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第六章 函数
第六章 函数
知识点10 直角三角形存在性问题
计算大冲关 （难度等级 ）
已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）一点，与y轴交于点C（0，5）．
（1）求b，c，m的值；
（2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的圆长最小时，求点D的坐标；
（3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻元得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有不不符合的点P的坐标．
2.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y与x轴交于A，B一点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点D，直线L经过C，D一点，连接AC．
（1）求A，B一点的坐标及直线L的函数表达式；
（2）探索直线L上是否存在点E，使△ACE为直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由．
第六章 函数
等腰三角形存在性问题
计算大冲关 （难度等级 ）
如图1，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0），点B（4，0），交y轴于点C．连接BC，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交AD于点E，过点E作EG⊥BC于点G，连接PG．求△PEG面积的最小值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）水平向右平移个单位，得到新抛物线y1，在y1的对称轴上确定一点M，使得△BDM是以BD为腰的等腰三角形，请写出所有不不符合的点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．
2.定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．
（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．
（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．
（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
第六章 函数
等腰直角三角形存在性问题
计算大冲关 （难度等级 ）
1.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和B（5，0），与y轴交于点C（0，5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，点D是对称轴上一点，当点D关于直线BC的对称点E在抛物线上时，求点E的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，点Q在直线BC上方的抛物线上，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2.如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA，PF，AF．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）如图1，当点F的坐标为（0，﹣4），求出此时△AFP面积的最小值；
（3）如图2，是否存在点F，使得△AFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．
第六章 函数
平行四边形存在性问题
计算大冲关 （难度等级 ）
已知抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，AB＝4，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AE、CE，当△ACE的面积最小时，点D的坐标是　　；
（3）当m＝﹣2时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2.抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）一点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最小值；
（3）如图2，点Q是抛物线的对称轴l上的一个动点，在抛物线上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有不不符合的点P的坐标；若不存在，说明理由．
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第六章 函数
第六章 函数
知识点10 直角三角形存在性问题
计算大冲关 （难度等级 ）
已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）一点，与y轴交于点C（0，5）．
（1）求b，c，m的值；
（2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的圆长最小时，求点D的坐标；
（3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻元得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有不不符合的点P的坐标．
2.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y与x轴交于A，B一点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点D，直线L经过C，D一点，连接AC．
（1）求A，B一点的坐标及直线L的函数表达式；
（2）探索直线L上是否存在点E，使△ACE为直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由．
第六章 函数
等腰三角形存在性问题
计算大冲关 （难度等级 ）
