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第八章 圆
第八章 圆中相关计算
知识点 3 圆锥的计算（一）
计算大冲关 （难度等级 ）
如图所示，某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高米，底面半径米，则圆锥的侧面积是 平方米（结果保留）.
第1题图 第2题图 第3题图
如图，点是上的点，已知的半径，欢欢利用图中阴影部分制作一个圆锥，则这个圆锥的高为
数学活动课上，小明制作了一顶圆锥形纸帽（如图），其底面直径为24cm，母线长为20cm，将这顶纸帽剪开，展开成扇形时圆心角的度数为_____度．
如果圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，那么它的侧面积等于_____．
如图所示是一个几何体的三视图．
(1)写出这个几何体的名称；
(2)根据图中数据计算这个几何体的表面积；
(3)如果一只蚂蚁要从这个几何体上的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这条路线的最短路程．
6．某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径与母线长之比为．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中，．将扇形围成圆锥时，，恰好重合．
（1）求这种减工材料的顶角的大小
（2）若圆锥底面圆的直径为5cm，求减工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留）
第八章 圆
圆锥的计算（二）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．如图，圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，则此圆锥的高是 .
第1题图 第3题图
2．已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为1，则圆锥侧面展开图的圆心角为 .
3．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长为，扇形的圆心角，则圆锥的底面圆半径为__________．
4．在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
（1）如图①，圆锥的母线长为，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．
（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上．设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．
①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为________（用含l，h的代数式表示）．
②设的长为a，点B在母线上，．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．
第八章 圆
圆锥的计算（三）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．已知Rt△ABC的两直角边AC=8，BC=6，将Rt△ABC绕AC所在的直线旋转一周形成的立体图形的侧面积为 （结果保留π）．
2. 已知圆锥的高为8cm,母线长为10cm,则其侧面展开图的面积为 .
3. 圆锥的母线长为5cm,高为4cm,则该圆锥侧面展开图扇形的圆心角为 .
4. 某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB=AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．
（1）求这种减工材料的顶角∠BAC的大小．
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm,求减工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）
在数学实验课上，小莹将含30°角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra画出如下示意图．
小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边AB旋转得到，所以它们的侧面积相等．”
你认同小亮的说法吗？请说明理由．
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第八章 圆
第八章 圆中相关计算
知识点 3 圆锥的计算（一）
计算大冲关 （难度等级 ）
如图所示，某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高米，底面半径米，则圆锥的侧面积是 平方米（结果保留）.
第1题图 第2题图 第3题图
如图，点是上的点，已知的半径，欢欢利用图中阴影部分制作一个圆锥，则这个圆锥的高为
数学活动课上，小明制作了一顶圆锥形纸帽（如图），其底面直径为24cm，母线长为20cm，将这顶纸帽剪开，展开成扇形时圆心角的度数为_____度．
如果圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，那么它的侧面积等于_____．
如图所示是一个几何体的三视图．
(1)写出这个几何体的名称；
(2)根据图中数据计算这个几何体的表面积；
(3)如果一只蚂蚁要从这个几何体上的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这条路线的最短路程．
6．某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径与母线长之比为．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中，．将扇形围成圆锥时，，恰好重合．
（1）求这种减工材料的顶角的大小
（2）若圆锥底面圆的直径为5cm，求减工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留）
第八章 圆
圆锥的计算（二）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．如图，圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，则此圆锥的高是 .
第1题图 第3题图
2．已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为1，则圆锥侧面展开图的圆心角为 .
3．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长为，扇形的圆心角，则圆锥的底面圆半径为__________．
4．在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
（1）如图①，圆锥的母线长为，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．
（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上．设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．
①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为________（用含l，h的代数式表示）．
②设的长为a，点B在母线上，．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．
第八章 圆
圆锥的计算（三）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．已知Rt△ABC的两直角边AC=8，BC=6，将Rt△ABC绕AC所在的直线旋转一周形成的立体图形的侧面积为 （结果保留π）．
2. 已知圆锥的高为8cm,母线长为10cm,则其侧面展开图的面积为 .
3. 圆锥的母线长为5cm,高为4cm,则该圆锥侧面展开图扇形的圆心角为 .
4. 某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB=AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．
（1）求这种减工材料的顶角∠BAC的大小．
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm,求减工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）
在数学实验课上，小莹将含30°角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra画出如下示意图．
小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边AB旋转得到，所以它们的侧面积相等．”
你认同小亮的说法吗？请说明理由．
圆锥的计算（一）参考答案
1.解：∵AO=8米，OB=6米，∴AB=10米，
∵圆锥的底面圆长=2×π×6=12π米，
∴S扇形=lr=×12π×10=90π（米2）
2.
阴影部分扇形的圆心角
设圆锥的底面半径为圆锥的高为
，
3.解：设展开扇形的圆心角的度数为n°，
由图知圆锥的底面直径为24cm，母线长为20cm，
∵圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面圆长，∴，
解得n＝216．故答案为：216．
4.∵圆锥的底面半径为3cm，∴底面圆长，
又∵母线长为6cm，∴
5.解：（1）由该几何体的三视图可知：这个几何体是圆锥；
（2）由图中数据可知：这个圆锥的底面半径为2，母线长为6，
∴S表＝S侧＋S底＝π r l＋π r2＝12π＋4π＝16π(cm2)；
（3）如下图所示，将圆锥侧面沿AB展开，则图中线段BD′为所求最短路程．
设∠BAB′的度数为n，则由可得：，解得：，
∵点C′为的中点，∴∠BAC′=90°，
又∵AB=AC′，∴△ABC′是等边三角形，
又∵D′是AC′的中点，
∴∠AD′B=70°，
∴sin∠BAD′=，
∴BD′=AB·sin90°=6×=（cm），
∴蚂蚁爬行的最短路程是cm.
6.解：（1）设ED=x，则AD=2x，
∴弧长，
∴，
∴ =70°；
（2）∵ED=5cm，
∴AD=2ED=10cm，
∵， =70°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵，
∴BD=CD=AD=10cm，
∴BC=BD+CD=20cm，
∴S△BAC=cm2，
∴，
∴S阴影= S△BAC-=（100-）cm2．

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