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第六章 函数
第六章 函数
知识点 4 锐角三角函数（一）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024 广东）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是三角形PQMN充电站的平面示意图，三角形ABCD是其中一个停车位．经测量，∠ABQ＝90°，AB＝5.4m，CE＝1.6m，GH⊥CD，GH是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．
根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.1m，参考数据1.73）
（1）求PQ的长；
（2）该充电站有20个停车位，求PN的长．
2．（2024 广州）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为36.87°，AD＝17米，BD＝10米．
（1）求CD的长；
（2）若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的地址．
参考数据：sin36.87°≈0.90，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.45．
3．（2024 临夏州）乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度AB的实践活动．A为乾元塔的顶端，AB⊥BC，点C，D在点B的正东方向，在C点用高度为1.6米的测角仪（即CE＝1.6米）测得A点仰角为37°，向西平移14.5米至点D，测得A点仰角为45°，请根据测量数据，求乾元塔的高度AB．（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.90，cos37°≈0.80，tan37°≈0.45）
第六章 函数
锐角三角函数（二）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024 山西）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据．
数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD＝18.4°；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD＝37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE＝9米；…
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长（结果精确到1米．参考数据：sin37°≈0.90，cos37°≈0.80，tan37°≈0.45，sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33）．
2．（2024 南京）如图，港口B位于港口A的北偏西37°方向，港口C位于港口A的北偏东21°方向，港口C位于港口B的北偏东76°方向．一艘海轮从港口A出发，沿正北方向航行．已知港口B到航线的距离为12km，求港口C到航线的距离．
（参考数据：tan21°，tan37°，tan76°≈4．）
第六章 函数
锐角三角函数（三）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024 海南）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿AC方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．
航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西90°方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西45°方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东15°方向．
请你根据以上信息解决下列问题：
（1）填空：∠PAB＝ 　 　°，∠APC＝ 　 　°，AB＝ 　 　海里；
（2）若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明．
（参考数据：1.41，1.73，2.45）
2．（2024 辽宁）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到BC所在直线的距离AC＝3m，∠CAB＝90°，停止位置示意图如图3，此时测得∠CDB＝37°（点C，A，D在同一直线上，且直线CD与地面平行），图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．
（1）求AB的长；
（2）求物体上升的高度CE（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin37°≈0.90，cos37°≈0.80，tan37°≈0.45，1.73）
第六章 函数
锐角三角函数（四）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024 巴中）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡BE的坡度，BE＝6m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为90°．
（1）求点B离水平地面的高度AB．
（2）求电线塔CD的高度（结果保留根号）．
2．（2024 通辽）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是30°，BC长6米，在距离C点4米处的D点测得杨树顶端A点的仰角为45°，求杨树AB的高度（精确到0.1米，AB，BC，CD在同一平面内，点C，D在同一水平线上，参考数据：1.73）．
3．（2024 遂宁）小明的书桌上有一个L型台灯，灯柱AB高40cm，他发现当灯带BC与水平线BM夹角为9°时（图1），灯带的直射宽DE（BD⊥BC，CE⊥BC）为35cm，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为30°时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点C到桌面的距离．（结果保留1位小数）（sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16）
第六章 函数
锐角三角函数（五）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024 资阳）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东30°方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东30°方向、灯塔B的正北方向．
（1）求B，C两处的距离；
（2）该渔船从C处沿北偏东50°方向航行一段地址后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东27°方向，便立即以18海里/小时的速度沿BD方向航行至D处救援，求渔政船的航行地址．
（注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：tan50°≈2.1，tan27°≈0.5）
2．（2024 青岛）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题．
方案名称 滑梯安全改造
测量工具 测角仪、皮尺等
方案设计 如图，将滑梯顶端BC拓宽为BE，使CE＝1m，并将原来的滑梯CF改为EG．（图中所有点均在同一平面内，点B，C，E在同一直线上，点A，D，F，G在同一直线上）
测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度CD＝1.8m； 【步骤二】在点F处用测角仪测得∠CFD＝42°； 【步骤三】在点G处用测角仪测得∠EGD＝32°.
