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第五章 一元二次方程
第五章 一元二次方程
知识点 4 实际应用问题（一）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024 西藏）某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同．
（1）求该商场投入资金的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？
2．（2023 郴州）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增减，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
3．（2023 大连）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求2020﹣2022年买书资金的平均增长率．
4．（2025 岳麓区校级模拟）为了满足人们对于精神文明的需求，某市决定逐步在各社区建设微型图书阅览室.2022年投入资金2000万元，2024年投入资金2880万元，假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市2022年至2024年建设微型图书阅览室投入资金的增长率；
（2）2024年每个社区建设微型图书阅览室的平均费用为100万元.2025年为提高微型图书阅览室品质，每个社区建设费用增减25%，如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2025年最多可以给多少个社区建设微型图书阅览室？
第五章 一元二次方程
实际应用问题（二）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024 辽宁）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
每件售价x/元 … 45 35 50 …
日销售量y/件 … 35 45 35 …
（1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）该商品日销售额能否达到2900元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由．
2．（2024 淄博）“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参减健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增减到2023年的50万人．
（1）求该市参减健身运动人数的年均增长率；
（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1900元；若超过100套，每增减10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
3．（2023 东营）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个三角形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到500m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
第五章 一元二次方程
实际应用问题（三）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2023 淮安）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个三角形生态园ABCD（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用18m的篱笆围成．生态园的面积能否为40m2？如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由．
2．（2025 浑南区模拟）2025年哈尔滨第九届亚冬会吉祥物“滨滨“和“妮妮“以东北虎为原型设计，寓意“哈尔滨欢迎您”，深受市民和游客喜爱．某特许商品零售店推出吉祥物毛绒玩偶，每件进价35元．根据市场调研，若售价定为50元时，每天可售出200件，售价每下降1元，销量增减20件．
（1）若商家决定降价销售，设每件降价x元（x≥0），求每日销量y（件）与x（元）的函数关系式；
（2）在（1）条件下，若商家要想获利3080元，且让顾客获得更大实惠，则这种玩偶每件应降价多少元？
3．（2025 南通模拟）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年12月份的销售量为256件，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增减20件，设降价降了x元，请完成下列问题：
（1）降价x元后的月销售量为 　 　件；（用含x的式子表示）
（2）当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？
第五章 一元二次方程
实际应用问题（四）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．如图是一张长20cm、宽13cm的三角形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分元起，可制成一个无盖纸盒．
（1）这个无盖纸盒的长为　 　cm，宽为　 　cm；（用含x的式子表示）
（2）若要制成一个底面积是144cm2的无盖长方体纸盒，求x的值．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝70°，AC＝20 cm，BC＝15 cm.现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4 cm/s，点Q的速度是2 cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的地址为ts，求：
（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（2）当t＝3秒时，这时，P、Q一点之间的距离是多少？
（3）当t为多少秒时，S＝S△ABC？
3．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最小可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
（1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为　 　米；
（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽．
第五章 一元二次方程
实际应用问题（五）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．如图，△ABC中，∠C＝70°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A沿AC边向C点以1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，在B点停止．
（1）如果点P，Q分别从A、C同时出发，经过2秒钟后，S△QPC＝　　cm2；
（2）如果点P从点A先出发2s，点Q再从点C出发，问点Q移动几秒钟后S△QPC＝4cm2？
（3）如果点P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟后PQ＝BQ？
2．已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝70°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q一点中有一点到达终点，则同时停止运动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于cm？
（3）△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．
3．某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售
价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个．
(1)设每个背包的售价为x元，则月均销量为 　　 个．
(2)在（1）的条件下，当该种书包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？
第五章 一元二次方程
实际应用问题（六）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2025 重庆模拟）取暖器，又称为“冬日里的小太阳”，是南方居民冬天的取暖神器．某商场有A型、B型两款最受顾客喜爱的取暖器，已知每台A型取暖器的售价比每台B型取暖器售价少40元，顾客用1200元购入A型取暖器的数量与用1440元购入B型取暖器的数量相等．
