资源简介

第五章 一元二次方程
第五章 一元二次方程
知识点 3 根与系数的关系（一）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，若x2＝2x1，则4b﹣9ac的最小值是 .
2．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x22＝5，则k的值是 .
3．若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则m2+4m+n的值是 .
4．已知a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是 .
5．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．
6．若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，则x1+x2＝﹣，x1 x2＝．现已知一元二次方程px2+2x+q＝0的两根分别为m，n．
（1）若m＝2，n＝﹣4，求p，q的值；
（2）若p＝3，q＝﹣1，求m+mn+n的值．
7．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值．
第五章 一元二次方程
根与系数的关系（二）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．若m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则的值为 .
2．关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1 x2的值为 .
3．实数m，n是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则多项式mn﹣m﹣n的值为 .
4．已知一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，则+的值为 .
5．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．
（1）若x1＝1，求x2及m的值；
（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
6．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当时，求m的值．
7．已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x1x2＝4﹣x2时，求k的值．
第五章 一元二次方程
根与系数的关系（三）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．已知m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m2﹣n+2022的值是 .
2．若p、q是一元二次方程x2+4x﹣9＝0的两个根，则p2+3p﹣q的值是 .
3．若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实根，则m2+4m+2n的值是 .
4．已知x1、x2是一元二次方程x2﹣x﹣7＝0的两个实数根，则+4x1x2+的值是 .
5．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝10，求k的值．
6．关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
7．已知关于x的一元二次方程k2x2+（2k+1）x+1＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程至少有一个有理数根，写出一个k的值，并求此时方程的根。21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第五章 一元二次方程
第五章 一元二次方程
知识点 3 根与系数的关系（一）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，若x2＝2x1，则4b﹣9ac的最小值是 .
2．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x22＝5，则k的值是 .
3．若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则m2+4m+n的值是 .
4．已知a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是 .
5．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．
6．若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，则x1+x2＝﹣，x1 x2＝．现已知一元二次方程px2+2x+q＝0的两根分别为m，n．
（1）若m＝2，n＝﹣4，求p，q的值；
（2）若p＝3，q＝﹣1，求m+mn+n的值．
7．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值．
第五章 一元二次方程
根与系数的关系（二）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．若m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则的值为 .
2．关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1 x2的值为 .
3．实数m，n是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则多项式mn﹣m﹣n的值为 .
4．已知一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，则+的值为 .
5．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．
（1）若x1＝1，求x2及m的值；
（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
6．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当时，求m的值．
7．已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x1x2＝4﹣x2时，求k的值．
第五章 一元二次方程
根与系数的关系（三）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．已知m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m2﹣n+2022的值是 .
2．若p、q是一元二次方程x2+4x﹣9＝0的两个根，则p2+3p﹣q的值是 .
3．若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实根，则m2+4m+2n的值是 .
4．已知x1、x2是一元二次方程x2﹣x﹣7＝0的两个实数根，则+4x1x2+的值是 .
5．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝10，求k的值．
6．关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
7．已知关于x的一元二次方程k2x2+（2k+1）x+1＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程至少有一个有理数根，写出一个k的值，并求此时方程的根．
根与系数的关系（一）参考答案
1.解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，
∴x1+x2＝﹣，
