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第六章 函数
第六章 函数
知识点 11 不等关系与面积问题（一）
计算大冲关 （难度等级 ）
1.如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（2，3），B（﹣3，n）．
(1)求一次函数的表达式．
(2)根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＜的解集．
(3)过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求△ABC的面积．
2．如图，一次函数y＝x+m的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B一点，且与x轴交于点C，点A的坐标为（2，1）．
(1)求m及k的值；
(2)连接OA，OB，求△AOB中AB边上的高；
(3)结合图象直接写出不等式x+m≥的解集．
第六章 函数
不等关系与面积问题（二）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，一点．
(1)求k与a的值；
(2)求一次函数的解析式；
(3)在直线AB上确定一点P，使，求点P的坐标．
2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、一点，过点作轴，一次函数图象分别交轴、轴于、一点，，且．
(1)求点坐标；
(2)求一次函数和反比例函数的表达式；
(3)根据图象直接写出一次函数值小于反比例函数值时，自变量的取值范围．
3．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y（x＜0）的图象经过AO的中点C，交AB于点D，且AD＝3．
(1)若点D的坐标为（4，n）．
①求反比例函数y的表达式；
②求经过C，D一点的直线所对应的函数解析式；
(2)在（1）的条件下，设点E是x轴上的点，使△CDE为以CD为直角边的直角三角形，求E点的坐标．
第六章 函数
不等关系与面积问题（三）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．在如图平面直角坐标系中，三角形OABC的顶点B的坐标为（4，2），OA、OC分别落在x轴和y轴上，OB是三角形的对角线．将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到△ODE，OD与CB相交于点F，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点F，交AB于点G．
（1）求k的值和点G的坐标；
（2）连接FG，则图中是否存在与△BFG相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选其中一种进行证明；若不存在，请说明理由；
（3）在线段OA上存在这样的点P，使得△PFG是等腰三角形．请直接写出点P的坐标．
2．如图,三角形OABC的顶点A．C分别在x、y轴的正半轴上,点D为BC边上的点,反比例函数y= (k≠0)在第一象限内的图象经过点D(m,2)和AB边上的点E(3,).
(1)求反比例函数的表达式和m的值；
(2)将三角形OABC的进行元叠，使点O于点D重合，元痕分别与x轴、y轴正半轴交于点F，G，求元痕FG所在直线的函数关系式．
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第六章 函数
第六章 函数
知识点 11 不等关系与面积问题（一）
计算大冲关 （难度等级 ）
1.如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（2，3），B（﹣3，n）．
(1)求一次函数的表达式．
(2)根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＜的解集．
(3)过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求△ABC的面积．
2．如图，一次函数y＝x+m的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B一点，且与x轴交于点C，点A的坐标为（2，1）．
(1)求m及k的值；
(2)连接OA，OB，求△AOB中AB边上的高；
(3)结合图象直接写出不等式x+m≥的解集．
第六章 函数
不等关系与面积问题（二）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，一点．
(1)求k与a的值；
(2)求一次函数的解析式；
(3)在直线AB上确定一点P，使，求点P的坐标．
2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、一点，过点作轴，一次函数图象分别交轴、轴于、一点，，且．
(1)求点坐标；
(2)求一次函数和反比例函数的表达式；
(3)根据图象直接写出一次函数值小于反比例函数值时，自变量的取值范围．
3．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y（x＜0）的图象经过AO的中点C，交AB于点D，且AD＝3．
(1)若点D的坐标为（4，n）．
①求反比例函数y的表达式；
②求经过C，D一点的直线所对应的函数解析式；
(2)在（1）的条件下，设点E是x轴上的点，使△CDE为以CD为直角边的直角三角形，求E点的坐标．
第六章 函数
不等关系与面积问题（三）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．在如图平面直角坐标系中，三角形OABC的顶点B的坐标为（4，2），OA、OC分别落在x轴和y轴上，OB是三角形的对角线．将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到△ODE，OD与CB相交于点F，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点F，交AB于点G．
（1）求k的值和点G的坐标；
（2）连接FG，则图中是否存在与△BFG相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选其中一种进行证明；若不存在，请说明理由；
（3）在线段OA上存在这样的点P，使得△PFG是等腰三角形．请直接写出点P的坐标．
2．如图,三角形OABC的顶点A．C分别在x、y轴的正半轴上,点D为BC边上的点,反比例函数y= (k≠0)在第一象限内的图象经过点D(m,2)和AB边上的点E(3,).