如图1，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0），点B（4，0），交y轴于点C．连接BC，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交AD于点E，过点E作EG⊥BC于点G，连接PG．求△PEG面积的最小值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）水平向右平移个单位，得到新抛物线y1，在y1的对称轴上确定一点M，使得△BDM是以BD为腰的等腰三角形，请写出所有不不符合的点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．
2.定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．
（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．
（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．
（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
第六章 函数
等腰直角三角形存在性问题
计算大冲关 （难度等级 ）
1.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和B（5，0），与y轴交于点C（0，5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，点D是对称轴上一点，当点D关于直线BC的对称点E在抛物线上时，求点E的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，点Q在直线BC上方的抛物线上，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2.如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA，PF，AF．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）如图1，当点F的坐标为（0，﹣4），求出此时△AFP面积的最小值；
（3）如图2，是否存在点F，使得△AFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．
第六章 函数
平行四边形存在性问题
计算大冲关 （难度等级 ）
已知抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，AB＝4，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AE、CE，当△ACE的面积最小时，点D的坐标是　　；
（3）当m＝﹣2时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2.抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）一点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最小值；
（3）如图2，点Q是抛物线的对称轴l上的一个动点，在抛物线上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有不不符合的点P的坐标；若不存在，说明理由．
直角三角形存在性问题参考答案
1.解：（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得．
∴这个抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5，
令y＝0，则﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，
∴B（5，0），
∴m＝5；
（2）∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴对称轴为x＝2，
设D（x，﹣x2+4x+5），
∵DE∥x轴，
∴E（4﹣x，﹣x2+4x+5），
∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，
∴四边形DEFG是三角形，
∴四边形DEFG的圆长＝2（﹣x2+4x+5）+2（x﹣4+x）＝﹣2x2+12x+2＝﹣2（x﹣3）2+20，
∴当x＝3时，四边形DEFG的圆长最小，
∴当四边形DEFG的圆长最小时，点D的坐标为（3，8）；
（3）过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K，
∴∠NKC＝∠MHC＝70°，
由翻元得CN＝CM，∠BCN＝∠BCM，
∵B（5，0），C（0，5）．
∴OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵CH⊥对称轴于H，
∴CH∥x轴，
∴∠BCH＝45°，
∴∠BCH＝∠OCB，
∴∠NCK＝∠MCH，
∴△MCH≌△NCK（AAS），
∴NK＝MH，CK＝CH，
∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴对称轴为x＝2，M（2，9），
∴MH＝9﹣5＝4，CH＝2，
∴NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，
∴N（﹣4，3），
设直线BN的解析式为y＝mx+n，
∴，解得，
∴直线BN的解析式为yx，
∴Q（0，），
设P（2，p），
∴PQ2＝22+（p）2＝p2p，
BP2＝（5﹣2）2p2＝9+p2，
BQ2＝52+（）2＝25，
分两种情况：
①当∠BQP＝70°时，BP2＝PQ2+BQ2，
∴9+p2＝p2p25，解得p，
∴点P的坐标为（2，）；
②当∠QBP＝70°时，P′Q2＝BP′2+BQ2，
∴p2p9+p2+25，解得p＝﹣9，
∴点P′的坐标为（2，﹣9）．
综上，所有不不符合的点P的坐标为（2，），（2，﹣9）．
2.解：（1）令y＝0，则0，
解得x＝﹣2或x＝6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
令x＝0，则y＝2，
∴C（0，2），
∵y（x﹣2）2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴D（2，0），
