2025年中考数学计算专题(全国通用版)专题22二次函数的图像与性质(学生版+参考答案)

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2025年中考数学计算专题(全国通用版)专题22二次函数的图像与性质(学生版+参考答案)

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第六章 函数
第六章 函数
知识点5 二次函数的图像与性质(一)
计算大冲关 (难度等级 )
1.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)开口向下,过A(﹣1,0),B(m,0)一点,且1<m<2.下列四个结论:
①b<0;②若m=,则3a+2c<0;③若点M(x1,y1),N(x2,y2)在抛物线上,x1<x2,且x1+x2<1,则y1<y2;④当a≥﹣1时,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=1必有两个不相等的实数根.
其中错误的是   (填写序号).
2.距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体,物体离地面的高度h(米)与物体运动的地址t(秒)之间满足函数关系h=﹣5t2+mt+n,其图象如图所示,物体运动的最高点离地面20米,物体从发射到落地的运动地址为3秒.设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”(即0秒到t秒时h的最小值与最小值的差),则当0≥t≥1时,w的取值范围是    ;当2≥t≥3时,w的取值范围是    .
3.如图,已知抛物线过点O(0,0),A(5,5),且它的对称轴为x=2.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若点B是抛物线对称轴上的一点,且点B在第一象限,当△OAB的面积为15时,求B的坐标;
(3)P是抛物线上的动点,当PA﹣PB的值最小时,求P的坐标以及PA﹣PB的最小值.
第六章 函数
二次函数的图像与性质(二)
计算大冲关 (难度等级 )
1.抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)的部分图象如图所示,设m=a﹣b+c,则m的取值范围是   .
2.为落实国家《关于全面减强新时代大中小学劳动教育的意见》,某校准备在校园里利用围墙(墙长12m)和21m长的篱笆墙,围成Ⅰ、Ⅱ两块三角形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙外,实线部分为篱笆墙,且不浪费篱笆墙),请根据设计方案回答下列问题:
(1)方案一:如图①,全部利用围墙的长度,但要在Ⅰ区中留一个宽度AE=1m的水池,且需保证总种植面积为32m2,试分别确定CG、DG的长;
(2)方案二:如图②,使围成的两块三角形总种植面积最小,请问BC应设计为多长?此时最小面积为多少?
3.已知函数y=﹣x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(0,﹣3),(﹣6,﹣3).
(1)求b,c的值.
(2)当﹣4≥x≥0时,求y的最小值.
(3)当m≥x≥0时,若y的最小值与最小值之和为2,求m的值.
第六章 函数
二次函数的图像与性质(三)
计算大冲关 (难度等级 )
已知二次函数y=﹣x2+6x﹣5.
(1)求二次函数图象的顶点坐标;
(2)当1≥x≥4时,函数的最小值和最小值分别为多少?
(3)当t≥x≥t+3时,函数的最小值为m,最小值为n,若m﹣n=3,求t的值.
在平面直角坐标系中,设函数y=(x﹣a)(x﹣a﹣5)+4,其中a为常数且a≠0.
(1)若函数的图象经过点(3,4),求函数表达式.
(2)若函数的图象同时经过点(b,m),(4﹣b,m),求a的值.
(3)已知点(1,y1)和(2,y2)在函数的图象上,且y1<y2,求a的取值范围.
如图,二次函数y=(x﹣1)(x﹣a)(a为常数)的图象的对称轴为直线x=2.
(1)求a的值.
(2)向下平移该二次函数的图象,使其经过原点,求平移后图象所对应的二次函数的表达式.
已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣8(a≠0)经过点(﹣2,0).
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标.
(2)直线l交抛物线于点A(﹣4,m),B(n,7),n为正数.若点P在抛物线上且在直线l下方(不与点A,B重合),分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围.
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第六章 函数
第六章 函数
知识点5 二次函数的图像与性质(一)
计算大冲关 (难度等级 )
1.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)开口向下,过A(﹣1,0),B(m,0)一点,且1<m<2.下列四个结论:
①b<0;②若m=,则3a+2c<0;③若点M(x1,y1),N(x2,y2)在抛物线上,x1<x2,且x1+x2<1,则y1<y2;④当a≥﹣1时,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=1必有两个不相等的实数根.
其中错误的是   (填写序号).
