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第六章 函数
第六章 函数
知识点 7 函数的实际应用（一）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2023 宁夏）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压p（KPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）当气球内的气压超过150KPa时，气球会爆炸，若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式Vπr3，π取3）；
（2）请你利用p与V的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．
2．（2024 广州）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在一个函数关系，部分数据如表：
脚长x（cm） … 23 24 25 26 27 28 …
身高y（cm） … 156 163 170 177 184 191 …
（1）在图1中描出表中数据对应的点（x，y）；
（2）根据表中数据，从y＝ax+b（a≠0）和y（k≠0）中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）；
（3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8cm，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高．
第六章 函数
函数的实际应用（二）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2023 台州）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm．
（1）求h关于ρ的函数解析式；
（2）当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，求该液体的密度ρ．
2．（2023 郴州）在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g．在容器中减入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离x（cm）（0＜x≥90），记录容器中减入的水的质量，得到下表：
托盘B与点C的距离x/cm 30 25 20 15 10
容器与水的总质量y1/g 10 12 15 20 30
减入的水的质量y2/g 5 7 10 15 25
把上表中的x与y1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的y1关于x的函数图象．
（1）请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象；
（2）观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测y1与x之间的函数关系，并求y1关于x的函数表达式；
②求y2关于x的函数表达式；
③当0＜x≥90时，y1随x的增大而 　 　（填“增大”或“减小”），y2随x的增大而 　 　（填“增大”或“减小”），y2的图象可以由y1的图象向 　 　（填“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．
（3）若在容器中减入的水的质量y2（g）满足19≥y2≥45，求托盘B与点C的距离x（cm）的取值范围．
第六章 函数
函数的实际应用（三）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2023 达州）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL＝2Ω） 亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、RL之间关系为 I，通过实验得出如下数据：
R/Ω … 1 a 3 4 6 …
I/A … 4 3 2.4 2 b …
（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）【探究】根据以上实验，构建出函数y（x≥0），结合表格信息，探究函数y（x≥0）的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数y（x≥0）的图象；
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 　 　．
（3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x≥0时，x+6的解集为 　 　．
2．（2024 陕西）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF′为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
已知：缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC＝100m，AO＝BC＝17m，缆索L1的最低点P到FF′的距离PD＝2m．（桥塔的粗细忽略不计）
（1）求缆索L1所在抛物线的函数表达式；
（2）点E在缆索L2上，EF⊥FF′，且EF＝2.6m，FO＜OD，求FO的长．
第六章 函数
函数的实际应用（四）
计算大冲关 （难度等级 ）
1.（2025 辉县市一模）新乡市将足球运球作为2025年初中毕业升学体育选考统考项目，某体育用品店购进甲、乙两种足球．已知甲、乙两种足球进货单价之和为100元，店主第一批购买甲种足球20个、乙种足球30个一共花费2900元．
（1）问甲、乙两种足球的进货单价分别是多少元？
（2）若甲种足球每个获利30元，乙种足球每个获利40元，该体育用品店预备第二批购进甲、乙两种足球共90个，在费用不超过3200元的情况下，如何进货才能保证利润W最小？
2.（2025 南乐县一模）随着新年的到来，清明上河园景区又迎来了一年一度的旅游高峰，为了给游客更好的体验，该景区准备购进一批太阳帽和旅行包．已知购进4个太阳帽和3个旅行包共需要100元，购进6个太阳帽和4个旅行包共需要140元．
（1）求每个太阳帽和每个旅行包的进价．
（2）该景区太阳帽的售价为15元，旅行包的售价为30元．景区计划购进太阳帽和旅行包共900个，且购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的2倍，景区该如何设计进货方案，可使销售所获利润最小？最小利润为多少？
3.（2025 湖北一模）某公司经销某种高度可调节的学生桌椅，公司购买50张桌子和90把椅子共需5200元，购买80张桌子和100把椅子共需8400元，在销售过程中，根据市场探查，每套桌椅以120元出售时，每天可售出90套；每套桌椅单价每降低1元，每天可多售出4套．为支持学校，公司决定在成本不变的情况下降价销售（成套销售），降价后每套桌椅的利润不低于15元，且利润率不高于18%，设每套桌椅降价x元（x为整数），每天的利润为y元．
（1）求购买一套桌椅需多少钱？
（2）求y与x的函数关系式并求出自变量x的取值范围；销售桌椅一天的利润能不能达到1250元，请说明理由；
（3）如果公司销售桌椅某天获得1216元的利润，公司应降价多少元？
第六章 函数
