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第六章 函数
第六章 函数
知识点8 相似三角形存在性问题（一）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024秋 湛江校级期末）如图所示，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B一点，与x轴的另一个交点为点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E（m，0）是x轴正半轴上一动点，过点E作ED⊥x轴于点E，交直线AB于点D，交抛物线于点P，连结PB，BC．
①当点E在线段OA上时，若△PBD与△ABC相似，求点E的坐标；
②若∠PBD+∠CBO＝45°，求出m的值．
2．（2025 西安校级三模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A和B（﹣3，0）一点，与y轴交于C（0，﹣3），直线y＝x+m经过点B，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．
（1）求抛物线的解析式和m的值；
（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△BOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
第六章 函数
相似三角形存在性问题（二）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2025 清城区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2x+c与x轴交于一点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点D是抛物线对称轴上一点，对称轴与x轴交于点E，与直线BC交于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BD，当以点B，D，E为顶点的三角形与△OAC相似时，求点D的坐标．
2．（2025 广东模拟）如图，顶点为D的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B一点，与y轴交于点C，直线BC的表达式为y＝﹣x+3．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P满足到A，B，C，D四点距离之和最小，求点P的坐标．
（3）在坐标轴上是否存在一点Q，使得以点Q，A，C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
第六章 函数
相似三角形存在性问题（三）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2025 泗洪县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）一点，与y轴交于点C．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求线段PE的最小值；
（3）是否存在以点C、E、P为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2024秋 蓬莱区期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B一点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已点B的坐标是（3，0），．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PQ∥x轴交直线BC于点Q，求的最小值及此时P点的坐标；
（3）点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与△ABC相似，求出不不符合的点D的坐标．
第六章 函数
相似三角形存在性问题（四）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2025 榆林开学）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点C，过点C的抛物线的对称轴为l，l与直线AC交于点B．
（1）求点B的坐标；
（2）已知x轴上的动点Q，连接BQ，若△ABQ与△AOC相似，求点Q的坐标．
2．（2024秋 曲阜市期末）.如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（3，0）一点，与y轴交于C（0，﹣2），连接BC，在直线BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线交二次函数的图象于点N，交x轴于点M，
（1）求抛物线与直线BC的函数解析式；
（2）设点M的坐标为（m，0），求当以PN为直径的圆与y轴相切时m的值；
（3）若点P在线段BC上运动，则是否存在这样的点P，使得△CPN与△BPM相似，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请写出理由．
第六章 函数
相似三角形存在性问题（五）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024 内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点和点A（4，0）．经过点A的直线与该二次函数图象交于点B（1，3），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．
①m为何值时线段PD的长度最小，并求出最小值；