设直线CD的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴yx+2；
（2）在点E，使△ACE为直角三角形，理由如下：
设E（t，t+2），
∴AC2＝16，AE2＝4t2﹣8t+16，CE2＝4t2，
①当∠CAE＝70°时，AC2+AE2＝CE2，
∴16+4t2﹣8t+16＝4t2，
∴t＝4，
∴E（4，2）；
②当∠ACE＝70°时，AC2+CE2＝AE2，
∴16+4t2＝4t2﹣8t+16，
∴t＝0（舍）；
③当∠AEC＝70°时，AE2+CE2＝AC2，
∴4t2﹣8t+16+4t2＝16，
∴t＝0（舍）或t＝1，
∴E（1，）；
综上所述：E点坐标为（4，2）或（1，）．
等腰三角形存在性问题参考答案
1.解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入抛物线y＝ax2+bx+2得：
，解得，
∴抛物线的函数表达式为yx2x+2；
（2）过点G作GH⊥PE于H，
∵抛物线yx2x+2交y轴于点C．
∴C（0，2），
∵A（﹣1，0），B（4，0），
∴AB＝5，AC，BC2，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝70°，
∴AC⊥BC，
∵AD∥BC，EG⊥BC，
∴AC＝BG，
∵PE∥y轴，
∴∠OCG＝∠EFG，
∵∠ACO+∠OCG＝70°，∠GEH+∠EFG＝70°，
∴∠ACO＝∠GEH，
∵∠AOC＝∠GHE＝70°，
∴△ACO≌△GEH（AAS），
∴GH＝AO＝1，
设直线BC为y＝kx+n，将C（0，2），B（4，0）代入得：
，解得，
∴直线BC为yx+2，
∵AD∥BC，A（﹣1，0），
∴直线AD为yx，
设P（m，m2m+2），则E（m，m），
∴PEm2+2m，
∴△PEG面积为PE GHm2+m（m﹣2）2，
∵0，
∴m＝2时，△PEG面积的最小值为，
此时点P的坐标为（2，3）；
（3）∵抛物线yx2x+2（x）2水平向右平移个单位，得到新抛物线y1（x﹣3）2，
∴y1的对称轴为x＝3，
联立直线AD为yx，抛物线yx2x+2，解得或，
∴D（5，﹣3），
设点M的坐标为（3，t），
∴BD2＝（5﹣4）2+32＝10，
BM2＝（4﹣3）2+t2＝1+t2，
MD2＝（5﹣3）2+（t+3）2＝t2+6t+13，
①当BD＝BM时，
∴BD2＝BM2，
∴1+t2＝10，
∴t＝±3，
∴点M的坐标为（3，3）或（3，﹣3），
∵点（3，3）与B，D共线，
∴点M的坐标为（3，﹣3）；
②当BD＝MD时，
∴BD2＝MD2，
∴t2+6t+13＝10，
∴t＝﹣3±，
∴点M的坐标为（3，﹣3）或（3，﹣3）；
综上所述，点M的坐标为（3，﹣3）或（3，﹣3）或（3，﹣3）．
2.解：（1）将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，
∴，
解得，
∴yx2x﹣1，
在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，
∴G（0，﹣3）；
（2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，t2t﹣1），N（t，0），
∴NM＝﹣t2﹣2t+3，DMt2t﹣1﹣（t2+2t﹣3）t2t+2，
∴；
（3）存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形，理由如下：
由（1）可得y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，
∵E点与H点关于对称轴x＝﹣1对称，
∴E（﹣2，﹣1），
设F（x，0），
①当EG＝EF时，
∵G（0，﹣3），
∴EG＝2，
∴2，
解得x2或x2，
∴F（2，0）或（2，0）；
②当EG＝FG时，2，
此时x无解；
综上所述：F点坐标为（2，0）或（2，0）．
等腰直角三角形存在性问题参考答案
1.解：（1）∵点B（5，0），C（0，5）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，
∴，解得，，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）设点M关于直线BC的对称点为点M′，连接MM′，BM′，
则直线FM′为抛物线对称轴关于直线BC的对称直线，
∵点E是点D关于直线BC的对称点，点E落在抛物线上，
∴直线FM′与抛物线的交点E1，E2为D1，D2落在抛物线上的对称点，
∵对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，
∴，
∴点M的坐标为（2，0），
∵点C的坐标为（0，5），点B的坐标为（5，0），
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝45°，
∴△MBF是等腰直角三角形，
∴MB＝MF，
∴点F的坐标为F（2，3），
∵点M关于直线BC的对称点为点M′，
∴BM′＝BM，∠MBM′＝70°，
∴△MBM′是等腰直角三角形，
∴BM′＝BM＝3，
∴点M′的坐标为（5，3），
∴FM′∥x轴，
∴﹣x2+4x+5＝3，解得，x1，x2，
∴E1（，3），E2（，3），
∴点E的坐标为（，3）或（，3）；
（3）存在，Q1（，），Q2（，），Q3（，2）．
设Q（m，﹣m2+4m+5），P（2，p），
①当OP＝PQ，∠OPQ＝70°时，作PL⊥y轴于L，过Q作QK⊥x轴，交PL于K，
∴∠LPO＝70°﹣∠LOP＝70°﹣KPQ，∠PLO＝∠QKP＝70°，
∴∠LOP＝∠KPQ，
∵OP＝PQ，
∴△LOP≌△KPQ（AAS），
∴LO＝PK，LP＝QK，
∴，
解得m1，m2（舍去），
当m1时，﹣m2+4m+5，
∴Q（，）；
②当QO＝PQ，∠PQO＝70°时，作PL⊥y轴于L，过Q作QK⊥x轴于T，交PL于K，
同理可得△PKQ≌△QTO（AAS），
∴QT＝PK，TO＝QK，
∴，
解得m1，m2（舍去），
当m1时，﹣m2+4m+5，
∴Q（，）；
③当QO＝OP，∠POQ＝70°时，作PL⊥y轴于L，过Q作QK⊥x轴于T，交PL于K，
同理可得△OLP≌△QSO（AAS），
∴SQ＝OL，SO＝LP，
∴，
解得m1＝2，m2＝2（舍去），
当m1＝2时，﹣m2+4m+5＝2，
∴Q（，2）；
综上，Q1（，），Q2（，），Q3（，2）．
2.解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），