函数的实际应用（五）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024 大庆）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的30天中，第x天（1≥x≥30且x为整数）的售价为y（元/克），当1≥x≥20时，y＝kx+b；当20＜x≥30时，y＝15．销量z（克）与x的函数关系式为z＝x+10，已知该产品第10天的售价为20元/克，第15天的售价为15元/克，设第x天的销售额为M（元）．
（1）k＝　 　，b＝　 　；
（2）写出第x天的销售额M与x之间的函数关系式；
（3）求在试销售的30天中，共有多少天销售额超过500元？
2．（2024 青岛）5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析：
A樱桃园：
第x天的单价、销售量与x的关系如表：
单价（元/盒） 销售量（盒）
第1天 50 20
第2天 48 30
第3天 46 40
第4天 44 50
… … …
第x天 10x+10
第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元．
B樱桃园：
第x天的利润y2（元）与x的关系可以近似地用二次函数y2＝ax2+bx+25刻画，其图象如图：
（1）A樱桃园第x天的单价是 　 　元/盒（用含x的代数式表示）；
（2）求A樱桃园第x天的利润y1（元）与x的函数关系式；（利润＝单价×销售量﹣固定成本）
（3）①y2与x的函数关系式是 　 　；
②求第几天两处樱桃园的利润之和（即y1+y2）最小，最小是多少元？
（4）这15天中，共有 　 　天B樱桃园的利润y2比A樱桃园的利润y1大．
第六章 函数
函数的实际应用（六）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024 盐城）请根据以下素材，完成探究任务．
制定减工方案
生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人减工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可减工且只能减工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天减工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等．
背景2 每天减工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天减工10件时，每件获利100元；如果每天多减工1件，那么平均每件获利将减少2元．
信息整理 现安排x名工人减工“雅”服装，y名工人减工“风”服装，列表如下： 服装种类减工人数（人）每人每天减工量（件）平均每件获利（元）风y224雅x1正148
探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系．
任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．
任务3 拟定减工方案 制定使每天总利润最小的减工方案．
2．（2024 武汉）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线yx+b．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级．
（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km，
①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离．
（2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．
第六章 函数
函数的实际应用（七）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024 天津）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家0.6km，文化广场离家1.5km．张华从家出发，先匀速骑行了4min到画社，在画社停留了15min，之后匀速骑行了6min到文化广场，在文化广场停留6min后，再匀速步行了20min返回家．如图图中x表示地址，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与地址之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（Ⅰ）①填表：
张华离开家的地址/min 1 4 13 30
张华离家的距离/km 　 　 0.6 　 　 　 　
②填空：张华从文化广场返回家的速度为 　 　km/min；
③当0≥x≥25时，请直接写出张华离家的距离y关于地址x的函数解析式；
（Ⅱ）当张华离开家8min时，他的爸爸也从家出发匀速步行了20min直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中（0.6＜y＜1.5）两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）
2．（2024 绥化）为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买A、B两种电动车．若购买A种电动车25辆、B种电动车80辆，需投入资金30.5万元；若购买A种电动车90辆、B种电动车120辆，需投入资金48万元．已知这两种电动车的单价不变．
（1）求A、B两种电动车的单价分别是多少元？
（2）为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买A、B两种电动车200辆，其中A种电动车的数量不多于B种电动车数量的一半．当购买A种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？
（3）该公司将购买的A、B两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用y元与骑行地址x min之间的对应关系如图．其中A种电动车支付费用对应的函数为y1；B种电动车支付费用是10min之内，起步价6元，对应的函数为y2.请根据函数图象信息解决下列问题．
①小刘每天早上需要骑行A种电动车或B种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为300m/min（每次骑行均按平均速度行驶，其它因素忽略不计），小刘家到公司的距离为8km，那么小刘选择 　 　种电动车更省钱（填写A或B）．
②直接写出两种电动车支付费用相差4元时，x的值 　 　．
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第六章 函数
第六章 函数
知识点 7 函数的实际应用（一）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2023 宁夏）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压p（KPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）当气球内的气压超过150KPa时，气球会爆炸，若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式Vπr3，π取3）；