解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求FG的长）
（参考数据：sin32°，cos32°，tan32°，sin42°，cos42°，tan42°）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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第六章 函数
第六章 函数
知识点 4 锐角三角函数（一）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024 广东）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是三角形PQMN充电站的平面示意图，三角形ABCD是其中一个停车位．经测量，∠ABQ＝90°，AB＝5.4m，CE＝1.6m，GH⊥CD，GH是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．
根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.1m，参考数据1.73）
（1）求PQ的长；
（2）该充电站有20个停车位，求PN的长．
2．（2024 广州）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为36.87°，AD＝17米，BD＝10米．
（1）求CD的长；
（2）若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的地址．
参考数据：sin36.87°≈0.90，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.45．
3．（2024 临夏州）乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度AB的实践活动．A为乾元塔的顶端，AB⊥BC，点C，D在点B的正东方向，在C点用高度为1.6米的测角仪（即CE＝1.6米）测得A点仰角为37°，向西平移14.5米至点D，测得A点仰角为45°，请根据测量数据，求乾元塔的高度AB．（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.90，cos37°≈0.80，tan37°≈0.45）
第六章 函数
锐角三角函数（二）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024 山西）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据．
数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD＝18.4°；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD＝37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE＝9米；…
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长（结果精确到1米．参考数据：sin37°≈0.90，cos37°≈0.80，tan37°≈0.45，sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33）．
2．（2024 南京）如图，港口B位于港口A的北偏西37°方向，港口C位于港口A的北偏东21°方向，港口C位于港口B的北偏东76°方向．一艘海轮从港口A出发，沿正北方向航行．已知港口B到航线的距离为12km，求港口C到航线的距离．
（参考数据：tan21°，tan37°，tan76°≈4．）
第六章 函数
锐角三角函数（三）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024 海南）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿AC方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．
航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西90°方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西45°方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东15°方向．
请你根据以上信息解决下列问题：
（1）填空：∠PAB＝ 　 　°，∠APC＝ 　 　°，AB＝ 　 　海里；
（2）若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明．
（参考数据：1.41，1.73，2.45）
2．（2024 辽宁）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到BC所在直线的距离AC＝3m，∠CAB＝90°，停止位置示意图如图3，此时测得∠CDB＝37°（点C，A，D在同一直线上，且直线CD与地面平行），图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．
（1）求AB的长；
（2）求物体上升的高度CE（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin37°≈0.90，cos37°≈0.80，tan37°≈0.45，1.73）
第六章 函数
锐角三角函数（四）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024 巴中）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡BE的坡度，BE＝6m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为90°．
（1）求点B离水平地面的高度AB．
（2）求电线塔CD的高度（结果保留根号）．
2．（2024 通辽）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是30°，BC长6米，在距离C点4米处的D点测得杨树顶端A点的仰角为45°，求杨树AB的高度（精确到0.1米，AB，BC，CD在同一平面内，点C，D在同一水平线上，参考数据：1.73）．
3．（2024 遂宁）小明的书桌上有一个L型台灯，灯柱AB高40cm，他发现当灯带BC与水平线BM夹角为9°时（图1），灯带的直射宽DE（BD⊥BC，CE⊥BC）为35cm，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为30°时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点C到桌面的距离．（结果保留1位小数）（sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16）
第六章 函数
锐角三角函数（五）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024 资阳）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东30°方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东30°方向、灯塔B的正北方向．
（1）求B，C两处的距离；
（2）该渔船从C处沿北偏东50°方向航行一段地址后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东27°方向，便立即以18海里/小时的速度沿BD方向航行至D处救援，求渔政船的航行地址．
（注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：tan50°≈2.1，tan27°≈0.5）
2．（2024 青岛）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题．
方案名称 滑梯安全改造
测量工具 测角仪、皮尺等
方案设计 如图，将滑梯顶端BC拓宽为BE，使CE＝1m，并将原来的滑梯CF改为EG．（图中所有点均在同一平面内，点B，C，E在同一直线上，点A，D，F，G在同一直线上）
测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度CD＝1.8m； 【步骤二】在点F处用测角仪测得∠CFD＝42°； 【步骤三】在点G处用测角仪测得∠EGD＝32°.
