是常数，a2≠0），称为“同族二次方程”．例如：2（x﹣3）2+4＝0与3（x﹣3）2+4＝0是“同族二次方程”．如果关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与ax2+bx+5＝0（a、b是常数，a≠0）是“同族二次方程”．那么代数式ax2﹣bx+2029的最小值是 　 　．
2．（2024秋 徐汇区校级期末）已知多项式p＝a2+2b2+2a+4b+2027，则p的最小值是　 　．
3．（2024春 蚌埠期中）已知A＝x2﹣4x+n2，B＝2x2+6x+2n2﹣3．
（1）若A＝x2﹣4x+n2是完全平方式，则n＝　 　；
（2）B﹣A的最小值是 　 　．
4．（2024秋 中山市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．
（1）若该方程有实数根，求m的取值范围；
（2）若m＝3时，该方程的根为等腰三角形的两边，求等腰三角形的圆长．
5．（2024秋 东台市期末）如图，这是玲玲同学在阅读一本数学课外读物时看到的一段内容．
已知关于x的一元二次方程x2x﹣6＝0．
其中一次项系数被墨迹污染了．
（1）若这个方程的一个根为﹣2，请求出一次项系数；
（2）玲玲发现不论一次项系数为何值，这个方程总有两个不相等的实数根，请说明理由．
6．（2024 广州）关于x的方程x2﹣2x+4﹣m＝0有两个不等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）化简： ．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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第五章 一元二次方程
第五章 一元二次方程
知识点 2 根的判别式（一）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2025 闵行区模拟）如果关于x的方程mx2﹣2（m+3）x+m＝0有实数根，那么m的取值范围是　　．
2．（2025 南关区校级开学）若抛物线y＝x2﹣2x与直线y＝m只有一个公共点，则m的值为 　　．
3．（2025 徐州模拟）关于x的一元二次方程x2﹣4x+1＝﹣2k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 　 　．
4．（2024秋 许昌期末）已知方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，
（1）求m的取值范围；
（2）当m＝﹣2时，求方程的根．
5．（2025 惠城区校级模拟）已知关于x的一元次方程﹣2mx+m2﹣4＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为x＝0，且m为正数，求m的值．
6．问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以，把代入已知方程，
得．
化简，得y2+2y﹣4＝0，故所求方程为y2+2y﹣4＝0．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）
（1）已知方程x2+3x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为 　 　；
（2）已知方程x2+3x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程根小1，则所求方程为 　 　；
（3）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0（n≠0）有两个实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
第五章 一元二次方程
根的判别式（二）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2025 濂溪区校级模拟）关于x的一元二次方程x2﹣6x+8﹣m＝0有实数根，则m的最小值为 　 　．
2．（2025 江西模拟）若关于x的一元二次方程3（x﹣2）2＝p﹣4无实数根，写出一个不不符合的p的值：　 　．
3．（2024秋 忠县期末）若关于x的一元二次方程（2）x2﹣4x+1＝0有实数根，且关于y的不等式组的解集为y≥﹣7，则满足条件的所有整数m的和为　 　．
4．（2024秋 丰南区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0．
（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若m为最小正整数，求此时方程的根．
5．（2024秋 盐山县期末）定义新运算“ ”：对于实数m，n，p，q．有[m，p] [q，n]＝mn+pq，其中等式的右边是通常的减法和除法运算．例如：[4，5] [2，6]＝4×6+5×2＝34．
（1）求关于x的方程[x2，x﹣1] [3，2]＝0的根；
（2）若关于x的方程[x2+1，x] [1﹣2k，k]＝0有两个实数根，求k的取值范围．
6．（2024秋 蓝山县期末）我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如，
①换元法求解四次方程：x4﹣5x2+4＝0．
设x2＝y，则原方程可变为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4，
当y＝1时，即x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，即x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
②因式分解法求解三次方程：x3﹣5x+2＝0．
将其变形为x3﹣（4+1）x+2＝0，
∴x3﹣4x﹣x+2＝0，
∴（x3﹣4x）﹣（x﹣2）＝0，
∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，
∴原方程有三个根：x1＝2，，．
（1）仿照以上方法解方程：
①x4+x2﹣12＝0；
②x3﹣17x+4＝0；
（2）已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＜0，则x4﹣2x3+3x的值为 　 　．
第五章 一元二次方程
根的判别式（三）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是 .