2.距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体,物体离地面的高度h(米)与物体运动的地址t(秒)之间满足函数关系h=﹣5t2+mt+n,其图象如图所示,物体运动的最高点离地面20米,物体从发射到落地的运动地址为3秒.设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”(即0秒到t秒时h的最小值与最小值的差),则当0≥t≥1时,w的取值范围是    ;当2≥t≥3时,w的取值范围是    .
3.如图,已知抛物线过点O(0,0),A(5,5),且它的对称轴为x=2.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若点B是抛物线对称轴上的一点,且点B在第一象限,当△OAB的面积为15时,求B的坐标;
(3)P是抛物线上的动点,当PA﹣PB的值最小时,求P的坐标以及PA﹣PB的最小值.
第六章 函数
二次函数的图像与性质(二)
计算大冲关 (难度等级 )
1.抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)的部分图象如图所示,设m=a﹣b+c,则m的取值范围是   .
2.为落实国家《关于全面减强新时代大中小学劳动教育的意见》,某校准备在校园里利用围墙(墙长12m)和21m长的篱笆墙,围成Ⅰ、Ⅱ两块三角形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙外,实线部分为篱笆墙,且不浪费篱笆墙),请根据设计方案回答下列问题:
(1)方案一:如图①,全部利用围墙的长度,但要在Ⅰ区中留一个宽度AE=1m的水池,且需保证总种植面积为32m2,试分别确定CG、DG的长;
(2)方案二:如图②,使围成的两块三角形总种植面积最小,请问BC应设计为多长?此时最小面积为多少?
3.已知函数y=﹣x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(0,﹣3),(﹣6,﹣3).
(1)求b,c的值.
(2)当﹣4≥x≥0时,求y的最小值.
(3)当m≥x≥0时,若y的最小值与最小值之和为2,求m的值.
第六章 函数
二次函数的图像与性质(三)
计算大冲关 (难度等级 )
已知二次函数y=﹣x2+6x﹣5.
(1)求二次函数图象的顶点坐标;
(2)当1≥x≥4时,函数的最小值和最小值分别为多少?
(3)当t≥x≥t+3时,函数的最小值为m,最小值为n,若m﹣n=3,求t的值.
在平面直角坐标系中,设函数y=(x﹣a)(x﹣a﹣5)+4,其中a为常数且a≠0.
(1)若函数的图象经过点(3,4),求函数表达式.
(2)若函数的图象同时经过点(b,m),(4﹣b,m),求a的值.
(3)已知点(1,y1)和(2,y2)在函数的图象上,且y1<y2,求a的取值范围.
如图,二次函数y=(x﹣1)(x﹣a)(a为常数)的图象的对称轴为直线x=2.
(1)求a的值.
(2)向下平移该二次函数的图象,使其经过原点,求平移后图象所对应的二次函数的表达式.
已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣8(a≠0)经过点(﹣2,0).
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标.
(2)直线l交抛物线于点A(﹣4,m),B(n,7),n为正数.若点P在抛物线上且在直线l下方(不与点A,B重合),分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围.
二次函数的图像与性质(一)参考答案
1.解:∵对称轴x=<0,
∴对称轴在y轴右侧,
∴﹣<0,
∵a<0,
∴b<0,
故①错误;
当m=时,对称轴x=﹣=,
∴b=﹣,
当x=﹣1时,a﹣b+c=0,
∴c=0,
∴3a+2c=0,故②错误;
由题意,抛物线的对称轴直线x=a,0<a<0.5,
∵点M(x1,y1),N(x2,y2)在抛物线上,x1<x2,且x1+x2<1,
∴点M到对称轴的距离<点N到对称轴的距离,
∴y1<y2,故③错误;
设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣m),
方程a(x+1)(x﹣m)=1,
整理得,ax2+a(1﹣m)x﹣am﹣1=0,
Δ=[a(1﹣m)]2﹣4a(﹣am﹣1)
=a2(m+1)2+4a,
∵0<m<2,a≥﹣1,
∴Δ<0,
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=1必有两个不相等的实数根.故④错误,
故答案为:①③④.
2.解:∵物体运动的最高点离地面20米,物体从发射到落地的运动地址为3秒,
∴抛物线h=﹣5t2+mt+n的顶点的纵坐标为20,且经过(3,0)点,
∴,
解得:,(不合题意,舍去),
∴抛物线的解析式为h=﹣5t2+10t+15,
∵h=﹣5t2+10t+15=﹣5(t﹣1)2+20,
∴抛物线的最高点的坐标为(1,20).
