资源简介

第八章 圆
第八章 圆中相关计算
知识点 1 弧长的计算（一）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．已知扇形的半径为3，扇形的弧长π，则此扇形的圆心角的度数为_________．
2．已知弧的长度为2π，弧的半径为6，则弧的度数为_________．
3．如图，若长为圆长的，则_________．
第3题图 第4题图 第5题图
4．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为32cm，BD的长为14cm，则的长为 cm．
5．如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是_________．
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2，3)，B(-4，1)，C(-1，2)．
（1）画出以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转70°得到△A'B'C'
（2）求点C在旋转过程中所经过的路径的长．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，O是边AC上的点，以OC为半径的圆分别交边BC、AC于点D、E，过点D作DF⊥AB于点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）若OC＝1，∠A＝45°，求劣弧DE的长．
第八章 圆
弧长的计算（二）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．如图，在扇形OAB中，已知，，过弧AB的中点C作，，垂足分别为D、E，则图中阴影部分图形的圆长为_________．
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2．如图，在中，点在优弧上，将弧沿元叠后刚好经过的中点．若的半径为5，，则的长是（ ）
3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A：∠C＝2：3，若⊙O半径为5，则的长度是______．
4．如图，扇形OAB中，∠AOB＝120°，点M为上的一点，过M作于N，交AB于C，若MC＝CN＝，则此扇形的半径为___．
5．如图，内接于，D是上一点，，．
（1）求证：；
（2）若的半径为3，求的长．
6．已知：如图，D是外接圆上一点，且满足，连接．
（1）求证：是的外角的平分线．
（2）若，求劣弧的长度．
第八章 圆
弧长的计算（三）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，画出图形并直接写出顶点的坐标_______；
（2）将绕着点按逆时针方向旋转得到，请画出；
（3）在第（2）题中，请求出点转到位置时所经过的路径长_______．
2．如图1，AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，C，D为⊙O上一点，连结OP，CD，PD＝PC．已知AB＝8．
（1）若OP＝5，PD＝3，求证：PD是⊙O的切线；
（2）若PD、PC是⊙O的切线；
①求证：OP⊥CD；
②连结AD，BC，如图2，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，求弧CD的长．
3．如图，平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在x轴上，点B坐标为（，），OC＝2，动点P从点C向点B运动，连接OP，将△COP沿OP翻元，C的对应点为Q．
（1）求∠COD的度数；
（2）当点P从点C运动到点B的过程中，画出点Q运动的路径，并求该路径的长；
（3）当点P从点C运动到点B的过程中，点Q落在一次函数y＝kx＋4的图象上的次数有且只有1次，求k的取值范围．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第八章 圆
第八章 圆中相关计算
知识点 1 弧长的计算（一）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．已知扇形的半径为3，扇形的弧长π，则此扇形的圆心角的度数为_________．
2．已知弧的长度为2π，弧的半径为6，则弧的度数为_________．
3．如图，若长为圆长的，则_________．
第3题图 第4题图 第5题图
4．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为32cm，BD的长为14cm，则的长为 cm．
5．如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是_________．
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2，3)，B(-4，1)，C(-1，2)．
（1）画出以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转70°得到△A'B'C'
（2）求点C在旋转过程中所经过的路径的长．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，O是边AC上的点，以OC为半径的圆分别交边BC、AC于点D、E，过点D作DF⊥AB于点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）若OC＝1，∠A＝45°，求劣弧DE的长．
第八章 圆
弧长的计算（二）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．如图，在扇形OAB中，已知，，过弧AB的中点C作，，垂足分别为D、E，则图中阴影部分图形的圆长为_________．
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2．如图，在中，点在优弧上，将弧沿元叠后刚好经过的中点．若的半径为5，，则的长是（ ）
3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A：∠C＝2：3，若⊙O半径为5，则的长度是______．
4．如图，扇形OAB中，∠AOB＝120°，点M为上的一点，过M作于N，交AB于C，若MC＝CN＝，则此扇形的半径为___．
5．如图，内接于，D是上一点，，．
（1）求证：；
（2）若的半径为3，求的长．