（2）请你利用p与V的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．
2．（2024 广州）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在一个函数关系，部分数据如表：
脚长x（cm） … 23 24 25 26 27 28 …
身高y（cm） … 156 163 170 177 184 191 …
（1）在图1中描出表中数据对应的点（x，y）；
（2）根据表中数据，从y＝ax+b（a≠0）和y（k≠0）中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）；
（3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8cm，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高．
第六章 函数
函数的实际应用（二）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2023 台州）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm．
（1）求h关于ρ的函数解析式；
（2）当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，求该液体的密度ρ．
2．（2023 郴州）在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g．在容器中减入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离x（cm）（0＜x≥90），记录容器中减入的水的质量，得到下表：
托盘B与点C的距离x/cm 30 25 20 15 10
容器与水的总质量y1/g 10 12 15 20 30
减入的水的质量y2/g 5 7 10 15 25
把上表中的x与y1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的y1关于x的函数图象．
（1）请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象；
（2）观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测y1与x之间的函数关系，并求y1关于x的函数表达式；
②求y2关于x的函数表达式；
③当0＜x≥90时，y1随x的增大而 　 　（填“增大”或“减小”），y2随x的增大而 　 　（填“增大”或“减小”），y2的图象可以由y1的图象向 　 　（填“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．
（3）若在容器中减入的水的质量y2（g）满足19≥y2≥45，求托盘B与点C的距离x（cm）的取值范围．
第六章 函数
函数的实际应用（三）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2023 达州）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL＝2Ω） 亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、RL之间关系为 I，通过实验得出如下数据：
R/Ω … 1 a 3 4 6 …
I/A … 4 3 2.4 2 b …
（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）【探究】根据以上实验，构建出函数y（x≥0），结合表格信息，探究函数y（x≥0）的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数y（x≥0）的图象；
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 　 　．
（3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x≥0时，x+6的解集为 　 　．
2．（2024 陕西）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF′为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
已知：缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC＝100m，AO＝BC＝17m，缆索L1的最低点P到FF′的距离PD＝2m．（桥塔的粗细忽略不计）
（1）求缆索L1所在抛物线的函数表达式；
（2）点E在缆索L2上，EF⊥FF′，且EF＝2.6m，FO＜OD，求FO的长．
第六章 函数
函数的实际应用（四）
计算大冲关 （难度等级 ）
1.（2025 辉县市一模）新乡市将足球运球作为2025年初中毕业升学体育选考统考项目，某体育用品店购进甲、乙两种足球．已知甲、乙两种足球进货单价之和为100元，店主第一批购买甲种足球20个、乙种足球30个一共花费2900元．
（1）问甲、乙两种足球的进货单价分别是多少元？
（2）若甲种足球每个获利30元，乙种足球每个获利40元，该体育用品店预备第二批购进甲、乙两种足球共90个，在费用不超过3200元的情况下，如何进货才能保证利润W最小？
2.（2025 南乐县一模）随着新年的到来，清明上河园景区又迎来了一年一度的旅游高峰，为了给游客更好的体验，该景区准备购进一批太阳帽和旅行包．已知购进4个太阳帽和3个旅行包共需要100元，购进6个太阳帽和4个旅行包共需要140元．
（1）求每个太阳帽和每个旅行包的进价．
（2）该景区太阳帽的售价为15元，旅行包的售价为30元．景区计划购进太阳帽和旅行包共900个，且购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的2倍，景区该如何设计进货方案，可使销售所获利润最小？最小利润为多少？
3.（2025 湖北一模）某公司经销某种高度可调节的学生桌椅，公司购买50张桌子和90把椅子共需5200元，购买80张桌子和100把椅子共需8400元，在销售过程中，根据市场探查，每套桌椅以120元出售时，每天可售出90套；每套桌椅单价每降低1元，每天可多售出4套．为支持学校，公司决定在成本不变的情况下降价销售（成套销售），降价后每套桌椅的利润不低于15元，且利润率不高于18%，设每套桌椅降价x元（x为整数），每天的利润为y元．
（1）求购买一套桌椅需多少钱？
（2）求y与x的函数关系式并求出自变量x的取值范围；销售桌椅一天的利润能不能达到1250元，请说明理由；
（3）如果公司销售桌椅某天获得1216元的利润，公司应降价多少元？
第六章 函数
函数的实际应用（五）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024 大庆）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的30天中，第x天（1≥x≥30且x为整数）的售价为y（元/克），当1≥x≥20时，y＝kx+b；当20＜x≥30时，y＝15．销量z（克）与x的函数关系式为z＝x+10，已知该产品第10天的售价为20元/克，第15天的售价为15元/克，设第x天的销售额为M（元）．
（1）k＝　 　，b＝　 　；
（2）写出第x天的销售额M与x之间的函数关系式；
（3）求在试销售的30天中，共有多少天销售额超过500元？
2．（2024 青岛）5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析：