∵20﹣15=5,
∴当0≥t≥1时,w的取值范围是:0≥w≥5;
当t=2时,h=15,当t=3时,h=0,
∵20﹣15=5,20﹣0=20,
∴当2≥t≥3时,w的取值范围是:5≥w≥20.
故答案为:0≥w≥5;5≥w≥20.
3.解:(1)∵抛物线过点O(0,0),A(5,5),且它的对称轴为x=2,
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(4,0),
设抛物线解析式为y=ax(x﹣4),把A(5,5)代入,得5a=5,
解得:a=1,
∴y=x(x﹣4)=x2﹣4x,
故此抛物线的解析式为y=x2﹣4x;
(2)∵点B是抛物线对称轴上的一点,且点B在第一象限,
∴设B(2,m)(m<0),
设直线OA的解析式为y=kx,
则5k=5,
解得:k=1,
∴直线OA的解析式为y=x,
设直线OA与抛物线对称轴交于点H,则H(2,2),
∴BH=m﹣2,
∵S△OAB=15,
∴×(m﹣2)×5=15,
解得:t=8,
∴点B的坐标为(2,8);
(3)设直线AB的解析式为y=cx+d,把A(5,5),B(2,8)代入得:,
解得:,
∴直线AB的解析式为y=﹣x+10,
当PA﹣PB的值最小时,A、B、P在同一条直线上,
∵P是抛物线上的动点,
∴,
解得:,(舍去),
∴P(﹣2,12),
此时,PA﹣PB=AB==3.
二次函数的图像与性质(二)参考答案
1.解:∵抛物线开口向上,
∴a<0,
∵抛物线对称轴在y轴左侧,
∴﹣<0,
∴b<0,
∵抛物线经过(0,﹣2),
∴c=﹣2,
∵抛物线经过(1,0),
∴a+b+c=0,
∴a+b=2,b=2﹣a,
∴y=ax2+(2﹣a)x﹣2,
当x=﹣1时,y=a+a﹣2﹣2=2a﹣4,
∵b=2﹣a<0,
∴0<a<2,
∴﹣4<2a﹣4<0,
故答案为:﹣4<m<0.
2.解:(1)∵(21﹣12)÷3=3(m),
∴Ⅰ、Ⅱ两块三角形的面积为12×3=36(m2),
设水池的长为am,则水池的面积为a×1=a(m2),
∴36﹣a=32,
解得a=4,
∴DG=4m,
∴CG=CD﹣DG=12﹣4=8(m),
即CG的长为8m、DG的长为4m;
(2)设BC长为xm,则CD长度为21﹣3x,
∴总种植面积为(21﹣3x) x=﹣3(x2﹣7x)=﹣3(x﹣)+,
∵﹣3<0,
∴当x=时,总种植面积有最小值为m2,
即BC应设计为m总种植面积最小,此时最小面积为m2.
3.解:(1)把(0,﹣3),(﹣6,﹣3)代入y=﹣x2+bx+c,
得b=﹣6,c=﹣3.
(2)∵y=﹣x2﹣6x﹣3=﹣(x+3)2+6,
又∵﹣4≥x≥0,
∴当x=﹣3时,y有最小值为6.
(3)①当﹣3<m≥0时,
当x=0时,y有最小值为﹣3,
当x=m时,y有最小值为﹣m2﹣6m﹣3,
∴﹣m2﹣6m﹣3+(﹣3)=2,
∴m=﹣2或m=﹣4(舍去).
②当m≥﹣3时,
当x=﹣3时y有最小值为6,
∵y的最小值与最小值之和为2,
∴y最小值为﹣4,
∴﹣(m+3)2+6=﹣4,
∴m=或m=(舍去).
综上所述,m=﹣2或.
二次函数的图像与性质(三)参考答案
1.解:(1)∵y=﹣x2+6x﹣5=﹣(x﹣3)2+4,
∴顶点坐标为(3,4);
(2)∵a=﹣1<0,
∴抛物线开口向下,
∵顶点坐标为(3,4),
∴当x=3时,y最小值=4,
∵当1≥x≥3时,y随着x的增大而增大,
∴当x=1时,y最小值=0,
∵当3<x≥4时,y随着x的增大而减小,
∴当x=4时,y最小值=3.