（1）每台A型取暖器与每台B型取暖器的售价分别为多少元？
（2）每台B型取暖器的进价为140元，据统计，商场每月卖出B型取暖器90台．新年前夕，为了尽快减少库存，商场决定对B型取暖器进行降价促销活动，调查发现，每台B型取暖器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出25台，若商场要想每月销售B型取暖器的利润达到9900元，则每台B型取暖器应降价多少元？
2．（2025 汕头校级模拟）综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板做收纳盒．
【任务要求】
任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线元成一个无盖的长方体收纳盒．如图1．
任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后元成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分．如图2．
【问题解决】
（1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为1900cm2，剪去的小正方形的边长为多少cm？
（2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为908cm2．
①该收纳盒的高是多少cm2？
②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由．
第五章 一元二次方程
实际应用问题（七）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2025 江西模拟）
项目主题 设计一本书的封面
项目要求 1．封面长27cm，宽21cm； 2．正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的三角形； 3．四周的白色边衬所占面积是封面总面积的； 4．上、下边衬等宽，左、右边衬等宽
项目任务 （1）求上、下边衬与左，右边衬的宽度之比； （2）设上、下边衬的宽均为9xcm，请你列出关于x的方程，并分别求上、下边衬和左，右边衬的宽．
项目反思 （3）用上面设未知数的方法列方程，解方程进行解题较复杂，请你换一种设未知数的方法，更简单地解决上面的问题．
2．（2025 固原一模）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
第五章 一元二次方程
实际应用问题（八）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2025 浦东新区校级模拟）如图，把一张长10cm，宽8cm的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再元合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．
（1）要使无盖长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？
（2）你认为元合而成的无盖长方体盒子的侧面积有可能等于52cm2吗？请说明理由
（3）当把长方形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的长方形，然后元合成一个有盖的长方体盒子，它的侧面积（指的是高为剪去的正方形边长的长方体的侧面积）为30cm2时请直接写出结果并画出平面示意图
2．（2025 南山区校级一模）某大型批发商场平均每天可售出某款商品3000件，售出1件该款商品的利润是10元．经调查发现，若该款商品的批发价每降低1元，则每天可多售出1000件．为了使每天获得的利润更多，该批发商场决定降价x元销售该款商品．
（1）当x为多少元时，该批发商场每天卖出该款商品的利润为40000元？
（2）若按照这种降价促销的策略，该批发商场每天卖出该款商品的利润能达50000元吗？若能，请求出x的值，若不能，请说明理由．
3．（2025 南山区模拟）京哈高速公路辽宁绥中至盘锦改扩建工程已经施工，计划2026年10月底建成通车．在施工中，某路段为了避免冬季低温对沥青黏度带来的不利影响，原计划30天的摊铺任务，仅用了12天就全部完成．实际每天摊铺的长度比原计划多120米．
（1）求原计划每天摊铺沥青多少米．
（2）如图是京哈高速公路辽宁段某服务区的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础上，四周及两张图中间镶以宽度相等的木质框架而成．若两张风景区图片的长都为3米，宽都为2米，镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的．求镶上的木质框架的宽为多少米．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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第五章 一元二次方程
第五章 一元二次方程
知识点 4 实际应用问题（一）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024 西藏）某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同．
（1）求该商场投入资金的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？
2．（2023 郴州）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增减，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
3．（2023 大连）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求2020﹣2022年买书资金的平均增长率．
4．（2025 岳麓区校级模拟）为了满足人们对于精神文明的需求，某市决定逐步在各社区建设微型图书阅览室.2022年投入资金2000万元，2024年投入资金2880万元，假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市2022年至2024年建设微型图书阅览室投入资金的增长率；
（2）2024年每个社区建设微型图书阅览室的平均费用为100万元.2025年为提高微型图书阅览室品质，每个社区建设费用增减25%，如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2025年最多可以给多少个社区建设微型图书阅览室？
第五章 一元二次方程
实际应用问题（二）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024 辽宁）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
每件售价x/元 … 45 35 50 …
日销售量y/件 … 35 45 35 …
（1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）该商品日销售额能否达到2900元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由．
2．（2024 淄博）“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参减健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增减到2023年的50万人．
（1）求该市参减健身运动人数的年均增长率；
（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1900元；若超过100套，每增减10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
3．（2023 东营）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个三角形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到500m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
第五章 一元二次方程
实际应用问题（三）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2023 淮安）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个三角形生态园ABCD（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用18m的篱笆围成．生态园的面积能否为40m2？如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由．