②是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2024 内江）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B一点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交AB于点E．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），过点F作x轴的垂线交AB于点G，连接DF，当四边形EGFD为菱形时，求点D的横坐标．
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第六章 函数
第六章 函数
知识点8 相似三角形存在性问题（一）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024秋 湛江校级期末）如图所示，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B一点，与x轴的另一个交点为点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E（m，0）是x轴正半轴上一动点，过点E作ED⊥x轴于点E，交直线AB于点D，交抛物线于点P，连结PB，BC．
①当点E在线段OA上时，若△PBD与△ABC相似，求点E的坐标；
②若∠PBD+∠CBO＝45°，求出m的值．
2．（2025 西安校级三模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A和B（﹣3，0）一点，与y轴交于C（0，﹣3），直线y＝x+m经过点B，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．
（1）求抛物线的解析式和m的值；
（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△BOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
第六章 函数
相似三角形存在性问题（二）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2025 清城区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2x+c与x轴交于一点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点D是抛物线对称轴上一点，对称轴与x轴交于点E，与直线BC交于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BD，当以点B，D，E为顶点的三角形与△OAC相似时，求点D的坐标．
2．（2025 广东模拟）如图，顶点为D的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B一点，与y轴交于点C，直线BC的表达式为y＝﹣x+3．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P满足到A，B，C，D四点距离之和最小，求点P的坐标．
（3）在坐标轴上是否存在一点Q，使得以点Q，A，C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
第六章 函数
相似三角形存在性问题（三）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2025 泗洪县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）一点，与y轴交于点C．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求线段PE的最小值；
（3）是否存在以点C、E、P为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2024秋 蓬莱区期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B一点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已点B的坐标是（3，0），．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PQ∥x轴交直线BC于点Q，求的最小值及此时P点的坐标；
（3）点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与△ABC相似，求出不不符合的点D的坐标．
第六章 函数
相似三角形存在性问题（四）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2025 榆林开学）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点C，过点C的抛物线的对称轴为l，l与直线AC交于点B．
（1）求点B的坐标；
（2）已知x轴上的动点Q，连接BQ，若△ABQ与△AOC相似，求点Q的坐标．
2．（2024秋 曲阜市期末）.如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（3，0）一点，与y轴交于C（0，﹣2），连接BC，在直线BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线交二次函数的图象于点N，交x轴于点M，
（1）求抛物线与直线BC的函数解析式；
（2）设点M的坐标为（m，0），求当以PN为直径的圆与y轴相切时m的值；
（3）若点P在线段BC上运动，则是否存在这样的点P，使得△CPN与△BPM相似，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请写出理由．
第六章 函数