(1)求反比例函数的表达式和m的值；
(2)将三角形OABC的进行元叠，使点O于点D重合，元痕分别与x轴、y轴正半轴交于点F，G，求元痕FG所在直线的函数关系式．
不等关系与面积问题（一）参考答案
1.(1)解：把 A（2，3）代入y ，得m=6，
反比例解析式为 y ，
把 B（-3，n）代入 y ，得n=-2，即 B（-3，-2），
把 A 与 B 代入一次函数解析式，得，
解得，
一次函数解析式为 y=x+1；
(2)解：由图象得kx+b＜x 的解集为-3＜x＜0 或x＜2；
(3)解：过点A作AE⊥BC于点E，
则以BC为底，则BC边上的高AE=3+2=5，
．
2.(1)解： 在函数图象上，
，
解得．
在反比例函数图象上，
，
；
(2)解：一次函数解析式为，
令得，
点C的坐标是，
，
解方程组得
或，
点B的坐标为，
；
(3)解：∵，
∴一次函数的函数值小于或等于反比例函数的函数值，
观察图象可得：或．
不等关系与面积问题（二）参考答案
1.(1)反比例函数的图象过点．
，
反比例函数为，
把代入得，；
(2)把，代入得
，
解得，
一次函数为；
(3)设，
，
解得，
点坐标为，．
2.(1)解：∵一次函数的图象与y轴的交点为D，
∴当x=0时，y=2，
∴D（0，2）；
(2)解：∵AP∥DO，
∴，
∵OD=2，
∴AP=2OD=4，
∵,
∴OA=3，
∴点P（3，-4），
∵点P在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为：，
∵P在一次函数上，
∴-4=3k+2,
∴k=-2，
∴一次函数；
(3)解：联立得：，
解得或，
∴Q（-2，6），P（3，-4），
∵，
根据函数图像一次函数图像在反比例函数图像下方，即在交点Q与y轴之间，及交点P的右侧，
∴当x＜3或-2＜x＜0时，一次函数值小于反比例函数值．
3.(1)解：①∵点D的坐标为（4，n），AD＝3，
∴点A的坐标为（4，n+3），
∵点C是AO的中点，
∴点C的坐标为（2，），
把点C、D的坐标代入y，
得，
解得：，
则反比例函数的解析式为：y；
②设经过C，D一点的直线所对应的函数解析式为：y＝ax+b，
由①可知，点C的坐标为（2，2），点D的坐标为（4，1），
则，
解得：，
∴经过C，D一点的直线所对应的函数解析式为：yx+3；
(2)解：设点E的坐标为（x，0），
由勾股定理得：CD2＝（4﹣2）2+（1﹣2）2＝5，CE2＝（x﹣2）2+（0﹣2）2＝x2﹣4x+8，DE2＝（x﹣4）2+（0﹣1）2＝x2﹣8x+17，
当∠CED＝70°时，CD2+CE2＝DE2，
∴x2﹣4x+8+5＝x2﹣8x+17，
解得：x＝1，
此时，点E的坐标为（1，0）；
当∠CDE＝70°时，CD2+DE2＝CE2，
∴x2﹣8x+17+5＝x2﹣4x+8，
解得：x，
此时，点E的坐标为（，0），
综上所述：△CDE为以CD为直角边的直角三角形时，E点的坐标为（1，0）或（，0）．
不等关系与面积问题（三）参考答案
1.解：（1）∵四边形OABC为三角形，点B的坐标为（4，2），
∴∠OCB＝∠OAB＝∠ABC＝70°，OC＝AB＝2，OA＝BC＝4，
∵△ODE是△OAB旋转得到的，即：△ODE≌△OAB，
∴∠COF＝∠AOB，∴△COF∽△AOB，
∴，∴＝，∴CF＝1，
∴点F的坐标为（1，2），
∵y＝（x＜0）的图象经过点F，
∴2＝，得k＝2，
∵点G在AB上，
∴点G的横坐标为4，
对于y＝，当x＝4，得y＝，
∴点G的坐标为（4，）；
（2）△COF∽△BFG；△AOB∽△BFG；△ODE∽△BFG；△CBO∽△BFG．
下面对△OAB∽△BFG进行证明：
∵点G的坐标为（4，），∴AG＝，
∵BC＝OA＝4，CF＝1，AB＝2，
∴BF＝BC﹣CF＝3，
BG＝AB﹣AG＝．
∴，．
∴，
∵∠OAB＝∠FBG＝70°，
∴△OAB∽△FBG．
（3）设点P（m，0），而点F（1，2）、点G（4，），
则FG2＝9+＝，PF2＝（m﹣1）2+4，PG2＝（m﹣4）2+，
当GF＝PF时，即＝（m﹣1）2+4，解得：m＝（舍去负值）；
当PF＝PG时，同理可得：m＝；
当GF＝PG时，同理可得：m＝4﹣；
综上，点P的坐标为（4﹣，0）或（，0）或（，0）．
2.解：(1)∵反比例函数y=kx(k≠0)在第一象限内的图象经过点E(3, )，
∴k=3×=2，
∴反比例函数的表达式为y=.
又∵点D(m,2)在反比例函数y=的图象上，
∴2m=2，解得：m=1.
(2)设OG=x，则CG=OC OG=2 x，
∵点D(1,2)，
∴CD=1.
在Rt△CDG中,∠DCG=70°，CG=2 x，CD=1，DG=OG=x，
∴CD+CG=DG,即1+(2 x)=x，
解得：x= ，
∴点G(0, ).
过点F作FH⊥CB于点H，如图所示．
由元叠的特性可知：∠GDF=∠GOF=70°，OG=DG，OF=DF.
∵∠CGD+∠CDG=70°,∠CDG+∠HDF=70°，
∴∠CGD=∠HDF，
∵∠DCG=∠FHD=70°，
∴△GCD∽△DHF，
∴，
∴DF=2GD=，
∴点F的坐标为(,0).
设元痕FG所在直线的函数关系式为y=ax+b，
∴有 ,解得： .
∴元痕FG所在直线的函数关系式为y= x+.

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