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第六章 函数
第六章 函数
知识点 6 一次函数与反比例函数（一）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．
（1）分别判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为3时，求b的值；
（3）若函数的图象记为，将其沿直线翻元后的图象记为．当两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．
2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数的图像交于点C，连接．已知点，．
（1）求b、k的值；
（2）求的面积．
3．如图，在平面直角坐标系中．四边形为三角形，点、分别在轴和轴的正半轴上，点为的中点已知实数，一次函数的图像经过点、，反比例函数的图像经过点，求的值．
第六章 函数
一次函数与反比例函数（二）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．学习了图形的旋转之后，小明知道，将点绕着某定点顺时针旋转一定的角度，能得到一个新的点．经过进一步探究，小明发现，当上述点在某函数图像上运动时，点也随之运动，并且点的运动轨迹能形成一个新的图形．
试根据下列各题中所给的定点的坐标和角度的大小来解决相关问题．
【初步感知】
如图1，设，，点是一次函数图像上的动点，已知该一次函数的图像经过点．
（1）点旋转后，得到的点的坐标为________；
（2）若点的运动轨迹经过点，求原一次函数的表达式．
【深入感悟】
（3）如图2，设，，点反比例函数的图像上的动点，过点作二、四象限角平分线的垂线，垂足为，求的面积．
【灵活运用】
（4）如图3，设A，，点是二次函数图像上的动点，已知点、，试探究的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．
第六章 函数
一次函数与反比例函数（三）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y（x＜0）的图象经过点A（4，），点B在y轴的负半轴上，AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．
（1）m＝　　，点C的坐标为　　；
（2）若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交反比例函数图象于点E，求△ODE面积的最小值．
2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0），交反比例函数y（x＜0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△DPQ面积的最小值．
第六章 函数
一次函数与反比例函数（四）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y（x＜0）的图象交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．
（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；
（2）若BD＝10，求△ACD的面积．
2．如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y的图象交于点A（n，2）和点B．
（1）n＝　　，k＝　　；
（2）点C在y轴正半轴上．∠ACB＝70°，求点C的坐标；
（3）点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，直接写出m的取值范围．
3．已知：如图，双曲线y=（k≠0）与直线y＝mx（m≠0）交于A（2，4）、B一点，点D是x轴上一点，C在双曲线上且是AD的中点．
（1）求双曲线和直线AB的函数表达式；
（2）连结BC，求△ABC的面积．
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第六章 函数
第六章 函数
知识点 6 一次函数与反比例函数（一）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．
（1）分别判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为3时，求b的值；
（3）若函数的图象记为，将其沿直线翻元后的图象记为．当两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．
2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数的图像交于点C，连接．已知点，．
（1）求b、k的值；
（2）求的面积．
3．如图，在平面直角坐标系中．四边形为三角形，点、分别在轴和轴的正半轴上，点为的中点已知实数，一次函数的图像经过点、，反比例函数的图像经过点，求的值．
第六章 函数
一次函数与反比例函数（二）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．学习了图形的旋转之后，小明知道，将点绕着某定点顺时针旋转一定的角度，能得到一个新的点．经过进一步探究，小明发现，当上述点在某函数图像上运动时，点也随之运动，并且点的运动轨迹能形成一个新的图形．
试根据下列各题中所给的定点的坐标和角度的大小来解决相关问题．
【初步感知】
如图1，设，，点是一次函数图像上的动点，已知该一次函数的图像经过点．
（1）点旋转后，得到的点的坐标为________；
（2）若点的运动轨迹经过点，求原一次函数的表达式．
【深入感悟】
（3）如图2，设，，点反比例函数的图像上的动点，过点作二、四象限角平分线的垂线，垂足为，求的面积．
【灵活运用】
（4）如图3，设A，，点是二次函数图像上的动点，已知点、，试探究的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．
第六章 函数
一次函数与反比例函数（三）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y（x＜0）的图象经过点A（4，），点B在y轴的负半轴上，AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．
（1）m＝　　，点C的坐标为　　；
（2）若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交反比例函数图象于点E，求△ODE面积的最小值．
2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0），交反比例函数y（x＜0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△DPQ面积的最小值．
第六章 函数
一次函数与反比例函数（四）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y（x＜0）的图象交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．