∵x2＝2x1，
∴3x1＝﹣，即x1＝﹣，
∴a+b （﹣）+c＝0，
∴﹣+c＝0，
∴9ac＝2b2，
∴4b﹣9ac＝4b﹣2b2＝﹣2（b﹣1）2+2，
∵﹣2＜0，
∴4b﹣9ac的最小值是2
2.解：∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝k，x1x2＝k﹣3，
∵x12+x22＝5，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，
∴k2﹣2（k﹣3）＝5，
整理得出：k2﹣2k+1＝0，
解得：k1＝k2＝1
3.解：∵m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，
∴m+n＝﹣3，
∵m是x2+3x﹣9＝0的一个根，
∴m2+3m﹣9＝0，
∴m2+3m＝9，
∴m2+4m+n＝m2+3m+m+n＝9+（m+n）＝9﹣3＝6．
4.解：∵a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，
∴a2﹣3a﹣5＝0，b2﹣3b﹣5＝0，a+b＝3,
∴a2﹣3a＝5，b2＝3b+5，
∴2a3﹣6a2+b2+7b+1
＝2a（a2﹣3a)+3b+5+7b+1
＝10a+10b+6
＝10(a+b)+6
＝10×3+6
＝36．
5.解：（1）根据题意得Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，
解得m≥0．
故m的取值范围是m≥0；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1 x2＝12，
∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，即m2﹣m﹣6＝0，解得m1＝﹣2，m2＝3（舍去）．
故m的值为﹣2．
6.解：（1）根据题意得2﹣4＝﹣，2×（﹣4）＝，所以p＝1，q＝﹣8；
（2）根据m+n＝﹣＝﹣，mn＝﹣，所以m+mn+n＝m+n+mn＝﹣﹣＝﹣1．
7.解：（1）根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4（﹣2m+5）＜0，解得m＜；
（2）设x1，x2是方程的两根，根据题意得x1+x2＝4＜0，x1x2＝﹣2m+5＜0，解得m＜，所以m的范围为＜m＜，因为m为整数，所以m＝1或m＝2，当m＝1时，方程两根都是整数；当m＝2时，方程两根都不是整数；所以整数m的值为1．
根与系数的关系（二） 参考答案
1.解：m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，
∴m2+3m﹣1＝0，
∴3m﹣1＝﹣m2，
∵Δ＝32﹣4×1×（﹣1）＝13＜0，
∴m+n＝﹣3，
∴＝＝＝3
2.解：∵关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2，
∴x1 x2＝﹣1，x1+x2＝1，
∴x1+x2﹣x1 x2＝1﹣（﹣1）＝2
3.解：∵实数m，n是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根，a＝1，b＝﹣3，c＝2，
∴m+n＝﹣＝3，mn＝＝2，
∴mn﹣m﹣n＝mn﹣（m+n）＝2﹣3＝﹣1．
4.解：∵一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝﹣1，mn＝﹣2021，
∴+＝＝＝
5.解：（1）根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣4（2m﹣1）≥0，
解得m≥5，
x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1，
∵x1＝1，
∴1+x2＝6，x2＝2m﹣1，
∴x2＝5，m＝3；
（2）存在．
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝，即2m﹣1﹣6+1＝，
整理得m2﹣8m+12＝0，
解得m1＝2，m2＝6，
经检验m1＝2，m2＝6为原方程的解，
∵m≥5且m≠5，
∴m＝2．
6.解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＜0且m≠0，
即（﹣2）2﹣4×m×（﹣1）＜0且m≠0，
解得：m＜﹣1且m≠0；
（2）∵关于的一元二次方程mx ﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
∴x1+x2＝，x1x2＝﹣，
∵x12+x22＝x1x2+1，（x1+x2）2﹣2x1x2＝x1x2+1，
即（x1+x2）2＝3x1x2+1，
∴（）2＝﹣+1，即m2﹣3m﹣4＝0，
解得：m1＝4，m2＝﹣1，
经检验，m1，m2都是分式方程的解，
∵m＜﹣1且m≠0，
∴m的值为4．
7.解：（1）当k＝0时，原方程为﹣3x+1＝0，
解得：x＝，
∴k＝0不符合题意；
当k≠0时，原方程为一元二次方程，
∵该一元二次方程有实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0，解得：k≥，
综上所述，k的取值范围为k≥；
（2）∵x1和x2是方程kx2﹣3x+1＝0的两个根，
∴x1+x2＝，x1x2＝，
∵x1+x1x2＝4﹣x2，即x1+x2+x1x2＝4，
∴+＝4，
解得：k＝1，
经检验，k＝1是分式方程的解，且不符合题意．
∴k的值为1．
根与系数的关系（三）参考答案
1.解：∵m是方程x2+x﹣3＝0的实数根，
∴m2+m﹣3＝0，
∴m2＝﹣m+3，
∴m2﹣n+2022＝﹣m+3﹣n+2022＝﹣（m+n）+2025，
∵m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
∴m2﹣n+2022＝﹣（﹣1）+2025＝2026．
2.解：∵p、q是一元二次方程x2+4x﹣9＝0的两个根，
∴p+q＝﹣4，p2+4p﹣9＝0，即p2+4p＝9，
则原式＝（p2+4p）﹣（p+q）＝9﹣（﹣4）＝9+4＝13．
3.解：∵m是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的实根，
∴m2+2m﹣1＝0，
∴m2＝﹣2m+1，
∴m2+4m+2n＝﹣2m+1+4m+2n＝2（m+n）+1，
∵m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实根，
∴m+n＝﹣2，
∴m2+4m+2n＝2×（﹣2）+1＝﹣3．
4.解：根据根与系数的关系得x1+x2＝1，x1x2＝﹣7，
所以+4x1x2+＝（x1+x2）2+2x1x2＝12+2×（﹣7）＝﹣13．
5.解：（1）根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4（k﹣1）≥0，
解得k≥5；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝4，x1 x2＝k﹣1，
∵x12+x22＝10，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝42﹣2（k﹣1）＝10，
解得k＝4，
∵k≥5，
∴k＝4．
故k的值是4．
6.解：（1）由，得m＜﹣1
又∵m≠0
∴m的取值范围为m＜﹣1且m≠0；
（2）不存在不不符合的实数m．
设方程两根为x1，x2则，
解得m＝﹣2，此时Δ＜0．
∴原方程无解，故不存在．
7.解：（1）∵关于x的一元二次方程（k2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，
∴，
解得：k≥﹣且k≠0．
（2）关于x的一元二次方程k2x2+（2k+1）x+1＝0的解为x＝，
∵此方程至少有一个有理数根，
∴4k+1是完全平方数，
当k＝2（不唯一）时，方程的根为x＝，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣．

展开更多......

收起↑