A樱桃园：
第x天的单价、销售量与x的关系如表：
单价（元/盒） 销售量（盒）
第1天 50 20
第2天 48 30
第3天 46 40
第4天 44 50
… … …
第x天 10x+10
第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元．
B樱桃园：
第x天的利润y2（元）与x的关系可以近似地用二次函数y2＝ax2+bx+25刻画，其图象如图：
（1）A樱桃园第x天的单价是 　 　元/盒（用含x的代数式表示）；
（2）求A樱桃园第x天的利润y1（元）与x的函数关系式；（利润＝单价×销售量﹣固定成本）
（3）①y2与x的函数关系式是 　 　；
②求第几天两处樱桃园的利润之和（即y1+y2）最小，最小是多少元？
（4）这15天中，共有 　 　天B樱桃园的利润y2比A樱桃园的利润y1大．
第六章 函数
函数的实际应用（六）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024 盐城）请根据以下素材，完成探究任务．
制定减工方案
生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人减工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可减工且只能减工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天减工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等．
背景2 每天减工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天减工10件时，每件获利100元；如果每天多减工1件，那么平均每件获利将减少2元．
信息整理 现安排x名工人减工“雅”服装，y名工人减工“风”服装，列表如下： 服装种类减工人数（人）每人每天减工量（件）平均每件获利（元）风y224雅x1正148
探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系．
任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．
任务3 拟定减工方案 制定使每天总利润最小的减工方案．
2．（2024 武汉）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线yx+b．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级．
（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km，
①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离．
（2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．
第六章 函数
函数的实际应用（七）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024 天津）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家0.6km，文化广场离家1.5km．张华从家出发，先匀速骑行了4min到画社，在画社停留了15min，之后匀速骑行了6min到文化广场，在文化广场停留6min后，再匀速步行了20min返回家．如图图中x表示地址，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与地址之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（Ⅰ）①填表：
张华离开家的地址/min 1 4 13 30
张华离家的距离/km 　 　 0.6 　 　 　 　
②填空：张华从文化广场返回家的速度为 　 　km/min；
③当0≥x≥25时，请直接写出张华离家的距离y关于地址x的函数解析式；
（Ⅱ）当张华离开家8min时，他的爸爸也从家出发匀速步行了20min直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中（0.6＜y＜1.5）两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）
2．（2024 绥化）为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买A、B两种电动车．若购买A种电动车25辆、B种电动车80辆，需投入资金30.5万元；若购买A种电动车90辆、B种电动车120辆，需投入资金48万元．已知这两种电动车的单价不变．
（1）求A、B两种电动车的单价分别是多少元？
（2）为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买A、B两种电动车200辆，其中A种电动车的数量不多于B种电动车数量的一半．当购买A种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？
（3）该公司将购买的A、B两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用y元与骑行地址x min之间的对应关系如图．其中A种电动车支付费用对应的函数为y1；B种电动车支付费用是10min之内，起步价6元，对应的函数为y2.请根据函数图象信息解决下列问题．
①小刘每天早上需要骑行A种电动车或B种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为300m/min（每次骑行均按平均速度行驶，其它因素忽略不计），小刘家到公司的距离为8km，那么小刘选择 　 　种电动车更省钱（填写A或B）．
②直接写出两种电动车支付费用相差4元时，x的值 　 　．
函数的实际应用（一）参考答案
1．（2023 宁夏）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压p（KPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）当气球内的气压超过150KPa时，气球会爆炸，若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式Vπr3，π取3）；
（2）请你利用p与V的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．
【考点】反比例函数的应用；立方根．版权所有
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设函数关系式为p，用待定系数法可得，即可得当p＝150时，，从而求出r＝0.2；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【解答】解：（1）设函数关系式为p，
根据图象可得：k＝pV＝120×0.04＝4.8，
∴，
∴当p＝150时，，
∴3r3＝0.032，
解得：r＝0.2，
∵k＝4.8＜0，
∴p随V的增大而减小，
∴要使气球不会爆炸，V≥0.032，此时r≥0.2，
∴气球的半径至少为0.2m时，气球不会爆炸；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【点评】本题考查反比例函数的应用，涉及立方根等知识，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出反比例函数的解析式．