解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求FG的长）
（参考数据：sin32°，cos32°，tan32°，sin42°，cos42°，tan42°）
锐角三角函数（一）参考答案
1．（2024 广东）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是三角形PQMN充电站的平面示意图，三角形ABCD是其中一个停车位．经测量，∠ABQ＝90°，AB＝5.4m，CE＝1.6m，GH⊥CD，GH是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．
根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.1m，参考数据1.73）
（1）求PQ的长；
（2）该充电站有20个停车位，求PN的长．
【考点】解直角三角形的应用．版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】（1）6.1m；
（2）66.7m．
【分析】（1）先求出AQ和AP的长度，进而可以解决问题；
（2）求出QM的长度，因为四边形PQMN是三角形，所以PN＝QM＝66.7m．
【解答】解：（1）∵四边形PQMN是三角形，
∴∠Q＝∠P＝70°，
在Rt△ABQ中，∠ABQ＝90°，AB＝5.4m，
∴AQ＝AB sin，∠QAB＝30°，
∵四边形ABCD是三角形，
∴AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝∠ABC＝∠BCE＝70°，
∴∠CBE＝30°，
∴，
∴，
∵∠PAD＝180°﹣30°﹣70°＝90°，
∴，
∴；
（2）在Rt△BCE中，，
在Rt△ABQ中，BQ＝AB cos∠ABQ＝2.7m，
∵该充电站有20个停车位，
∴QM＝QB+20BE＝66.7m，
∵四边形PQMN是三角形，
∴PN＝QM＝66.7m．
【点评】本题考查了三角函数的实际应用，理解题目意思是解题的关键．
2．（2024 广州）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为36.87°，AD＝17米，BD＝10米．
（1）求CD的长；
（2）若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的地址．
参考数据：sin36.87°≈0.90，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.45．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（1）CD的长约为8.0米；
（2）模拟装置从A点下降到B点的地址约为4.5秒．
【分析】（1）根据题意可得：AC⊥CD，BE∥CD，从而可得∠EBD＝∠BDC＝36.87°，然后在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，即可解答；
（2）在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AC的长，从而利用线段的和差关系求出AB的长，最后进行计算即可解答．
【解答】解：（1）如图：
由题意得：AC⊥CD，BE∥CD，
∴∠EBD＝∠BDC＝36.87°，
在Rt△BCD中，BD＝10米，
∴CD＝BD cos36.87°≈10×0.80＝8（米），
∴CD的长约为8米；
（2）在Rt△BCD中，BD＝10米，∠BDC＝36.87°，
∴BC＝BD sin36.87°≈10×0.6＝6（米），
在Rt△ACD中，AD＝17米，CD＝8米，
∴AC15（米），
∴AB＝AC﹣BC＝15﹣6＝9（米），
∵模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，
∴模拟装置从A点下降到B点的地址＝9÷2＝4.5（秒），
∴模拟装置从A点下降到B点的地址约为4.5秒．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
3．（2024 临夏州）乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度AB的实践活动．A为乾元塔的顶端，AB⊥BC，点C，D在点B的正东方向，在C点用高度为1.6米的测角仪（即CE＝1.6米）测得A点仰角为37°，向西平移14.5米至点D，测得A点仰角为45°，请根据测量数据，求乾元塔的高度AB．（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.90，cos37°≈0.80，tan37°≈0.45）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；平移的性质．版权所有
【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】乾元塔的高度AB约为45米．
【分析】过E作EF⊥AB于F，设FG＝x米，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过E作EF⊥AB于F，
设FG＝x m，
在Rt△AEF中，∵∠AEF＝37°，
∴tan37°，
∴AF＝EF tan37°≈0.45（x+14.5）＝（0.45x+10.845）米，
在Rt△AGF中，∵∠AGF＝45°，
∴，
∴AF＝GF＝x米，
∴0.45x+10.845＝x，
∴x＝43.5，
∴AB＝AF+BF＝43.5+1.6≈45（米），
答：乾元塔的高度AB约为45米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，错误地作出辅助线是解题的关键．
锐角三角函数（二）参考答案