（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；
（2）若BD＝10，求△ACD的面积．
2．如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y的图象交于点A（n，2）和点B．
（1）n＝　　，k＝　　；
（2）点C在y轴正半轴上．∠ACB＝70°，求点C的坐标；
（3）点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，直接写出m的取值范围．
3．已知：如图，双曲线y=（k≠0）与直线y＝mx（m≠0）交于A（2，4）、B一点，点D是x轴上一点，C在双曲线上且是AD的中点．
（1）求双曲线和直线AB的函数表达式；
（2）连结BC，求△ABC的面积．
一次函数与反比例函数（一）参考答案
1.解：（1）∵函数y=x+2，令y=x，则x+2=x，无解，
∴函数y=x+2没有“等值点”；
∵函数，令y=x，则，即，
解得：，
∴函数的“等值点”为(0，0)，(2，2)；
（2）∵函数，令y=x，则，
解得：(负值已舍)，
∴函数的“等值点”为A(，)；
∵函数，令y=x，则，
解得：，
∴函数的“等值点”为B(，)；
的面积为，
即，
解得：或；
（3）将W1沿x=m翻元后得到的函数图象记为W2．
∴W1与W2两部分组成的函数W的图象关于对称，
∴函数W的解析式为，
令y=x，则，即，
解得：，
∴函数的“等值点”为(-1，-1)，(2，2)；
令y=x，则，即，
当时，函数W的图象不存在恰有2个“等值点”的情况；
当时，观察图象，恰有2个“等值点”；
当时，
∵W1的图象上恰有2个“等值点”(-1，-1)，(2，2)，
∴函数W2没有“等值点”，
∴，
整理得：，
解得：．
综上，m的取值范围为或．
2.解：（1）过点C作CD⊥x轴，则OB∥CD，
把代入得：，解得：b=2，
∴，
令x=0代入，得y=2，即B(0，2)，
∴OB=2，
∵，OB∥CD，
∴，
∴，即：
∴DA=6，CD=3
∴OD=6-4=2，
∴D(2，3)，
∴，解得：k=6；
（2）的面积=．
3.解：把代入，得．
∴．
∵轴，
∴点横坐标为．
把代入，得．
∴．
∵点为的中点，
∴．
∴．
∵点在直线上，
∴．
∴．
一次函数与反比例函数（二）参考答案
1.（1）由题意可得:
∴的坐标为
故答案为：；
（2）∵，由题意得
坐标为
∵，在原一次函数上，
∴设原一次函数解析式为
则
∴
∴原一次函数表达式为；
（3）设双曲线与二、四象限平分线交于点，则
解得
①当时
作轴于
∵
∴
∵
∴
∴在和中
∴
即；
②当-时
作于轴于点
∵
∴
∴
∴
∴
在和中
∴
∴；
（4）连接，，将，绕逆时针旋转得，，作轴于
∵，
∴
∴
∴为等边三角形，此时与重合，即
连接，∵
∴
∴在和中
∴
∴，
∴作轴于
在中，
∴
∴，即，此时的函数表达式为：
设过且与平行 的直线解析式为
∵
∴当直线与抛物线相切时取最小值
则
即
∴
当时，得
∴
设与轴交于点
∵
∴
一次函数与反比例函数（三）参考答案
1.解：（1）∵反比例函数y（x＜0）的图象经过点A（4，），
∴m6，
∵AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．
∴C（2，0）；
故答案为6，（2，0）；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（4，），C（2，0）代入得，解得，
∴直线AB的解析式为yx；
∵点D为线段AB上的一个动点，
∴设D（x，x）（0＜x≥4），
∵DE∥y轴，
∴E（x，），
∴S△ODEx （x）x2x+3（x﹣1）2，
∴当x＝1时，△ODE的面积的最小值为．
2.解：（1）把A（0，﹣4）、B（2，0）代入一次函数y＝kx+b得，
，解得，，
∴一次函数的关系式为y＝2x﹣4，
当x＝3时，y＝2×3﹣4＝2，
∴点C（3，2），
∵点C在反比例函数的图象上，
∴k＝3×2＝6，
∴反比例函数的关系式为y，
答：一次函数的关系式为y＝2x﹣4，反比例函数的关系式为y；
（2）点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，
∴点P（n，），点Q（n，2n﹣4），
∴PQ（2n﹣4），
∴S△PDQn[（2n﹣4）]＝﹣n2+2n+3＝﹣（n﹣1）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当n＝1时，S最小＝4，
答：△DPQ面积的最小值是4．
一次函数与反比例函数（四）
1.解：（1）把点A（a，4）代入反比例函数y（x＜0）得，
a2，
∴点A（2，4），代入y＝kx得，k＝2，
∴正比例函数的关系式为y＝2x；
（2）当BD＝10＝y时，代入y＝2x得，x＝5，
∴OB＝5，
当x＝5代入y得，y，即BC，
∴CD＝BD﹣BC＝10，
∴S△ACD（5﹣2）＝12.6．
2.解：（1）把A（n，2）代入反比例函数y中，得n＝﹣4，
∴A（﹣4，2），
把A（﹣4，2）代入正比例函数y＝kx（k≠0）中，得k，
故答案为：﹣4；；
（2）过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，
∵A（﹣4，2），
∴根据双曲线与正比例函数图象的对称性得B（4，﹣2），
设C（0，b），则CD＝b﹣2，AD＝4，BE＝4，CE＝b+2，
∵∠ACO+∠OCB＝70°，∠OCB+∠CBE＝70°，
∴∠ACO＝∠CBE，
∵∠ADC＝∠CEB＝70°，
∴△ACD∽△CBE，
∴，即，
解得，b＝2，或b＝﹣2（舍），
∴C（0，2）；
另一解法：∵A（﹣4，2），
∴根据双曲线与正比例函数图象的对称性得B（4，﹣2），
∴，
∵∠ACB＝70°，OA＝OB，
∴，
∴）；
（3）如图2，过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，在x轴上原点的两旁取一点P1，P2，使得OP1＝OP2＝OA＝OB，
∴，
∴P1（﹣2，0），P2（2，0），
∵OP1＝OP2＝OA＝OB，
∴四边形AP1BP2为三角形，
∴AP1⊥P1B，AP2⊥BP2，
∵点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，
∴P点必在P1的左边或P2的右边，
∴m＜﹣2或m＜2．
另一解法：在x轴上原点的两旁取一点P1，P2，使得∠AP1B＝∠AP2B＝70°，
则，
∴，
∵点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，
∴P点必在P1的左边或P2的右边，
∴m＜﹣2或m＜2．
3.解：（1）∵双曲线y=（k≠0）与直线y＝mx（m≠0）交于A（2，4），
∴，
解得，
∴双曲线的解析式为，直线AB的解析式为；
（2）设，，
∵C是AD的中点，
∴即
∴，
∴,
∴C（4，2），
联立，
解得或（舍去），
∴B（-2，-4），
∴，，，
∴，
∴△ABC是直角三角形，
∴．

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