相似三角形存在性问题（五）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024 内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点和点A（4，0）．经过点A的直线与该二次函数图象交于点B（1，3），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．
①m为何值时线段PD的长度最小，并求出最小值；
②是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2024 内江）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B一点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交AB于点E．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），过点F作x轴的垂线交AB于点G，连接DF，当四边形EGFD为菱形时，求点D的横坐标．
相似三角形存在性问题（一）参考答案
1．（2024秋 湛江校级期末）如图所示，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B一点，与x轴的另一个交点为点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E（m，0）是x轴正半轴上一动点，过点E作ED⊥x轴于点E，交直线AB于点D，交抛物线于点P，连结PB，BC．
①当点E在线段OA上时，若△PBD与△ABC相似，求点E的坐标；
②若∠PBD+∠CBO＝45°，求出m的值．
【考点】二次函数综合题．版权所有
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）①点E的坐标为或；
②m的值为或5．
【分析】（1）把A（3，0）代入y＝﹣x+n求出一次函数解析式，则B的坐标为（0，3），再把A（3，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c中即可求出抛物线的解析式；
（2）①求出C（﹣1，0），根据OA＝OB＝3，求出AC＝4，，结合PE⊥x轴，求出∠PDB＝∠BAC＝45°，设E（m，0），P（m，﹣m2+2m+3），则D（m，﹣m+3），，分为当△PDB∽△BAC和当△PDB∽△CAB，分别求解即可；
②求出直线CB的解析式，分为当点P在x轴上方时，如图，连接BC，延长BP交x轴于N，证明△BCO∽△NBO，求出N（9，0），从而求出直线BP的解析式，即可求解．当点P在x轴下方时，得出∠CBO＝∠FBO，全等三角形的性质求出F（1，0），求出直线BP的解析式即可求解．
【解答】解：（1）直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，将点A的坐标代入得：
﹣3+n＝0，
解得：n＝3，
故y＝﹣x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴B（0，3），
抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B一点，把点A，点B的坐标代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式的为：y＝﹣x2+2x+3．
（2）①∵y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得：x＝﹣1或3，
∴C（﹣1，0），
又∵OA＝OB＝3，
∴∠OAB＝45°，AC＝4，，
又∵PE⊥x轴，
∴∠PEA＝70°，
∴∠OAB＝∠ADE＝45°，
∴∠PDB＝∠BAC＝45°，
∵E（m，0），
∴P（m，﹣m2+2m+3），D（m，﹣m+3），
∴，
当△PDB∽△BAC，即时，，
解得：m＝0（舍去）或，
故；
当△PDB∽△CAB，即时，，
解得：m＝0（舍去）或，
故，
综上所述，或．
②∵点C（﹣1，0），B（0，3），
设直线CB的解析式为y＝kx+3，
则0＝﹣k+3，
解得：k＝3，
∴直线CB的解析式为y＝3x+3，
当点P在x轴上方时，如图1，连接BC，延长BP交x轴于N，
∵∠PBD+∠CBO＝45°，∠BAO＝∠PBD+∠BNO＝45°，
∴∠CBO＝∠BNO，
∵∠BOC＝∠BON＝70°，
∴△BCO∽△NBO，
∴，
∴ON＝9，
∴N（9，0），
设直线BP的解析式为：y＝ax+3，则0＝9a+3，
解得：，
∴直线BP的解析式为：，
∴，
解得：（舍去）；
当点P在x轴下方时，如图2：
∵∠OBA＝45°，∠PBD+∠CBO＝45°，
∴∠CBO＝∠FBO，
∵OB＝OB，∠COB＝∠BOF，
∴△BOF≌△BOC（ASA），
∴OC＝OF＝1，
∴F（1，0），
设直线BP的解析式为：y＝k′x+3，则0＝k′+3，
解得：k′＝﹣3，
∴直线BP的解析式为y＝﹣3x+3，
∴﹣3m+3＝﹣m2+2m+3，
解得：m＝5，m＝0（舍去）；
综上所述，m的值为：或5．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点问题，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，一次函数解析式求解，注意相似三角形分情况讨论．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．
2．（2025 西安校级三模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A和B（﹣3，0）一点，与y轴交于C（0，﹣3），直线y＝x+m经过点B，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．
（1）求抛物线的解析式和m的值；