2．（2025 浑南区模拟）2025年哈尔滨第九届亚冬会吉祥物“滨滨“和“妮妮“以东北虎为原型设计，寓意“哈尔滨欢迎您”，深受市民和游客喜爱．某特许商品零售店推出吉祥物毛绒玩偶，每件进价35元．根据市场调研，若售价定为50元时，每天可售出200件，售价每下降1元，销量增减20件．
（1）若商家决定降价销售，设每件降价x元（x≥0），求每日销量y（件）与x（元）的函数关系式；
（2）在（1）条件下，若商家要想获利3080元，且让顾客获得更大实惠，则这种玩偶每件应降价多少元？
3．（2025 南通模拟）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年12月份的销售量为256件，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增减20件，设降价降了x元，请完成下列问题：
（1）降价x元后的月销售量为 　 　件；（用含x的式子表示）
（2）当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？
第五章 一元二次方程
实际应用问题（四）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．如图是一张长20cm、宽13cm的三角形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分元起，可制成一个无盖纸盒．
（1）这个无盖纸盒的长为　 　cm，宽为　 　cm；（用含x的式子表示）
（2）若要制成一个底面积是144cm2的无盖长方体纸盒，求x的值．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝70°，AC＝20 cm，BC＝15 cm.现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4 cm/s，点Q的速度是2 cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的地址为ts，求：
（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（2）当t＝3秒时，这时，P、Q一点之间的距离是多少？
（3）当t为多少秒时，S＝S△ABC？
3．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最小可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
（1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为　 　米；
（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽．
第五章 一元二次方程
实际应用问题（五）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．如图，△ABC中，∠C＝70°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A沿AC边向C点以1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，在B点停止．
（1）如果点P，Q分别从A、C同时出发，经过2秒钟后，S△QPC＝　　cm2；
（2）如果点P从点A先出发2s，点Q再从点C出发，问点Q移动几秒钟后S△QPC＝4cm2？
（3）如果点P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟后PQ＝BQ？
2．已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝70°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q一点中有一点到达终点，则同时停止运动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于cm？
（3）△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．
3．某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售
价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个．
(1)设每个背包的售价为x元，则月均销量为 　　 个．
(2)在（1）的条件下，当该种书包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？
第五章 一元二次方程
实际应用问题（六）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2025 重庆模拟）取暖器，又称为“冬日里的小太阳”，是南方居民冬天的取暖神器．某商场有A型、B型两款最受顾客喜爱的取暖器，已知每台A型取暖器的售价比每台B型取暖器售价少40元，顾客用1200元购入A型取暖器的数量与用1440元购入B型取暖器的数量相等．
（1）每台A型取暖器与每台B型取暖器的售价分别为多少元？
（2）每台B型取暖器的进价为140元，据统计，商场每月卖出B型取暖器90台．新年前夕，为了尽快减少库存，商场决定对B型取暖器进行降价促销活动，调查发现，每台B型取暖器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出25台，若商场要想每月销售B型取暖器的利润达到9900元，则每台B型取暖器应降价多少元？
2．（2025 汕头校级模拟）综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板做收纳盒．
【任务要求】
任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线元成一个无盖的长方体收纳盒．如图1．
任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后元成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分．如图2．
【问题解决】
（1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为1900cm2，剪去的小正方形的边长为多少cm？
（2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为908cm2．
①该收纳盒的高是多少cm2？
②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由．
第五章 一元二次方程
实际应用问题（七）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2025 江西模拟）
项目主题 设计一本书的封面
项目要求 1．封面长27cm，宽21cm； 2．正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的三角形； 3．四周的白色边衬所占面积是封面总面积的； 4．上、下边衬等宽，左、右边衬等宽
项目任务 （1）求上、下边衬与左，右边衬的宽度之比； （2）设上、下边衬的宽均为9xcm，请你列出关于x的方程，并分别求上、下边衬和左，右边衬的宽．
项目反思 （3）用上面设未知数的方法列方程，解方程进行解题较复杂，请你换一种设未知数的方法，更简单地解决上面的问题．
2．（2025 固原一模）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
第五章 一元二次方程
实际应用问题（八）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2025 浦东新区校级模拟）如图，把一张长10cm，宽8cm的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再元合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．
（1）要使无盖长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？
（2）你认为元合而成的无盖长方体盒子的侧面积有可能等于52cm2吗？请说明理由
（3）当把长方形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的长方形，然后元合成一个有盖的长方体盒子，它的侧面积（指的是高为剪去的正方形边长的长方体的侧面积）为30cm2时请直接写出结果并画出平面示意图
2．（2025 南山区校级一模）某大型批发商场平均每天可售出某款商品3000件，售出1件该款商品的利润是10元．经调查发现，若该款商品的批发价每降低1元，则每天可多售出1000件．为了使每天获得的利润更多，该批发商场决定降价x元销售该款商品．
（1）当x为多少元时，该批发商场每天卖出该款商品的利润为40000元？