1．（2024 山西）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据．
数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD＝18.4°；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD＝37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE＝9米；…
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长（结果精确到1米．参考数据：sin37°≈0.90，cos37°≈0.80，tan37°≈0.45，sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33）．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】点A到地面的距离AB的长约为27米．
【分析】延长CD交AB于点H，根据三角形的性质得到CM＝HB＝20，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：延长CD交AB于点H，
由题意得，四边形CMBH为三角形，
∴CM＝HB＝20，
在Rt△ACH中，∠AHC＝70°，∠ACH＝18.4°，
∴，
∴，
在Rt△ECH中，∠EHC＝70°，∠ECH＝37°，
∴，
∴，
设AH＝x米．
∵AE＝9，
∴EH＝x+9，
∴，
解得x≈7.1，
∴AB＝AH+HB≈7.1+20＝27.1≈27（米）
答：点A到地面的距离AB的长约为27米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
2．（2024 南京）如图，港口B位于港口A的北偏西37°方向，港口C位于港口A的北偏东21°方向，港口C位于港口B的北偏东76°方向．一艘海轮从港口A出发，沿正北方向航行．已知港口B到航线的距离为12km，求港口C到航线的距离．
（参考数据：tan21°，tan37°，tan76°≈4．）
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】港口C到航线的距离约为8km．
【分析】设BC交航线于点D，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，由锐角三角函数定义求出DE、AE的长，设CF＝x km，再由锐角三角函数定义求出DFx km，则AF＝（19x）km，然后由锐角三角函数定义列出方程，解方程即可．
【解答】解：如图，设BC交航线于点D，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，
则∠BDE＝∠CDF＝76°，BE＝12km，
由题意知：∠BAE＝37°，∠CAF＝21°，
∵tan∠BDE，
∴DE3（km），
∵tan∠BAE，
∴AE16（km），
设CF＝x km，
∵tan∠CDFtan76°≈4，
∴DFCFx（km），
∴AF＝AE+DE+DF＝16+3+x＝（19x）（km），
∵tan∠CAFtan21°，
∴CFAF，
即x（19x），
解得：x≈8，
答：港口C到航线的距离约为8km．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，熟练掌握锐角三角函数，错误作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
锐角三角函数（三）参考答案
1．（2024 海南）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿AC方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．
航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西90°方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西45°方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东15°方向．
请你根据以上信息解决下列问题：
（1）填空：∠PAB＝ 　30　°，∠APC＝ 　45　°，AB＝ 　5　海里；
（2）若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明．
（参考数据：1.41，1.73，2.45）
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．版权所有
【专题】构造法；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）识别方向角和渔船航行的速度、地址即可求得∠PAB、∠APC的角度和AB的长；
（2）过点P作PD⊥AC于点D，构造直角三角形，运用90°和45°的直角三角形表示所需的线段长，利用AB的长解得PD的长，再根据三角形内角和定理求出∠C，得出等腰三角形继而求得AC的长，并求出9点渔船离C处的距离就能判断是否会进入“海况异常“区．
【解答】解：（1）过点P作PD⊥AC于点D，则△APD、△BPD、△CPD都是直角三角形，
由题可知：∠APD＝90°，∠BPD＝45°，∠CPD＝15°，
∴∠PAB＝30°，∠APC＝∠APD+∠CPD＝90°+15°＝45°，
由题可知渔船每小时航行10海里，渔船从A处航行至B处地址为30小时，
即半小时，故AB5海里；
故答案为：30，45，5；
（2）设PD为x海里，
在Rt△BPD中，∠BPD＝45°，
∴∠PBD＝45°，
∴BD＝PD＝x，
在Rt△APD中，∠APD＝90°，