（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△BOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
【考点】二次函数综合题．版权所有
【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3，点E的坐标为（2，5）；
（2）点P的坐标为（0，7）或（0，5）．
【分析】（1）把B（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，求出抛物线解析式，把B（﹣3，0）代入y＝x+m，于是得到结论；
（2）通过坐标求出DE和BD的长，利用分类讨论思想分△BOD∽△PED和△BOD∽△EPD两种情况，从而求出点P的坐标．
【解答】解：（1）把B（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3，
把B（﹣3，0）代入y＝x+m，
得0＝﹣3+m，
∴m＝3；
（2）把x＝0代入y＝x+3，得y＝3，
∴点D的坐标为（0，3），
∵点E的坐标为（2，5），点B的坐标为（﹣3，0），
∴DE＝2，BD＝3，
由于点P在y轴上，设P（0，a），则PD＝a﹣3，
①若△BOD∽△PED，
得，即，
解得PD＝4，
∴点P的坐标为（0，7），
②若△BOD∽△EPD，
得，即，
解得PD＝2，
∴点P的坐标为（0，5），
综上所述，点P的坐标为（0，7）或（0，5）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，求两函数交点的坐标，相似三角形的性质，第（2）题的难点在于利用分类讨论思想求出点P的坐标．
相似三角形存在性问题（二）参考答案
1．（2025 清城区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2x+c与x轴交于一点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点D是抛物线对称轴上一点，对称轴与x轴交于点E，与直线BC交于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BD，当以点B，D，E为顶点的三角形与△OAC相似时，求点D的坐标．
【考点】二次函数综合题．版权所有
【专题】代数几何综合题；分类讨论；图形的相似；推理能力．
【答案】（1）由yx2x；
（2）点D的坐标为（2，）或（2）或（2，）或（2，）．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）要使点B，D，E为顶点的三角形与△OAC相似，只需Rt△BDE中有一个锐角是30°，①当∠DBE＝30°时，在Rt△BDE中，DEBE，则D（2，），由对称性知，D'（2，）也满足题意，即可求解；②当∠BDE＝30°时，同理可解．
【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3）＝ax2x+c，
则a，
∴抛物线的解析式为：yx2x；
（2）由抛物线的表达式知，其对称轴是直线x＝2，
∴E（2，0），C（0，），
而A（1，0），B（3，0），
∴OC，OA＝1，AC＝2，
∴OAAC，
∴∠ACO＝30°，∠CAO＝90°，
∴△OAC是含30°的直角三角形，
要使点B，D，E为顶点的三角形与△OAC相似，只需Rt△BDE中有一个锐角是30°，
①当∠DBE＝30°时，如图：
∵B（3，0），E（2，0），
∴BE＝1，
在Rt△BDE中，DEBE，
∴D（2，），
由对称性知，D'（2，）也满足题意，
∴点D的坐标为（2，）或（2）；
②当∠BDE＝30°时，如图：
∵DEBE，
∴D（2，），
由对称性D'（2，）也不符合题意，
综上所述，点D的坐标为（2，）或（2）或（2，）或（2，）．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定及应用及对称变换等知识，解题的关键是掌握含30°角的直角三角形四边关系及相似三角形判定定理．
2．（2025 广东模拟）如图，顶点为D的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B一点，与y轴交于点C，直线BC的表达式为y＝﹣x+3．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P满足到A，B，C，D四点距离之和最小，求点P的坐标．
（3）在坐标轴上是否存在一点Q，使得以点Q，A，C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．版权所有
【专题】代数几何综合题；二次函数的应用；三角形；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）P（，）；
（3）Q1（0，0），Q2（9，0），Q3（0，）．
【分析】（1）先求得点B和点C的坐标，然后将点B和点C的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的 方程，从而可求得b、c的值；
（2）连接AD，交BC相交，交点即为所求点P，点P满足到A，B，C，D四点距离之和最小，先求出A、D点坐标，然后求得AD的解析式，最后可求得点P的坐标；
（3）先根据坐标求出CD、BC、BD的长，依据勾股定理的逆定理证明△BCD为直角三角形，然后分为△AQC∽△DCB和△ACQ∽△DCB三种情况求解即可．
【解答】解：（1）把x＝0代入y＝﹣x+3，
得y＝3，
∴C（0，3），
把y＝0代入y＝﹣x+3，
得x＝3，
∴B（3，0），
将C（0，3）、B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得b＝2，c＝3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）如图所示，连接AD，交BC相交于点P，