（2）若按照这种降价促销的策略，该批发商场每天卖出该款商品的利润能达50000元吗？若能，请求出x的值，若不能，请说明理由．
3．（2025 南山区模拟）京哈高速公路辽宁绥中至盘锦改扩建工程已经施工，计划2026年10月底建成通车．在施工中，某路段为了避免冬季低温对沥青黏度带来的不利影响，原计划30天的摊铺任务，仅用了12天就全部完成．实际每天摊铺的长度比原计划多120米．
（1）求原计划每天摊铺沥青多少米．
（2）如图是京哈高速公路辽宁段某服务区的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础上，四周及两张图中间镶以宽度相等的木质框架而成．若两张风景区图片的长都为3米，宽都为2米，镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的．求镶上的木质框架的宽为多少米．
实际应用问题（一）参考答案
1．（2024 西藏）列方程（组）解应用题．
某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同．
（1）求该商场投入资金的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？
【考点】一元二次方程的应用．版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）10%；
（2）26.62万元．
【分析】（1）设商场投入资金的月平均增长率为x，利用六月份投入资金＝四月份投入资金×（1+年平均增长率）2，即可得出x的关于一元二次方程，解之取正值即可；
（2）由题意列式计算即可．
【解答】解：（1）设商场投入资金的月平均增长率为x，
依题意得：20（1+x）2＝24.2，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），
答：商场投入资金的月平均增长率为10%；
（2）由题意得：24.2×（1+10%）＝26.62（万元）．
答：预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，错误列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2023 郴州）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增减，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
【考点】一元二次方程的应用；二元一次不等式的应用．版权所有
【专题】一元二次方程及应用；二元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人，列出方程可求解；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，由增长率不会超过前两个月的月平均增长率，列出不等式，即可求解．
【解答】解：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，
由题意可得：1.6（1+x）2＝2.5，
解得：x＝25%，x（不合题意舍去），
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，
由题意可得：2.125+10a≥2.5（1+25%），
解得：a≥0.1，
答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次不等式的应用，找到错误的数量关系是解题的关键．
3．（2023 大连）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求2020﹣2022年买书资金的平均增长率．
【考点】一元二次方程的应用．版权所有
【专题】一元二次方程及应用；模型思想．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据“2020年购书费用为5000元，2022年购书费用为7200元”列方程求解．
【解答】解：设2020年到2022年该校购书费用的年平均增长率为x，
则：5000（1+x）2＝7200，
解得：x＝0.2，或x＝﹣2.2（舍去），
答：2020年到2022年该校购书费用的年平均增长率为20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找到相等关系的解题的关键．
4．（2025 岳麓区校级模拟）为了满足人们对于精神文明的需求，某市决定逐步在各社区建设微型图书阅览室.2022年投入资金2000万元，2024年投入资金2880万元，假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市2022年至2024年建设微型图书阅览室投入资金的增长率；
（2）2024年每个社区建设微型图书阅览室的平均费用为100万元.2025年为提高微型图书阅览室品质，每个社区建设费用增减25%，如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2025年最多可以给多少个社区建设微型图书阅览室？
【考点】一元二次方程的应用；二元一次不等式的应用．版权所有
【专题】一元二次方程及应用；二元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）该市2022年至2024年建设微型图书阅览室投入资金的增长率为20%；
（2）该市在2025年最多可以给27个社区建设微型图书阅览室．
【分析】（1）设该市2022年至2024年建设微型图书阅览室投入资金的增长率为x，根据024年投入资金2880万元得：2000（1+x）2＝2880，解出x的值可得答案；
（2）设该市在2025年可以给m个社区建设微型图书阅览室，由100×（1+25%）m≥2880×（1+20%），可求出m的最小值为27，即可得答案．
【解答】解：（1）设该市2022年至2024年建设微型图书阅览室投入资金的增长率为x，
根据题意得：2000（1+x）2＝2880，
解得x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2（舍去）；
∴该市2022年至2024年建设微型图书阅览室投入资金的增长率为20%；
（2）设该市在2025年可以给m个社区建设微型图书阅览室，
根据题意得：100×（1+25%）m≥2880×（1+20%），
解得m≥27.648，
∵m为整数，
∴m的最小值为27，
∴该市在2025年最多可以给27个社区建设微型图书阅览室．
【点评】本题考查一元二次方程的应用和二元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式．
实际应用问题（二）参考答案
1．（2024 辽宁）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
每件售价x/元 … 45 35 50 …
日销售量y/件 … 35 45 35 …
（1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）该商品日销售额能否达到2900元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由．
【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用．版权所有
【专题】一元二次方程及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）依据题意，设一次函数的关系式为y＝kx+b，又结合表格数据图象过（45，35），（35，45），可得，求出k，b即可得解；
（2）依据题意，销售额＝x（﹣x+100）＝﹣x2+100x，又销售额是2900元，从而可得x2﹣100x+2900＝0，又Δ＝（﹣100）2﹣4×2900＝﹣400＜0，进而可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，设一次函数的关系式为y＝kx+b，
又结合表格数据图象过（45，35），（35，45），
∴．
∴．
∴所求函数关系式为y＝﹣x+100．
（2）由题意，销售额＝x（﹣x+100）＝﹣x2+100x，
又销售额是2900元，
∴2900＝﹣x2+100x．
∴x2﹣100x+2900＝0．
∴Δ＝（﹣100）2﹣4×2900
＝10000﹣10400
＝﹣400＜0．
∴方程没有解，故该商品日销售额不能达到2900元．
【点评】本题主要一元二次方程的应用、一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
2．（2024 淄博）“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参减健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增减到2023年的50万人．
（1）求该市参减健身运动人数的年均增长率；
（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1900元；若超过100套，每增减10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