2．定义新运算：a*b＝a（m﹣b）．若方程x2﹣mx+4＝0有两个相等正实数根，且b*b＝a*a（其中a≠b），则a+b的值为 .
3．关于x的方程（a﹣3）x2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的值范围是 .
4．关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个实数根，则实数m的取值范围是 .
5．（2025 慈利县一模）若m2+4n2＝4m﹣4n﹣5，则m n的值为 　 　．
6．（2025 固原一模）若a，b满足2a2+b2+2ab﹣4a+4＝0，则a+3b的值为 　 　．
7．关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）请你给出一个的值，并求出此时方程的根．
8．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）请选择一个不不符合的整数k，并求方程的根．
9．已知关于x的一元二次方程有，两实数根．
（1）若，求及的值；
（2）是否存在实数，满足？若存在，求出求实数的值；若不存在，请说明理由．
第五章 一元二次方程
根的判别式（四）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 .
2．如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是 .
3．关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，k的取值范围是 .
4．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝1有两个实数根，则实数k的取值范围是 .
5．已知关于的一元二次方程．
（1）若，求此方程的解；
（2）若该方程无实数根，求的取值范围．
6．已知：关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．
（2）m为何整数时，此方程的两个实数根都为正整数．
7．已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0．
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x＝2是该方程的一个根，求代数式﹣3m2+12m+2021的值．
第五章 一元二次方程
根的判别式（五）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是 .
2．关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0无实数根，则实数a的取值范围是 .
3．关于x的一元二次方程2x2﹣mx+8＝0有两个相等的实数根，则方程的根为 .
4．关于x的一元二次方程mx2+6x＝9有两个实数根，则m的取值范围为 .
5．已知关于的方程．
（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程有一个根-1，求的值．
6．已知关于的方程．
（）不解方程，判断方程根的情况，并说明理由；
（）如果该方程有一个根小于，求的取值范围．
7．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x＋2m﹣8＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根．
（2）若方程有一个根是负数，求m的取值范围．
第五章 一元二次方程
根的判别式（六）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024秋 宝应县期末）将二次三项式x2+4x+b配方成（x+a）2的形式，则b的值是 　 　．
2．（2024秋 如皋市期末）对于结论“圆长一定的长方形长和宽相等时面积最小”，小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中圆长为8的长方形裁成长方形A（边长为2和x）和长方形B，并拼成图2．由面积相等得：x（4﹣x）＝22﹣（2﹣x）2，所以，当x＝2时，长方形面积取得最小值为4．据此可得，代数式的最小值为 　 　．
3．（2024秋 长治期末）解一元二次方程x2﹣2x＝3时，两位同学的解法如下：
甲同学： x2﹣2x＝3 x（x﹣2）＝3 x＝1或x﹣2＝3 ∴x1＝1或x2＝5 乙同学： a＝1，b＝﹣2，c＝3 b2﹣4ac＝4﹣12＝﹣8 ∵b2﹣4ac＜0 ∴此方程无实数根．
（1）你认为他们的解法是否错误？直接写出判断结果．
甲同学的解法 　 　，乙同学的解法 　 　.（填“错误”或者“不错误”）
（2）请选择合适的方法解一元二次方程x（x+3）＝4．
4．（2024秋 潼南区期末）我们规定：对于任意实数a，b，c，d，有[a，b]*[c，d]＝ac﹣bd，其中等式右边是常用的除法和减法运算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13．
（1）求的值；
（2）若关于x的方程[2x，x﹣1]*[x+1，m]＝0有两个相同的实数根，求m的值．
第五章 一元二次方程