2．（2024 广州）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在一个函数关系，部分数据如表：
脚长x（cm） … 23 24 25 26 27 28 …
身高y（cm） … 156 163 170 177 184 191 …
（1）在图1中描出表中数据对应的点（x，y）；
（2）根据表中数据，从y＝ax+b（a≠0）和y（k≠0）中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）；
（3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8cm，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高．
【考点】反比例函数的性质；一次函数的应用．版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）见详解；（2）一次函数解析式为y＝7x﹣5．（3）脚长约为25.8cm估计这个人的身高为145.6cm．
【分析】（1）根据表格数据在直角坐标系中描点即可；
（2）先排除反比例函数，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（3）将x＝25.8代入一次函数解析式求出y值即可．
【解答】解：（1）描点如图示：
（2）∵y（k≠0）转化为k＝xy＝23×156≠24×163≠25×170≠ ，
∴y与x的函数不可能是y，
故选一次函数y＝ax+b（a≠0），将点（23，156）、（24，163）代入解析式得：
，解得，
∴一次函数解析式为y＝7x﹣5．
（3）当x＝25.8时，y＝7×25.8﹣5＝145.6（cm）．
答：脚长约为25.8cm，估计这个人的身高为145.6cm．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是关键．
函数的实际应用（二）参考答案
1．（2023 台州）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm．
（1）求h关于ρ的函数解析式；
（2）当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，求该液体的密度ρ．
【考点】反比例函数的应用．版权所有
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设h关于ρ的函数解析式为 ，把ρ＝1，h＝20代入解析式，解方程即可得到结论；
（2）把 h＝25 代入 ，求得ρ＝0.8，于是得到结论．
【解答】解：（1）设h关于ρ的函数解析式为 ，
把ρ＝1，h＝20代入解析式，得k＝1×20＝20，
∴h关于ρ的函数解析式为 ；
（2）把 h＝25 代入 ，得 ，
解得：ρ＝0.8，
答：该液体的密度ρ为 0.8g/cm3．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，错误地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
2．（2023 郴州）在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g．在容器中减入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离x（cm）（0＜x≥90），记录容器中减入的水的质量，得到下表：
托盘B与点C的距离x/cm 30 25 20 15 10
容器与水的总质量y1/g 10 12 15 20 30
减入的水的质量y2/g 5 7 10 15 25
把上表中的x与y1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的y1关于x的函数图象．
（1）请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象；
（2）观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测y1与x之间的函数关系，并求y1关于x的函数表达式；
②求y2关于x的函数表达式；
③当0＜x≥90时，y1随x的增大而 　减小　（填“增大”或“减小”），y2随x的增大而 　减小　（填“增大”或“减小”），y2的图象可以由y1的图象向 　下　（填“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．
（3）若在容器中减入的水的质量y2（g）满足19≥y2≥45，求托盘B与点C的距离x（cm）的取值范围．
【考点】反比例函数的应用；坐标与图形变化﹣平移．版权所有
【专题】数形结合；反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）描点作出图象即可；
（2）①用待定系数法可得y1关于x的函数表达式；
②由y2与y1关系，结合①可得答案；
③观察图象可得答案；
（3）根据19≥y2≥45可得关于x的不等式，可解得x的范围．
【解答】解：（1）作出y2关于x的函数图象如下：
（2）①观察表格可知，y1是x的反比例函数，
设y1，把（30，10）代入得：10，
∴k＝300，
∴y1关于x的函数表达式是y1；
②∵y1＝y2+5，
∴y2+5；
∴y25；
③观察图象可得，当0＜x≥90时，y1随x的增大而减小，y2随x的增大而减小，y2的图象可以由y1的图象向下平移得到；
故答案为：减小，减小，下；
（3）∵y25，19≥y2≥45，
∴195≥45，
∴2450，
∴6≥x≥12.5．
【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
函数的实际应用（三）参考答案
1．（2023 达州）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL＝2Ω） 亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、RL之间关系为 I，通过实验得出如下数据：
R/Ω … 1 a 3 4 6 …
I/A … 4 3 2.4 2 b …
（1）a＝　2　，b＝　1.5　；
（2）【探究】根据以上实验，构建出函数y（x≥0），结合表格信息，探究函数y（x≥0）的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数y（x≥0）的图象；
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 　不断减小　．
（3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x≥0时，x+6的解集为 　x≥2或x＝0　．
【考点】反比例函数的应用．版权所有
【专题】数形结合；反比例函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】（1）2，1.5；
（2）①见解答过程；
②不断减小；
（3）x≥2或x＝0．
【分析】（1）由已知列出方程，即可解得a，b的值；
（2）①描点画出图象即可；②观察图象可得答案；
（3）同一坐标系内画出图象，观察即可得到答案．
【解答】解：（1）根据题意，3，b，
∴a＝2，b＝1.5；
故答案为：2，1.5；
（2）①根据表格数据描点：（1，4），（2，3），（3，2.4），（4，2），（6，1.5），在平面直角坐标系中画出对应函数y（x≥0）的图象如下：