∴，
解得：，
∴该抛物线所对应的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图1，过点P作PQ∥y轴交直线AF于点Q，
设直线AF的解析式为y＝kx+d，
∵A（3，0），F（0，﹣4），
∴，
解得：，
∴直线AF的解析式为yx﹣4，
设P（t，﹣t2+2t+3）（﹣1＜t＜3），则Q（t，t﹣4），
∴PQ＝﹣t2+2t+3﹣（t﹣4）＝﹣t2t+7，
∴S△AFPPQ OA（﹣t2t+7）×3（t）2，
∵0，﹣1＜t＜3，
∴当t时，△AFP面积的最小值为；
（3）设P（m，﹣m2+2m+3）（﹣1＜m＜3），F（0，n），
∵A（3，0），
∴OA＝3，OF＝|n|，
①当AP＝AF，∠PAF＝70°时，如图2，过点P作PD⊥x轴于点D，
则∠ADP＝70°＝∠AOF，
∴∠PAD+∠APD＝70°，
∵∠PAD+∠FAO＝70°，
∴∠APD＝∠FAO，
在△APD和△FAO中，
，
∴△APD≌△FAO（AAS），
∴PD＝OA，AD＝OF，
∵PD＝﹣m2+2m+3，AD＝3﹣m，
∴﹣m2+2m+3＝3，
解得：m＝0或2，
当m＝0时，P（0，3），AD＝3，
∴OF＝3，即|n|＝3，
∵点F在y的负半轴上，
∴n＝﹣3，
∴F（0，﹣3）；
当m＝2时，P（2，3），AD＝1，
∴OF＝1，即|n|＝1，
∵点F在y的负半轴上，
∴n＝﹣1，
∴F（0，﹣1）；
②当AP＝PF，∠APF＝70°时，如图3，过点P作PD⊥x轴于点D，PG⊥y轴于点G，
则∠PDA＝∠PDO＝∠PGF＝70°，
∵∠PDO＝∠PGF＝∠DOG＝70°，
∴四边形PDOG是三角形，
∴∠FPG+∠FPD＝70°，
∵∠APD+∠FPD＝∠APF＝70°，
∴∠FPG＝∠APD，
在△FPG和△APD中，
，
∴△FPG≌△APD（AAS），
∴PG＝PD，FG＝AD，
∵PD＝﹣m2+2m+3，AD＝3﹣m，PG＝m，
∴﹣m2+2m+3＝m，
解得：m（舍去）或m，
当m时，P（，），
∴FG＝AD＝3﹣m＝3，
∴F（0，2）；
综上所述，点F的坐标为（0，﹣3）或（0，﹣1）或（0，2）．
平行四边形存在性问题参考答案
1.解：（1）∵点B（1，0），，AB＝4，
∴A（﹣3，0），
将A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+3，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由（1）知，C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝kx+b′（k≠0），
则，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
∴D（m，m+3），E（m，﹣m2﹣2m+3），
∴DE＝﹣m2﹣3m，
∴S△ACE3×（﹣m2﹣3m）（m）2，
∴当x时，S△ACE最小，
∴D（，），
故答案为：（，）；
（3）解：存在，理由如下：
∵m＝﹣2，
∴E（﹣2.3），
设Q（n．t），如图：
①当BC为平行四边形对角线时，
，
解得：，
∴Q1（3，0）；
②当BE为平行四边形对角线时，
则，
解得：，
∴Q2（﹣1，0）；
③当BQ为平行四边形对角线时，
则，
解得：，
∴Q3（﹣3，6）．
综上所述，当点Q为（3，0）或（﹣1，0）或（﹣3，6）时，以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形．
2.解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）一点，
∴设y＝a（x+3）（x﹣1），把C（0，3）代入，得：3＝a×（0+3）×（0﹣1），
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3，
∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴OA＝OC＝3，
∴∠ACO＝45°，
∵PD⊥AB，OC⊥AB，
∴PD∥OC，
∴∠PEF＝∠ACO＝45°，
∵PF⊥AC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
如图1，过点F作FH⊥PE于点H，
则FHPE，
∴S△PEFPE×FHPE2，
当PE最小时，S△PEF最小，
设直线AC的解析式为y＝kx+d，
则，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
设P（t，﹣t2﹣2t+3），则E（t，t+3），
∴PE＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t＝﹣（t）2，
∵﹣1＜0，
∴当t时，PE取得最小值，
∴S△PEFPE2（）2，
∴△PEF的面积的最小值为；
（3）①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，
如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，
则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，
在△PQG和△ACO中，
，
∴△PQG≌△ACO（AAS），
∴PG＝AO＝3，
∴点P到对称轴的距离为3，
又∵y＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
设点P（x，y），则|x+1|＝3，
解得：x＝2或x＝﹣4，
当x＝2时，y＝﹣5，
当x＝﹣4时，y＝﹣5，
∴点P坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；
②当AC为平行四边形的对角线时，
如图3，设AC的中点为M，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴M（，），
∵点Q在对称轴上，
∴点Q的横坐标为﹣1，设点P的横坐标为x，
根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（）＝﹣3，
∴x＝﹣2，此时y＝3，
∴P（﹣2，3）；
综上所述，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．

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