资源简介

第八章 圆
第八章 圆中相关计算
知识点 2 扇形面积的计算（一）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．如图，四边形中，，，，连接，以点B为圆心，长为半径作，交于点E．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
2．如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A＝30°，OP＝1，求图中阴影部分的面积．
3．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝90°，点E在直径CD的延长线上，且AE＝AC．
（1）试判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，求阴影部分的面积．
第八章 圆
扇形面积的计算（二）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．如图，在△ABC中，∠C = 70°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D．
（1）若∠B = 24°，求的度数；
（2）若D是AB的中点，AB = 3，求阴影部分的面积；
（3）若AD·AB= 12，求AC的值．
2．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点M，OM交⊙O于点N，连结AM．
（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）若DN=4，AC=8，求线段MN的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
3．如图，为的直径，弦于E，，交的延长线于F，．
（1）求证：为的切线；
（2）若，求、、弧围成的阴影部分的面积．
第八章 圆
扇形面积的计算（三）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A＝30°，BC＝2，点D是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P，过点P作PF⊥AC于点F．
（1）求劣弧PC的长；（结果保留π）
（2）求阴影部分的面积．（结果保留π）．
2．如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，AB＝6cm，AC＝2cm，将△ABC绕顶点C按顺时针旋转45°至△A1B1C的位置，
（1）求证：△ACB≌△A1CB1；
（2）求线段AB扫过的区域（图中阴影部分）的面积．
3．如图，AB为量角器（半圆O）的直径，等腰直角△BCD的斜边BD交量角器边缘于点G，直角边CD切量角器于读数为90°的点E处（即弧AE的度数为90°），第四边交量角器边缘于点F处．
（1）求量角器在点G处的读数α（0°＜α＜70°）；
（2）若AB＝8cm，求阴影部分面积．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第八章 圆
第八章 圆中相关计算
知识点 2 扇形面积的计算（一）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．如图，四边形中，，，，连接，以点B为圆心，长为半径作，交于点E．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
2．如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A＝30°，OP＝1，求图中阴影部分的面积．
3．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝90°，点E在直径CD的延长线上，且AE＝AC．
（1）试判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，求阴影部分的面积．
第八章 圆
扇形面积的计算（二）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．如图，在△ABC中，∠C = 70°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D．
（1）若∠B = 24°，求的度数；
（2）若D是AB的中点，AB = 3，求阴影部分的面积；
（3）若AD·AB= 12，求AC的值．
2．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点M，OM交⊙O于点N，连结AM．
（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）若DN=4，AC=8，求线段MN的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
3．如图，为的直径，弦于E，，交的延长线于F，．
（1）求证：为的切线；
（2）若，求、、弧围成的阴影部分的面积．
第八章 圆
扇形面积的计算（三）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A＝30°，BC＝2，点D是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P，过点P作PF⊥AC于点F．
（1）求劣弧PC的长；（结果保留π）
（2）求阴影部分的面积．（结果保留π）．
2．如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，AB＝6cm，AC＝2cm，将△ABC绕顶点C按顺时针旋转45°至△A1B1C的位置，
（1）求证：△ACB≌△A1CB1；
（2）求线段AB扫过的区域（图中阴影部分）的面积．
3．如图，AB为量角器（半圆O）的直径，等腰直角△BCD的斜边BD交量角器边缘于点G，直角边CD切量角器于读数为90°的点E处（即弧AE的度数为90°），第四边交量角器边缘于点F处．
（1）求量角器在点G处的读数α（0°＜α＜70°）；
（2）若AB＝8cm，求阴影部分面积．
扇形面积的计算（一）参考答案
1.解：（1）过点B作BF⊥CD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∴∠ADB=∠CDB，又BD=BD，∠BAD=∠BFD=70°，