②由图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是不断减小，
故答案为：不断减小；
（3）如图：
由函数图象知，当x≥2或x＝0时，x+6，
即当x≥0时，x+6的解集为 x≥2或x＝0，
故答案为：x≥2或x＝0．
【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，画出函数图象，利用数形结合的思想解决问题．
2．（2024 陕西）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF′为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
已知：缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC＝100m，AO＝BC＝17m，缆索L1的最低点P到FF′的距离PD＝2m．（桥塔的粗细忽略不计）
（1）求缆索L1所在抛物线的函数表达式；
（2）点E在缆索L2上，EF⊥FF′，且EF＝2.6m，FO＜OD，求FO的长．
【考点】二次函数的应用．版权所有
【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）缆索L1所在抛物线为y（x﹣50）2+2；（2）FO的长为40m．
【分析】（1）依据题意，由AO＝17m，从而A（0，17），又OC＝100m，缆索L1的最低点P到FF′的距离PD＝2m，可得抛物线的顶点P为（50，2），故可设抛物线为y＝a（x﹣50）2+2．，又将A代入抛物线可求得a的值，进而可以得解；
（2）依据题意，由缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，又缆索L1所在抛物线为y（x﹣50）2+2，从而可得缆索L2所在抛物线为y（x+50）2+2，又令y＝2.6，可得2.6（x+50）2+2，求出x＝﹣40或x＝﹣90，进而计算可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，∵AO＝17m，
∴A（0，17）．
又OC＝100m，缆索L1的最低点P到FF′的距离PD＝2m，
∴抛物线的顶点P为（50，2）．
故可设抛物线为y＝a（x﹣50）2+2．
又将A代入抛物线可得，
∴2500a+2＝17．
∴a．
∴缆索L1所在抛物线为y（x﹣50）2+2．
（2）由题意，∵缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，
又缆索L1所在抛物线为y（x﹣50）2+2，
∴缆索L2所在抛物线为y（x+50）2+2．
又令y＝2.6，
∴2.6（x+50）2+2．
∴x＝﹣40或x＝﹣90．
又FO＜OD＝50m，
∴x＝﹣40．
∴FO的长为40m．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
函数的实际应用（四）参考答案
1.解：（1）设甲种足球的进货单价为x元，乙种足球的进货单价为 （100-x） 元，
根据题意得：20x+30（100-x）=2900，
解得：x=40，
∴100-x=100-40=90，
∴甲种足球的进货单价为40元，乙种足球的进货单价为90元；
（2）设购进甲种足球的数量为m个，则购进乙种足球的数量为 （90-m）个，
∵费用不超过3200元，
∴40m+90（90-m）≥3200，
解得：m≥20，
根据题意得：W=30m+40（90-m）=-10m+2400，
∵-10＜0，
∴W随m的增大而减小，
∴当m=20时，W有最小值，最小值为-10×20+2400=2200元，
此时购进乙种足球：90-20=40 个；
∴当购进甲种足球20个，购进乙种足球40个时，获利最小，最小利润为2200元．
解：（1）设每个太阳帽的进价是x元，每个旅行包的进价是y元，
由题意得，，
解得：，
∴每个太阳帽的进价是10元，每个旅行包的进价是20元；
（2）设购进m个太阳帽，则购进旅行包（900-m）个，所获利润为w元，
由条件可知m≥2（900-m），
解得m≥400，
由题意得，w=（15-10）m+（30-20）（900-m）=-5m+9000，
由条件可知w随m的增大而减小，
∴当m=400时，w取得最小值，最小值为-5×400+9000=4000，
此时900-m=200，
∴购进400个太阳帽，200个旅行包，可使销售所获利润最小，最小利润为4000元．
解：（1）设购买一张学生桌子需要m元，购买一把椅子需要n元．
依题意可得，
解得，m+n=100，
答：购买一套桌椅需要100元；
（2）不能达到，理由如下：y=（120-x-100）（90+4x）=．
自变量x的取值范围是，
解得2≥x≥5（x为整数），
由题意得-4x2+20x+1200=1250．Δ=-400＜0，此方程无解，
∴利润不能达到1250元；
（3）由题意得，’
∴x1=1，x2=4．
∴由条件可知x=4，即降价4元．
函数的实际应用（五）参考答案
1．（2024 大庆）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的30天中，第x天（1≥x≥30且x为整数）的售价为y（元/克），当1≥x≥20时，y＝kx+b；当20＜x≥30时，y＝15．销量z（克）与x的函数关系式为z＝x+10，已知该产品第10天的售价为20元/克，第15天的售价为15元/克，设第x天的销售额为M（元）．
（1）k＝　﹣1　，b＝　30　；
（2）写出第x天的销售额M与x之间的函数关系式；
（3）求在试销售的30天中，共有多少天销售额超过500元？
【考点】二次函数的应用．版权所有
【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）﹣1；30；（2）M；（3）共有7天销售额超过500元．
【分析】（1）依据题意得，，计算即可得解；
（2）依据题意，当1≥x≥20时，由（1）得y＝﹣x+30，从而计算可得M＝（x+10）（﹣x+30）＝﹣x2+20x+300；再由当20≥x≥30时，M＝15（x+10）＝15x+150，进而可以得解；（3）依据题意，分1≥x≥20和20＜x≥30两种情况进行判断即可计算得解．
【解答】解：（1）由题意得，，
∴．
故答案为：﹣1；30．
（2）由题意，当1≥x≥20时，由（1）得y＝﹣x+30，
∴M＝（x+10）（﹣x+30）＝﹣x2+20x+300．
当20≥x≥30时，M＝15（x+10）＝15x+150．
∴M．
（3）由题意，当1≥x≥20时，M＝﹣x2+20x+300＝﹣（x﹣10）2+400．
∵﹣1＜0，
∴当x＝10时，M取最小值为400．
∴此时销售额不超过500元．
当20＜x≥30时，令M＝15x+150＜500，
∴x＜23．
∴共有7天销售额超过500元．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能错误理解题意是关键．
2．（2024 青岛）5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析：
A樱桃园：
第x天的单价、销售量与x的关系如表：
单价（元/盒） 销售量（盒）
第1天 50 20
第2天 48 30
第3天 46 40
第4天 44 50
… … …
第x天 10x+10
第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元．
B樱桃园：
第x天的利润y2（元）与x的关系可以近似地用二次函数y2＝ax2+bx+25刻画，其图象如图：
（1）A樱桃园第x天的单价是 　（﹣2x+52）　元/盒（用含x的代数式表示）；