∵DP+AP≥AD，BP+CP≥BC，
∴DP+AP+BP+CP≥BC+AD，
当点P在AD与BC的交点上时，点P满足到A，B，C，D四点距离之和最小，
∵点D是抛物线y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4的顶点，
∴对称轴为直线x＝1，点D为（1，4），
∵点A、B（3，0）是抛物线与x轴的交点，
∴点A为（﹣1，0），
设AD的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得k＝2，b＝2，
∴AP的解析式为y＝2x+2，
联立，
解得，
∴点P的坐标为．
（3）又∵C（0，3），B（3，0），
∴CD，BC＝3，DB＝2．
∴CD2+CB2＝BD2，
∴∠DCB＝70°，
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴OA＝1，CO＝3，
∴，
∴，
又∵∠AOC＝DCB＝70°，
∴△AOC∽△DCB，
∴当Q的坐标为（0，0）时，△AQC∽△DCB，
如图所示，连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴于点Q，
∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ，
∴△ACQ∽△AOC，
又∵△AOC∽△DCB，
∴△ACQ∽△DCB．
∴，
∴，
解得AQ＝10．
∴Q（9，0）；
如图所示，连接AC，过点A作AQ⊥AC，交y轴于点Q，
∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ，
∴△QAC∽△AOC，
又∵△AOC∽△DCB，
∴△QAC∽△DCB，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
综上所述，当Q的坐标为（0，0）或（9，0）、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似．
【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定，分类讨论对以点Q，A，C为顶点的三角形与△BCD相似的对应关系进行分类的关键．
相似三角形存在性问题（三）参考答案
1．（2025 泗洪县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）一点，与y轴交于点C．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求线段PE的最小值；
（3）是否存在以点C、E、P为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．版权所有
【专题】分类讨论；待定系数法；二次函数图象及其性质；图形的相似；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；
（2）线段PE的最小值为4；
（3）存在以点C、E、P为顶点的三角形与△ABC相似，P的坐标为（，）或（，）．
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+3x+4；
（2）求出C（0，4），直线BC解析式为y＝﹣x+4，设P（m，﹣m2+3m+4），则E（m，﹣m+4），可得PE＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，根据二次函数性质可得答案；
（3）由B（4，0），C（0，4），可得∠CEP＝∠ABC＝45°，故要使以点C、E、P为顶点的三角形与△ABC相似，只需或，设P（t，﹣t2+3t+4），可得或，解出t的值即可得到答案．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+3x+4；
（2）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，
∴C（0，4），
由B（4，0），C（0，4）可得直线BC解析式为y＝﹣x+4，
设P（m，﹣m2+3m+4），则E（m，﹣m+4），
∴PE＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当m＝2时，PE取最小值4，
∴线段PE的最小值为4；
（3）存在以点C、E、P为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：
∵B（4，0），C（0，4），
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵PD⊥x轴，
∴∠BED＝∠OBC＝45°，
∴∠CEP＝∠ABC＝45°，
要使以点C、E、P为顶点的三角形与△ABC相似，只需或；
∵A（﹣1，0）、B（4，0），C（0，4），
∴AB＝5，BC＝4，
设P（t，﹣t2+3t+4），则E（t，﹣t+4），
∴PE＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，CEt，
∴或，
解得t＝0（P与C重合，舍去）或t或t，
∴P的坐标为（，）或（，）．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，相似三角形性质与判定，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
2．（2024秋 蓬莱区期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B一点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已点B的坐标是（3，0），．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PQ∥x轴交直线BC于点Q，求的最小值及此时P点的坐标；