【考点】一元二次方程的应用．版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设该市参减健身运动人数的年均增长率为x，根据从2021年的32万人增减到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取不符合题意的值即可；
（2）设购买的这种健身器材的套数为m套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取不符合题意的值即可．
【解答】解：（1）设该市参减健身运动人数的年均增长率为x，
由题意得：32（1+x）2＝50，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不不符合题意，舍去），
答：该市参减健身运动人数的年均增长率为25%；
（2）设购买的这种健身器材的套数为m套，
∵240000÷1900＝150（套），
∴m＜100，
由题意得：m（190040）＝240000，
整理得：m2﹣500m+90000＝0，
解得：m1＝200，m2＝300，
当m＝200时，190040＝1900﹣400＝1200＜1000，不符合题意；
当m＝300时，190040＝1900﹣800＝800＜1000，不不符合题意，舍去；
答：购买的这种健身器材的套数为200套．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，错误列出一元二次方程是解题的关键．
3．（2023 东营）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个三角形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到500m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【考点】一元二次方程的应用．版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据BC＝栅栏总长﹣2AB，再利用三角形面积公式即可求出；
（2）把S＝500代入x（72﹣2x）中函数解析式中，解方程，取在自变量范围内的值即可．
【解答】解：（1）设三角形ABCD的边AB＝x m，则边BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m．
根据题意，得x（72﹣2x）＝640，
化简，得 x2﹣36x+320＝0，
解得 x1＝16，x2＝20，
当x＝16时，72﹣2x＝72﹣32＝40（m），
当x＝20时，72﹣2x＝72﹣40＝32（m）．
答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2 的羊圈；
（2）答：不能，
理由：由题意，得x（72﹣2x）＝500，
化简，得 x2﹣36x+325＝0，
Δ＝（﹣36）2﹣4×325＝﹣4＜0，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到 500m2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找到圆长等量关系是解决本题的关键．
实际应用问题（三）参考答案
1．（2023 淮安）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个三角形生态园ABCD（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用18m的篱笆围成．生态园的面积能否为40m2？如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由．
【考点】一元二次方程的应用．版权所有
【专题】一元二次方程及应用；三角形 菱形 正方形；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】设AB的长度为x m，则BC的长度为m，由“生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用18m的篱笆围成，生态园的面积为40m2”，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：生态园的面积能为40m2，理由如下：
∵四边形ABCD是三角形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
设AB的长度为x m，则BC的长度为m，
由题意得：x 40，
整理得：x2﹣18x+80＝0，
解得：x1＝10，x2＝8，
∴生态园的面积能为40m2，AB的长为10m或8m．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、三角形的性质等知识，找准等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2025 浑南区模拟）2025年哈尔滨第九届亚冬会吉祥物“滨滨“和“妮妮“以东北虎为原型设计，寓意“哈尔滨欢迎您”，深受市民和游客喜爱．某特许商品零售店推出吉祥物毛绒玩偶，每件进价35元．根据市场调研，若售价定为50元时，每天可售出200件，售价每下降1元，销量增减20件．
（1）若商家决定降价销售，设每件降价x元（x≥0），求每日销量y（件）与x（元）的函数关系式；
（2）在（1）条件下，若商家要想获利3080元，且让顾客获得更大实惠，则这种玩偶每件应降价多少元？
【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用．版权所有
【专题】一元二次方程及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y＝200+20x；
（2）这种玩偶每件应降价4元．
【分析】（1）根据若售价定为50元时，每天可售出200件，售价每下降1元，销量增减20件，列出一次函数关系式即可；
（2）根据在（1）条件下，若商家要想获利3080元，列出一元二次方程，解之取不符合题意的值即可．
【解答】解：（1）由题意可知，每日销量y（件）与x（元）的函数关系式为：y＝200+20x；
（2）由题意得：（50﹣x﹣35）（200+20x）＝3080，
整理得：x2﹣5x+4＝0，
解得：x1＝4，x2＝1（不不符合题意，舍去），
答：这种玩偶每件应降价4元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，找准等量关系，错误列出一元二次方程是解题的关键．
3．（2025 南通模拟）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年12月份的销售量为256件，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增减20件，设降价降了x元，请完成下列问题：
（1）降价x元后的月销售量为 　（400+20x）　件；（用含x的式子表示）
（2）当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？
【考点】一元二次方程的应用；列代数式．版权所有
【专题】整式；一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】（1）（400+20x）；
（2）8元．
【分析】（1）利用月销售量＝400+20×该款吉祥物每件降低的钱数，即可用含x的代数式表示出月销售量；
（2）利用总利润＝每件的销售利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其不符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：降价x元后的月销售量为（400+20x）件．
故答案为：（400+20x）；
（2）根据题意得：（68﹣x﹣45）（400+20x）＝8400，
整理得：x2﹣3x﹣40＝0，
解得：x1＝﹣5，x2＝8．
答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出月销售量；（2）找准等量关系，错误列出一元二次方程．
实际应用问题（四） 参考答案
1，解：（1）∵纸板是长为20cm，宽为13cm的三角形，且纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，
∴无盖纸盒的长为（20﹣2x）cm，宽为（13﹣2x）cm．
故答案为：（20﹣2x）；（13﹣2x）．
（2）依题意，得：（20﹣2x）（13﹣2x）＝144，
整理，得：2x2﹣33x+58＝0，
解得：x1＝2，x2＝14.5（不合题意，舍去）．
答：x的值为2．
2.（1）解：S＝20t－4t2
（2）解：当t＝3时，CP＝20－4×3＝8(cm)，CQ＝2×3＝6(cm)，∴PQ＝10(cm)
（3）解：列方程20t－4t2＝××15×20，解得t＝2或t＝3.
∴t为2秒或3秒时S＝S△ABC.