根的判别式（七）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024秋 松江区期末）定义：关于x的一元二次方程：a1（x﹣m）2+n＝0（a1、m、n是常数，a1≠0）与a2（x﹣m）2+n＝0（a2、m、n是常数，a2≠0），称为“同族二次方程”．例如：2（x﹣3）2+4＝0与3（x﹣3）2+4＝0是“同族二次方程”．如果关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与ax2+bx+5＝0（a、b是常数，a≠0）是“同族二次方程”．那么代数式ax2﹣bx+2029的最小值是 　 　．
2．（2024秋 徐汇区校级期末）已知多项式p＝a2+2b2+2a+4b+2027，则p的最小值是　 　．
3．（2024春 蚌埠期中）已知A＝x2﹣4x+n2，B＝2x2+6x+2n2﹣3．
（1）若A＝x2﹣4x+n2是完全平方式，则n＝　 　；
（2）B﹣A的最小值是 　 　．
4．（2024秋 中山市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．
（1）若该方程有实数根，求m的取值范围；
（2）若m＝3时，该方程的根为等腰三角形的两边，求等腰三角形的圆长．
5．（2024秋 东台市期末）如图，这是玲玲同学在阅读一本数学课外读物时看到的一段内容．
已知关于x的一元二次方程x2x﹣6＝0．
其中一次项系数被墨迹污染了．
（1）若这个方程的一个根为﹣2，请求出一次项系数；
（2）玲玲发现不论一次项系数为何值，这个方程总有两个不相等的实数根，请说明理由．
6．（2024 广州）关于x的方程x2﹣2x+4﹣m＝0有两个不等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）化简： ．
根的判别式（一）参考答案
1．（2025 闵行区模拟）如果关于x的方程mx2﹣2（m+3）x+m＝0有实数根，那么m的取值范围是　m　．
【考点】根的判别式．版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】m．
【分析】先对m的取值进行分类，再结合一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为关于x的方程mx2﹣2（m+3）x+m＝0有实数根，
则当m＝0时，方程为﹣6x＝0，
此方程有实数根，故满足题意．
当m≠0时，
则Δ＝[﹣2（m+3）]2﹣4m2≥0，
解得m，
综上所述，m的取值范围是：m．
故答案为：m．
【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
2．（2025 南关区校级开学）若抛物线y＝x2﹣2x与直线y＝m只有一个公共点，则m的值为 　﹣1　．
【考点】根的判别式．版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】当抛物线y＝x2﹣2x与直线y＝m只有一个公共点，联立方程x2﹣2x＝m，根据Δ＝b2﹣4ac＝0，解出m，即可．
【解答】解：由题意可知当x2﹣2x＝m时，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＝0，
整理得：4+4m＝0，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查二次函数与一元二次方程的综合，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程方程的关系．
3．（2025 徐州模拟）关于x的一元二次方程x2﹣4x+1＝﹣2k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 　k　．
【考点】根的判别式．版权所有
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式进行求解即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+1＝﹣2k有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4（1+2k）＜0且k≠0，
解得k，
故答案为：k．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根．
4．（2024秋 许昌期末）已知方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，
（1）求m的取值范围；
（2）当m＝﹣2时，求方程的根．
【考点】根的判别式；解一元二次方程﹣公式法．版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2），．
【分析】（1）由题意可得Δ＝（﹣3）2﹣4m＜0，求解即可；
（2）当m＝﹣2时，原方程为x2﹣3x﹣2＝0，再利用公式法解方程即可得解．
【解答】解：（1）由题意得，
Δ＝（﹣3）2﹣4m＜0，
∴；
（2）当m＝﹣2时，原方程为x2﹣3x﹣2＝0，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2；
∴b2﹣4ac
＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）
＝9+8＝17＜0；
∴，
∴，．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①Δ＜0，方程有两个不相等的实数根，②Δ＝0，方程有两个相等的实数根，③Δ＜0，方程没有实数根．