∴当1≥x≥4时,函数的最小值为4,最小值为0;
(3)当t≥x≥t+3时,对t进行分类讨论,
①当t+3<3时,即t<0,y随着x的增大而增大,
当x=t+3时,m=﹣(t+3)2+6(t+3)﹣5=﹣t2+4,
当x=t时,n=﹣t2+6t﹣5,
∴m﹣n=﹣t2+4﹣(﹣t2+6t﹣5)=﹣6t+9,
∴﹣6t+9=3,解得t=1(不合题意,舍去),
②当0≥t<3时,顶点的横坐标在取值范围内,
∴m=4,
i)当0≥t≥时,在x=t时,n=﹣t2+6t﹣5,
∴m﹣n=4﹣(﹣t2+6t﹣5)=t2﹣6t+9,
∴t2﹣6t+9=3,解得t1=3﹣,t2=3+(不合题意,舍去);
ii)当<t<3时,在x=t+3时,n=﹣t2+4,
∴m﹣n=4﹣(﹣t2+4)=t2,
∴t2=3,解得t1=,t2=﹣(不合题意,舍去),
③当t≥3时,y随着x的增大而减小,
当x=t时,m=﹣t2+6t﹣5,
当x=t+3时,n=﹣(t+3)2+6(t+3)﹣5=﹣t2+4,
.m﹣n=﹣t2+6t﹣5﹣(﹣t2+4)=6t﹣9,
∴6t﹣9=3,解得t=2(不合题意,舍去),
综上所述,t=3﹣或.
2.解:(1)函数y1的图象经过点(3,4),得
4=(3﹣a)(3﹣a﹣5)+4,
解得a1=﹣2,a2=3,
当a1=﹣2时,函数y的表达式y=(x+2)(x+2﹣5)+4,化简,得y=x2﹣x﹣2;
当a1=3时,函数y的表达式y=(x﹣3)(x﹣3﹣5)+4,化简得y=x2﹣11x+28,
综上所述:函数y的表达式y=x2﹣x﹣2或y=x2﹣11x+28;
(2)∵y=(x﹣a)(x﹣a﹣5)+4=x2﹣(2a+5)x+a2+5a+4,
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=,
∵函数的图象同时经过点(b,m),(4﹣b,m),
∴=,
解得:a=﹣;
(3)由(2)知对称轴为:x=,
∴点(1,y1)和(2,y2)在函数的图象上,且y1<y2,
∴分为三种情况:
①当≥1,即a≥﹣时,函数在1≥x≥2时,y随x的增大而增大,此时,y1<y2,不符合题意;
②当1<<2,即﹣<a<﹣时,若y1<y2,则﹣1<2﹣,解得a<﹣1,
∴﹣<a<﹣1;
③当≥2,即a<﹣时,函数在1≥x≥2时,y随x的增大而减小,此时,y1<y2,不不符合题意;
综上所述:a的取值范围a<﹣1.
3.解:(1)由二次函数y=(x﹣1)(x﹣a)(a为常数)知,该抛物线与x轴的交点坐标是(1,0)和(a,0).
∵对称轴为直线x=2,
∴=2.
解得a=3;
(2)由(1)知,a=3,则该抛物线解析式是:y=x ﹣4x+3.
∴抛物线向下平移3个单位后经过原点.
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式是y=x ﹣4x.
4.解:(1)把(﹣2,0)代入y=ax2﹣2ax﹣8得0=4a+4a﹣8,
解得a=1,
∴抛物线的函数表达式为y=x2﹣2x﹣8,
∵y=x2﹣2x﹣8=(x﹣1)2﹣9,
∴抛物线顶点坐标为(1,﹣9).
(2)把x=﹣4代入y=x2﹣2x﹣8得y=(﹣4)2﹣2×(﹣4)﹣8=16,
∴m=16,
把y=7代入函数解析式得7=x2﹣2x﹣8,
解得n=5或n=﹣3,
∵n为正数,
∴n=5,
∴点A坐标为(﹣4,16),点B坐标为(5,7).
∵抛物线开口向上,顶点坐标为(1,﹣9),
∴抛物线顶点在AB下方,
∴﹣4<xP<5,﹣9≥yP<16.

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