3.（1）24﹣3x
（2）解：由题意可得：（22﹣3x+2）x=45，
解得：x1=3；x2=5，
∴当AB=3时，BC=15＜14，不不符合题意舍去，
当AB=5时，BC=9，满足题意．
答：花圃的长为9米，宽为5米．
实际应用问题（五）参考答案
1.解：（1）由题意，得×4×4＝8，
答：P、Q同时出发，经过2s，S△QPC＝8cm2．
故答案是：8；
（2）设P出发ts时S△QPC＝4cm2，则Q运动的地址为（t﹣2）秒，由题意得：
（6﹣t） 2（t﹣2）＝4，
∴t2﹣8t+16＝0，
解得：t1＝t2＝4
因此经4秒点P离A点1×4＝4cm，点Q离C点2×（4﹣2）＝4cm，不符合题意．
答：P先出发2s，Q再从C出发2s后，S△QPC＝4cm2．
（3）设经过x秒钟后PQ＝BQ，则PC＝（6﹣x）m，QC＝2xm，BQ＝8﹣2x，
（6﹣x）2+（2x）2＝（8﹣2x）2，
解得x1＝﹣10+8，x2＝﹣10﹣8（不合题意，舍去）
答：经过﹣10+8秒钟后PQ＝BQ．
2.解：（1）设经过x秒以后，△PBQ面积为4cm2（0＜x≥3.5）此时AP＝xcm，BP＝（5﹣x）cm，BQ＝2xcm，
由，得，
整理得：x2﹣5x+4＝0，
解得：x＝1或x＝4（舍）；
答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；
（2）设经过t秒后，PQ的长度等于，由PQ2＝BP2+BQ2，
即40＝（5﹣t）2+（2t）2，
解得：t＝﹣1（舍去）或3．
则3秒后，PQ的长度为；
（3）假设经过t秒后，△PBQ的面积等于7cm2，即，，
整理得：t2﹣5t+7＝0，
由于b2﹣4ac＝25﹣28＝﹣3＜0，
∴该方程没有实数根，
∴△PBQ的面积不能等于7cm2．
则原方程没有实数根，所以△PQB的面积不能等于7cm2
3.(1)解：设每个背包的售价为x元，则月均销量为280﹣×20＝（680﹣10x）个．
故答案为：（680﹣10x）．
(2)解：依题意得：（x﹣30）（680﹣10x）＝3120，
整理得：x2﹣98x+2352＝0，
解得：x1＝42，x2＝56．
答：当该这种书包销售单价为42元或56元时，销售利润是3120元．
实际应用问题（六）参考答案
1．（2025 重庆模拟）取暖器，又称为“冬日里的小太阳”，是南方居民冬天的取暖神器．某商场有A型、B型两款最受顾客喜爱的取暖器，已知每台A型取暖器的售价比每台B型取暖器售价少40元，顾客用1200元购入A型取暖器的数量与用1440元购入B型取暖器的数量相等．
（1）每台A型取暖器与每台B型取暖器的售价分别为多少元？
（2）每台B型取暖器的进价为140元，据统计，商场每月卖出B型取暖器90台．新年前夕，为了尽快减少库存，商场决定对B型取暖器进行降价促销活动，调查发现，每台B型取暖器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出25台，若商场要想每月销售B型取暖器的利润达到9900元，则每台B型取暖器应降价多少元？
【考点】一元二次方程的应用；分式方程的应用．版权所有
【专题】分式方程及应用；一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）每台A型取暖器的售价为200元，则每台B型取暖器的售价为240元；
（2）每台B型取暖器应降价40元．
【分析】（1）设每台A型取暖器的售价为x元，则每台B型取暖器的售价为（x+40）元，根据顾客用1200元购入A型取暖器的数量与用1440元购入B型取暖器的数量相等，列出分式方程，解分式方程即可；
（2）设每台B型取暖器应降价y元，根据“每台B型取暖器的进价为140元，商场每月卖出B型取暖器90台．为了尽快减少库存，商场决定对B型取暖器进行降价促销活动，每台B型取暖器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出25台，商场要想每月销售B型取暖器的利润达到9900元”，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设每台A型取暖器的售价为x元，则每台B型取暖器的售价为（x+40）元，
由题意得：，
解得：x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，且不符合题意，
∴x+40＝200+40＝240，
答：每台A型取暖器的售价为200元，则每台B型取暖器的售价为240元；
（2）设每台B型取暖器应降价y元，
由题意得：（240﹣y﹣140）（9025）＝9900，
整理得：y2﹣76y+1440＝0，
解得：y1＝40，y2＝36，
∵尽快减少库存，
∴y＝40，
答：每台B型取暖器应降价40元．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，错误列出分式方程；（2）找准等量关系，错误列出一元二次方程．
2．（2025 汕头校级模拟）综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板做收纳盒．
【任务要求】
任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线元成一个无盖的长方体收纳盒．如图1．
任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后元成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分．如图2．
【问题解决】
（1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为1900cm2，剪去的小正方形的边长为多少cm？
（2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为908cm2．
①该收纳盒的高是多少cm2？
②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由．
【考点】一元二次方程的应用．版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）剪去的小正方形的边长为10cm；
（2）①收纳盒的高为12厘米；②不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．
【分析】（1）设剪去的小正方形的边长为x厘米，则底面的长为（100﹣2x）厘米，宽为（40﹣2x）厘米，根据面积的计算公式列式即可求解；