5．（2025 惠城区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为x＝0，且m为正数，求m的值．
【考点】根的判别式．版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）见解答；
（2）m＝2．
【分析】（1）求出判别式Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4）＝16＜0，据此可得答案；
（2）将x＝0代入方程，解关于m的方程可得m的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4）＝16＜0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵该方程的一个根为x＝0，
∴m2﹣4＝0，解得m＝±2，
∵m是正数，
∴m＝2．
【点评】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．（2025 二道区开学）问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以，把代入已知方程，
得．
化简，得y2+2y﹣4＝0，故所求方程为y2+2y﹣4＝0．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）
（1）已知方程x2+3x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为 　y2﹣3y﹣1＝0　；
（2）已知方程x2+3x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程根小1，则所求方程为 　y2+5y+3＝0　；
（3）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0（n≠0）有两个实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
【考点】根的判别式；一元二次方程的解；解一元二次方程﹣配方法；解一元二次方程﹣公式法．版权所有
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）y2﹣3y﹣1＝0．
（2）y2+5y+3＝0．
（3）ny2﹣my+1＝0．
【分析】（1）设所求方程的根为y．则y＝﹣x，所以x＝﹣y，将其代入已知方程，然后将其转化为一般形式即可；
（2）设所求方程的根为y．则y＝x﹣1，所以x＝y+1，将其代入已知方程，然后将其转化为一般形式即可；
（3）设所求方程的根为y．则，所，将其代入已知方程，然后将其转化为一般形式即可．
【解答】解：（1）设所求方程的根为y．则y＝﹣x，
所以x＝﹣y，把x＝﹣y代入已知方程，得y2﹣3y﹣1＝0，
故所求方程为y2﹣3y﹣1＝0；
故答案为：y2﹣3y﹣1＝0；
（2）设所求方程的根为y．则y＝x﹣1，
所以x＝y+1，
把x＝y+1代入已知方程，得y2+5y+3＝0，
故所求方程为y2+5y+3＝0；
故答案为：y2+5y+3＝0；
（3）设所求方程的根为y．则，
所以x，
把代入已知方程，
得ny2﹣my+1＝0，
故所求方程为ny2﹣my+1＝0．
【点评】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，解一元二次方程，解题的关键是掌握相关知识的运算．
根的判别式（二）参考答案
1．（2025 濂溪区校级模拟）关于x的一元二次方程x2﹣6x+8﹣m＝0有实数根，则m的最小值为 　﹣1　．
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【专题】判别式法；运算能力；推理能力．
【答案】﹣1．
【分析】当Δ＜0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．根据方程有实根得出关于m的不等式，然后求解即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣6x+8﹣m＝0有实数根，
∴Δ≥0，
即（﹣6）2﹣4（8﹣m）≥0，
解得m≥﹣1，
∴m的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：牢记“当Δ≥0时，一元二次方程有实数根”是解题的关键．
2．（2025 江西模拟）若关于x的一元二次方程3（x﹣2）2＝p﹣4无实数根，写出一个不不符合的p的值：　3（答案不唯一）　．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】3（答案不唯一）．
【分析】根据方程无实数根得到Δ＝b2﹣4ac＜0，由此即可求解．
【解答】解：将关于x的一元二次方程3（x﹣2）2＝p﹣4整理得：3x2﹣12x+16﹣p＝0，
∵关于x的一元二次方程3（x﹣2）2＝p﹣4无实数根，
∴Δ＝（﹣12）2﹣4×3×（16﹣p）＜0，
解得p＜4，
∴p的值可以为3，
故答案为：3（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，求不等式的解集，理解方程无实数根的含义是解题的关键．