6．已知：如图，D是外接圆上一点，且满足，连接．
（1）求证：是的外角的平分线．
（2）若，求劣弧的长度．
第八章 圆
弧长的计算（三）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，画出图形并直接写出顶点的坐标_______；
（2）将绕着点按逆时针方向旋转得到，请画出；
（3）在第（2）题中，请求出点转到位置时所经过的路径长_______．
2．如图1，AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，C，D为⊙O上一点，连结OP，CD，PD＝PC．已知AB＝8．
（1）若OP＝5，PD＝3，求证：PD是⊙O的切线；
（2）若PD、PC是⊙O的切线；
①求证：OP⊥CD；
②连结AD，BC，如图2，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，求弧CD的长．
3．如图，平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在x轴上，点B坐标为（，），OC＝2，动点P从点C向点B运动，连接OP，将△COP沿OP翻元，C的对应点为Q．
（1）求∠COD的度数；
（2）当点P从点C运动到点B的过程中，画出点Q运动的路径，并求该路径的长；
（3）当点P从点C运动到点B的过程中，点Q落在一次函数y＝kx＋4的图象上的次数有且只有1次，求k的取值范围．
弧长的计算（一）参考答案
1.解：设扇形圆心角度数为n°，根据
解得：n=90，
故此扇形的圆心角的度数为90°．
2.解：∵弧的长度为2π，弧的半径为6
∴2π=
解得n=90°
故答案为：90°．
3.解：设∠AOB=x，圆的半径为r，
∴，圆的圆长，
∵弧AB的长是圆圆长的，
∴，
∴，
故答案为：.
4.解：∵AB＝32cm，BD＝14cm，AB，AC夹角为150°，
∴AD＝AB﹣BD＝18cm，
∴的长为：＝15π（cm），
5.解：如图，
点O的运动路径的长＝的长+O1O2+的长＝++＝，
6.（1）如图，连接OA、OB、OC并点O为旋转中心，顺时针旋转70°得到A'、B'、C'，连接A'B'、B'C' 、A'C'，△A'B'C'就是所求的三角形．
（2）C在旋转过程中所经过的路程为扇形的弧长；
所以
7.证明：如图，连结OD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠ACB，
∴∠B＝∠ODC，
∴OD∥AB，
∵DF⊥AB，
∴∠ODF＝∠BFD＝70°，
∵OD为半径，
∴直线DF是⊙O的切线；
（2）解：∵∠A＝45°，OD∥AB，
∴∠AOD＝180°﹣45°＝135°，
∴劣弧DE的长为．
弧长的计算（二）参考答案
1.解：连接OC，如图所示：
，
，
四边形CDOE是三角形，
点C是的中点，
，
，
，
，
三角形CDOE是正方形，
，
，
，
，
，
图中阴影部分图形的圆长为：
．
2.解：连接AC、OB、OD、CD，作于点F，作于点E，
由垂径定理可知于点D，
又
CA、CD所对的圆周角为、，且
，△CAD为等腰三角形
又四边形ODFE为三角形且OD=DF=
四边形ODFE为正方形
故△CFB为等腰三角形，
所对的圆心角为
3.解：连接OB、OD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠A：∠C=2：3，
∴∠A+∠A=180°，
∴∠A=72°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=144°，
∴的长：=4π，
4.解：，
，
且，
，
，
，
连接，设半径为，则，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
5.解：（1）证明：∵，，
∴．
∴．∴．
（2）解：连接、．
∵，
∴．
∵的半径为3，
∴的长．
6.解：（1）证明：∵DB=DC，
∴∠DBC=∠DCB，
∵∠DAE是圆内接四边形ABCD的外角，
∴∠DAE=∠DCB，
∴∠DAE=∠DBC，
∵∠DBC=∠DAC，
∴∠DAE=∠DAC，
∴AD是△ABC的外角∠EAC的平分线；
（2）连接OB，OC，OD，
由圆周角定理得，∠COB=2∠CAB=90°，∠CDB=∠CAB=30°，
∴△COB为等边三角形，
∴OC=BC=4，
∵DC=DB，∠CDB=30°，
∴∠DCB=45°，
∴∠DCO=15°，
∴∠COD=150°，
则劣弧的长=．
弧长的计算（三）参考答案
1.（1）如图，为所作，
点的坐标为；
（2）如图所示，为所求；
（3）由勾股定理可知：，
由弧长公式可知：点所经过的路径长
2.（1）证明：∵直径AB＝8，
∴OD＝4，
∵OP＝5，PD＝3，
∴OP2＝PD2+OD2，
∴∠ODP＝70°，
∴OD⊥DP，
∴PD是⊙O的切线．
（2）①证明：如图1中，连接OC．
∵PD，PC是⊙O的切线，
∴PD＝PC，
∵OD＝OC，
∴OP垂直平分线段CD，
∴OP⊥CD．
②解：如图2中，连接OD，OC．
∵OA＝OD，OB＝OC，
∴∠A＝∠ODA＝50°，∠B＝∠OCB＝70°，
∴∠AOD＝180°﹣100°＝80°，∠BOC＝180°﹣140°＝40°，
∴∠DOC＝180°﹣80°﹣40°＝90°，
∴弧CD的长＝ ＝ ．
3.解：（1）∵点B坐标为（，），OC＝2，
∴OD＝，
∴
在Rt△OCD中，CD＝OC，
∴∠COD＝30°；
（2）沿OP翻元过程中，OC的边长不变，当P点运动到B点时Q运动到终点记做E点，
即Q的运动路径在以O为圆心半径为2的一段弧上，设此弧交BC于P，画路径图如下：
∵B（，），
∴OD＝BD＝，
∴∠DOB＝45°，
由（1）知∠COD＝30°，
∴∠COB＝30°+45°＝45°，
由翻元知，∠BOE＝∠COB＝45°，
∴∠COE＝45°+45°＝150°，
∴的长=
∴该路径的长为π；
（3）如下图，
∵一次函数y＝kx+4的图象过（0，4），
∴取E（0，4），过点E作⊙O在段的切线EQ'，
∵OE＝4，OQ'＝2，
∴sin∠OEQ'＝
∴∠OEQ'＝30°，
∵∠EOQ'+∠OEQ'＝70°，∠EOQ'+∠Q'OA＝70°，
∴∠Q'OA＝∠OEQ'＝30°，
∴Q'（，1），
由（2）知，∠AOQ＝30°，
∴Q（，﹣1），
∴当Q在y＝kx+4上时，﹣1＝k+4，
解得k＝﹣；
当Q'在y＝kx+4上时，1＝k+4，
解得k＝﹣；
当C在y＝kx+4上时，＝﹣k+4，
解得k＝4﹣；
∵点Q落在一次函数y＝kx+4的图象上的次数有且只有1次，
∴k≥4﹣或k≥﹣或k＝﹣．

展开更多......

收起↑