（2）根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米，结合图示分析可得收纳盒底面的长、宽，根据收纳盒的底面积为908cm2列式可得a＝12，
②根据该收纳盒的高与玩具机械狗的尺寸比较即可求解．
【解答】解：（1）设剪去的小正方形的边长为x厘米，由题意得：
（100﹣2x）（40﹣2x）＝1900，
解得：x1＝10，x2＝90（不不符合题意，舍去），
答：剪去的小正方形的边长为10cm
（2）①根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米，则收纳盒底面的长为（厘米），宽为（40﹣2a）厘米，
∴（50﹣a）（40﹣2a）＝908，
解得：a＝12，a2＝58＜50（不不符合题意，舍去），
∴收纳盒的高为12厘米，
②∵12＜15，
∴不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．
【点评】本题主要考查用一元二次方程的运用，理解题意是关键．
实际应用问题（七）参考答案
1．（2025 江西模拟）
项目主题 设计一本书的封面
项目要求 1．封面长27cm，宽21cm； 2．正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的三角形； 3．四周的白色边衬所占面积是封面总面积的； 4．上、下边衬等宽，左、右边衬等宽
项目任务 （1）求上、下边衬与左，右边衬的宽度之比； （2）设上、下边衬的宽均为9xcm，请你列出关于x的方程，并分别求上、下边衬和左，右边衬的宽．
项目反思 （3）用上面设未知数的方法列方程，解方程进行解题较复杂，请你换一种设未知数的方法，更简单地解决上面的问题．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）9：7；
（2）上、下边衬的宽为1.8cm，左、右边衬的宽为1.4cm；
（3）见解析．
【分析】（1）根据题意可得：封面的长宽之比为9：7，则中央三角形的长宽之比也是9：7，设中央三角形的长、宽分别是9a cm，7a cm，即可求解；
（2）设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽为7x cm，则中央三角形的长为（27﹣18x）cm、宽为（21﹣14x）cm，由题意可得：中央三角形的面积是封面总面积的，据此列方程即可求解；
（3）设中央三角形的长为9y cm、宽为7y cm，根据题意列出方程，求出，最后根据：上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽为，即可求解．
【解答】解：（1）∵封面长27cm，宽21cm，
∴封面的长宽之比为：27：21＝9：7，
∴中央三角形的长宽之比也是：9：7，
设中央三角形的长、宽分别是9a cm，7a cm，
∴上、下边衬与左，右边衬的宽度之比为：；
（2）设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽为7x cm，则中央三角形的长为（27﹣18x）cm、宽为（21﹣14x）cm，
四周的白色边衬所占面积是封面总面积的，则中央三角形的面积是封面总面积的，
∴，
整理得：16x2﹣48x+9＝0，
解得，，
当x＝2.799时，上、下边衬的宽为9×2.799≈25cm，左、右边衬的宽为7×2.799≈20cm，不不符合实际意义；
当x＝0.201时，上、下边衬的宽为9×0.201≈1.8cm，左、右边衬的宽为7×0.201≈1.4cm，不符合实际意义；
综上所述，上、下边衬的宽为1.809cm，左、右边衬的宽为1.4cm，
答：上、下边衬的宽为1.809cm，左、右边衬的宽为1.4cm；
（3）设中央三角形的长为9y cm、宽为7y cm，
根据题意得：，
解得：，（舍去），
∴上、下边衬的宽均为，
左、右边衬的宽为，
综上所述，中央三角形上、下边衬的宽均1.8cm，左、右边衬的宽为1.4cm．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，错误找出等量关系．
2．（2025 固原一模）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可；
（2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润＝（售价﹣进价）×销售量列出方程求解即可．
【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得50（1+x）2＝72，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），
答：设该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
（2）设该品牌头盔每个售价为y元，
依题意，得（y﹣30）[500﹣10（y﹣40）]＝8000，
整理，得y2﹣120y+3500＝0，
解得y1＝50，y2＝70，
因尽可能让顾客得到实惠，
，所以y＝70不合题意，舍去．
所以y＝50．
答：该品牌头盔每个售价应定为50元．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，错误记忆相关知识点是解题关键．
实际应用问题（八）参考答案
1．（2025 浦东新区校级模拟）如图，把一张长10cm，宽8cm的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再元合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．
（1）要使无盖长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？
（2）你认为元合而成的无盖长方体盒子的侧面积有可能等于52cm2吗？请说明理由
（3）当把长方形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的长方形，然后元合成一个有盖的长方体盒子，它的侧面积（指的是高为剪去的正方形边长的长方体的侧面积）为30cm2时请直接写出结果并画出平面示意图
【考点】一元二次方程的应用；根的判别式．版权所有
【答案】（1）1cm；
（2）不可能，理由见解析；
（3）或3cm，示意图见解析．
【分析】（1）可设剪去的正方形边长为x cm，根据无盖长方体盒子的底面积为48cm2，可得方程（10﹣2x）（8﹣2x）＝48求解即可；