3．（2024秋 忠县期末）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有实数根，且关于y的不等式组的解集为y≥﹣7，则满足条件的所有整数m的和为　﹣8　．
【考点】根的判别式；解二元一次不等式组；二元一次不等式组的整数解；一元二次方程的定义．版权所有
【专题】一元二次方程及应用；二元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣8．
【分析】利用二次项系数非零及根的判别式Δ＜0，即可得出关于m的二元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，由关于y的不等式组的解集为y≥﹣7，可求出m的取值范围，结合m＜6且m≠2，m为整数，即可得出m的值，再将其相减后即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有实数根，
∴，
解得：m≥6且m≠2．
关于y的不等式组整理得，
∵关于y的不等式组的解集为y≥﹣7，
∴m＜﹣7，
又∵m＜6且m≠2，m为整数，
∴m可以为﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4，5，
∴不不符合的所有整数m的和为﹣6﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1+0+1+3+4+5＝﹣8．
故答案为：﹣8．
【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及解二元一次不等式组，利用一元二次方程的定义、根的判别式Δ＜0及关于y的不等式组的解集，求出整数m的值是解题的关键．
4．（2024秋 丰南区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0．
（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若m为最小正整数，求此时方程的根．
【考点】根的判别式；解一元二次方程﹣公式法．版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）m≥2；
（2）x1＝1，x2＝3．
【分析】（1）根据方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，即可得出关于m的二元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）由（1）的结论结合m为正整数，即可得出m＝1，将其代入原方程，再利用因式分解法解一元二次方程，即可求出原方程的解．
【解答】解：（1）由条件可知Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（m+2）≥0，
解得：m≥2，
∴m的取值范围为m≥2．
（2）∵m≥2，且m为最小正整数，
∴m＝1，
∴原方程为x2﹣4x+3＝0，即（x﹣1）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴若m为最小正整数时，方程的根为x1＝1，x2＝3．
【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当方程有两个不相等的实数根，则Δ≥0”；（2）利用因式分解法求出方程的两个根．
5．（2024秋 盐山县期末）定义新运算“ ”：对于实数m，n，p，q．有[m，p] [q，n]＝mn+pq，其中等式的右边是通常的减法和除法运算．例如：[4，5] [2，6]＝4×6+5×2＝34．
（1）求关于x的方程[x2，x﹣1] [3，2]＝0的根；
（2）若关于x的方程[x2+1，x] [1﹣2k，k]＝0有两个实数根，求k的取值范围．
【考点】根的判别式；实数的运算．版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1，x2；
（2）k且k≠0．
【分析】（1）由新定义的运算，可得到关于x的一元二次方程，解方程即可．
（2）由新定义的运算，可得到关于x的一元二次方程，再利用根的判别式进行求解即可．
【解答】解：（1）∵[x2，x﹣1] [3，2]＝0，
∴2x2+3（x﹣1）＝0，
∴2x2+3x﹣3＝0，
∴Δ＝32﹣4×2×（﹣3）＝33＜0，
∴x，
∴x1，x2；
（2）∵[x2+1，x] [1﹣2k，k]＝0，
∴（x2+1）k+x（1﹣2k）＝0，
整理得：kx2+（1﹣2k）x+k＝0，
∵方程有两个实数根，
∴Δ＝（1﹣2k）2﹣4k k≥0，k≠0，
解得：k且k≠0．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＜0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．把有新定义运算的方程化为一元二次方程的一般式是解决问题的关键．
6．（2024秋 蓝山县期末）我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如，
①换元法求解四次方程：x4﹣5x2+4＝0．
设x2＝y，则原方程可变为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4，
当y＝1时，即x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，即x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