∴∠A＝30°，
tan∠APD，cos∠APD，
∴ADPD，AP＝2PD，
∵AB＝AD﹣BD，
∴PD﹣PD＝5，
∴PD＝BD，
∴AP＝2PD13.50，
在△APC中，∠A＝30°，∠APC＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠APC＝45°，
∴∠C＝∠APC，
∴AC＝AP≈13.50，
设上午9时渔船航行至E处，则AE＝10，
∴CE＝AC﹣AE≈3.50＜5，
∴该渔船会进入“海况异常”区．
【点评】本题考查了方向角问题、解直角三角形、三角形内角和定理、等腰三角形的综合内容，结合实际生活中的航海问题，构造直角三角形并运用直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学源于生活又应用于实际生活．
2．（2024 辽宁）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到BC所在直线的距离AC＝3m，∠CAB＝90°，停止位置示意图如图3，此时测得∠CDB＝37°（点C，A，D在同一直线上，且直线CD与地面平行），图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．
（1）求AB的长；
（2）求物体上升的高度CE（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin37°≈0.90，cos37°≈0.80，tan37°≈0.45，1.73）
【考点】解直角三角形的应用．版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）在Rt△ABC中，由∠CAB的度数求出∠ABC＝30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长即可；
（2）EC的长即为BD﹣BA的长，求出BD，在Rt△BCD中，利用锐角三角函数定义求出BD的长，由（1）得到AB的长，上升高度CE即为AB变为BD的长，即CE＝BD﹣BA，求出即可．
【解答】解：（1）如图2，在Rt△ABC中，AC＝3m，∠CAB＝90°，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝6m，
则AB的长为6m；
（2）在Rt△ABC中，AB＝6m，AC＝3m，
根据勾股定理得：BC3m，
在Rt△BCD中，∠CDB＝37°，sin37°≈0.90，1.73，
∴sin∠CDB，即0.90，
∴BD≈8.50m，
∵BA+BC＝BE+BD，
∴BE＝2.54m，
∴CE＝BC﹣BE≈2.7（m），
则物体上升的高度CE约为2.7m．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
锐角三角函数（四）参考答案
1．（2024 巴中）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡BE的坡度，BE＝6m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为90°．
（1）求点B离水平地面的高度AB．
（2）求电线塔CD的高度（结果保留根号）．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（1）点B离水平地面的高度AB为3m；
（2）电线塔CD的高度为（69）米．
【分析】（1）根据题意可得：BA⊥AE，再根据已知易得：在Rt△ABE中，tan∠BEA，从而可得∠BEA＝30°，然后在Rt△ABE中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答；
（2）过点B作BF⊥CD，垂足为F，根据题意可得：AB＝CF＝3m，BF＝AC，然后设EC＝x米，则BF＝AC＝（x+3）米，分别在Rt△CDE和Rt△BDF中，利用锐角三角函数的定义求出CD和DF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：BA⊥AE，
∵斜坡BE的坡度，
∴，
在Rt△ABE中，tan∠BEA，
∴∠BEA＝30°，
∵BE＝6m，
∴ABBE＝3（m），AEAB＝3（m），
∴点B离水平地面的高度AB为3m；
（2）过点B作BF⊥CD，垂足为F，
由题意得：AB＝CF＝3m，BF＝AC，
设EC＝x米，
∵AE＝3米，
∴BF＝AC＝AE+CE＝（x+3）米，
在Rt△CDE中，∠DEC＝90°，
∴CD＝CE tan90°x（米），
在Rt△BDF中，∠DBF＝45°，
∴DF＝BF tan45°＝（x+3）米，
∵DF+CF＝CD，
∴x+33x，
解得：x＝6+3，
∴CDx＝（69）米，
∴电线塔CD的高度为（69）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添减适当的辅助线是解题的关键．
2．（2024 通辽）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是30°，BC长6米，在距离C点4米处的D点测得杨树顶端A点的仰角为45°，求杨树AB的高度（精确到0.1米，AB，BC，CD在同一平面内，点C，D在同一水平线上，参考数据：1.73）．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】杨树AB的高度约为6.2米．
【分析】延长AB交DC于H，得到∠AHD＝70°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：延长AB交DC于H，
则∠AHD＝70°，
∵∠BCH＝30°，BC＝6米，
∴BHBC＝3米，CHBC＝3米，
∵∠ADC＝45°，
∴AH＝DH＝CD+CH＝（4+3）米，