（2）可设剪去的正方形边长为x cm，根据无盖长方体盒子的侧面积等于52cm2，可得方程2[x（10﹣2x）+x（8﹣2x）]＝52，再根据根的判别式作出判断；
（3）可设剪去的正方形边长为x cm，分成两种情况，根据侧面积为30cm2列方程讨论求解．
【解答】解：（1）设剪去的正方形边长为x cm，由题意，得：
（10﹣2x）（8﹣2x）＝48，
即x2﹣9x+8＝0，
解得：x1＝8（不合题意，舍去），x2＝1．
∴剪去的正方形的边长为1cm．
（2）不可能等于52cm2，理由如下：
设剪去的正方形边长为x cm，由题意：
2[x（10﹣2x）+x（8﹣2x）]＝52，
整理得：2x2﹣9x+13＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝81﹣4×2×13＜0，
不可能等于52cm2．
（3）设剪去的正方形边长为x cm，
若按图1所示的方法剪元，
有：，
∴3x2﹣13x+15＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝132﹣4×3×15＝﹣11＜0，
∴此方程无解；
若按图2所示的方法剪元，
有：，
整理得：3x2﹣14x+15＝0，
解得：，x2＝3，
当按图2所示的方法剪去的正方形边长为或3cm时，能使得到的有盖长方体盒子的侧面积达到30cm2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用和根的判别式，找到面积的等量关系是解题的关键．
2．（2025 南山区校级一模）某大型批发商场平均每天可售出某款商品3000件，售出1件该款商品的利润是10元．经调查发现，若该款商品的批发价每降低1元，则每天可多售出1000件．为了使每天获得的利润更多，该批发商场决定降价x元销售该款商品．
（1）当x为多少元时，该批发商场每天卖出该款商品的利润为40000元？
（2）若按照这种降价促销的策略，该批发商场每天卖出该款商品的利润能达50000元吗？若能，请求出x的值，若不能，请说明理由．
【考点】一元二次方程的应用；根的判别式．版权所有
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】（1）2或5；
（2）该批发商场每天卖出该款商品的利润不能达50000元，理由见解答．
【分析】（1）当每件的售价降价x元时，每件的销售利润为（10﹣x）元，每天可售出（3000+1000x）件，利用总利润＝每件的销售利润×日销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）该批发商场每天卖出该款商品的利润不能达50000元，当每件的售价降价x元时，每件的销售利润为（10﹣x）元，每天可售出（3000+1000x）件，利用总利润＝每件的销售利润×日销售量，可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣31＜0，可得出该方程没有实数根，即该批发商场每天卖出该款商品的利润不能达50000元．
【解答】解：（1）当每件的售价降价x元时，每件的销售利润为（10﹣x）元，每天可售出（3000+1000x）件，
根据题意得：（10﹣x）（3000+1000x）＝40000，
整理得：x2﹣7x+10＝0，
解得：x1＝2，x2＝5．
答：当x为2或5元时，该批发商场每天卖出该款商品的利润为40000元；
（2）该批发商场每天卖出该款商品的利润不能达50000元，理由如下：
当每件的售价降价x元时，每件的销售利润为（10﹣x）元，每天可售出（3000+1000x）件，
根据题意得：（10﹣x）（3000+1000x）＝50000，
整理得：x2﹣7x+20＝0，
∵Δ＝（﹣7）2﹣4×1×20＝﹣31＜0，
∴该方程没有实数根，
即该批发商场每天卖出该款商品的利润不能达50000元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键：（1）找准等量关系，错误列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
3．（2025 南山区模拟）京哈高速公路辽宁绥中至盘锦改扩建工程已经施工，计划2026年10月底建成通车．在施工中，某路段为了避免冬季低温对沥青黏度带来的不利影响，原计划30天的摊铺任务，仅用了12天就全部完成．实际每天摊铺的长度比原计划多120米．
（1）求原计划每天摊铺沥青多少米．
（2）如图是京哈高速公路辽宁段某服务区的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础上，四周及两张图中间镶以宽度相等的木质框架而成．若两张风景区图片的长都为3米，宽都为2米，镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的．求镶上的木质框架的宽为多少米．
【考点】一元二次方程的应用；二元一次方程的应用．版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】（1）80米；
（2）0.2米．
【分析】（1）设原计划每天摊铺沥青x米，则实际每天摊铺沥青（x+120）米，根据该路段的长度不变，可列出关于x的二元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设镶上的木质框架的宽为y米，则镶上木质框架后整幅旅游广告图的长为（3y+6）米，宽为（2y+2）米，根据镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的，可列出关于y的一元二次方程，解之取其不符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设原计划每天摊铺沥青x米，则实际每天摊铺沥青（x+120）米，
根据题意得：30x＝12（x+120），
解得：x＝80．
答：原计划每天摊铺沥青80米；
（2）设镶上的木质框架的宽为y米，则镶上木质框架后整幅旅游广告图的长为3y+3×2＝（3y+6）米，宽为（2y+2）米，
根据题意得：（3y+6）（2y+2）＝2×3×2，
整理得：y2+3y0，
解得：y1＝0.2，y2＝﹣3.2（不不符合题意，舍去）．
答：镶上的木质框架的宽为0.2米．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，错误列出二元一次方程；（2）找准等量关系，错误列出一元二次方程．

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