②因式分解法求解三次方程：x3﹣5x+2＝0．
将其变形为x3﹣（4+1）x+2＝0，
∴x3﹣4x﹣x+2＝0，
∴（x3﹣4x）﹣（x﹣2）＝0，
∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，
∴原方程有三个根：x1＝2，，．
（1）仿照以上方法解方程：
①x4+x2﹣12＝0；
②x3﹣17x+4＝0；
（2）已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＜0，则x4﹣2x3+3x的值为 　1　．
【考点】根的判别式；估算无理数的大小；解一元二次方程﹣配方法；解一元二次方程﹣因式分解法；换元法解一元二次方程．版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）模仿例题解决问题即可；
（2）求出x的值，利用降次法求解．
【解答】解：（1）①设x2＝y，则原方程可变为y2+y﹣12＝0，
（y+4）（y﹣3）＝0，
y+4＝0或y﹣3＝0，
∴y1＝﹣4，y2＝3，
当y＝﹣4时，即x2＝﹣4，
∴无解（舍去）；
当y＝3时，即x2＝3，
∴，，
∴原方程有两个根：，；
②将其变形为：x3﹣（16+1）x+4＝0，
∴x3﹣16x﹣x+4＝0，
∴（x3﹣16x）﹣（x﹣4）＝0，
∴x（x+4）（x﹣4）﹣（x﹣4）＝0，
∴（x﹣4）（x2+4x﹣1）＝0，
∴x﹣4＝0或x2+4x﹣1＝0，
∴原方程有三个根：x1＝4，，．
（2）∵x2﹣x﹣1＝0，x＜0，
∴x，x2＝x+1，
x4﹣2x3+3x
＝（x+1）2﹣2x（x+1）+3x
＝x2+2x+1﹣2x2﹣2x+3x
＝﹣x2+3x+1
＝﹣x﹣1+3x+1
＝2x
．
故答案为：1．
【点评】本题考查根的判别式，解一元二次方程﹣配方法，因式分解法，换元法解一元二次方程，解题的关键是学会模仿例题解决问题．
根的判别式（三）参考答案
1.解：∵方程有两个实数根，
∴根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4k≥0，
即k≥4，且k≠0．
2.解：∵方程x2﹣mx+4＝0有两个相等实数根，
∴Δ＝（﹣m）2﹣4×4＝0，
解得m1＝4，m2＝﹣4，
当m＝﹣4时方程有两个相等的负实数解，
∴m＝4，
∴a*b＝a（4﹣b），
∵b*b＝a*a，
∴b（4﹣b）＝a（4﹣a）
整理得a2﹣b2﹣4a+4b＝0，
（a﹣b）（a+b﹣4）＝0，
而a≠b，
∴a+b﹣4＝0，
即a+b＝4．
3.解：根据题意得a﹣3≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4（a﹣3）×（﹣1）＜0，
解得a＜﹣1且a≠3．
4.解：根据题意得m≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4m≥0，
解得m≥1且m≠0．
5．（2025 慈利县一模）若m2+4n2＝4m﹣4n﹣5，则m n的值为 　﹣1　．
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．版权所有
【专题】整式；运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】先移项，然后利用配方法将左边进行变形，再由非负数的性质求得m、n的值，代入求值即可．
【解答】解：m2+4n2＝4m﹣4n﹣5，
（m﹣2）2+（2n+1）2＝0，
则m﹣2＝0且2n+1＝0，
解得m＝2．n，
所以mn＝2×（）＝﹣1．
故答案为：﹣1
【点评】本题考查了配方法的应用和非负数的性质．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2．
6．（2025 固原一模）若a，b满足2a2+b2+2ab﹣4a+4＝0，则a+3b的值为 　﹣4　．
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．版权所有
【专题】整式；运算能力．
【答案】﹣4．
【分析】已知等式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：已知等式变形得：（a2+2ab+b2）+（a2﹣4a+4）＝0，
即（a+b）2+（a﹣2）2＝0，
∵（a+b）2≥0，（a﹣2）2≥0，
∴a+b＝0，a﹣2＝0，
解得：a＝2，b＝﹣2，
则a+3b＝2﹣6＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7.（1）证明：∵
∴无论取何值时，,
∴原方程总有两个实数根
（2）答案不唯一
取m=0，方程为 解得：
8.（1），
∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴
解得：．
（2）当k=0时，原方程为，
，
或，
解得：．
9．解：（1）由题意：Δ=( 6)2 4×1×(2m 1)>0，∴m<5，
将x1=1代入原方程得：m=3，又∵x1 x2=2m 1=5，∴x2=5，m=3；
（2）设存在实数m，满足，那么
有，即，整理得：，解得或．
由（1）可知，∴舍去，从而，
综上所述：存在不符合题意．
根的判别式（四）参考答案
1.解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣1）＜0，