∴△ABD≌△FBD（AAS），
∴BF=BA，则点F在圆B上，
∴CD与圆B相切；
（2）∵∠BCD=90°，CB=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CBD=90°
∵BF⊥CD，
∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，
∴∠ABF=90°，
∵AB=BF=，
∴AD=DF==2，
∴阴影部分的面积=S△ABD-S扇形ABE
=
=．
2.解：（1）CB与⊙O相切，
理由：连接OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵CP＝CB，
∴∠CPB＝∠CBP，
∵∠CPB＝∠APO，
∴∠CBP＝∠APO，
在Rt△AOP中，∵∠A+∠APO＝70°，
∴∠OBA+∠CBP＝70°，
即：∠OBC＝70°，
∴OB⊥CB，
又∵OB是半径，
∴CB与⊙O相切；
（2）∵∠A＝30°，∠AOP＝70°，
∴∠APO＝90°，
∴∠BPD＝∠APO＝90°，
∵PC＝CB，
∴△PBC是等边三角形，
∴∠PCB＝∠CBP＝90°，
∴∠OBP＝∠POB＝30°，
∴OP＝PB＝PC＝1，
∴BC＝1，
∴OB，
∴图中阴影部分的面积＝S△OBC﹣S扇形OBD1．
3.解:（1）证明：连接OA、AD，如图，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DAC＝70°，
又∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠ACE＝30°，
又∵AE＝AC，OA＝OD，
∴△ADO为等边三角形，
∴∠AEC＝30°，∠ADO＝∠DAO＝90°，
∴∠EAD＝30°，
∴∠EAD+∠DAO＝70°，
∴∠EAO＝70°，即OA⊥AE，
∴AE为⊙O的切线；
（2）解：由（1）可知△AEO为直角三角形，且∠E＝30°，
∴OA＝2，AE＝6，
∴阴影部分的面积为6×262π．
故阴影部分的面积为62π．
扇形面积的计算（二）参考答案
1.解：（1）连接CD，如图，
∵∠ACB＝70°，∠B＝24°，
∴∠BAC＝70°﹣24°＝66°，
∵CA＝CD，
∴∠CDA＝∠CAD＝66°，
∴∠ACD＝180°﹣66°﹣66°＝48°，
∴的度数为48°；
（2）∵D是AB的中点，∠ACB＝70°，
∴CD＝AD＝BD＝AB＝，
∵CD＝CA，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD＝90°，
过点C作CH⊥AD于H，
∴∠ACH=∠DCH=30°，∠CHA=70°，
∴，
∴
∴阴影部分的面积＝S扇形ACD﹣S△ACD
＝；
（3）过点C作CH⊥AD于H，
∴AH＝DH＝AD，
∵∠ACB＝70°，CH⊥AB，
∴∠ACB＝∠AHC，
又∠A＝∠A，
∴
∴
∴AC2＝AH AB，
即AC2＝AD AB＝6，
∴．
2.解：（1）证明：连接OC，如图，
∵CM为切线，
∴OC⊥CM，
∴∠OCM＝70°，
∵OD⊥AC，
∴AD＝CD，
即OE垂直平分AC，
∴AM＝CM，
在△AOM和△COM中
，
∴△AOM≌△COM（SSS），
∴∠OAM＝∠OCM＝70°，
∴AM⊥AO，
∴AM与⊙O相切；
（2）解：设⊙O的半径为x，则OD＝ON DN＝x 4，OA＝x，
在Rt△OAD中，AD＝AC＝4，
∵AD2＋OD2＝OA2，
∴(4)2＋(x 4)2＝x2，解得x＝8，
∴OD＝4，OA＝8，
∴∠OAD＝30°，
∴∠AOD＝90°，
∴OM＝2OA＝16，
∴MN＝OM ON＝16 8＝8．
（3）∵∠AOM＝90°，∠OAM＝70°，
∴∠AMO=30°
∴在Rt△AOM中，AM＝，
∴S阴影＝S四边形AOCM S扇形OAC
＝2××8×8 =．
3.解：（1）如图，连接OC，
∵，
∴∠A=30°，
∵∠BOC和∠A分别为所对的圆心角和圆周角，
∴∠BOC=2∠A=90°，
∵∠A和∠CDF是所对的圆周角，
∴∠CDF=∠A=30°，
∵，
∴∠ABD=90°，
∴OC//DF，
∵，
∴∠OCF=∠CFD=70°，
∵OC为半径，
∴为的切线．
（2）如图，连接BC，
∵∠BOC=90°，OE=2，
∴OC==4，
∵OC=OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OC=4，∠OCB=90°，
∵∠OCF=70°，
∴∠BCF=30°，
∴BF=BC·sin30°=2，CF=BC·cos30°=，
∵OC//DF，
∴四边形COBF是直角梯形，
∴S梯形COBF=，
∴S阴影=S梯形COBF-S扇形COB=-=．
扇形面积的计算（三）参考答案
1.解：（1）∵点D是AB的中点，PD经过圆心，
∴PD⊥AB，
∵∠A＝30°，
∴∠POC＝∠AOD＝90°，OA＝2OD，
∵PF⊥AC，
∴∠OPF＝30°，
∴OF＝OP，
∵OA＝OC，AD＝BD，
∴BC＝2OD，
∴OA＝BC＝2，
∴⊙O的半径为2，
∴劣弧PC的长＝＝＝π；
（2）∵OF＝OP，
∴OF＝1，
∴PF＝＝，
∴S阴影＝S扇形﹣S△OPF＝﹣×1×＝π﹣．
2.解：（1）由△ABC绕顶点C按顺时针旋转45°得△A1B1C知BC＝B1C、∠BCB1＝∠ACA1、AC＝A1C，
∴∠BCB1+∠B1CA＝∠ACA1+∠B1CA，即∠BCA＝∠B1CA1，
在△ACB和△A1CB1中，
∵，
∴△ACB≌△A1CB1（SAS）；
（2）解：在Rt△ABC中，BC＝＝2，
扇形BCB1的面积是＝＝5π，
S△CB1A1＝×6×2＝6；
S扇形CAA1＝＝．
故S阴影部分＝S扇形BCB1+S△CB1A1﹣S△ABC﹣S扇形CAA1＝5π+6﹣6﹣π＝π．
3.解：连接OE，OF
（1）∵CD切半圆O于点E
∴OE⊥CD，
∵BD为等腰直角△BCD的斜边，
∴BC⊥CD，∠CDB＝∠CBD＝45°，
∴OE∥BC，
∴∠ABC＝∠AOE＝90°，
∴∠ABG＝∠ABC﹣∠CBD＝90°﹣45°＝15°，
∴量角器在点G处的读数α＝弧AG的度数＝2∠ABG＝30°，
（2）∵OF＝OB＝AB＝4cm，∠ABC＝90°，
∴△OBF为正三角形，∠BOF＝90°，
∴S扇形OBF＝×42 π＝π（cm2），
S△OBF＝×42＝（cm2），
∴S阴影＝S扇形OBF﹣S△OBF＝（π﹣）cm2
∴阴影部分的面积为（π﹣）cm2．

展开更多......

收起↑