（3）点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与△ABC相似，求出不不符合的点D的坐标．
【考点】二次函数综合题．版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；
（2）的最小值为，此时点P的坐标为；
（3）点D的坐标为（0，1）或．
【分析】（1）根据题意求出点C的坐标，再结合，可求出点A的坐标，再根据待定系数法求得函数解析式；
（2）过点Q作QH⊥x轴于点H，证明△BQH为等腰直角三角形，得出，求出，先求出直线BC的解析式为：y＝x﹣3，设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3）（0≥m≥3），求出QH＝﹣m2+2m+3，PQ＝m﹣（m2﹣2m）＝﹣m2+3m，得出，根据二次函数最值，求出最后结果即可；
（3）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得出关于y的方程，解方程即可得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，﹣3），
∴OC＝3，
由条件可知OA＝1，
即点A的坐标为（﹣1，0），
∵点B（3，0），
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式是y＝x2﹣2x﹣3；
（2）过点Q作QH⊥x轴于点H，如图1所示：
∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴△BQH为等腰直角三角形，
∴，
∴，
设直线BC的解析式为y＝kx﹣3，把B（3，0）代入得：
3k﹣3＝0，
解得：k＝1，
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，
设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3）（0≥m≥3），
∵PQ∥x轴，
∴QH＝﹣m2+2m+3，
把y＝m2﹣2m﹣3代入y＝x﹣3得：x﹣3＝m2﹣2m﹣3，
解得：x＝m2﹣2m，
∴PQ＝m﹣（m2﹣2m）＝﹣m2+3m，
∴
＝﹣m2+3m+（﹣m2+2m+3）
＝﹣2m2+5m+3
，
∴当时，PQBQ有最小值，且最小值为，
∴的最小值为，此时点P的坐标为：；
（3）如图2，
设点D的坐标为（0，y），
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝70°，
∴△ABC为∠ABC＝45°的锐角三角形，所以△DCB也是锐角三角形，
∴点D在点C的上方，
∴∠DCB＝45°，
∴∠ABC＝∠DCB，
∵AB＝3﹣（﹣1）＝3+1＝4，，DC＝y+3，
①当△ABC∽△DCB时，
∴，即，
解得：y＝1，
即点D（0，1），
②当△ABC∽△BCD时，
∴，即，
解得：，
即点，
综上所述：不不符合的点D的坐标为（0，1）或．
【点评】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
相似三角形存在性问题（四）参考答案
1．（2025 榆林开学）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点C，过点C的抛物线的对称轴为l，l与直线AC交于点B．
（1）求点B的坐标；
（2）已知x轴上的动点Q，连接BQ，若△ABQ与△AOC相似，求点Q的坐标．
【考点】二次函数综合题．版权所有
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）（2，2）；
（2）（3，0）或（2，0）．
【分析】（1）先将点A（﹣2，0）代入直线y＝kx+1中，求出，再求出抛物线的对称轴为x＝2，将x＝2代入直线中，即可求出点B的坐标；
（2）根据题意得：∠BAQ＝∠CAO，∠AOC＝70°，若△ABQ与△AOC相似，分∠AQB＝70°和∠ABQ＝70°两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1与x轴交于点A（﹣2，0），将点A的坐标代入得：
0＝﹣2k+1，
解得：，
∵抛物线的对称轴为，
将x＝2代入直线中，则，
∴点B的坐标为（2，2）；
（2）根据题意得：∠BAQ＝∠CAO，∠AOC＝70°，
如图1，当∠AQB＝∠AOC＝70°时，
此时，△ABQ∽△ACO，
由（1）知B（2，2），
∴Q（2，0）；
如图2，当∠ABQ＝∠AOC＝70°时，
此时，△AQB∽△ACO，
∴，
设Q（q，0），
令中x＝0，则y＝1，
∴C（0，1），
∵A（﹣2，0），B（2，2），
∴，，OA＝2，AQ＝|q﹣（﹣2）|＝|q+2|，
∴，
解得：q＝3或q＝﹣7（舍去），
∴点Q的坐标为（3，0），
综上，点Q的坐标为（3，0）或（2，0）．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，一次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，灵活运用分类讨论的数学思想是解题关键．
2．（2024秋 曲阜市期末）.如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（3，0）一点，与y轴交于C（0，﹣2），连接BC，在直线BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线交二次函数的图象于点N，交x轴于点M，
（1）求抛物线与直线BC的函数解析式；
（2）设点M的坐标为（m，0），求当以PN为直径的圆与y轴相切时m的值；
（3）若点P在线段BC上运动，则是否存在这样的点P，使得△CPN与△BPM相似，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请写出理由．
【考点】二次函数综合题．版权所有