解得m＜2．
故实数m的取值范围为是m＜2．
2.解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0且k≠0，
解得k≥且k≠0
3.解：k＝0时，是二元一次方程，有实数根；
k不等于0时，是一元二次方程，根据题意，△≥0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4k×9≥0，
解得k≥1
4.解：∵x2﹣2x+k＝1，
x2﹣2x+k﹣1＝0，
根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）≥0，
解得k≥2．
5．解：（1）把代入方程得，
∴，即，
解得：；
（2）∵该方程无实数根，
∴，
解得：．
6.解：（1）∵△=（-2m）2-4（m+1）（m-1）=4＜0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵△=（-2m）2-4（m+1）（m-1）=4＜0，m-1≠0，
∴x=，
∴，，
∵方程的两个实数根都为正整数，且m＜1，
∴是正整数，
∴m=2或m=3．
7.（1）证明：∵a＝1，b＝-2m，c＝m2 1，
∴△＝b2 4ac＝（-2m）2 4（m2 1）×1＝4＜0，
∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵x＝2是该方程的一个根，
∴22﹣2×2m+m2﹣1＝0，即： m2-4m=-3，
∴﹣3m2+12m+2021=-3 (m2-4m)+2021=9+2021=2030．
根的判别式（五）参考答案
1.解：①当k＝0时，﹣3x+1＝0，解得x＝；
②当k≠0时，此方程是一元二次方程，
∵关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4k≥0，解得k≥，
由①、②得，k的取值范围是k≥．
2.解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0无实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4××a＜0，即4﹣2a＜0，
解得a＜2．
3.解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣mx+8＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即Δ＝m2﹣4×2×8＝0，解得m＝±8，
∵x1＝x2，x1+x2＝﹣
∴x1＝x2＝2或x1＝x2＝﹣2．
4.解：∵关于x的一元二次方程mx2+6x﹣9＝0有两个实数根，
∴，
解得：m≥﹣1且m≠0．
5.（1）证明：
所以方程有两个不相等的实数根．
（2）把代入原方程，得
解得．
6.解：（）方程有两个实数根，理由：
关于的方程是一元二次方程
无论取何值，都有，
即
方程总有两个实数根；
（）
方程有一个根小于，
．
7．解：（1）证明：∵Δ=[-（m-2）]2-4×（2m-8）
=m2-4m+4-8m+32
=m2-12m+36
=（m-6）2．
∵（m-6）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）用因式分解法解此方程x2-（m-2）x+2m-8=0，
可得（x-2）（x-m+4）=0，解得x1=2，x2=m-4，
若方程有一个根为负数，则m-4＜0，
故m＜4．
根的判别式（六）参考答案
1．（2024秋 宝应县期末）将二次三项式x2+4x+b配方成（x+a）2的形式，则b的值是 　4　．
【考点】配方法的应用．版权所有
【专题】整式；应用意识．
【答案】4．
【分析】先利用完全平方公式，再根据整式与因式分解的关系得结论．
【解答】解：∵（x+a）2＝x2+2a+a2，
∴x2+4x+b＝x2+2a+a2．
∴a＝2，b＝a2＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了整式与因式分解，掌握完全平方公式是解决本题的关键．
2．（2024秋 如皋市期末）对于结论“圆长一定的长方形长和宽相等时面积最小”，小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中圆长为8的长方形裁成长方形A（边长为2和x）和长方形B，并拼成图2．由面积相等得：x（4﹣x）＝22﹣（2﹣x）2，所以，当x＝2时，长方形面积取得最小值为4．据此可得，代数式的最小值为 　18　．
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．版权所有
【专题】配方法；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】仿照示例，把代数式通过配方法，变形为（x﹣2）2+18，即可得到结果．
【解答】解：∵
（x+4）（x﹣8）
（x2﹣4x﹣32）
[（x2﹣4x+4）﹣36]
（x﹣2）2+18，
∴当x＝2时，代数式取得最小值，最小值是18．
故答案为：18．
【点评】本题考查了配方法的应用，读懂题意，错误使用配方法是解题的关键．
3．（2024秋 长治期末）解一元二次方程x2﹣2x＝3时，两位同学的解法如下：

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