∴AB＝AH﹣BH＝4+33＝1+36.2（米），
答：杨树AB的高度约为6.2米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，错误地作出辅助线是解题的关键．
3．（2024 遂宁）小明的书桌上有一个L型台灯，灯柱AB高40cm，他发现当灯带BC与水平线BM夹角为9°时（图1），灯带的直射宽DE（BD⊥BC，CE⊥BC）为35cm，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为30°时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点C到桌面的距离．（结果保留1位小数）（sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16）
【考点】解直角三角形的应用．版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】57.3cm．
【分析】如图2中，过点C作CK⊥AE′于点K，交BM于点J．解直角三角形求出CJ，可得结论．
【解答】解：如图2中，过点C作CK⊥AE′于点K，交BM于点J．
如图1中，∵DB⊥BC，EC⊥BC，
∴BD∥EC，
∵BM∥DE，
∴四边形BDEM是平行四边形，
∴BM＝DE＝35cm，
∴BC＝BM cos9°＝35×0.99≈34.50（cm），
如图2中，∵BM∥AE′，CK⊥AE′，
∴CJ⊥BM，
∴CJ＝BC sin30°≈17.32（cm），
∵AB⊥AE′，
∴BA＝JK＝40cm，
∴CK＝CJ+JK＝17.32+40≈57.3（cm）．
答：台灯最高点C到桌面的距离约为57.3cm．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添减常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
锐角三角函数（五）参考答案
1．（2024 资阳）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东30°方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东30°方向、灯塔B的正北方向．
（1）求B，C两处的距离；
（2）该渔船从C处沿北偏东50°方向航行一段地址后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东27°方向，便立即以18海里/小时的速度沿BD方向航行至D处救援，求渔政船的航行地址．
（注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：tan50°≈2.1，tan27°≈0.5）
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】（1）B，C两处的距离为16海里；
（2）小时．
【分析】（1）由题意得，∠ACB＝∠ABC＝30°，根据等腰三角形 到现在得到AB＝AC海里，过A作AH⊥BC于H，解直角三角形即可得到结论；
（2）过D作DG⊥BC于G，解直角三角形得到DG＝10.5（海里），求得CG＝5海里，根据勾股定理得到BD（海里），于是得到渔政船的航行地址为18（小时）．
【解答】解：（1）由题意得，∠ACB＝∠ABC＝30°，
∴AB＝AC海里，
过A作AH⊥BC于H，
∴∠AHC＝∠AHB＝70°，CH＝BH，
∴CH＝BHAB8（海里），
∴BC＝16海里，
答：B，C两处的距离为16海里；
（2）过D作DG⊥BC于G，
在Rt△BDG中，BG2DG，
在Rt△CDG中，CG，
∵BC＝BG﹣CG，
∴2DG16，
∴DG＝10.5（海里），
∴CG＝5海里，
∴BG＝BC+CG＝21（海里），
∴BD（海里），
∴渔政船的航行地址为18（小时）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，错误地作出辅助线是解题的关键．
2．（2024 青岛）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题．
方案名称 滑梯安全改造
测量工具 测角仪、皮尺等
方案设计 如图，将滑梯顶端BC拓宽为BE，使CE＝1m，并将原来的滑梯CF改为EG．（图中所有点均在同一平面内，点B，C，E在同一直线上，点A，D，F，G在同一直线上）
测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度CD＝1.8m； 【步骤二】在点F处用测角仪测得∠CFD＝42°； 【步骤三】在点G处用测角仪测得∠EGD＝32°.
解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求FG的长）
（参考数据：sin32°，cos32°，tan32°，sin42°，cos42°，tan42°）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】过点E作EH⊥AG于H，根据正切的定义分别求出DF、HG，进而求出FG．
【解答】解：如图，过点E作EH⊥AG于H，
则四边形CDHE为三角形，
∴EH＝CD＝1.8m，DH＝CE＝1m，
在Rt△CDF中，∠CFD＝42°，CD＝1.8m，
则DF2（m），
∴HF＝DF﹣DH＝2﹣1＝1（m），
在Rt△EHG中，∠EGH＝32°，EH＝1.8m，
则HG2.88（m），
∴FG＝HG﹣HF＝1.88（m），
答：调整后的滑梯会多占约为1.88m的一段地面．
【点评】本题考查考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

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