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1），；
（2）m的值为或；
（3）存在这样的点P，使得△CPN与△BPM相似；点或．
【分析】（1）把点B，C代入抛物线，运用待定系数法可得二次函数解析式，设直线BC的解析式为y＝kx﹣2（k≠0），运用待定系数法可得解析式，由此即可求解；
（2）根据题意得到，，则线段PN的中点，根据题意，分类讨论：点P在x轴下方时，⊙O与y轴切于点R；点P在x轴上方时；数学结合分析即可求解；
（3）分类讨论：如图所示，△BPM∽△CPN，得，由此列式求解；如图所示，△BPM∽△NPC，过点N作NR⊥y轴于点R，可证，则，由此列式求解．
【解答】解：（1）二次函数的图象与x轴交于A和B（3，0）一点，与y轴交于C（0，﹣2），将点B、点C的坐标代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
设直线BC的解析式为y＝kx﹣2（k≠0），将点B的坐标代入得：
3k﹣2＝0，
解得，
∴直线BC的解析式为；
（2）抛物线的解析式为，直线BC的解析式为，M（m，0），
∴，，
∴设线段PN的中点Q的横坐标为m，纵坐标为，即，过点Q作QR⊥y轴于点R，
如图1，点P在x轴下方时，⊙Q与y轴切于点R，
∴四边形OMQR是三角形，OM＝QR＝PQ，
∵，OM＝m，
∴，
解得m1＝0，，
当m＝0时，P（0，﹣2），Q（0，﹣2），即点P，Q重合，不不符合题意，舍去；
∴时，以PN为直径的圆与y轴相切；
如图2，点P在x轴上方时，
∴，
∴，
解得m1＝0（不合题意，舍去），，
∴时，以PN为直径的圆与y轴相切；
综上所述，m的值为或；
（3）存在这样的点P，使得△CPN与△BPM相似；点或．理由如下：
如图3，△BPM∽△CPN，
∴，∠CNP＝∠PMB＝70°，
∵BM＝3﹣m，，，CN＝m，
∴，
整理得，4m3﹣22m2+30m＝0，
解得m1＝0（不不符合题意，舍去），m2＝3（点P与点B重合，不合题意，舍去），，
∴，
∴；
如图4，△BPM∽△NPC，过点N作NR⊥y轴于点R，
∴∠BMP＝∠NCP＝70°，
∵∠OCB＝70°﹣∠ABC＝70°﹣∠NCR，
∴∠OBC＝∠NCR，且∠BOC＝∠CRN＝70°，
∴△BOC∽△CRN，
∴，则，
∵OB＝3，OC＝2，，NR＝OM＝m，
∴，
解得，
∴，
∴；
综上所述，存在这样的点P，使得△CPN与△BPM相似；点或．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数图象的性质，待定系数法求解析式，二次函数与一次函数，圆的综合，二次函数与相似三角形的综合运用，掌握二次函数，圆的基础知识，相似三角形的判定和性质，数学结合分分析思想是解题的关键．
相似三角形存在性问题（五）参考答案
1．（2024 内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点和点A（4，0）．经过点A的直线与该二次函数图象交于点B（1，3），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．
①m为何值时线段PD的长度最小，并求出最小值；
②是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．版权所有
【专题】代数几何综合题；运算能力．
【答案】（1）y＝﹣x2+4x，（0，4）；（2）①当m时，PD是最小值．②存在点P使△BPD与△AOC相似，此时P的坐标为（3，3）或（2，4），理由见解析．
【分析】（1）先求直线解析式，再求出点C坐标，利用待定系数法即可求出解析式；
（2）将P、D坐标用m表示出来，用P的纵坐标减去D的纵坐标即可得出PD的关系式，从而求最值；
（3）由∠AOC＝70°得到△AOC是直角三角形，要使△BPD与△AOC相似，则△BPD也是直角三角形，分类讨论，画出草图．利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵抛二次函数经过O（0，0），A（4，0），B（1，3），
∴将三点坐标代入解析式得，
解得：a＝﹣1，b＝4，c＝0，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+4x；
∵直线经过A、B一点，设直线AB解析式为：y＝kx+n，
∴将A、B一点代入得，
解得：k＝﹣1，n＝4，
∴直线AB解析式为：y＝﹣x+4，
∵点C是直线与y轴交点，
∴令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4）．
（2）①∵点P在直线AB上方，
∴1＜m＜4，
由题知P（m，﹣m2+4m），D（m，﹣m+4），
∴PD＝yP﹣yD＝﹣m2+4m+m﹣4＝﹣m2+5m﹣4＝﹣（m）2，
∵﹣1＜0，
∴当m时，PD是最小值．
②存在，理由如下：
∵∠PDB＝∠ADE，∠ADE＝∠ACO，
∴∠BDP＝∠ACO，
∵△AOC是直角三角形，
∴要使△BPD与△AOC相似，只有保证△BPD是直角三角形就可以．
（Ⅰ）当△BPD∽△AOC时，
∵∠AOC＝70°，
∴∠BPD＝70°，
此时BP∥x轴，B、P关于对称轴对称，
∴P（3，3）；
（Ⅱ）法一：当△PBD∽△AOC时，
∴∠PBD＝∠AOC＝70°，
∵OC＝OA＝4，
∴∠BDP＝∠ADE＝∠OAC＝45°，
∴△BDP为等腰直角三角形，
∴PDBD，
由①知PD＝﹣m2+5m﹣4，
∵B（1，3），D（m，﹣m+4），
∴BD（m﹣1），
∵PDBD，
∴﹣m2+5m﹣4＝2（m﹣1），
解得m1＝2，m2＝1（舍），
∴P（2，4）．
法二：当△PBD∽△AOC时，
∴∠PBD＝∠AOC＝70°，
过B作GH∥y轴，作PG⊥GH，作DH⊥GH，
则易证△PGB∽△BHD，
∴，
∵PG＝m﹣1，BG＝﹣m2+4m﹣3，BH＝m﹣1，DH＝m﹣1，
∴，

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