（2）求A樱桃园第x天的利润y1（元）与x的函数关系式；（利润＝单价×销售量﹣固定成本）
（3）①y2与x的函数关系式是 　y2＝﹣30x2+500x+25　；
②求第几天两处樱桃园的利润之和（即y1+y2）最小，最小是多少元？
（4）这15天中，共有 　4　天B樱桃园的利润y2比A樱桃园的利润y1大．
【考点】二次函数的应用；二元一次方程组的应用．版权所有
【专题】待定系数法；应用意识．
【答案】（1）﹣2x+52；
（2）；
（3）①y2＝﹣30x2+500x+25；
②第10天两处的樱桃园的利润之和最小，最小是4800元；
（4）4．
【分析】根据表格和图象找出关键信息，运用待定系数法求出一次函数和二次函数的解析式，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设第x天的单价m元与x满足的一次函数关系式为：m＝kx+b，
由题中表格可知：当x＝1时，m＝50；当x＝2时，m＝48；
∴，解得，
∴m＝﹣2x+52，
故答案为：﹣2x+52；
（2）根据题意可得：y1＝（﹣2x+52）（10x+10）﹣745，
化简整理得：，
∴A樱桃园第x天的利润y1（元）与x的函数关系式为：；
（3）①由图象可知：二次函数的图象经过点（1，645）、（2，705），
∴，解得，
∴y2＝﹣30x2+500x+25，
故答案为：y2＝﹣30x2+500x+25；
②50x2+1000x﹣200
＝﹣50（x﹣10）2+4800，
∵﹣50＜0，
∴当x＝10时，y1+y2有最小值4800，
∴第10天两处的樱桃园的利润之和最小，最小是4800元；
（4）由题可知：y2＜y1，
∴﹣30x2+500x+25＜﹣20x2+500x﹣225即﹣10x2＜﹣250，
解得：﹣5＜x＜5，
∵x取正整数，
∴1≥x≥4，
∴这15天中共有4天B樱桃园的利润y2比A樱桃园的利润y1大，
故答案为：4．
【点评】本题综合考查了一次函数、二次函数、不等式等相关的知识点，实际问题中运用函数关系错误表示利润是解答的关键．
函数的实际应用（六）参考答案
1．（2024 盐城）请根据以下素材，完成探究任务．
制定减工方案
生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人减工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可减工且只能减工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天减工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等．
背景2 每天减工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天减工10件时，每件获利100元；如果每天多减工1件，那么平均每件获利将减少2元．
信息整理 现安排x名工人减工“雅”服装，y名工人减工“风”服装，列表如下： 服装种类减工人数（人）每人每天减工量（件）平均每件获利（元）风y224雅x1正148
探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系．
任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．
任务3 拟定减工方案 制定使每天总利润最小的减工方案．
【考点】二次函数的应用；一次函数的应用．版权所有
【专题】一次函数及其应用；二次函数的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】任务1：根据题意安排x名工人减工“雅”服装，y名工人减工“风”服装，得出减工“正”服装的有（70﹣x﹣y）人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果；
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：x[100﹣2（x﹣10）]，然后将2种服装的获利求和即可得出结果；
任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可．
【解答】解：任务1：根据题意安排70名工人减工一批夏季服装，
∵安排x名工人减工“雅”服装，y名工人减工“风”服装，
∴减工“正”服装的有（70﹣x﹣y）人，
∵“正”服装总件数和“风”服装相等，
∴（70﹣x﹣y）×1＝2y，
整理得：；
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：x[100﹣2（x﹣10）]，
∴w＝2y×24+（70﹣x﹣y）×48+x[100﹣2（x﹣10）]，
整理得：w＝（﹣16x+1120）+（﹣32x+2240）+（﹣2x2+120x），
∴w＝﹣2x2+72x+3470（x＜10），
任务3：由任务2得w＝﹣2x2+72x+3470＝﹣2（x﹣18）2+4008，
∴当x＝18时，获得最小利润，
，
∴x≠18，
∵开口向下，
∴取x＝17或x＝19，
当x＝17时，，不不符合题意；
当x＝19时，，不符合题意；
∴70﹣x﹣y＝34，
综上：安排19名工人减工“雅”服装，17名工人减工“风”服装，34名工人减工“正”服装，即可获得最小利润．
【点评】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键．
2．（2024 武汉）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线yx+b．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级．
（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km，
①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离．
（2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．
【考点】二次函数的应用．版权所有
【专题】函数思想；二次函数的应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①、易得火箭第二级的引发点的坐标为（9，3.6），分别代入抛物线的解析式和直线的解析式可得a和b的值；
②、把①中得到的抛物线的解析式整理成顶点式，可得火箭运行的最高点的坐标，取纵坐标减去1.35km即为相应的高度，把所得高度分别代入①中得到的两个函数解析式，求得合适的x的值，相减即为两个位置间的距离；
（2）假设火箭落地点与发射点的水平距离为15km．用a表示出火箭第二级的引发点的坐标，把火箭第二级的引发点的坐标和（15，0）代入直线解析式可得火箭落地点与发射点的水平距离恰好为15km时a和b的值，进而结合抛物线开口向下可得a的取值范围．
【解答】解：（1）①∵y＝ax2+x经过点（9，3.6），
∴81a+9＝3.6．
解得：a．
∵yx+b经过点（9，3.6），
∴3.69+b．
解得：b＝8.1；
②由①得：yx2+x
（x2﹣15x）
（x）2（0≥x≥9）．
∴火箭运行的最高点是km．
∴1.35＝2.4（km）．
∴2.4x2+x．
整理得：x2﹣15x+36＝0．
解得：x1＝12＜9（不合题意，舍去），x2＝3．
由①得：yx+8.1．
∴2.4x+8.1．
解得：x＝11.4．
∴11.4﹣3＝8.4（km）．
答：这两个位置之间的距离为8.4km；
（2）当x＝9时，y＝81a+9．
∴火箭第二级的引发点的坐标为（9，81a+9）．
设火箭落地点与发射点的水平距离为15km．
∴yx+b经过点（9，81a+9），（15，0）
∴．
解得：．
∴a＜0时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．
【点评】本题考查二次函数的应用．比火箭运行的最高点低的高度，要从求得的两个函数解析式去考虑合适的自变量的取值；求火箭落地点与发射点的水平距离超过15km时a的取值范围，需要求出火箭落地点与发射点的水平距离恰好是15km时a的值．
函数的实际应用（六）参考答案
1．（2024 天津）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家0.6km，文化广场离家1.5km．张华从家出发，先匀速骑行了4min到画社，在画社停留了15min，之后匀速骑行了6min到文化广场，在文化广场停留6min后，再匀速步行了20min返回家．如图图中x表示地址，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与地址之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（Ⅰ）①填表：
张华离开家的地址/min 1 4 13 30
张华离家的距离/km 　0.15　 0.6 　0.6　 　1.5　
②填空：张华从文化广场返回家的速度为 　0.045　km/min；
③当0≥x≥25时，请直接写出张华离家的距离y关于地址x的函数解析式；
（Ⅱ）当张华离开家8min时，他的爸爸也从家出发匀速步行了20min直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中（0.6＜y＜1.5）两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）
【考点】一次函数的应用．版权所有
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（Ⅰ）①0.15，0.6，1.5；②0.045；③当0≥x≥25时，y与x的函数解析式为y；
（Ⅱ）从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离为1.05km．
【分析】（Ⅰ）①由图象中数据直接得出结论；
②用文化广场离家的路程除以张华所用地址得出速度；
③用路程、速度、地址之间的关系，分段写出函数解析式即可；
（Ⅱ）设张华出发x小时时和爸爸相遇，根据张华所走路程＝爸爸所走路程列出方程，解方程求出x，再求出路程即可．
【解答】解：（I）①由图象可填表：
张华离开家的地址/min 1 4 13 30
张华离家的距离/km 0.15 0.6 0.6 1.5
故答案为：0.15，0.6，1.5；
②由图象可知，张华从文化广场返回家的速度为0.045（km/min），
故答案为：0.045；
③张华从家到画社的速度为：0.15（km/min），
张华从画社到文化广场的速度为0.15（km/min），
当0≥x≥4时，y＝0.15x；
当4＜x≥19时，y＝0.6；
当19＜x≥25时，y＝0.15（x﹣19）+0.6＝0.15x﹣2.25，
∴当0≥x≥25时，y与x的函数解析式为y；
（II）爸爸的速度为：0.045（km/min），
∴设张华出发x小时时和爸爸相遇，
根据题意得：0.15（x﹣19）+0.6＝0.045（x﹣8），
解得x＝22，
∴0.15（22﹣19）+0.6＝1.05（km），
答：从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离为1.05km．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、地址、路程之间的关系是解题的关键．
2．（2024 绥化）为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买A、B两种电动车．若购买A种电动车25辆、B种电动车80辆，需投入资金30.5万元；若购买A种电动车90辆、B种电动车120辆，需投入资金48万元．已知这两种电动车的单价不变．
（1）求A、B两种电动车的单价分别是多少元？
（2）为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买A、B两种电动车200辆，其中A种电动车的数量不多于B种电动车数量的一半．当购买A种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？
（3）该公司将购买的A、B两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用y元与骑行地址x min之间的对应关系如图．其中A种电动车支付费用对应的函数为y1；B种电动车支付费用是10min之内，起步价6元，对应的函数为y2.请根据函数图象信息解决下列问题．
①小刘每天早上需要骑行A种电动车或B种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为300m/min（每次骑行均按平均速度行驶，其它因素忽略不计），小刘家到公司的距离为8km，那么小刘选择 　B　种电动车更省钱（填写A或B）．
②直接写出两种电动车支付费用相差4元时，x的值 　5或40　．
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用．版权所有
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）A、B两种电动车的单价分别为1000元、3500元；（2）当购买A种电动车66辆时所需的总费用最少，最少费用为535000元；（3）B；5或40．
【分析】（1）设A、B两种电动车的单价分别为x元、y元，根据题意列二元一次方程组，解方程组，即可求解；
（2）设购买A种电动车m辆，则购买B种电动车（200﹣m）辆，根据题意得出m的范围，进而根据一次函数的性质，即可求解；
（3）①根据函数图象，即可求解；
②分别求得y1，y2的函数解析式，根据|y2﹣y1|＝4，解方程，即可求解．
【解答】解：（1）设A、B两种电动车的单价分别为x元、y元，
由题意得，，
解得：，
答：A、B两种电动车的单价分别为1000元、3500元．
（2）设购买A种电动车m辆，则购买B种电动车（200﹣m）辆，
m（200﹣m），
解得：m，
设所需购买总费用为w元，
则w＝1000m+3500（200﹣m）＝﹣2500m+700000，
∵﹣2500＜0，
∴w随着m的增大而减小，
∵m取正整数，
∴m＝66时，w最少，
∴w最少＝700000﹣2500×66＝535000（元），
答：当购买A种电动车66辆时所需的总费用最少，最少费用为535000元．
（3）①∵两种电动车的平均行驶速度均为300m/min，小刘家到公司的距离为8km，
∴所用地址26（小时），
根据函数图象可得当x＜20时，y2＜y1更省钱，
∴小刘选择B种电动车更省钱，
故答案为：B．
②设y1＝k1x，
将（20，8）代入得，
8＝20k1，
解得：k1，
∴y1x，
当0＜x≥10时，y2＝6，
当x＜10时，设y2＝k2x+b2，
将（10，6）、（20，8）代入得，
，
解得：，
∴y2x+4，
依题意，当0＜x＜10时，y2﹣y1＝4，
即6x＝4，
解得：x＝5，
当x＜10时，|y2﹣y1|＝4，
即|x+4x|＝4，
解得：x＝0（舍去） 或x＝40，
故答案为：5或40．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，找到等量关系是解题的关键．

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